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专题09特殊与一般——二次函数与二次方程阅读与思考二次函数的一般形式是，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于的二次三项式，若令y=0，则得这是一个关于的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为：1.当时，方程有两个不相等实数根，抛物线与轴有两个不同的交点，设为A(，0)，B(，0)，其中，是方程两相异实根，;2.当时，方程有两个相等实数根，抛物线与轴只有一个交点；3.当时，方程没有实数根，抛物线与轴没有交点．由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】（1）抛物线与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若是直角三角形，则=.（全国初中数学联赛试题）（2）为使方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为.解题思路：对于（1），为直角三角形，则A，B两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．【例2】设一元二次方程的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k的取值范围．解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件．\n【例3】如果抛物线与轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b，（1）求的取值范围；（2）若，求的值，并写出此时抛物线的解析式；（3）设（2）的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线是否存在一点P，使得面积等于的面积的8倍？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．（南京市中考试题）解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．【例4】设p是实数，二次函数的图像与轴有2个不同的交点A，B．（1）求证：；（2）若A，B两点之间距离不超过，求p的最大值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据题意，方程有两个不同的实数根，，于是，综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．\n【例5】是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定的取值范围；如果没有，试述理由．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，应满足的条件，借助函数图象解题．【例6】设，为正整数，且.如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求，的值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由，得，由条件得，因此不等式对任意实数都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．能力训练A级1．已知二次函数的图象与轴有两个交点A，B，顶点为C，若△ABC的面积为，则=.2．把抛物线向上平移个单位，所得抛物线与轴相交于点A(，0)和B(\n，0)，已知，那么平移后的抛物线的解析式为.（杭州市中考试题）3．抛物线的图象如图所示．（1）判断及的符号：0，0；.（2）当时，满足的关系式为________________.4．已知二次函数的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则的取值范围为.（黑龙江省中考试题）5．若关于的方程的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则的取值范围是（）A.B.C.D.（天津市竞赛试题）6．设函数的图象如图所示，它与轴交于A，B两点，且线段OA与OB的长的比为1:4，则的值为（）A.8B.-4C.11D.-4或117．已知二次函数与轴相交于两点A(，0)，B(，0)，其顶点坐标为P，AB=，若，则与的关系是（）A.B.C.D.（福州市中考试题）\n8．设关于x的方程有两个不等的实数根，，且＜1＜，那么a的取值范围是（）A.B.C.D.（全国初中数学竞赛试题）9．已知二次函数．（1）求证：不论取任何实数，此函数的图象都与x轴有两个交点，且两个交点都在x轴的正半轴上；（2）设这个函数的图象与x轴交于B，C两点，与y轴交于A点，若△ABC的面积为48，求的值．（徐州市中考试题）10．已知抛物线交轴于A(，0)，B(，0)，交轴于C点，且＜0＜，（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使∠APB为锐角？若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）11．已知抛物线与x轴交于A(，0)，B(，0)(＜)两点，与y轴交于点C(0，b)，O为原点．（1）求的取值范围．