资料简介
专题5数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科,在数学里数和形是有密切联系的,我们常用代数的方法来处理几何问题;反过来,也借助与几何图形来处理代数问题,寻找解题思路,这种数与形之间的相互作用叫数形结合,是一种重要的数学思想.运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系,现阶段数轴是数形结合的有力工具,主要体现在一下几个方面:1.利用数轴能形象地表示有理数;2.利用数轴能直观地解释相反数;3.利用数轴比较有理数的大小;4.利用数轴解决与绝对值相关的问题.例题与求解【例1】已知数轴上有A,B两点,A,B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么所有满足条件的点B与原点O的距离之和等于_____________.(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路:确定A,B在数轴上的位置,求出A,B两点所表示的有理数.【例2】在数轴上和有理数对应的点的位置如图所示.有下面四个结论:①,②,③,④,其中,正确的结论有()个.A.4B.3C.2D.1(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:从数轴上得到,再对代数式进行逐以一判断.【例3】如图所示,已知数轴上点所对应的数都不为0,且是的中点.如果,试确定原点的大致位置.解题思路:从化简等式入手,而是解题的关键.【例4】(1)阅读下面材料:点在数轴上分别表示实数两点之间的距离表示为.当两点中有一点在原点时,当A、B两点都不在原点时,①如图2,点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;②如图3,点A、B都在原点的左边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;③如图4,点A、B在原点的两边,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;综上,数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|.(2)回答下列问题:①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________,数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是______________,数轴上表示1和-3的两点之间的距离是________________;②数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是______________,如果|AB|=2,那么x为_________;③当代数式|x+1|十|x-2|取最小值时________,相应的x的取值范围是___________.④求的最小值.(江苏省南京市中考试题)解题思路:通过观察图形,阅读理解代数式所表示的意义,来回答所提出的具体问题.【例5】某城市沿环形路有五所小学,依次为一小、二小、三小、四小、五小,它们分别有电脑15,7,11,3,14台,现在为使各校电脑台数相等,各调几台给邻校,现规定一小给二小,二小给三小,三小给四小,四小给五小,五小给一小,要使电脑调动台数最小,应该做怎样的安排?(湖北省荆州市竞赛试题)解题思路:通过设未知数,把调动的电脑台数用相关代数式表示出来.解题的关键是怎样将实际问题转化为求的最小值.【例6】如图,是数轴上表示-30的点,是数轴上表示10的点,是数轴上表示18的点,点在数轴上同时向正方向运动.点运动的速度是6个单位长度/秒,点和点运动的速度是3个单位长度/秒.设三个点运动的时间为t(秒).(1)当t为何值时,线段AC=6(单位长度)?(2)t≠5时,设线段OA的中点为P,线段OB的中点为M,线段OC的中点为N,求2PM-PN=2时t的值.(湖北省荆州市竞赛试题)解题思路:(1)三点在数轴上同时向正方向运动,分别当点运动到点左侧和右侧两种情况来分析求解.(2)先将三个点在数轴上表示的数分别写出来,因点M始终在点左侧,则分为“点在左边”,“点在之间”,“点在右边”三种情况来求解.能力训练A级1.已知数轴上表示负数有理数的点是点,那么在数轴上与点相距个单位的点中,与原点距离较远的点对应的数是______________.(江苏省竞赛试题)2.如果数轴上点到原点的距离为3,点到原点的距离为5,那么两点的距离为______________.3.点分别是数,在数轴上对应的点,使线段沿数轴向右移动到的中点对应数3,则点对应的数是________________,点移动的距离是____________.