资料简介
专题01整式的乘除阅读与思考指数运算律是整式乘除的基础,有以下5个公式:,,,,,.学习指数运算律应注意:1.运算律成立的条件;2.运算律中字母的意义:既可以表示一个数,也可以表示一个单项式或者多项式;3.运算律的正向运用、逆向运用、综合运用.多项式除以多项式是整式除法的延拓与发展,方法与多位数除以多位数的演算方法相似,基本步骤是:1.将被除式和除式按照某字母的降幂排列,如有缺项,要留空位;2.确定商式,竖式演算式,同类项上下对齐;3.演算到余式为零或余式的次数小于除式的次数为止.例题与求解【例1】(1)若为不等式的解,则的最小正整数的值为.(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)(2)已知,那么.(“华杯赛”试题)(3)把展开后得,则.(“祖冲之杯”邀请赛试题)(4)若则.(创新杯训练试题)解题思路:对于(1),从幂的乘方逆用入手;对于(2),目前无法求值,可考虑高次多项式用低次多项式表示;对于(3),它是一个恒等式,即在允许取值范围内取任何一个值代入计算,故可考虑赋值法;对于(4),可考虑比较系数法.\n【例2】已知,,则等于()A.2B.1C.D.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:为指数,我们无法求出的值,而,所以只需求出的值或它们的关系,于是自然想到指数运算律.【例3】设都是正整数,并且,求的值.(江苏省竞赛试题)解题思路:设,这样可用的式子表示,可用的式子表示,通过减少字母个数降低问题的难度.【例4】已知多项式,求的值.解题思路:等号左右两边的式子是恒等的,它们的对应系数对应相等,从而可考虑用比较系数法.【例5】是否存在常数使得能被整除?如果存在,求出的值,否则请说明理由.解题思路:由条件可推知商式是一个二次三项式(含待定系数),根据“被除式=除式×商式”,运用待定系数法求出的值,所谓是否存在,其实就是关于待定系数的方程组是否有解.\n【例6】已知多项式能被整除,求的值.(北京市竞赛试题)解题思路:本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用.本题关键是能够通过分析得出当和时,原多项式的值均为0,从而求出的值.当然本题也有其他解法.能力训练A级1.(1).(福州市中考试题)(2)若,则.(广东省竞赛试题)2.若,则.3.满足的的最小正整数为.(武汉市选拔赛试题)4.都是正数,且,则中,最大的一个是.(“英才杯”竞赛试题)5.探索规律:,个位数是3;,个位数是9;,个位数是7;,个位数是1;,个位数是3;,个位数是9;…那么的个位数字是,的个位数字是.(长沙市中考试题)6.已知,则的大小关系是()A.B.C.D.7.已知,那么从小到大的顺序是()A.B.C.D.(北京市“迎春杯”竞赛试题)8.若,其中为整数,则与的数量关系为()A.B.C.D.(江苏省竞赛试题)\n9.已知则的关系是()A.B.C.D.(河北省竞赛试题)10.化简得()A.B.C.D.11.已知,试求的值.12.已知.试确定的值.13.已知除以,其余数较被除所得的余数少2,求的值.(香港中学竞赛试题)\nB级1.已知则=.2.(1)计算:=.(第16届“希望杯”邀请竞赛试题)(2)如果,那么.(青少年数学周“宗沪杯”竞赛试题)3.(1)与的大小关系是(填“>”“<”“=”).(2)与的大小关系是:(填“>”“<”“=”).4.如果则=.(“希望杯”邀请赛试题)5.已知,则.(“五羊杯”竞赛试题)6.已知均为不等于1的正数,且则的值为()A.3B.2C.1D.(“CASIO杯”武汉市竞赛试题)7.若,则的值是()A.1B.0C.—1D.28.如果有两个因式和,则()A.7B.8C.15D.21(奥赛培训试题)9.已知均为正数,又,,则与的大小关系是()A.B.C.D.关系不确定10.满足的整数有()个A.1B.2C.3D.4\n11.设满足求的值.12.若为整数,且,,求的值.(美国犹他州竞赛试题)13.已知为有理数,且多项式能够被整除.(1)求的值;(2)求的值;(3)若为整数,且.试比较的大小.(四川省竞赛试题)\n专题01整式的乘除例1(1)(n2)100>(63)100,n2>216,n的最小值为15.(2)原式=x2(x2+x)+x(x2+x)-2(x2+x)+2005=x2+x-2+2005=2004(3)令x=1时,a12+a11+a10+…+a2+a1+a0=1,①令x=-1时,a12–a11+al0-…+n2-al+a0=729②由①+②得:2(a12+al0+a8+…+a2+a0)=730.