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人教版七年级下册数学培优专题22 直线、射线与线段(含答案解析)

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专题22 直线、射线与线段(录入:王云峰)阅读与思考构成平面图形的基本元素是点和线,在几何图形中,点无大小,线无宽窄,它们都是抽象思维的产物,点与线有着密切的联系,点运动成线,线与线相交的地方形成点,一条线确定了两个端点,线的长短也就确定了,从这个意义上讲,点是线的界限.在线中,最简单、最常见的就是直线、射线、线段,它们是最基本的图形,它们的概念、性质及画图是今后研究由线段所组成的比较复杂图形(如三角形、四边形等)的基础,解与直线、射线、线段相关问题常涉及如下知识与方法:1.直线、射线、线段的区别与联系.2.线段中点的概念.3.枚举法、分类讨论法.例题与求解【例1】已知一条直线上有A,B,C三点,线段AB的中点为P,AB=10,线段BC的中点为Q,BC=6,则线段PQ的长为____.(江苏省竞赛试题)解题思路:未给出图形,注意C点位置有多种可能.【例2】在一条直线上已知四个不同的点依次是A,B,C,D,那么到A,B,C,D的距离之和最小的点(  )A.可以是直线AD外的某一点B.只有点B或点CC.只是线段AD的中点D.有无穷多个(全国初中数学联赛试题)解题思路:直线上的四个点把直线分成五部分,就每一种情况画图表示出到A,B,C,D的距离,从直观的图形中作出判断.10【例3】如图,C是线段上的一点,D是BC的中点,已知图中所有线段的长度之和为23,线段AC的长度与线段BC的长度都是正整数,求线段AC的长.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:解题的关键是将每一条线段用AC或BC来表示,依题意可列一个关于AC,BC的方程,讨论此不定方程的正整数解.【例4】如图所示,点C为线段AB的中点,点E为线段AB上的点,点D为线段AE的中点.(1)若线段AB=,CE=,=0,求,.(2)如图①,在(1)的条件下,求线段DE的长.(3)如图②,若AB=15,AD=2BE,求线段CE的长.图①图②(湖北省武汉市调考试题)解题思路:将几何问题代数化,对于(3),引入未知数,列方程求解.【例5】(1)一条直线可以把平面分成两个部分(或区域),如图,两条直线可以把平面分成几个部分?三条直线可以把平面分成几个部分?试画图说明.(2)四条直线最多可以把平面分成几个部分?试画出示意图,并说明这四条直线的位置关系.(3)平面上有条直线,每两条直线都恰好相交,且没有三条直线交于一点,处于这种位置的条直线分一个平面所成的区域最多,记为,试研究与之间的关系.(山东省聊城市中考试题)解题思路:从简单情形入手,由简到繁,归纳发现规律.10【例6】已知线段AB=,CD=,线段CD在直线上运动(A在B左侧,C在D左侧),若与互为相反数.(1)求线段AB,CD的长.(2)M,N分别是线段AC,BD的中点,若BC=4,求MN.(3)当CD运动到某一时刻时,D点与B点重合,P是线段延长线上任意一点,下列两个结论:①是定值;②是定值.可以证明,有且只有一个结论是正确的,请你作出正确的选择并画图求值.(浙江省宁波市中考试题改编)解题思路:(1)与的平方互为相反数,可以推出二者都为零,否则一个正数是不可能等于一个负数的,所以=6,=12.(2)需要分类讨论:如图①,当点C在点B左侧时,根据“M,N分别为线段AC,BD的中点”,先计算出AM,DN的长度,然后计算MN=ADAMDN;如图②,当点C位于点B右侧时,利用线段间的和差关系求得MN的长度.(3)能计算出①或②的值是一个常数的,即为符合题意的结论.能力训练A级1.已知点O在直线AB上,且线段OA的长度为4cm,线段OB的长度为6cm,E,F分别为线段oA,OB的中点,则线段EF的长度为____.(黑龙江省中考试题)2.如图,线段AB=BC=CD=DE=1厘米,那么图中所有线段的长度之和等于___厘米.(“希望杯”邀请赛试题)3.如图,B,C,D依次是上的三点,已知AE=8.9cm,BD=3cm,则图中以A,B,C,D,E这5个点为端点的所有线段长度的和为____cm.10(《中学生数理化》读刊用刊知识竞赛试题)4.