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专题1.3一元一次方程单元考点题型举一反三讲练【苏科版】【考点1一元一次方程的定义】【方法点拨】一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．【例1】（2020春•巴州区校级期中）下列方程中：①2x+4＝6，②x﹣1=1x，③3x2﹣2x，④5x＜7，⑤3x﹣2y＝2，⑥x＝3，其中是一元一次方程的有（ ）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】利用一元一次方程定义进行解答即可．【解答】解：①2x+4＝6是一元一次方程；②x﹣1=1x是分式方程；③3x2﹣2x不是方程，是代数式；④5x＜7是一元一次不等式；第48页/共48页⑤3x﹣2y＝2是二元一次方程；⑥x＝3是一元一次方程；一元一次方程共2个，故选：D．【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．【变式1-1】（2020春•蓬溪县期末）下列方程：①y＝x﹣7；②2x2﹣x＝6；③23m﹣5＝m；④2x-1=1；⑤x-32=1，⑥6x＝0，其中是一元一次方程的有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据一元一次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：一元一次方程有23m﹣5＝m，x-32=1，6x＝0，共3个，故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义的内容是解此题的关键．【变式1-2】（2020春•贵阳月考）已知方程（m﹣2）x|m|﹣1+7＝0是关于x的一元一次方程，则m＝ ．【分析】利用一元一次方程的定义得出关于m的方程，求出即可．【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|﹣1+7＝0是关于x的一元一次方程，∴m﹣2≠0且|m|﹣1＝1，解得m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义以及绝对值的意义，正确列出关于m的方程是解题关键．【变式1-3】（2020春•唐河县期末）方程（a+2）x2+5xm﹣3﹣2＝3是一元一次方程，则a+m＝ ．【分析】根据一元一次方程的定义，分别得到关于a和关于m的一元一次方程，解之，代入a+m，计算求值即可．【解答】解：根据题意得：a+2＝0，解得：a＝﹣2，第48页/共48页m﹣3＝1，解得：m＝4，a+m＝﹣2+4＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．【考点2等式性质的应用】【方法点拨】等式的性质：等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等.【例2】（2019秋•无为县期末）宁宁同学拿了一个天平，测量饼干与糖果的质量（每块饼干的质量都相同，每颗糖果的质量都相同）做了一下试验．第一次：左盘放两块饼干，右盘放三颗糖果，结果天平平衡；第二次，左盘放一块饼干和一颗糖果，右盘放10克砝码，结果天平平衡；第三次：左盘放一颗糖果，右盘放一块饼干，下列哪一种方法可使天平再度平衡（ ）A．左盘上加2克砝码B．右盘上加2克砝码C．左盘上加5克砝码D．右盘上加5克砝码【分析】根据第一个等式，可得1饼干与糖果的关系，根据第二个等式，可得1糖果的质量，1饼干的质量，再根据等式的性质，可得答案．【解答】解：①2饼干＝3糖果，1饼干＝1.5糖果，②1饼干+1糖果＝10砝码，把1饼干＝1.5糖果代入，得1.5糖果+1糖果＝10砝码，1糖果＝4砝码，1饼干＝1.5糖果＝1.5×4＝6砝码，4砝码+2砝码＝6砝码，∴1糖果+2砝码＝1饼干，故选：A．【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质，先分别求出1饼干1糖果的质量，再根据等式的性质，可得答案．【变式2-1】（2019秋•新泰市期末）下列判断错误的是（ ）第48页/共48页A．如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣dB．如果a＝b，那么ac2+1=bc2+1C．如果x＝3，那么x2＝3xD．如果ax＝bx，那么a＝b【分析】根据等式的性质一一判断即可．【解答】解：A、如果a＝b，那么ac﹣d＝bc﹣d，正确，故选项不符合题意；B、如果a＝b，那么ac2+1=bc2+1，正确，故选项不符合题意；C、如果x＝3，那么x2＝3x，正确，故选项不符合题意；D、当x＝0时，不一定成立，故选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查等式的性质，记住：性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．【变式2-2】（2020春•射洪市期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据第一个天平可得2●＝▲+■，根据第二个天平可得●+▲＝■，可得出答案．【解答】解：根据图示可得：2●＝▲+■①，●+▲＝■②，由①②可得●＝2▲，■＝3▲，则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．故选：A．【点评】本题考查了等式的性质，根据图示得出●、▲、■的数量关系是解题的关键．【变式2-3】（2020•永年区一模）设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2第48页/共48页）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（ ）A．6个B．5个C．4个D．3个【分析】首先根据图示可知，2×〇＝△+□（1），〇+□＝△（2），据此判断出〇、△与□的关系，然后判断出结果．【解答】解：根据图示可得，2×〇＝△+□（1），〇+□＝△（2），由（1），（2）可得，〇＝2□，△＝3□，∴〇+△＝2□+3□＝5□，故选：B．【点评】此题主要考查了等量代换问题，判断出〇、△与□的关系是解答此题的关键．【考点3一元一次方程的解】【方法点拨】一元一次方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”。【例3】（2020春•仁寿县期中）已知x＝1是方程k(x-2)2-k+3x6=43k的解，则k的值是（ ）A．4B．-14C．14D．﹣4【分析】把x＝1代入方程，即可得出一个关于k的一元一次方程，求解即可．【解答】解：把x＝1代入方程得：-12k-k+36=43k，去分母得：﹣4k﹣3＝8k，解得：k=-14．故选：B．【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，属于基础知识的考查，比较简单．【变式3-1】（2019秋•仁怀市期末）若x＝1是方程﹣2mx+n﹣1＝0的解，则2019+n﹣2m的值为（ ）A．2018B．2019C．2020D．2019或2020第48页/共48页【分析】把x＝1代入方程求出2m﹣n的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：把x＝1代入方程得：﹣2m+n﹣1＝0，整理得：2m﹣n＝﹣1，则原式＝2019+n﹣2m＝2019﹣（2m﹣n）＝2019﹣（﹣1）＝2019+1＝2020，故选：C．【点评】此题考查了一元一次方程的解，利用了整体代入的思想，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．【变式3-2】已知方程3x﹣3＝2x的解为a+2，求关于x的方程3x﹣2（x﹣a）＝3a的解．【分析】根据方程3x﹣3＝2x的解为a+2，求出a的值，再把a的值代入方程3x﹣2（x﹣a）＝3a，求解即可．