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第4章一元一次方程章末达标检测卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2019秋•兴安盟期末）下列是一元一次方程的个数为（ ）①3x+7②-x2+1＝7③3（x﹣1）=12④2x-10.2+1=x2⑤5x﹣2＞7⑥2x+5＝2x⑦x＝﹣12⑧11+7＝18A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b＝0（a，b是常数且a≠0）．据此作答．【解答】解：①3x+7②-x2+1＝7③3（x﹣1）=12④2x-10.2+1=x2⑤5x﹣2＞7⑥2x+5＝2x⑦x＝﹣12⑧11+7＝18中，是一元一次方程的有：②-x2+1＝7③3（x﹣1）=12④2x-10.2+1=x2⑦x＝﹣12，共4个；故选：C．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．（3分）（2019秋•武安市期末）如图，相同形状的物体的重量是相等的，其中最左边天平是平衡的，则右边三个天平中仍然平衡的是（ ）A．①②③B．①③C．①②D．②③【分析】根据最左边的天平可知，2个球的重量＝4个圆柱的重量．根据等式的性质可得出答案．【解答】解：因为最左边的天平是平衡的，所以2个球的重量＝4个圆柱的重量；①中1个球的重量＝2个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到①是平衡的；②中，2个球的重量≠2个圆柱的重量，可得到②是不平衡的；③中，2个球的重量+1个圆柱的重量＝5个圆柱的重量，根据等式的性质，即可得到③是平衡的；综上所述，平衡的是①③，故选：B．【点睛】本题的实质是考查等式的性质，先根据最左边的天平判断出2个球的重量＝4个圆柱的重量，第13页/共13页再据此解答是解题的关键．3．（3分）（2020春•兰考县期末）x＝3是下列方程的解的有（ ）①﹣2x﹣6＝0；②|x+2|＝5；③（x﹣3）（x﹣1）＝0；④13x＝x﹣2．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】分别求出四个方程的解各是多少，判断出x＝3是所给方程的解的有多少个即可．【解答】解：①∵﹣2x﹣6＝0，∴x＝﹣3．②∵|x+2|＝5，∴x+2＝±5，解得x＝﹣7或3．③∵（x﹣3）（x﹣1）＝0，∴x＝3或1．④∵13x＝x﹣2，∴x＝3，∴x＝3是所给方程的解的有3个：②、③、④．故选：C．【点睛】此题主要考查了方程的解，以及解一元一次方程、解二元一次方程的方法，要熟练掌握．4．（3分）（2020秋•南岗区校级月考）将方程x0.3=1+1.2-0.3x0.2中分母化为整数，正确的是（ ）A．10x3=10+12-3x2B．x3=10+1.2-0.3x0.2C．10x3=1+12-3x2D．x3=1+1.2-0.3x2【分析】方程各项分子分母扩大相应的倍数，使其小数化为整数得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程整理得：10x3=1+12-3x2．故选：C．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．5．（3分）（2020春•邓州市期末）已知关于x的方程a﹣x=x2+3a的解是x＝4，则代数式3a+1的值为（ ）A．﹣5B．5C．8D．﹣8第13页/共13页【分析】把x＝4代入方程求出a的值，即可求出所求．【解答】解：把x＝4代入a﹣4＝2+3a，移项合并得：﹣2a＝6，解得：a＝﹣3，则原式＝﹣9+1＝﹣8，故选：D．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．（3分）（2020春•雨花区校级期中）《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出6元，则差45元；每人出8元，则差3元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为（ ）A．6x+45＝8x+3B．6x+45＝8x﹣3C．6x﹣45＝8x+3D．6x﹣45＝8x﹣3【分析】设买羊人数为x人，根据出资数不变列出方程．【解答】解：设买羊人数为x人，则根据题意可列方程为6x+45＝8x+3．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．（3分）（2020春•凉山州期末）关于y的方程2m+y＝m与3y﹣3＝2y﹣1的解相同，则m的值为（ ）A．0B．2C．-12D．﹣2【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于m的方程，从而可以求出m的值．【解答】解：由3y﹣3＝2y﹣1，得y＝2．由关于y的方程2m+y＝m与3y﹣3＝2y﹣1的解相同，得2m+2＝m，解得m＝﹣2．故选：D．【点睛】本题考查了同解方程，解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程．8．（3分）（2020春•密山市期末）一个密封的瓶子里装着一些水（如图所示），已知瓶子的底面积为10cm2，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是（ ）cm3．第13页/共13页A．80B．70C．60D．50【分析】根据瓶子及瓶子内水的容量固定可得到，瓶子的容积﹣图2中除水外空余的容积＝图1中水的容积，列式即可得解．