平面内两两相交的8条直线,其交点个数最少为____,最多为____.(“希望杯”邀请赛试题)5.直线,,,,共点O,直线与上述五条直线分别交于A,B,C,D,E五点,则上述图形中共有线段(  )条.A.4B.5C.10D.156.如图,点A,B,C顺次在直线上,M是线段AC的中点,N是线段BC的中点.若想求出MN的长度,则只需条件(  )A.AB=12B.BC=4C.AM=5D.CN=2(海南省竞赛试题)7.如图,A,B,C,D四点在同一直线上,M是线段AB的中点,N是线段DC的中点,MN=,BC=则AD=(  )A.B.C.D.8.如图,AC=AB,BD=AB,且AE=CD,则CE为AB长的(  )A.B.C.D.9.已知线段AB=6.(1)取线段AB的三等分点,这些点连同线段AB的两个端点可以组成多少条线段?求这些线段长度的和.(2)再在线段AB上取两种点:第一种是线段AB的四等分点;第二种是线段AB的六等分点,这些点连同(1)中的三等分点和线段AB的两个端点可以组成多少条线段?求这些线段长度的和.(湖北省武汉市武昌区期末调考试题)1010.已知AB=60cm,点C是直线AB上不同于A,B的点,M为AC中点,N是BC中点,求MN的长度.11.如图,已知点A,B,C是数轴上三点,点C对应的数为6,BC=4,AB=12.(1)求点A,B对应的数;(2)动点P,Q同时从A,C出发,分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动.M为AP的中点,N在CQ上,且CN=CQ,设运动时间(>0).①求点M,N对应的数(用含的式子表示).②为何值时,OM=2BN?B级1.把线段AB延长至D,使BD=AB,再延长BA至C,使CA=AB,则BC是CD的____倍.2.如图,AB︰BC︰CD=2︰3︰4,AB的中点M与CD的中点N的距离是3厘米,则BC=____厘米.3.如图,C是线段AB的中点,D是线段CB上的一点,若所有线段的长度都是正整数,且线段AB的所有可能的长度数的乘积等于140,则线段AB的所有可能的长度数的和等于____.(“希望杯”邀请赛试题)4.如图,已知B,C是线段AD上的两点,M是AB的中点,N是CD的中点,若MN=,BC=,则线段AD=____.5.如图,已知数轴上点A,B,C所对应的数,,都不为0,且C是AB的中点.如果=0,那么原点O的位置在(  )A.线段AC上B.线段CA的延长线上C.线段BC上D.线段CB的延长线上10(江苏省竞赛试题)6.如图,已知B是线段AC上的一点,M是线段AB的中点,N为线段AC的中点,P为NA的中点,Q为MA的中点,则MN︰PQ等于(  )A.1B.2C.3D.47.平面上有四个点,经过其中每两个点画一条直线,那么一共可以画直线(  )A.6条B.1条或3条或6条C.1条或4条D.1条或4条或6条8.如图,在一条笔直的公路上有7个村庄,其中A,B,C,D,E,F离城市的距离分别为4,10,15,17,19,20公里,而村庄G正好是AF的中点,现要在某个村庄建一个活动中心,使各村到活动中心的路程之和最短,则活动中心应建在(  )A.A处B.C处C.G处D.E处城市(江苏省竞赛试题)9.电子跳蚤游戏盘为△ABC,AB=,AC=,BC=,如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点,BP0=,第一步跳蚤跳到AC边上P1点,且CP1=CP0;第二步跳蚤从P1跳到边上P2点,且AP2=AP1;第三步跳蚤从P2跳到BC边上P3点,且BP3=BP2…跳蚤按上述规则跳下去,第2001次落到P2001,请计算P0与P2001之间的距离.(“华杯赛”邀请赛试题)10.设有甲、乙、丙三人,他们步行的速度相同,骑车的速度也相同,骑车的速度为步行速度的3倍.现甲自A地去B地,乙、丙则从B地去A地,双方同时出发,出发时,甲、乙为步行,丙骑车.途中,当甲、丙相遇时,丙将车给甲骑,自己改为步行,三人仍按各自原有方向继续前进;当甲、乙相遇时,甲将车给乙骑,自己又步行,三人仍按各自原有方向继续前进.问:三人之中谁最先到达自己的目的地?谁最后到达自己的目的地?(“华罗庚金杯”竞赛试题)1011.