【解答】解：∵方程3x﹣3＝2x的解为a+2，∴3（a+2）﹣3＝2（a+2），解得，a＝1，当a＝1时，方程3x﹣2（x﹣a）＝3a可变为3x﹣2（x﹣1）＝3，解得x＝1，答：关于x的方程3x﹣2（x﹣a）＝3a的解为x＝1．【点评】本题考查一次方程（组）的应用，理解方程解的意义是正确解答的前提，代入是常用的方法．【变式3-3】（2020春•方城县期中）小明解方程2x-65+1=x+a2时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为x＝﹣1，试求a的值，并正确地求出原方程的解．【分析】将错就错去分母，把x＝﹣1代入计算求出a的值，把a的值代入方程计算，求出正确的解即可．【解答】解：按方程左边的1没有乘以10，去分母得：2（2x﹣6）+1＝5（x+a），把x＝﹣1代入得：2×（﹣8）+1＝﹣5+5a，解得：a＝﹣2，第48页/共48页把a＝﹣2代入原方程，得2x-65+1=x-22，去分母得：2（2x﹣6）+10＝5（x﹣2），去括号得：4x﹣12+10＝5x﹣10，移项合并得：﹣x＝﹣8，解得：x＝8，答：a的值是﹣2，原方程的解为x＝8．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值．【考点4解一元一次方程】【方法点拨】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．【例4】（2020春•内乡县期中）解方程：（1）3（2x+5）＝2（4x+3）+1；（2）x-32-2x+13=1．【分析】（1）方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去括号得：6x+15＝8x+6+1，移项得：6x﹣8x＝6+1﹣15，合并得：﹣2x＝﹣8，解得：x＝4；（2）去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）＝6，去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2＝6，移项得：3x﹣4x＝6+9+2，合并得：﹣x＝17，解得：x＝﹣17．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解本题的关键．【变式4-1】（2020秋•南岗区校级月考）解方程：（1）2x-13-x+56=2x+1；第48页/共48页（2）13[x-12（x﹣1）]=23（x﹣2）．【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）﹣（x+5）＝12x+6，去括号得：4x﹣2﹣x﹣5＝12x+6，移项合并得：﹣9x＝13，解得：x=-139；（2）去括号得：13x-16（x﹣1）=23（x﹣2），去分母得：2x﹣（x﹣1）＝4（x﹣2），去括号得：2x﹣x+1＝4x﹣8，移项合并得：﹣3x＝﹣9，解得：x＝3．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．【变式4-2】（2019秋•潍坊期末）解方程（1）（x﹣4）-(x-4)-12=3-(x-4)+23（2）x-0.20.4-0.37x+10.2=1【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去分母得：6（x﹣4）﹣3（x﹣5）＝18﹣2（x﹣2），去括号得：6x﹣24﹣3x+15＝18﹣2x+4，移项合并得：5x＝31，解得：x＝6.2；（2）方程整理得：10x-24-37x+10020=1，去分母得：50x﹣10﹣37x﹣100＝20，移项合并得：13x＝130，解得：x＝10．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．第48页/共48页【变式4-3】（2019秋•嘉祥县期末）解方程：（1）15（3x﹣1）﹣2=110（3x+2）-12（2x﹣3）；（2）0.3x-0.50.3+1.5=0.5+0.4x0.6．【分析】（1）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；（2）方程整理后，去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：（1）去分母得：2（3x﹣1）﹣20＝（3x+2）﹣5（2x﹣3），去括号得：6x﹣2﹣20＝3x+2﹣10x+15，移项合并得：13x＝39，解得：x＝3；（2）方程整理得：3x-53+1.5=4x+56，去分母得：6x﹣10+9＝4x+5，移项合并得：2x＝6，解得：x＝3．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点5同解方程】【方法点拨】如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值.【例5】（2020春•太仓市期中）如果关于x的方程4x﹣2m＝3x+2和x＝2x﹣3的解相同，那么m＝ ．【分析】先求出方程x＝2x﹣3的解，再把方程的解代入方程4x﹣2m＝3x+2中，求出m．【解答】解：方程x＝2x﹣3的解为x＝3，∵方程4x﹣2m＝3x+2和x＝2x﹣3的解相同，∴方程4x﹣2m＝3x+2的解为x＝3，当x＝3时，12﹣2m＝9+2，解得m=12．故答案为：12．【点评】本题考查了一元一次方程的解法及方程的同解的含义．理解同解方程是解决本题的关键．【变式5-1】（2019秋•路南区期中）已知，关于x的方程2（x﹣1）+3＝x与3（x+m）＝m﹣1第48页/共48页有相同的解，则以y为未知数的方程12y-23y+m＝6﹣y的解为（ ）A．5B．6C．﹣5D．﹣6【分析】根据方程1可直接求出x的值，代入方程2可求出m，把所求m和x代入方程3，可得到关于y的一元一次方程，解答即可．【解答】解：解方程2（x﹣1）+3＝x得：x＝﹣1将x＝﹣1代入3（x+m）＝m﹣1得：3（﹣1+m）＝m﹣1解得：m＝1将m＝1代入12y-23y+m＝6﹣y，得12y-23y+1＝6﹣y．解得y＝6．故选：B．【点评】考查了同解方程，本题解决的关键是能够求解关于x的方程，根据同解的定义建立方程．【变式5-2】（2019秋•东湖区期末）已知关于x的方程3[x﹣2（x-a3）]＝4x和3x+a4-1-5x8=1有相同的解，求这个解．【分析】根据题意分别用含a的式子表示出两个方程的解，再求出a的值，进而可得结果．【解答】解：因为关于x的方程3[x﹣2（x-a3）]＝4x和3x+a4-1-5x8=1有相同的解，所以3[x﹣2（x-a3）]＝4x的解为：x=2a7，3x+a4-1-5x8=1的解为：x=9-2a11，所以2a7=9-2a11，解得a=74，将a=74代入第二个方程，2（3x+a）﹣（1﹣5x）＝8，第48页/共48页11x＝9﹣2a，11x＝9﹣2×74，解得x=12．【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是根据题意先求出a的值．【变式5-3】（2019秋•开福区校级期末）我们把解相同的两个方程称为同解方程．例如：方程：2x＝6与方程4x＝12的解都为x＝3，所以它们为同解方程．（1）若方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，求k的值；（2）若关于x的方程3[x﹣2（x-k3）]＝4x和3x+k12-1-5x8=1是同解方程，求k的值；（3）若关于x的方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，求14a2+6ab2+8a+6b2的值．【分析】（1）根据方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，即可求出k的值；（2）根据方程3[x﹣2（x-k3）]＝4x和3x+k12-1-5x8=1是同解方程，用含k的式子表示x，即可求k的值；（3）根据方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，利用整体思想将得出的7a+3b2＝3，代入到14a2+6ab2+8a+6b2即可求值．