【解答】解：设体积为v，则v﹣10×2＝10×4，解得v＝60．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解图示及熟记长方体的体积公式是解题的关键．9．（3分）（2020春•宛城区期中）一列匀速前进的火车，从它进入320米长的隧道到完全通过隧道共用了18秒，隧道顶部一盏固定的小灯灯光在火车上照了10秒钟，则这列火车的长为（ ）A．190米B．400米C．380米D．240米【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：320+x18米/秒，或者是x10米/秒，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可．【解答】解：设这列火车的长为x米，根据题意得：320+x18=x10，解得：x＝400．即：这列火车长为400米．故选：B．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是弄懂题意，表示出火车的速度．10．（3分）（2020春•仁寿县期中）出售两件衣服，每件600元，其中一件赚25%，另一件赔25%，那么这两件衣服售出后商店是（ ）A．赚80元B．亏80元C．不赚不亏D．以上答案都不对【分析】设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，【解答】解：设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，依题意，得：600﹣x＝25%x，600﹣y＝﹣25%y，第13页/共13页解得：x＝480，y＝800，∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，∴这两件衣服售出后商店亏了80元．故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2019秋•漳州期末）如图是方程1-3x-14=3+x2的求解过程，其中依据等式的基本性质的步骤有 ①③⑤ ．（填序号）【分析】等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，依据性质进行判断即可．【解答】解：①去分母时，在方程两边同时乘上4，依据为：等式的性质2；③移项时，在方程两边同时加上﹣2x﹣4﹣1，依据为：等式的性质1；⑤系数化为1时，在等式两边同时除以﹣5，依据为：等式的性质2；故答案为：①③⑤．【点睛】本题主要考查了等式的基本性质．解题的关键是掌握等式的基本性质，等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．12．（3分）（2020春•蓬溪县期末）已知方程（k﹣2）x|k﹣1|﹣2017＝2021是关于x的一元一次方程，则k＝ 0 ．【分析】根据一元一次方程的定义得出k﹣2≠0且|k﹣1|＝1，再求出即可．【解答】解：∵方程（k﹣2）x|k﹣1|﹣2017＝2021是关于x的一元一次方程，∴k﹣2≠0且|k﹣1|＝1，解得：k＝0，故答案为：0．第13页/共13页【点睛】本题考查了绝对值，一元一次方程的定义，能根据一元一次方程的定义得出k﹣2≠0且|k﹣1|＝1是解此题的关键．13．（3分）（2019秋•颍州区期末）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米．按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作 10 天．【分析】设乙工程队每天掘进x米，则甲工程队每天掘进（x+2）米，根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再利用工作时间＝总工作量÷两队的工作效率之和，即可求出结论．【解答】解：设乙工程队每天掘进x米，则甲工程队每天掘进（x+2）米，依题意，得：（2+1）（x+2）+x＝26，解得：x＝5，∴x+2＝7．∴甲乙两个工程队还需联合工作时间为（146﹣26）÷（7+5）＝10（天）．故答案为：10．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．14．（3分）（2020春•延庆区期中）清代文言小说集《笑笑录》记载，清代诗人徐子云曾写过一首诗：巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，看看用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？设寺内有x名僧人，则列出一元一次方程为 x3+x4=364 ．【分析】设寺内有x名僧人，根据题意列出方程即可求出答案．【解答】解：设寺内有x名僧人，由题意得x3+x4=364，故答案为：x3+x4=364．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．15．（3分）（2019秋•崇川区校级期末）关于x的方程2（x﹣a）＝x﹣1的解为4a+b，则关于x的方程2（ax﹣b）﹣1978＝﹣bx+4a+44的解为x＝ ﹣2020 ．【分析】把x＝4a+b代入方程得到关于a，b的方程，然后代入所求的式子求值即可．第13页/共13页【解答】解：把x＝4a+b代入2（x﹣a）＝x﹣1，可得：2（4a+b﹣a）＝4a+b﹣1，可得：2a+b＝﹣1，2（ax﹣b）﹣1978＝﹣bx+4a+44化简为：（2a+b）x﹣2（2a+b）﹣2022＝0，把2a+b＝﹣1代入（2a+b）x﹣2（2a+b）﹣2022＝0，可得：﹣x+2﹣2022＝0，解得：x＝﹣2020，故答案为：﹣2020．