（2）若，且，求抛物线的解析式及A，B，C的坐标；（3）在（2）情形下，点P，Q分别从A，O两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB，OC向B，C运动，连接PQ与BC交于M，设AP=，问：是否存在值，使以P，B，M为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求所有值；若不存在，请说明理由．（黄冈市中考试题）\n12．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（武汉市中考试题）B级1．已知抛物线与x轴的两个交点在（1，0）两旁，则的取值范围为____________.2．设抛物线的图象与x轴只有一个交点，则的值为____________.（全国初中数学联赛试题）3．设是整数，且方程的两根都大于而小于，则=.（全国初中数学联赛试题）4．已知抛物线与x轴的正方向相交于A，B两点，顶点为C，△ABC为等腰直角三角形，则=.\n5．如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，交y轴负半轴于C点，∠ACB=90°，且，则△ABC的外接圆的面积为.6．已知抛物线，（1）求证：无论k为何实数，抛物线经过x轴上的一定点；（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A(，0)，B(，0)，两点，且满足：＜，，.问：过A，B，C三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标．（武汉市中考试题）7．已知抛物线上有一点位于x轴下方.（1）求证：已知抛物线必与x轴有两个交点A(，0)，B(，0)，其中＜；（2）求证：＜＜;（3）当点M为（1，-2）时，求整数，.（《学习报》公开赛试题）8．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例的关系，如图1所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）\n（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？（南宁市中考试题）9．已知以x为自变量的二次函数，该二次函数图象与x轴两个交点的横坐标的差的平方等于关于x的方程的一整数根，求的值．（绍兴市竞赛试题）10．如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC周长最小？若存在，求点出C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（深圳市中考试题）\n11．如图1，抛物线经过两点A（-3，0），B（-1，0）两点.（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线与轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q(0，3)作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问在y轴的负半轴上是否存在点P，使得△PEF的内心在y轴上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）\n12．已知二次函数的图象经过两点P(1，a)，Q(2，10a)（1）如果a，b，c都是整数，且，求a，b，c的值；（2）设二次函数的图象与x轴的交点为A，B，与y轴的交点为C，如果关于x的方程的两个根都是整数，求△ABC的面积．（全国初中数学联赛试题）专题09特殊与一般——二次函数与二次方程例1（1）-1提示：，即(2)令当时，，∴∴①若直线过P点，此时两图象有三个交点，再向上移将有四个交点，∴0=则②若直线与抛物线PQ部分相切，恰有三个交点，∴整理得则例2（1）如图1，设\n∴(2)如图2，则（3）如图3，则例3（1）m>-1(2)(3)A(3,0),B(-1,0),C(0,3),M(1,4),满足条件的P点存在,P点的坐标是:(1,4),(，一4).例4提示:(1)原式=(2)两边平方，解得.符合题意，故p的最大值为.例5这样的k值不存在，理由如下:设并作出如图所示的图象，则这个不等式组无解.例6由得即由题意知，且上式对一切实数恒成立，故即得或A级1.2.提示:设平移后的抛物线的解析式为3.（1）<>(2)ac-b+1=04.0<a<1提示:当x=1时,y<0.5.C提示:设\n，由已知画出y=f(x)的大致图象，知联立解得6.C7.D8.D提示：记则这个抛物线开口向上，由题意得x=1时,y<0.9.(1)证明略(2)10.(1)m=1,(2)存在这样的P点，其横坐标为，使∠APB为锐角.提示:A(一1,0),B(4,0),C(0，一2).△ABC为直角三角形，过A，B，C三点作⊙，则AB为⊙的直径，C点关于直线的对称点M是⊙与抛物线的另一交点，M（3，-2），11.(1)(2)(3)当PQ∥AC时，则即解得当PQ∥AC时，∠CAB=∠PMB时，同理可求得故存在k符合题目条件，或2时，所得三角形与△ABC相似.12.（1）（且x为整数）（2）当x=5.5时，y有最大值2402.5.∵且x为整数，当x=5时，50+x=55,y=2400（元）；当x=6时，50+x=56,y=2400（元）.∴当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元.(3)当y=2200时，解得当x=1时，50+x=51；当x=10时，50+x=60.∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润恰为2200元;当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．B级1．m＜2提示：f(1)＜0.2.5796提示：a2－a－1＝0，a4＝(a＋1)2＝3a＋2，a8＝(3a＋2)2＝21a＋13，a16＝(21a＋13)2＝987a＋610，a18＝（987a＋610）（a＋1）＝987a2＋1597a＋610＝2584a＋1597，a－6＝＝.3.4提示：由题意得3×（－）2＋m（－）－2＞0，3×（）2＋m（）－2＞0，－＜－＜.解得3＜m＜4．4．－25.2π提示：设A(x1,0)，B(x2,0),OA＝―x1，OB＝x2，得,解得.y＝x2－2x－1,AB＝|x2―x1|＝2.6．(1)抛物线恒过x轴上一定点(－1，0)．\n(2)过A，B，C三点的圆与抛物线有第四个交点D．∵|x1|＜|x2|，C点在y轴上，C不是抛物线顶点，x1＝－1,x2＞1，即x2＝1－k＞1，得k＜0，由S△ABC＝6得k＝－2，∴y＝x2－2x－3，其对称轴为x＝1，根据对称性，D点坐标(2，－3）．，7．(1)由y0＝x02＋Px0＋q＝（x0＋）2－，得p2－4q＝4(x0＋）2－4y0≥―4y0＞0.(2)将p＝－（x1＋x2）,q＝x1•x2,代入y0＝x02＋Px0＋q＜0,得x02－(x1＋x2)x0＋x1x2＜0,即（x0－x1）（x0－x2）＜0.证得x1＜x0＜x2.(3)或.8.(1)y1＝2x,y2＝x2.(2)设种植树木的资金投入为x万元，那么种植花卉的资金投入为（8―x）万元，两项投入所获得的总利润为y万元，依题意，得y＝y1＋y2＝2x＋（8－x）2＝x2－6x＋32＝(x－6)2＋14.∴当x＝6时，y最小＝14．因此，这位专业户至少获利14万元，∵0≤x≤8，抛物线的对称轴为x＝6，当0≤x＜6时，y随x的增大而减小，所以x＝0时，y最大＝32；当6≤x≤8时，y值随x的增大而增大，所以x＝8时，y最大＝16．综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元。9．n的值为1和0．10.(1)B(1，);(2)设抛物线的解析式为y＝ax(x＋2)，代入点B(1，)，得a＝.因此y＝x2＋x．(3)如图1，抛物线的对称轴是直线x＝－1，当点C位于对称轴与线段AB的交点时，△BOC的周长最小，设直线AB为y＝kx＋b(k≠0)，则.解得k＝,b＝．因此直线AB的解析式为y＝x＋.当x＝－1时，y＝.因此点C坐标为（―1，）．(4)如图2，过P作y轴的平行线交AB于D.S△PAB＝S△PAD＋S△PBD＝(yD－yP)(xB－xA)＝[(x＋)―(x2＋x)]×3＝－x2－x＋＝－(x＋)2＋.当x＝－时，△PAB的面积的最大值为，此时P（－，－）．11．(1)y＝x2＋4x＋3．(2)m(－2，－1)，直线OD的解析式为y＝x，设平移后的抛物线的解析式为y＝（x－h）2＋h.①当抛物线经过点C时，∵C(0，9)，∴h2＋h＝9.解得h＝.\n∴当≤h＜时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点．②当抛物线与射线CD只有一个公共点时，由方程组得。x2＋（―2h＋2）x＋h2＋h－9＝0.∴△＝(―2h＋2)2－4(h2＋h―9)＝0，解得h＝4．此时抛物线y＝(x－4)2＋2与射线CD唯一的公共点为(3，3)，符合题意，综上所述，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时，顶点横坐标的值或取值范围是h＝4或≤h＜.(3)将抛物平移，当顶点平移至原点时，其解析式为y＝x2，设EF的解析式为y＝kx＋3(k≠0).假设存在满足题设条件的点P(0，t)，如图，过P作PH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H．∵△PEF的内心在y轴上，∴∠GEP＝∠EPQ＝∠QPF＝∠HFP，∴△GEP∽△HFP．∴＝.∴＝＝.∴2kxE•xF＝(t－3)(xE＋xF).由得∴x2－kx－3＝0.∴xE＋xF＝k,xE•xF＝－3.∴2k•(－3)＝(t－3)k.∵k≠0,0，∴t=-3.∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），使△PEF得内心在y轴上.12.由点P（1，a），Q（2.10a）均在二次函数y=x2+bx-c的图像上，知1+b-c=a,4+2b-c=10a，解得b=9a-3，c=8a-2.(1)由c<b<8a，知8a-2<9a-3<8a，所以1<a<3.又∵a为整数，∴a=2，b=9a-3=15,c=8a-2=14。(2)设m，n是方程的两个整数根，且m≤n.由根与系数的关系得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，消去a得9mn-8(m+n)=-6.两边同乘以9再分解因式得（9m-8）(9n-8)=10，故（9m-8，9n-8）=(1，10)（2，5）（-10，-1）（-5，-2）.解得（m，n）=(1,2)，（，），，.又因为m，n是整数，故（m，n）=（1,2），因此b=-(m+n)=-3,c=-mn=-2.故二次函数解析式为y=x2-3x+2，易求得A（1,0），B（2,0），C（0,2），∴
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