【解答】解：（1）∵方程2x﹣3＝11与关于x的方程4x+5＝3k是同解方程，∴2x﹣3＝11，解得x＝7，把x＝7代入方程4x+5＝3k，解得k＝11，所以k的值为11；（2）∵方程3[x﹣2（x-k3）]＝4x和3x+k12-1-5x8=1是同解方程，∴3[x﹣2（x-k3）]＝4x解得，x=2k7，3x+k12-1-5x8=1解得，x=121（27﹣2k），∴2k7=121（27﹣2k），解得k=278；所以k的值为278；（3）∵方程2x﹣3a＝b2和4x+a+b2＝3是同解方程，∴2x﹣3a＝b2即4x﹣6a＝2b2，第48页/共48页∴4x＝6a+2b2，∵4x+a+b2＝3，∴6a+2b2+a+b2＝3，即7a+3b2＝3，∴14a2+6ab2+8a+6b2＝2a（7a+3b2）+7a+3b2+a+3b2＝6a+3+a+3b2＝7a+3b2+3＝3+3＝6．所以14a2+6ab2+8a+6b2的值为6．【点评】本题考查了同解方程，解决本题的关键是理解题意进行准确计算．【考点6解含绝对值的一元一次方程】【例6】（2020春•南召县月考）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x-12|＝1，则m的值是（ ）A．14或134B．14C．54D．-12或54【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．【解答】解：因为方程|x-12|＝1，所以x-12=±1，解得x=32或x=-12，因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x-12|＝1，所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，m=3x+22，当x=32时，m=134，当x=-12时，m=14．第48页/共48页所以m的值为：134或14．故选：A．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论．【变式6-1】（2019秋•孝南区期末）根据绝对值定义，若有|x|＝4，则x＝4或﹣4，若|y|＝a，则y＝±a，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：|2x+4|＝5解：方程|2x+4|＝5可化为：2x+4＝5或2x+4＝﹣5当2x+4＝5时，则有：2x＝1，所从x=12当2x+4＝﹣5时，则有：2x＝﹣9；所以x=-92故，方程|2x+4|＝5的解为x=12或x=-92（1）解方程：|3x﹣2|＝4；（2）已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；（3）在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是 （直接写结果，不需要过程）．【分析】（1）解方程：|3x﹣2|＝4；（2）已知|a+b+4|＝16，求|a+b|的值；（3）在（2）的条件下，若a，b都是整数，则a•b的最大值是【解答】解：（1）解方程：|3x﹣2|＝43x﹣2＝4或3x﹣2＝﹣4解得x＝2或x=-23，故方程|3x﹣2|＝4的解为x＝2，x=-23；（2）已知|a+b+4|＝16，a+b+4＝16或a+b+4＝﹣16解得a+b＝12或a+b＝﹣20所以|a+b|＝12或20，答：|a+b|的值为12或20；第48页/共48页（3）在（2）的条件下，若a，b都是整数，a+b＝12或a+b＝﹣20，根据有理数乘法法则可知：当a＝﹣10，b＝﹣10时，a•b取得最大值，最大值为100．答：a•b的最大值是100．故答案为100．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程、等式的性质，解决本题的关键是理解绝对值的含义．【变式6-2】（2020春•襄汾县期末）先阅读下列解题过程，然后解答问题（1）、（2）、（3）．例：解绝对值方程：|2x|＝1．解：讨论：①当x≥0时，原方程可化为2x＝1，它的解是x=12．②当x＜0时，原方程可化为﹣2x＝1，它的解是x=-12．∴原方程的解为x=12和-12．问题（1）：依例题的解法，方程|12x|＝2的解是 ；问题（2）：尝试解绝对值方程：2|x﹣2|＝6；问题（3）：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：|x﹣2|+|x﹣1|＝5．【分析】（1）分为两种情况：①当x≥0时，②当x＜0时，去掉绝对值符号后求出即可．（2）分为两种情况：①当x﹣2≥0时，②当x﹣2＜0时，去掉绝对值符号后求出即可．（3）分为三种情况：①当x﹣2≥0，即x≥2时，②当x﹣1≤0，即x≤1时，③当1＜x＜2时，去掉绝对值符号后求出即可．【解答】解：（1）|12x|＝2，①当x≥0时，原方程可化为12x＝2，它的解是x＝4；②当x＜0时，原方程可化为-12x＝2，它的解是x＝﹣4；∴原方程的解为x＝4和﹣4，故答案为：x＝4和﹣4．（2）2|x﹣2|＝6，第48页/共48页①当x﹣2≥0时，原方程可化为2（x﹣2）＝6，它的解是x＝5；②当x﹣2＜0时，原方程可化为﹣2（x﹣2）＝6，它的解是x＝﹣1；∴原方程的解为x＝5和﹣1．（3）|x﹣2|+|x﹣1|＝5，①当x﹣2≥0，即x≥2时，原方程可化为x﹣2+x﹣1＝5，它的解是x＝4；②当x﹣1≤0，即x≤1时，原方程可化为2﹣x+1﹣x＝5，它的解是x＝﹣1；③当1＜x＜2时，原方程可化为2﹣x+x﹣1＝5，此时方程无解；∴原方程的解为x＝4和﹣1．【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．【变式6-3】（2020春•重庆期末）阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离；即|x|＝|x﹣0|；这个结论可以推广为|x1﹣x2|表示在数轴上数x1，x2对应点之间的距离．绝对值的几何意义在解题中有着广泛的应用：例1：解方程|x|＝4．容易得出，在数轴上与原点距离为4的点对应的数为±4，即该方程的x＝±4；例2：解方程|x+1|+|x﹣2|＝5．由绝对值的几何意义可知，该方程表示求在数轴上与﹣1和2的距离之和为5的点对应的x的值．在数轴上，﹣1和2的距离为3，满足方程的x对应的点在2的右边或在﹣1的左边．若x对应的点在2的右边，如图1可以看出x＝3；同理，若x对应点在﹣1的左边，可得x＝﹣2．所以原方程的解是x＝3或x＝﹣2．例3：解不等式|x﹣1|＞3．在数轴上找出|x﹣1|＝3的解，即到1的距离为3的点对应的数为﹣2，4，如图2，在﹣2的左边或在4的右边的x值就满足|x﹣1|＞3，所以|x﹣1|＞3的解为x＜﹣2或x＞4．参考阅读材料，解答下列问题：（1）方程|x+3|＝5的解为 ；（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为 ；（3）若|x+4|+|x﹣3|≥11，求x的取值范围．第48页/共48页【分析】（1）根据例1的方法，求出方程的解即可；（2）根据例2的方法，求出方程的解即可；（3）根据例3的方法，求出x的范围即可．【解答】解：（1）方程|x+3|＝5的解为x＝2或x＝﹣8；故答案为：x＝2或x＝8；（2）方程|x﹣2017|+|x+1|＝2020的解为x＝﹣2或x＝2018；故答案为：x＝﹣2或x＝2018；（3）∵|x+4|+|x﹣3|表示的几何意义是在数轴上分别与﹣4和3的点的距离之和，而﹣4与3之间的距离为7，当x在﹣4和3时之间，不存在x，使|x+4|+|x﹣3|≥11成立，当x在3的右边时，如图所示，易知当x≥5时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，当x在﹣4的左边时，如图所示，易知当x≤﹣6时，满足|x+4|+|x﹣3|≥11，所以x的取值范围是x≥5或x≤﹣6．