∴a12+a10+a8+a6+a4+a2+a0=365.(4)所有式子的值为x3项的系数,故其值为7.例2B提示:25xy=2000y,①80xy=2000x,②①×②,得:(25×80)xy=2000x+y,得:x+y=xy.例3设a=m4,b=m5,c=n2,d=n3,由c-a=19得,n2-m4=19,即(n+m2)(n-m2)=19,因19是质数,n+m2,n-m2是自然数,且n+m2>n-m2,得,解得n=10,m=3,所以d-b=103-35=757例4-提示:由题意知:2x2+3xy-2y2-x+8y-6=2x2+3xy-2y2+(2m+n)x+(2n-m)y+mn.∴,解得,∴=-倒5提示:假设存在满足题设条件的p,q值,设(x4+px2+q)=(x2+2x+5)(x2+mx+n),即x4+px2+q=x4+(m+2)x3+(5+n+2m)x2+(2n+5m)x+5n,得,解得,故存在常数p,q且p=6,q=25,使得x4+px2+q能被x2+2x+5整除.例6解法1∵x2+x-2=(x+2)(x-1),∴2x4-3x3+ax2+7x+b能被(x+2)(x-1)整除,设商是A.则2x4-3x3+ax2+7x+b=A(x+2)(x-l),则x=-2和x=1时,右边都等于0,所以左边也等于0.当x=-2时,2x4-3x3+ax2+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0,①当x=1时,2x4-3x3+ax2+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0.②①-②,得3a+36=0,∴a=-12,∴b=-6-a=6.∴==-2解法2列竖式演算,根据整除的意义解\n∵2x4-3x3+ax2+7x+b能被x2+x-2整除,∴,即,∴=-2A级1.(1)-5(2)532.83.74.65.796.A7.D提示:a=(25)11,b-(34)11,c=(53)11,d=(62)118.A9.B10.C11.480012.a=4.b=4,c=113.提示:令x3+kx2+3=(x+3)(x2+ax+6)+r1,x3+kx2+3=(x+1)(x2+cx+d)+r2,令x=-3,得r1=9k-24.令x=-1,得r2=k+2,由9k-24+2=k+2,得k=3.B级1.2.(1)提示:原式=×=×=(2)123.(1)<1516<1615=264,3313>3213=265>264.(2)>提示:设32000=x.4.45.512提示:令x=±2.6.C提示:由条件得a=c-3,b=c2,abc=c-3·c2·c=17.C8.D9.C提示:设a2+a3+…a1996=x,则M=(a1+x)(x+a1997)=a1x+x2+a1a1997+a1997x.N=(a1+x+a1997)x=alx+x2+a1997x.M=N=a1a1997>0.10.D11.由ax2+by2=7,得(ax2+by2)(x+y)=7(x+y),即ax3-ax2y+bxy2+by3=7(x+y),(ax3+by3)-xy(ax+by)-7(x+y).∴16+3xy=7(x+y).①由ax3+by3=16,得(ax3+by3)(x+y)=16(x+y),即ax4+ax3y+bxy3+by4=16(x+y),(ax4+by4)+xy(a+b)=16(x+y).∴42+7xy=16(x+y).②由①②可得,x+y=-14,xy=-38.由a+b=42,得(a+b)(x+y)=42×(-14),(a+b)+xy(a+b)=-588,+16×(-38)=-588.\n故=20.12.两边同乘以8得+++=165.∵x>y>z>w且为整数,∴x+3>y+3>z+3>w+3,且为整数.∵165是奇数,∴w+3=0,∴w=-3.∴++=164.∴++=41,∴z+1=0,∴z=-1.∴+=40.两边都除以8得:+=5.∴y-2=0,∴y=2.∴=4.∴x-2=2,∴x=4.∴==1.13.(1)∵(x-1)(x+4)=+3x-4,令x-1=0,得x=1;令x+4=0,得x=-4.当x=1时,得1+a+b+c=0;①当x=-4时,得-64+16a-4b+c=0.②②-①,得15a-5b=65,即3a-b=13.③①+③,得4a+c=12.(2)③-①,得2a-2b-c=14.(3)∵c≥a>1,4a+c=12,a,b,c为整数,∴1<a≤,则a=2,c=4.又a+b+c=-1,∴b=-7,.∴c>a>b.
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