(“希望杯”邀请赛试题)4.已知,且,那么有理数的大小关系是_________________________.(用“<”号连接)(北京市“迎春杯”竞赛试题)5.在数轴上任取一条长度为的线段,则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是().A.1998B.1999C.2000D.2001(重庆市竞赛试题)6.如图,为数轴上的两点表示的有理数,在中,负数的个数有()A.1B.2C.3D.4(“祖冲之”邀请赛试题)7.有理数在数轴上的位置如图所示,式子化简结果为().A.B.C.D.8.如图所示,在数轴上有六个,且,则与点所表示的数最接近的整数是().A.-1B.0C.1D.2(“希望杯”邀请赛试题)9.已知为有理数,在数轴上的位置如图所示:且,求的值.10.电子跳蚤落在数轴上的某点,第一步从向左挑一个单位到,第二步由向右跳2个单位到,第三步由向左跳3个单位到,第四步由向右跳4个单位到,…,按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是19.94.则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是_________________.11.如图,已知分别为数轴上两点,点对应的数为-20,点对应的数为100.(1)求过中点对应的数.(2)现有一只电子蚂蚁从点出发,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发,以4个单位/秒的速度向右运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇,求点对应的数.(3)若当电子蚂蚁从点出发时,以6个单位/秒的速度向左运动,同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发,以4单位/秒的速度也向左运动,设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇,求点对应的数.B级1.有理数在数轴上的位置如图所示:则化简的结果为_____________________.2.电影<<哈利·波特>>中小哈利·波特穿墙进入“”的镜头(如示意图中站台),构思奇妙,给观众留下深刻的印象.若站台分别位于-2,-1处,,则站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”(《时代学习报》数学文化节试题)3.在数轴上,若点与原点的距离是点与三〇若对应的点之间的距离的4倍,则点表示的数是_________________.(河南省竞赛试题)4.若,则使成立的的取值范围是__________________.(武汉市选拔赛试题)5.如图,直线上有三个不同的点,且,那么,到三点距离的和最小的点为().A.点外B.线段的中点C.线段外一点D.无穷多个(“希望杯”邀请赛试题)6.点都在数轴上,点在原点的左边,且,点在点的右边,且,点在点的左边,且,点在点的右边,且,,依照上述规律,点所表示的数分别为().A.2008,-2009B.-2008,2009C.1004,-1005D.1004,-1004(福建省泉州市中考试题)7.设,则下列四个结论中正确的是().A.没有最小值B.只有一个使去最小值C.有限个(不止一个)使去最小值D.有无穷多个使取最小值(全国初中数学联赛试题)8.如图,数轴上标出若干个点,每相邻两个点相距1个单位,点对应的数分别是整数,且,那么数轴的原点对应点是().A.B.C.D.(“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题)9.已知,求的最大值和最小值.(江苏省竞赛试题)10.如图,在环形运输线路上有六个仓库,现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨.要对各仓库的存货进行调整,使得每个仓库的存货量相等,但每个仓库只能相相邻的仓库调运,并使调运的总量最小.求各仓库向其他仓库的调运量.11.如图,数轴上标有个点,它们对应的整数是.为了确保从这些点中可以取出2006个,使任何两个点之间的距离都不等于4.求的最小值.(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题)专题05数与形的第一次联姻例112提示:点A表示数为3或-3,满足条件的点B共有4个.例2B提示:由数轴知a<-1<0<b<c<1.∴abc<0,故①正确;由绝对值的几何意义知②正确;a-b<0,b-c<0,c-a>0,故(a-b)(b-c)(c-a)>0,③正确;|a|>1,1-bc<1,|a|>1-bc,④不正确.例3原点O在线段AC上.