【点评】此题考查了含绝对值的一元一次方程，弄清题意是解本题的关键．【考点7与一元一次方程有关的新定义问题】【例7】（2019秋•抚州期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为x＝b﹣a，则称该方程为“差解方程”．例如：2x＝4的解为x＝2，且2＝4﹣2，则该方程2x＝4是差解方程．（1）判断：方程3x＝4.5 差解方程（填“是”或“不是”）（2）若关于x的一元一次方程4x＝m+3是差解方程，求m的值．【分析】（1）检验方程的解是否是常数项与未知数的之差，进而进行判断便可；（2）先解含已知字母方程得出方程的解，再根据差解方程的定义列出关于m的方程，进行解答便可．【解答】解：（1）∵方程3x＝4.5的解为x＝1.5＝4.5﹣3，∴方程3x＝4.5是差解方程，故答案为：是；第48页/共48页（2）∵方程4x＝m+3的解是x=m+34，又∵方程4x＝m+3是差解方程，∴m+34=m+3﹣4，∴m=73．【点评】本题是一个新定义题，主要考查了新定义，一元一次方程的解法与应用，关键是根据新定义，把题目转化为常规题进行解答．【变式7-1】（2020春•长春期末）我们规定，若关于x的一元一次方程ax＝b的解为a+b，则称该方程为“合并式方程”，例如：3x=-92的解为-32，且-32=3-92，则该方程3x=-92是合并式方程．（1）判断12x＝1是否是合并式方程并说明理由；（2）若关于x的一元一次方程5x＝m+1是合并式方程，求m的值．【分析】（1）求出方程的解，再根据合并式方程的意义得出即可；（2）根据合并式方程得出关于m的方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）∵12x＝1，∴x＝2，∵12+1≠2，∴12x＝1不是合并式方程；（2）∵关于x的一元一次方程5x＝m+1是合并式方程，∴5+m+1=m+15，解得：m=-294．故m的值为-294．【点评】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解合并式方程的意义是解此题的关键．【变式7-2】（2019秋•新昌县期末）定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程2x+4＝0中，2﹣4＝﹣2，方程的解为x＝﹣2，则方程2x+4＝0为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题：第48页/共48页（1）方程2x+3＝0是妙解方程吗？试说明理由．（2）已知关于x的一元一次方程3x+m＝0是妙解方程．求m的值．（3）已知关于x的一元一次方程2x+a﹣b＝0是妙解方程，并且它的解是x＝b．求代数式ab的值．【分析】（1）根据题中的新定义判断即可；（2）利用题中的新定义确定出m的值即可；（3）根据题中的新定义确定出a与b的值，即可求出所求．【解答】解：（1）方程2x+3＝0中，一次项系数与常数项的差为：2﹣3＝﹣1，方程的解为x＝﹣1.5，∵﹣1≠﹣1.5，∴方程2x+3＝0不是妙解方程；（2）∵3x+m＝0是妙解方程，∴它的解是x＝3﹣m，∴3（3﹣m）+m＝0，解得：m＝4.5；（3）∵2x+a﹣b＝0是妙解方程，∴它的解是x＝2﹣（a﹣b），∴2﹣（a﹣b）＝b，解得：a＝2，代入方程得：2b+2﹣b＝0，得b＝﹣2．∴ab＝﹣4．【点评】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键．【变式7-3】（2020秋•如东县期末）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如方程2x＝4和3x+6＝0为“兄弟方程”．（1）若关于x的方程5x+m＝0与方程2x﹣4＝x+1是“兄弟方程”，求m的值；（2）若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；（3）若关于x的方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0是“兄弟方程”，求这两个方程的解．【分析】（1）根据新定义运算法则解答；（2）根据“兄弟方程”的定义和已知条件得到：n﹣（﹣n）＝8或﹣n﹣n＝8，解方程即可；第48页/共48页（3）求得方程2x+3m﹣2＝0和3x﹣5m+4＝0解，然后由“兄弟方程”的定义解答．【解答】解：（1）方程2x﹣4＝x+1的解为x＝5，将x＝﹣5代入方程5x+m＝0得m＝25；（2）另一解为﹣n．则n﹣（﹣n）＝8或﹣n﹣n＝8，∴n＝4或n＝﹣4；（3）方程2x+3m﹣2＝0的解为x=-3m+22，方程3x﹣5m+4＝0的解为x=5m-43，则-3m+22+5m-43=0，解得m＝2．所以，两解分别为﹣2和2．【点评】考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义．【考点8一元一次方程的应用（数字问题）】【例8】（2020秋•大渡口区月考）一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，将这个两位数的十位数字与个位数字对调后得到的两位数比原来的两位数小27，求这个两位数．【分析】设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），根据原数比十位数字与个位数字对调后得到的两位数大27，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入（10×2x+x）中即可求出结论．【解答】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为2x，原两位数为（10×2x+x），十位数字与个位数字对调后的数为（10x+2x），依题意，得：（10×2x+x）﹣（10x+2x）＝27，解得：x＝3，∴2x＝6，∴10×2x+x＝63．答：这个两位数为63．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式8-1】（2020秋•福田区期末）一个三位数，十位数字是0，个位数字是百位数字的2第48页/共48页倍，如果将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置得到一个新的三位数，则这个新的三位数比原三位数的2倍少9，设原三位数的百位数字是x：（1）原三位数可表示为 ，新三位数可表示为 ；（2）列方程求解原三位数．【分析】（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，根据三位数＝百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位上的数字即可表示出原三位数；根据题意得出新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，进而表示出新三位数；（2）根据新的三位数比原三位数的2倍少9列出方程，求解即可．【解答】解：（1）设原三位数的百位数字是x，则个位数字是2x，又∵十位数字是0，∴原三位数可表示为100x+2x＝102x．∵新的三位数的个位数字是x，百位数字是2x，十位数字是0，∴新三位数可表示为100•2x+x＝201x．故答案为102x，201x；（2）由题意，得201x＝2•102x﹣9，解得x＝3．则102×3＝306．答：原三位数为306．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，掌握三位数的表示方法是解题的关键．【变式8-2】（2019秋•崇川区校级期末）小明参加启秀期末考试时的考场座位号是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征：（1）它的千位数字为2；（2）把千位上的数字2向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的2倍少1478，求小明的考场座位号．