【点睛】本题考查了方程的解的定义，方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，理解定义是关键．16．（3分）（2020秋•渝中区校级月考）一群猴子分一堆桃子，第一个猴子取走了一半零一个，第二个猴子取走了剩下的一半零一个，第三个猴子取走了第二个猴子剩下的一半零一个…直到第8个猴子恰好取完．这堆桃子一共有 510个 ．【分析】设这堆桃子一共有x个，则第一个猴子取走了：12x+1，余下12x﹣1；第二个猴子取走了：12（x-12x﹣1）+1=12×（12x+1）；由此推理下去，每个猴子取走数可确定，到第8个猴子取完，总计为x即可求解．【解答】解：∵设这堆桃子一共有x个，则第一个猴子取走了：12x+1，余下12x﹣1，∴第二个猴子取走了：12（x-12x﹣1）+1=12×（12x+1），∴第三个猴子取走了：14×（12x+1），∴第四个猴子取走了：18×（12x+1），∴第五个猴子取走了：116×（12x+1），∴第六个猴子取走了：132×（12x+1），∴第七个猴子取走了：164×（12x+1），∴第八个猴子取走了：1128×（12x+1），∴（12x+1）（1+12+14+18+116+132+164+1128）＝x，∴x＝510（个），第13页/共13页故答案为：510个．【点睛】本题考查了一元一次方程的运用以及数字变化规律和有理数的加减混合运算．三．解答题（共6小题，满分52分）17．（8分）（2019秋•天心区期末）解方程（1）2（x﹣2）﹣3（4x﹣1）＝5（1﹣x）；（2）2x+14-1＝x-10x+112．【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去括号得：2x﹣4﹣12x+3＝5﹣5x，移项得：2x﹣12x+5x＝5+4﹣3，合并得：﹣5x＝6，解得：x＝﹣1.2；（2）去分母得：3（2x+1）﹣12＝12x﹣（10x+1），去括号得：6x+3﹣12＝12x﹣10x﹣1，移项得：6x﹣12x+10x＝﹣1﹣3+12，合并得：4x＝8，解得：x＝2．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．18．（8分）（2019秋•石城县期末）已知关于x的方程（m+3）xm﹣1+5＝0是一元一次方程．（1）求m的值；（2）若原方程（m+3）xm﹣1+5＝0的解也是关于x的方程5x+2n3-nx-32=1的解，求n的值．【分析】（1）利用一元一次方程的定义判断即可求出m的值；（2）把m的值代入方程求出第一个方程的解，代入第二个方程计算即可求出n的值．【解答】解：（1）∵关于x的方程（m+3）xm﹣1+5＝0是一元一次方程，∴m﹣1＝1，解得：m＝2；（2）把m＝2代入原方程，得：5x+5＝0，解得：x＝﹣1，第13页/共13页把x＝﹣1代入方程5x+2n3-nx-32=1得：-5+2n3--n-32=1，去分母得：2（﹣5+2n）﹣3（﹣n﹣3）＝6，去括号得：﹣10+4n+3n+9＝6，移项合并得：7n＝7，解得：n＝1．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，以及一元一次方程的定义，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．19．（8分）（2018秋•天心区校级期末）已知关于x的两个方程2x﹣4＝6a和x-a3=x6+a．（1）用含a的式子表示方程2x﹣4＝6a的解．（2）若方程2x﹣4＝6a与x-a3=x6+a的解相同，求a的值．【分析】（1）移项，系数化成1即可；（2）先求出每个方程的解，根据已知得出关于a的方程，求出a即可．【解答】解：（1）2x﹣4＝6a，2x＝6a+4，x＝3a+2；（2）x-a3=x6+a，2x﹣2a＝x+6a，解得：x＝8a，∵方程2x﹣4＝6a与x-a3=x6+a的解相同，方程2x﹣4＝6a的解是x＝3a+2，∴3a+2＝8a，解得：a＝0.4．【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能求出每个方程的解是解此题的关键．20．（8分）（2020春•嘉定区期末）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑300米，小杰每分钟跑220米．（1）若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？（2）若小明、小杰两人同时同向出发，起跑时，小杰在小明前面100米处．①出发几分钟后，小明、小杰第一次相遇？第13页/共13页②出发几分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米？【分析】（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据环形跑道的长度＝小明跑的路程+小杰跑的路程，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论；②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，根据两人之间的距离＝小明跑的路程﹣小杰跑的路程+20，即可得出关于z的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设出发x分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300x+220x＝400，解得：x=1013．