例4①3,3,4②|x+1|1或-3③-1≤x≤2④997002例5如图,用A,B,C,D,E点顺时针排列依次表示一至五所小学,且顺次向邻校调给,,,,台电脑.依题意得:7+-=11+-=3+-=14+-=15+-=10.得=-3,=-2,=-9,=-5.本题要求y=||+||+||+||+||的最小值,依次代入,可得y=||+|-3|+|-2|+|-9|+|-5|.由绝对值几何意义可知,当=3时,y有最小值12.此时有=0,=1,=-6,=-2.所以,一小向二小调出3台,三小向四小调出1台,五小向四小调出6台,一小向五小调出2台,这样调动的电脑总台数最小为12台.例6(1)A,B,C三点在数轴上同时向正方向运动.当点A运动到点C左侧时,∵线段AC=6,∴6+6t=30+18+3t,解得t=14.当点A运动到点C右侧时,∵线段AC-6,∴6t-6=30+18+3t,解得t=18.综上可知,t为14或18时,线段AC=6.(2)当点A,B,C三个点在数轴上同时向正方向运动t秒后,点A,B,C在数轴上表示的数分别为:6t-30,10+3t,18+3t.(2)∵P,M,N分别为OA,OB,OC的中点.∴P,M,N三个点在数轴上表示的数分别为:,,.且点M始终在点N左侧.①若点P在M,N左边,则PM=-=20-1.5t,PN=-=24-1.5t.∵2PM-PN=2,∴2(20-1.5t)-(24-1.5t)=2,∴t=.②若点P在M,N之间,则PM=-=-20+1.5t,PN=-=24-1.5t.∵2PM-PN=2,∴2(-20+1.5t)-(24-1.5t)=2,∴t=.③若点P在M,N右边,则PM=-=-20+1.5t,PN=-=-24+1.5t.∵2PM-PN=2,∴2(-20+1.5t)-(-24+1.5t)=2,∴t=12.但此时PM=-20+1.5t<0,所以此情况不成立.综上可知,t=或时符合题意.A级1.2m2.2或83.,提示:AB的长为=,对应的数为3-=,点A移动的距离为-(-3)=.4.b<-a<a<|b|5.C6.B7.C8.C9.510.-30.06提示:设点表示的有理数为x,则,,…,点所表示的有理数分别为x-1,x-1+2,x-1+2-3,…,x-1+2-3+4-…-99+100.由题意得x-1+2-3+4-…-99+100=19.94.11.(1)M点对应的数为=40.(2)相遇时间为=12秒,C点对应的数为100-12×6=28.(3)追击时间为60秒,D点对应的数为-260.B级1.-22.3.24或40.提示:设N点对应的数为x.根据绝对值的几何意义可知|x|=4|x-30|.对x分情况讨论得出x=24或x=40.3.b≤x≤a5.A6.C7.D8.C9.原式化为|x+2|+|1-x|+|y-5|+|1+y|=9.∵|x+2|+|1-x|≥3,当-2≤x≤1时等号成立;|y-5|+|1+y|≥6,当-1≤y≤5时等号成立.∴x+y的最大值=1+5=6;x+y的最小值=-2-1=-3.10.调运后各仓库的存货量都相等,应为×(50+84+80+70+55+45)=64吨.设A库运往B库吨,B库运往C库吨,C库运往D库吨,D库运往E库吨,E库运往F库吨,F库运往A库吨,故有:50+-=84+-=80+-=70+-=55+-=45+-=64.所以,=-14,=+20=+6,=+16=+22,=+6=+28,=-9=+19.若使调运量最小,则有y=||+||+||+||+||+||=||+|-14|+|+6|+|+22|+|+28|+|+19|取最小值.而-28<-22<-19<-6<0<14,所以,当-19≤-6时,y有最小值,此时,-33-20,-130,316,922,013.当=-19时,=-33,=-13,=3,=9,=0.即A库运往B库-33吨,亦即B库运往A库33吨.B库运往C库-13吨,亦即C库运往B库13吨.C库运往D库3吨,D库运往E库9吨,E库运往F库0吨,F库运往A库19吨,总调运量为77吨.11.首先注意8个连续的点,例如0,1,2,3,4,5,6,7.从中可取前4个点0,1,2,3,其中任何两个点的距离为4:(0,4),(1,5),(2,6),(3,7),所以每一组只能选一个点,8个点中只能选出4个点,任何两个点之间的距离都不等于4.因为2006=4×501+2,8×501=4010.故当n=2005时,2n+1=4011.从左到右,每8个连续的点中取前4个点,剩下的3个点中取2个点,共取2006个点,任何两点间的距离都不等于4.另一方面,如果n≤2004,那么2n+1≤4009.从左到右,第8个连续点一组,至多502组,其中最后一组只有1个点.因此不论怎么取2006个点,前501组中总有一组取的点多于4个,从而有两个点的距离为4.综上所述,n的最小值是2005.
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