【分析】根据题意，可以列出相应的一元一次方程，从而可以求得原来的数，本题得以解决．【解答】解：设原来数字为x，2x﹣1478＝（x﹣2000）×10+2解得，x＝2315第48页/共48页答：小明的考场号是2315．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．【变式8-3】一个五位数，左边三位数是右边两位数的5倍，如果把右边二位数移到前面，则新的五位数比原五位数的2倍多75，求原来的五位数．（用方程解）【分析】可设右边两位数是x，则左边三位数是5x，根据等量关系：如果把右边二位数移到前面，则新的五位数比原五位数的2倍多75，列出方程求解即可．【解答】解：设右边两位数是x，则左边三位数是5x，依题意有1000x+5x＝2（500x+x）+75，解得x＝25，5x＝125，故原来的五位数是12525．【点评】考查了一元一次方程的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把右边二位数移到前面，相当于把两位数扩大了1000倍．【考点9一元一次方程的应用（年龄问题）】【例9】（2019秋•余杭区期末）今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄比儿子年龄的4倍还大1岁，设今年儿子x岁，则可列方程为（ ）A．4x+1+5＝3（x+5）B．3x﹣5＝4（x﹣5）+1C．3x+5＝4（x+5）+1D．4x﹣5＝3（x﹣5）+1【分析】设今年儿子x岁，根据五年前父亲的年龄不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设今年儿子x岁，依题意，得：3x﹣5＝4（x﹣5）+1．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式9-1】（2019秋•咸丰县期末）爷爷快到八十大寿了，小莉想在日历上把这一天圈起来，但不知道是哪一天，于是便去问爸爸，爸爸笑笑说：“在日历上，那一天的上下左右4个日期的和正好等于那天爷爷的年龄”．那么小莉的爷爷的生日是在（ ）A．16号B．18号C．20号D．22号第48页/共48页【分析】要求小莉的爷爷的生日，就要明确日历上“上下左右4个日期”的排布方法．依此列方程求解．【解答】解：设那一天是x，则左日期＝x﹣1，右日期＝x+1，上日期＝x﹣7，下日期＝x+7，依题意得x﹣1+x+1+x﹣7+x+7＝80解得：x＝20故选：C．【点评】此题关键是弄准日历的规律，知道左右上下的规律，然后依此列方程．【变式9-2】（2020春•蓬溪县期末）今年小李的年龄是他爷爷年龄的五分之一，小李发现：12年之后，他的年龄变成爷爷的年龄三分之一．求小李爷爷今年的年龄．【分析】设爷爷今年的年龄是x岁，则今年小李的年龄是15x岁，根据12年之后小李的年龄变成爷爷的年龄三分之一，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设爷爷今年的年龄是x岁，则今年小李的年龄是15x岁，依题意，得：15x+12=13（x+12），解得：x＝60．答：爷爷今年60岁．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式9-3】（2019秋•延边州期末）古希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记栽着：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”根据以上信息，请你算出：（1）丢番图的寿命；（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；（3）儿子死时丢番图的年龄．【分析】设丢番图的寿命为x岁，则根据题中的描述他的年龄=16x的童年+生命的112x+17x+5年+儿子的年龄+4年，可列出方程，即可求解．【解答】解：设丢番图的寿命为x岁，由题意得：16x+112x+17x+5+12x+4＝x，第48页/共48页解得：x＝84，而16×84+112×84+17×84+5＝38，即他38岁时有了儿子．他儿子活了12x＝42岁．84﹣4＝80岁．答：丢番图的寿命是84岁；丢番图开始当爸爸时的年龄是38；儿子死时丢番图的年龄是80岁．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解．【考点10一元一次方程的应用（折扣问题）】【例10】（2020春•惠安县期末）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍可获利10%，若该书的进价为24元，则标价为（ ）A．30元B．31元C．32元D．33元【分析】设这本新书的标价为x元，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设这本新书的标价为x元，依题意得：0.8x﹣24＝24×10%，解得：x＝33．故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式10-1】（2019秋•越秀区期末）某商店以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么商店卖出这两件衣服总的是（ ）A．亏损10元B．不赢不亏C．亏损16元D．盈利10元【分析】设盈利的衣服的进价为x元，亏损的衣服的进价为y元，根据利润＝售价﹣进价，即可得出关于x（y）的一元一次方程，解之即可得出x（y）的值，再将两件衣服的利润相加即可得出结论．【解答】解：设盈利的衣服的进价为x元，亏损的衣服的进价为y元，依题意，得：120﹣x＝20%x，120﹣y＝﹣20%y，解得：x＝100，y＝150，∴120﹣x+120﹣y＝﹣10．故选：A．第48页/共48页【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式10-2】（2020•毕节市）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为（ ）A．230元B．250元C．270元D．300元【分析】设该商品的原售价为x元，根据成本不变列出方程，求出方程的解即可得到结果．【解答】解：设该商品的原售价为x元，根据题意得：75%x+25＝90%x﹣20，解得：x＝300，则该商品的原售价为300元．故选：D．【点评】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．【变式10-3】（2019秋•沈北新区期末）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润率定价．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店老板共获利157元．甲、乙两件服装的成本各为多少元？【分析】设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是（500﹣x）元，根据“甲、乙两件服装共获利157元”，列方程解决问题．【解答】解：设甲服装的成本是x元，则乙服装的成本是（500﹣x）元，依题意有0.9×（1+50%）x+0.9×（1+40%）（500﹣x）﹣500＝157，解得x＝300，500﹣x＝200．答：甲服装的成本为300元，乙服装的成本为200元．【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【考点11一元一次方程的应用（利润问题）】【例11】（2019秋•雨花区校级期末）某超市计划购进甲、乙两种型号的节能灯共1000只，这两种节能灯的进价、售价如下表：进价（元/只）售价（元/只）甲型2530第48页/共48页乙型4560（1）如果进货款恰好为37000元，那么可以购进甲型节能灯多少只？（2）超市为庆祝元旦进行大促销活动，决定对乙型节能灯进行打折销售，要求全部售完后，乙型节能灯的利润率为20%，请问乙型节能灯需打几折？