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人教版八(下)数学培优专题04 和差化积----因式分解的方法(2)(含答案解析)

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专题04和差化积----因式分解的方法(2)阅读与思考因式分解还经常用到以下两种方法1.主元法所谓主元法,即在解多变元问题时,选择其中某个变元为主要元素,视其他变元为常量,将原式按降幂排列重新整理成关于这个字母的多项式,使问题获解的一种方法.2.待定系数法即对所给的数学问题,根据已知条件和要求,先设出一个或几个待定的字母系数,把所求问题用式子表示,然后再利用已知条件,确定或消去所设系数,使问题获解的一种方法,用待定系数法解题的一般步骤是:(1)在已知问题的预定结论时,先假设一个等式,其中含有待定的系数;(2)利用恒等式对应项系数相等的性质,列出含有待定系数的方程组;(3)解方程组,求出待定系数,再代入所设问题的结构中去,得出需求问题的解.例题与求解【例l】因式分解后的结果是().A.B.C.D.(上海市竞赛题)解题思路:原式是一个复杂的三元二次多项式,分解有一定困难,把原式整理成关于某个字母的多项式并按降幂排列,改变原式结构,寻找解题突破口.【例2】分解因式:(1);(“希望杯”邀请赛试题)(2).(天津市竞赛题)解题思路:两个多项式的共同特点是:字母多、次数高,给分解带来一定的困难,不妨考虑用主元法分解.\n【例3】分解因式.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:因的最高次数低于的最高次数,故将原式整理成字母的二次三项式.【例4】为何值时,多项式有一个因式是(“五羊杯”竞赛试题)解题思路:由于原式本身含有待定系数,因此不能先分解,再求值,只能从待定系数法入手.【例5】把多项式写成一个多项式的完全平方式.(江西省景德镇市竞赛题)解题思路:原多项式的最高次项是,因此二次三项式的一般形式为,求出即可.【例6】如果多项式能分解成两个一次因式,的乘积(为整数),则的值应为多少?(江苏省竞赛试题)解题思路:由待定系数法得到关于的方程组,通过消元、分解因式解不定方程,求出的值.\n能力训练    A 级1.分解因式:=___________________________.(“希望杯”邀请赛试题)2.分解因式:=_______________________(河南省竞赛试题)3.分解因式:=____________________________.(重庆市竞赛试题)4.多项式的最小值为____________________.(江苏省竞赛试题)5.把多项式分解因式的结果是()A.B.C.D.6.已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积,则符合条件的整数的个数是().A.3个B.4个C.5个D.6个7.若被除后余3,则的值为().A.2B.4C.9D.10(“CASIO杯”选拔赛试题)8.若,,则的值是().A.B.C.D.0(大连市“育英杯”竞赛试题)9.分解因式:(1);(吉林省竞赛试题)(2);(昆明市竞赛试题)(3);(天津市竞赛试题)\n(4);(四川省联赛试题)(5)(天津市竞赛试题)10.如果能够分割成两个多项式和的乘积(为整数),那么应为多少?(兰州市竞赛试题)11.已知代数式能分解为关于的一次式乘积,求的值.(浙江省竞赛试题)B 级1.若有一个因式是,则=_______________.(“希望杯”邀请赛试题)2.设可分解为一次与二次因式的乘积,则=_____________.(“五羊杯”竞赛试题)3.已知是的一个因式,则=________________________.(“祖冲之杯”邀请赛试题)4.多项式的一个因式是,则的值为__________.(北京市竞赛试题)\n5.若有两个因式和,则=().A.8B.7C.15D.21E.22(美国犹他州竞赛试题)6.多项式的最小值为().A.4B.5C.16D.25(“五羊杯”竞赛试题)7.若(为实数),则M的值一定是().A.正数B.负数C.零D.整数(“CASIO杯”全国初中数学竞赛试题)8.设满足,则=()A.(2,2)或(-2,-2)B.(2,2)或(2,-2)C.(2,-2)或(-2,2)D.(-2,-2)或(-2,2)(“希望杯”邀请赛试题)9.为何值时,多项式能分解成两个一次因式的积?(天津市竞赛试题)10.证明恒等式:.(北京市竞赛试题)11.已知整数,使等式对任意的均成立,求的值.(山东省竞赛试题)12.证明:对任何整数,下列的值都不会等于33.(莫斯科市奥林匹克试题)\n专题04和差化积-------因式分解的方法(2)例1.A提示:将原式重新整理成关于的二次三项式例2.(1)提示:原式(2)提示:原式例3.原式例4.提示:可设原式展开比较对应项系数得解得k=12.例5 原式=.例6 设x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)=x2+(b+c)x+bc.∴①×5+2得bc+5(b+c)=-26,bc+5(b+c)+25=-1,(b+5)(c+5)=-1.∴或∴或故a=5.A级1.(3a+2b-c)(3a-2b+c)2.(x+3y)(x+2y+1)3.(x+y+1)(x-y+3)4.-18      5.C     6.D      7.D        8.D9.(1)(2a+b)(a-b+c);(2)(a+c-2b)2; (3)(x-2)(x2-x+a);\n (4)(x-2y+3)(2x-3y-4); (5)(x+1)(y+1)(x-1)(y-1).10.提示:由题意得①×4+②,得(b+4)(c+4)=-1,推得或故a=4.11.∵x2-3xy-4y=(x+y)(x- 4y),∴可设原式=(x+y+m)(x-4y+n),展开比较对应项系数得b=-6或9.B级1.k=-52.-2 提示:原式=x(x2+3x-k)-2y(x+2),令x=-2.3. 5提示:令原式=(x-y+4)·A,取一组x,y的值代入上式.4.-35.C 提示:x=-1,x=-2是方程x3+ax2+bx+8=0的解.6.C 提示:原式=(x-2y)2+(2x+3)2+167.A 提示:原式=2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2≥0,且这三个数不能同时为零,M>0.8.C9.k=-3 提示:因x2+3x+2=(x+1)(x+2),故可令原式=(x+my+1)·(x十ny+2),展开比较对应项系数求出k.10.提示:左边=(a2+b2)2-2a2b2+(a2+b2+2ab)2       =(a2+b2)2-2a2b2+(a2+b2)2+4ab(a2+b2)+4a2b2       =2(a2+b2)+4ab(a2+b2)+2a2b2=2(a2+b2+ab)2       =右边.11.将原等式展开x2+(a+b+c)x+ab-l0c=x2-10x-11.∴①×10+②得ab+10a+10b=-111.∴(a+10)(b+10)=-11.∴或或或∴或或或代入①得c=0或20.12.原式=(x5+3x4y)-(5x3y+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y) +4y4(x+3y)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y2)=(x+3y)(x2-4y2)=(x+3y)(x+y) (x-y)(x+2y)(x-2y).  当y=0时,原式=x5≠33;当y≠0时,x+3y,x-y,x-2y,x+2y,x+y\n互不相同,而33不可能分解为4个以上不同因数的积,所以,当x取任意整数,y取不为0的任意整数,原式≠33. 查看更多

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