已知数轴上A,B两点对应数分别为2和4,P为数轴上一点,对应数为.(1)若P为线段AB的三等分点,求P点对应的数.(2)数轴上是否存在点P,使P点到A点,B点距离和为10?若存在,求出值;若不存在,请说明理由.(3)若点A、点B和点P(点P在原点)同时向左运动,它们的速度分别为1,2,1个(长度单位/分),则第几分钟时,P为AB的中点?12.—条直线顺次排列着1990个点:P1,P2,…,P1990,已知点是线段的等分点当中最靠近巧的那个点(2≤≤1989),如P5是线段P4P6的5等分点当中最靠近P6的那个分点.如果线段P1P2的长度是1,线段P1989P1990的长度为.求证:=.(浙江省竞赛试题)10专题22直线、射线、线段例18或2例2D例3设,,则,,,,故图中所有线段长度之和为,即又为正整数,例4(1),(2),,,(3)设,则,又,,解得,即,例5(1)如图,两条直线因其位置不同,可以分别把平面分成3个或4个区域;如图,三条直线因其位置不同,可以分辊把平面分成4个,6个,7个区域(2)如图,四条直线最多可以把平面分成11个区域,此时这四条直线位置关系是两两都相交,且无三线共点。(3)平面上条直线两两相交,且没有三条直线交于一点,把平面分成个区域,平面本身就是一个区域,当时,;当时,;当时,;当时,,……由此可以归纳公式为……4DE=4(AB+DE)+6(BC+CD)=4(AE-BD)+6BD=4AE+2BD=4×8.9+2×3=41.6.4.1285.D6.A7.D8.C9.(1)6条,长度和为20.(2)36条,长度和为88.1010.(1)当点C在点A左侧时,MN=NC-MC=cm.(2)当点C在点A、B两点之间时,MN=NC+MC=cm.(3)当点C在点B右侧时,MN=MC-NC=cm.综上所述:MN=30cm.11.(1)A、B两点对应的数分别为-10,2.(2)①AP=6t,CQ=3t,M为AP中点,CN=,则.∴点M对应的数为-10+3t,点N对应的数为6+t.②∵OM=|-10+3t|,BN=BC+CN=4+t,又∵OM=2BN,∴|-10+3t|=8+2t.则-10+3t=8+2t或-10+3t=-8-2t.解之得t=18秒或秒.B级1.2.3.244.2a-b5.A提示:6.B7.D8.B9.因BP0=4a,根据题意:CP0=10a-4a=6a,CP1=CP0=6a;AP1=9a-6a=3a;AP2=AP1=3a;BP2=8a-3a=5a,BP3=BP2=5a;CP3=10a-5a=5a,CP4=CP3=5a;AP4=9a-5a=4a,AP5=AP4=4a;BP5=8a-4a=4a,BP6=BP5=4a.由此可见,P6点与P0点重合,又因为2001=6×333+3,所以P2001点与P3点重合,P0与P2001之间的距离就是P0与P3之间的距离,积6a-5a=a.10.提示:如图,设甲、丙在C点相遇,同时乙整好走到D点,丙骑车的路程为整个BC,而甲骑车的路程不是整个BC(因为甲在途中遇到乙后即改为步行),所以丙骑车的路程比甲长,丙比甲先到目的地.因为甲乙步行速度相等,所以AC=BD.设甲、乙在C、D之间的E点相遇,则甲骑车的路程只有CE这一段,而乙骑车的路程是AE=EC+CA,所以乙骑车路程比甲长,乙比甲先到目的地.最后,比较一下乙、丙骑车的路程:因为AC=BD,所以丙骑车的路程BC=BD+DC=AC+DC=AD>EA,从而丙比乙先到达目的地.因此,丙最先到达目的地,甲最后到达目的地.11.(1)0或2.(2)当x=-4或6时,PA+PB=10.(3)设t分钟后,P为AB的中点,A、B、P运动t分钟后对应的数分别为-2-t,4-2t,-t,由.得t=2.12.由题设可知,P2是线段P1P3的中点,故P1P2=P2P3=1;P3是线段P2P4的3等分点当中最靠近P4的那个分点,故P3P4=P2P3=;一般地,Pk是线段PK-1Pk+1的k等分点当中最靠近Pk+110的那个分点,故PkPk+1=Pk-1Pk+1=Pk-1Pk+PkPk+1.于是有PkPk+1=Pk-1Pk.当k=4,5,6,…,1989时,P4P5==,P5P6=,P6P7=,…,P1989P1990=,所以10 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