【分析】（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，根据甲乙两种灯的总进价为37000元列出一元一次方程，解方程即可；（2）设乙型节能灯需打a折，根据利润＝售价﹣进价列出a的一元一次方程，求出a的值即可．【解答】解：（1）设商场购进甲型节能灯x只，则购进乙型节能灯（1000﹣x）只，由题意，得25x+45（1000﹣x）＝37000解得：x＝400购进乙型节能灯1000﹣x＝1000﹣400＝600（只）答：购进甲型节能灯400只，购进乙型节能灯600只进货款恰好为37000元．（2）设乙型节能灯需打a折，0.1×60a﹣45＝45×20%，解得a＝9，答：乙型节能灯需打9折．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．【变式11-1】（2019秋•武汉期末）武汉大洋百货经销甲、乙两种服装，甲种服装每件进价500元，售价800元；乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．（1）每件甲种服装利润率为 ，乙种服装每件进价为 元；（2）若该商场同时购进甲、乙两种服装共40件，恰好总进价用去27500元，求商场销售完这批服装，共盈利多少？（3）在元旦当天，武汉大洋百货实行“满1000元减500元的优惠”（比如：某顾客购物1200元，他只需付款700元）．到了晚上八点后，又推出“先打折”，再参与“满1000元减500元”的活动．张先生买了一件标价为3200元的羽绒服，张先生发现竟然比没打折前多付了20元钱问大洋百货商场晚上八点后推出的活动是先打多少折之后再参加活动？【分析】（1）根据利润率=利润进价×100%可求出每件甲种服装利润率，由乙种服装商品每件售价1200第48页/共48页元和盈利50%可求出进价；（2）求出甲、乙两种服装各进的件数，则可求出答案；（3）设打了y折，由题意可列出方程，则可得出答案．【解答】解：（1）∵甲种服装每件进价500元，售价800元，∴每件甲种服装利润率为800-500500×100%=60%．∵乙种服装商品每件售价1200元，可盈利50%．∴乙种服装每件进价为12001+50%=800（元），故答案为：60%，800；（2）设甲种服装进了x件，则乙种服装进了（40﹣x）件，由题意得，500x+800（40﹣x）＝27500，解得：x＝15．商场销售完这批服装，共盈利15×（800﹣500）+25×（1200﹣800）＝14500（元）．答：商场销售完这批服装，共盈利14500元．（3）设打了y折之后再参加活动．①3200×y10-2×500=3200﹣3×500+20．解得：y＝8.5．②3200×y10-500=3200-3×500+20，解得y＝8（不合题意，舍去）．③3200×y10=3200-3×500+20，解得y＝5.9（不合题意，舍去）．答：先打八五折再参加活动．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【变式11-2】（2019秋•温岭市期末）平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为40%；乙种商品每件进价80元，售价128元．（1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ．（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800第48页/共48页元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（3）在“元旦“期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件，打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于480元不优惠超过480元，但不超过680元其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠超过680元按购物总额给予7.5折优惠若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？【分析】（1）根据商品利润率=商品出售价-商品成本价商品成本价×100%，可求每件乙种商品利润率，甲种商品每件进价；（2）首先设出购进甲商品的件数，然后根据“同时购进甲、乙两种商品共50件”表示出购进乙商品的件数；然后根据“恰好用去3800元”列方程求出未知数的值，即可得解；（3）分类讨论：小华一次性购买乙种商品超过480元，但不超过680元；超过680元，根据优惠条件分别计算．【解答】解：（1）设甲种商品的进价为a元，则98﹣a＝40%a．解得a＝70．即甲种商品每件进价为70元，128-8080×100%＝60%，即每件乙种商品利润率为60%．故答案是：70；60%；（2）设该商场购进甲种商品x件，根据题意可得：70x+80（50﹣x）＝3800，解得：x＝20；乙种商品：50﹣20＝30（件）．答：该商场购进甲种商品20件，乙种商品30件．（3）设小华在该商场购买乙种商品b件，第48页/共48页根据题意，得①当过480元，但不超过680元时，480+（128b﹣480）×0.6＝576解得b＝5．②当超过680元时，128b×0.75＝576解得b＝6．答：小华在该商场购买乙种商品5或6件．【点评】考查了一元一次方程的应用，在解析的过程中应该知道商品数为整数，有时有几个答案，应该注意，不要遗漏．【变式11-3】（2019秋•海州区校级期末）某超市第一次用3600元购进了甲、乙两种商品，其中甲种商品80件，乙种商品120件．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价贵5元．甲种商品售价为20元/件，乙种商品售价为30元/件．（注：获利＝售价﹣进价）（1）该超市第一次购进甲、乙两种商品每件各多少元？（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得多少利润？（3）该超市第二次又购进同样数量的甲、乙两种商品．其中甲种商品每件的进价不变，乙种商品进价每件少3元；甲种商品按原售价提价a%销售，乙种商品按原售价降价a%销售，如果第二次两种商品都销售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多260元，那么a的值是多少？【分析】（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件（x+5）元．根据总进价3600元列出方程即可解决问题．（2）求出甲、乙两种商品的利润和即可．（3）根据第二次的利润1600+260＝1860元，列出方程即可．【解答】解：（1）设该超市第一次购进甲种商品每件x元，乙种商品每件（x+5）元．由题意得80x+120（x+5）＝3600，解得x＝15，x+5＝15+5＝20．答：该超市第一次购进甲种商品每件15元，乙种商品每件20元．（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得的利润＝80×（20﹣15）+120×（30﹣20）＝1600元．答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部销售完后一共可获得1600元的利润．第48页/共48页（3）由题意80×[20（1+a%）﹣15]+120×[30（1﹣a%）﹣（20﹣3）]＝1600+260，解得a＝5．答：a的值是5．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意、搞清楚进价、销售量、利润之间的关系，属于中考常考题型．【考点12一元一次方程的应用（工程问题）】【例12】（2019秋•福田区校级期末）一项工程，甲单独做5天完成，乙单独做8天完成．若甲先做1天，然后甲、乙合作完成此项工作的34．