答：出发1013分钟后，小明、小杰第一次相遇．（2）①设出发y分钟后，小明、小杰第一次相遇，依题意，得：300y﹣220y＝100，解得：y=54．答：出发54分钟后，小明、小杰第一次相遇．②设出发z分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米，依题意，得：300z﹣220z+20＝100，解得：z＝1．答：出发1分钟后，小明、小杰的路程第一次相距20米．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．21．（10分）（2020•鞍山一模）为拓宽学生视野，某中学决定组织部分师生去庐山西海开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带19个学生，还剩11个学生没人带；若每位老师带20个学生，就有一位老师少带7个学生，为了安全，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有2名老师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示．甲种客车乙种客车载客量/（人/辆）3050租金/（元辆）300400第13页/共13页（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）这次活动全部租甲种客车行吗？如果行，怎样安排；如果不行，请说明理由．（3）学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过4100元，租用乙种客车不少于7辆，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．【分析】（1）设有x个老师，根据学生数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（19x+11）中即可求出学生人数；（2）利用租车数量＝师生人数÷每辆车的载客量，可求出租用甲种客车的数量，结合每辆客车上至少要有2名老师及共有18名老师，即可得出这次活动不能全部租甲种客车；（3）先求出7辆乙种客车的载客人数，结合师生总数可求出剩余人数，根据甲、乙两种客车的载客量可找出各租车方案，分别求出各租车方案所需费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设有x个老师，依题意，得：19x+11＝20x﹣7，解得：x＝18，∴19x+11＝353．答：参加此次研学旅行活动的老师有18人，学生有353人．（2）（18+353）÷30＝12（辆）……11（人），12+1＝13（辆），13×2＝26（人），∵18＜26，∴老师数不足以每辆车分2人，∴这次活动不能全部租甲种客车．（3）18+353﹣50×7＝21（人），21＜30＜50，∴有两种租车方案，方案1：租用1辆甲种客车，7辆乙种客车；方案2：租用8辆乙种客车．方案1所需费用为300+400×7＝3100（元）；方案2所需费用为400×8＝3200（元）．∵3100＜3200，∴方案1最省钱，即：租用1辆甲种客车，7辆乙种客车．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）求出全部租甲种客车需要的教师数；（3）找出乘坐7辆乙种客车外剩余的人数．第13页/共13页22．（10分）（2019秋•洪山区期中）如图，在数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a，b满足|a+2|+（b﹣5）2＝0，O为原点．若动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t（秒）（1）求a，b的值；（2）当点P运动到线段OB上时，分别取OB和AP的中点E，F，试探究下列结论：①AB-OPEF的值为定值；②AB+OPEF的值为定值，其中有且只有一个是正确的，请将正确的选出来并求出该值；（3）当点P从点A出发运动到点O时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度在OB间往返运动，当PQ＝1时，求动点P运动的时间t的值．【分析】（1）根据非负数的性质即可求出答案；（2）根据两点之间的距离公式以及中点坐标公式即可求出答案．（3）分三种情况：相遇前PQ＝1，相遇后PQ＝1，点Q从B点返回到O，PQ＝1；进行讨论即可求解．【解答】解：（1）由题意可知：a+2＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣2，b＝5，（2）设点P对应的数为p，∴点F的对应的数为p-22，点E对应的数为0+52=52，∵AB＝5﹣（﹣2）＝7，OP＝p，EF=52-p-22=7-p2，∴AB﹣OP＝7﹣p，AB+OP＝7+p，∴AB-OPEF=2，AB+OPEF=2(7+p)7-p，故只有①正确．（3）相遇前PQ＝1，t+2（t﹣2）＝7﹣1，解得t=103；相遇后PQ＝1，t＝4或6；点Q从点B返回到O，PQ＝1，|21﹣3t|＝1．第13页/共13页解得t=203（舍去）．t=223综上所述，当PQ＝1时，t的值是103或4或6或223．【点睛】考查了一元一次方程的应用，非负数的性质，数轴，两点间的距离公式，中点坐标公式．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．第13页/共13页
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