若设甲一共做了x天，则所列方程为（ ）A．x5+x+18=34B．x5+x-18=34C．x5-x+18=34D．x5-x-18=34【分析】设甲一共做了x天，则乙一共做了（x﹣1）天，然后再根据甲的工作效率×甲的工作时间+乙的工作效率×乙的工作时间=34，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：设甲一共做了x天，由题意得：x5+x-18=34，故选：B．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．【变式12-1】（2019秋•白云区期末）一件工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成，现先由甲、乙合作2天后，乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，则甲还需要（ ）天才能完成该工程．A．634B．713C．6D．7【分析】首先设甲还需x天完成全部工程，根据题意可得等量关系：甲乙合作2天的工作量+甲x天的工作量＝总工作量1，根据等量关系列出方程，再解即可．【解答】解：设甲还需要x天才能完成该工程，（112+18）×2+112x＝1解得：x＝7，故选：D．第48页/共48页【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．【变式12-2】（2020春•金山区期中）某街道1000米的路面下雨时经常严重积水．需改建排水系统．市政公司准备安排甲、乙两个工程队做这项工程，根据评估，有两个施工方案：方案一：甲、乙两队合作施工，那么12天可以完成；方案二：如果甲队先做10天，剩下的工程由乙队单独施工，还需15天才能完成．（1）甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？（2）方案一中，甲、乙两队实际各施工了多少米？【分析】（1）设甲队每天施工x米，则乙队每天施工1000-10x15米，根据甲、乙两队合作12天共施工1000米，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再利用工作时间＝工作总量÷工作效率即可求出结论；（2）根据工作总量＝工作效率×工作时间，即可求出结论．【解答】解：（1）设甲队每天施工x米，则乙队每天施工1000-10x15米，依题意，得：12x+12×1000-10x15=1000，解得：x＝50，∴1000-10x15=1003，∴1000÷50＝20（天），1000÷1003=30（天）．答：甲队单独完成此项工程需要20天，则乙队单独完成此项工程需要30天．（2）50×12＝600（米），1003×12＝400（米）．答：方案一中，甲队实际施工了600米，乙队实际施工了400米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，求出两队实际各施工的米数．【变式12-3】（2020秋•南岗区校级月考）某小区建完之后，需要做内墙粉刷装饰，现有甲、乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷160个房间，乙工程队每天能粉刷240个房间．且单独粉刷这些墙面甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷的过程中，该开发商要付甲工程队每天费用1600元，付乙工程队每天费用2600元．（1）求这个小区共有多少间房间？（2第48页/共48页）为了尽快完成这项工程，若先由甲、乙两个工程队按原粉刷速度合作一段时间后，甲工程队停工了，而乙工程队每天的粉刷速度提高25%，乙工程队单独完成剩余部分，且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多4天，求乙工程队共粉刷多少天？（3）经开发商研究制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）问方式完成：请你通过计算帮开发商选择一种既省时又省钱的粉刷方案．【分析】（1）设乙工程队要刷x天，根据题意房间数量列出方程，再解即可；（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间（2y+4）天，根据两队共粉刷9600间房间列出方程，再解即可；（3）分别计算出三种方案的花费和时间，然后进行比较即可．【解答】解：（1）设乙工程队要刷x天，由题意得：240x＝160（x+20），解得：x＝40，240×40＝9600（间），答：这个小区共有9600间房间；（2）设甲工程队的工作时间为y天，则乙工程队的工作时间（2y+4）天，由题意得：160y+240y+240（1+25%）×（2y+4﹣y）＝9600，解得：y＝12，2y+4＝2×12+4＝28（天），答：乙工程队共粉刷28天；（3）方案一：由甲工程队单独完成，时间：40+20＝60（天），60×1600＝96000（元）；方案二：由乙工程队单独完成需要40天，费用：40×2600＝104000（元）；方案三：按（2）问方式完成，第48页/共48页时间：28天，费用：12×（1600+2600）+（28﹣12）×2600＝92000（元），∵28＜40＜60，且92000＜96000＜104000，∴方案三最合适，答：选择方案三既省时又省钱的粉刷方案．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．【考点13一元一次方程的应用（行程问题）】【例13】（2019春•西湖区校级月考）甲、乙两人骑自行车分别从相距36km的两地匀速同向而行，如果甲比乙先出发半小时，那么他们在乙出发后经3小时甲追上乙；如果乙比甲先出发1小时，那么他们在甲出发后经5小时甲才能追上乙．请问：甲、乙两人骑自行车每小时各行多少千米？【分析】设甲骑自行车每小时行x千米，则乙骑自行车每小时行（76x﹣12）千米，根据路程＝速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程组，解之即可得出结论．【解答】解：设甲骑自行车每小时行x千米，乙骑自行车每小时行（76x﹣12）千米，依题意得：5x﹣（5+1）（76x﹣12）＝36，解得：x＝18，76x﹣12＝21﹣12＝9．答：甲骑自行车每小时行18千米，乙骑自行车每小时行9千米．【点评】本题考查了一元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程组是解题的关键．【变式13-1】（2019秋•朝阳区校级月考）A、B两地相距1000千米，甲列车从A地开往B地；2小时后，乙列车从B地开往A地，经过4小时与甲列车相遇．已知甲列车比乙列车每小时多行50千米．甲列车每小时行多少千米？【分析】本题可列方程解答，设甲车每小时行x千米，则乙车每小时行（x﹣50）千米．根据总行程是1000千米列出方程4（x﹣50+x）+2x＝1000．解此方程即可．【解答】解：设甲列车每小时行x千米，可得：4（x﹣50+x）+2x＝1000．4x﹣200+4x+2x＝1000，10x＝1200，第48页/共48页x＝120．答：甲车每小时行120千米【点评】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找到等量关系，列出方程并解答．【变式13-2】（2019秋•兴化市月考）A、B两地相距480km，C地在A、B两地之间．一辆轿车以100km/h的速度从A地出发匀速行驶，前往B地．同时，一辆货车以80km/h的速度从B地岀发，匀速行驶，前往A地．（1）当两车相遇时，求轿车行驶的时间；（2）当两车相距120km时，求轿车行驶的时间；（3）若轿车到达B地后，立刻以120km/h的速度原路返回，再次经过C地，两次经过C地的时间间隔为2.2h，求C地距离A地路程．【分析】（1）可设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，当两车相遇时，两车行驶路程之和为480km，列一元一次方程即可；（2）可设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，分类讨论：相遇前和相遇后两车相距120km，列一元一次方程即可；（3）可设C地距离B地路程为ykm，根据两次经过C地的时间间隔为2.2h列一元一次方程即可，再用总路程减去CB即可．【解答】解：（1）设两车相遇时，轿车行驶的时间为t小时，由题意可得100t+80t＝480解得t=83答：两车相遇时，轿车行驶的时间为83小时．（2）设两车相距120km时，轿车行驶的时间x小时，由题意可以分相遇前和相遇后两种情况．①相遇前两车相距120km时，有100t+80t＝480﹣120解得t＝2②相遇后两车相距120km时，有100t+80t＝480+120解得t=103答：当轿车行驶2小时或103小时，两车相距120km．第48页/共48页（3）设C地距离B地路程为ykm，由题意可得y100+y120=2.2解得y＝120，即C地距离B地路程为120km而A、B两地相距480km，所以AC＝480﹣120＝360（km）答：A、C两地的路程为360km．【点评】本题考查了一元一次方程的应用中的行程问题，根据等量关系正确列出一元一次方程是解决问题的关键．【变式13-3】（2019春•西湖区校级月考）甲、乙两汽车从A市出发，丙汽车从B市出发，甲车每小时行驶40千米，乙车每小时行驶45千米，丙车每小时行驶50千米．如果三辆汽车同时相向而行，丙车遇到乙车后10分钟才能遇到甲车，问何时甲丙两车相距15千米？【分析】设t小时后乙、丙两汽车相遇，则甲、丙所行驶的路程＝乙、丙所行驶的路程．通过方程求得A、B两市的距离，然后分两种情况解答：相遇前、后相距15千米．【解答】解：设t小时后乙、丙两汽车相遇，则（50+45）t＝（40+50）（t+16），解得t＝3．故（50+45）t＝95×3＝285（千米）．即：A、B两市的距离是285千米．设x小时甲、丙两车相距15千米．①当甲、丙两车相遇前相距15千米，由题意，得（40+50）x＝285﹣15解得x＝3．②当甲、丙两车相遇后相距15千米，由题意，得（40+50）x＝285+15解得x=103．综上所述，3或103小时后，甲丙两车相距15千米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．第48页/共48页【考点14一元一次方程的应用（面积问题）】【例14】（2019秋•天津期末）如图，宽为50cm的长方形图案由10个相同的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为（ ）cm2．A．400B．500C．300D．750【分析】根据已知图形表示出长与宽，再利用小长方形的长+小长方形宽的4倍＝小长方形长的2倍，进而得出等式求出边长，即可得出其面积．【解答】解：设小长方形的长为xcm，则宽为（50﹣x）cm，根据题意可得：2x＝x+4（50﹣x），解得：x＝40，故50﹣x＝10（cm）．则一个小长方形的面积为：10×40＝400（cm2）．故选：A．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意结合大长方形得出等量关系是解题关键．【变式14-1】（2019秋•东阳市期末）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按两种不同的方式，不重叠地放在一个底面为长方形（一边长为4）的盒子底部（如图2、图3），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知阴影部分均为长方形，且图2与图3阴影部分周长之比为5：6，则盒子底部长方形的面积为 ．【分析】设小长方形卡片的长为2m，则宽为m，观察图2可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值，设盒子底部长方形的另一边长为x，根据长方形的周长公式结合图2与图3阴影部分周长之比为5：6，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再利用长方形的面积公式即可求出盒子底部长方形的面积．【解答】解：设小长方形卡片的长为2m，则宽为m，第48页/共48页依题意，得：2m+2m＝4，解得：m＝1，∴2m＝2．再设盒子底部长方形的另一边长为x，依题意，得：2（4+x﹣2）：2×2（2+x﹣2）＝5：6，整理，得：10x＝12+6x，解得：x＝3，∴盒子底部长方形的面积＝4×3＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式14-2】（2019秋•鄂城区期末）如图，用三种大小不同的六个正方形和一个缺角的正方形拼成长方形ABCD，其中GH＝GK＝2cm，DC＝10cm，则长方形ABCD的面积为 cm2．【分析】设BF＝xcm，知CM＝BF+GH＝x+2（cm），AE＝3x+2，AF＝3x+2，DE＝DM＝3x，由DC+MC＝DC＝10可得关于x的方程，解之求得x的值，从而表示出AD的长度，根据长方形的面积公式计算可得答案．【解答】解：设BF＝xcm，则CM＝BF+GH＝x+2（cm），AE＝3x+2，AF＝3x+2，故DE＝DM＝x+2﹣2＝3x；∵DC+MC＝DC，DC＝10，∴3x+x+2＝10，解得x＝2．则AD＝AE+DE＝3x+2+3x＝6x+2＝14（cm），∴长方形ABCD的面积为14×10＝140（cm2），故答案为：140．第48页/共48页【点评】此题考查了一元一次方程的应用，主要是能够用不同的方法表示同一个长方形的宽，注意各个正方形的边长之间的数量关系．【变式14-3】（2019秋•沙坪坝区校级期末）重庆市第八中学校为给学生营造良好舒适的休息环境，决定改造校园内的一小花园，如图是该花园的平面示意图，它是由6个正方形拼成的长方形用以种植六种不同的植物，已知中间最小的正方形A的边长是2米，正方形C、D边长相等．请根据图形特点求出该花园的总面积．【分析】设图中最大正方形B的边长是x米，根据图形中个正方形边与边的关系结合最小的正方形的边长是2米，即可找出正方形F、E和C的边长；根据正方形的性质即可得出MQ＝PN，由此即可得出关于x的一元一次方程，通过解方程求得正方形B的边长，进而求得矩形PQMN的边长，然后由矩形面积公式解答．【解答】解：设图中最大正方形B的边长是x米，∵最小的正方形的边长是2米，∴正方形F的边长为（x﹣2）米，正方形E的边长为（x﹣4）米，正方形C的边长为x+22米．∵MQ＝PN，∴x﹣2+x﹣4＝x+x+22米，解得：x＝14．则QM＝12+10＝22（米），PQ＝12+14＝26（米）故该花园的总面积＝22×26＝572（平方米）．答：该花园的总面积是572平方米．第48页/共48页【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据图形中个正方形边与边之间的关系列出代数式，根据长方形的性质列出关于x的一元一次方程．【考点15一元一次方程的应用（方案问题）】【例15】（2019秋•岐山县期末）2016年春节即将来临，甲、乙两单位准备组织退休职工到某风景区游玩．甲、乙两单位共102人，其中甲单位人数多于乙单位人数，且甲单位人数不够100人．经了解，该风景区的门票价格如下表：数量（张）1﹣5051﹣100101张及以上单价（元/张）60元50元40元如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元．（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票，那么比各自购买门票共可以节省多少钱？（2）甲、乙两单位各有多少名退休职工准备参加游玩？（3）如果甲单位有12名退休职工因身体原因不能外出游玩，那么你有几种购买方案，通过比较，你该如何购买门票才能最省钱？【分析】（1）运用分别购票的费用和﹣联合购票的费用就可以得出结论；（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人，根据“如果两单位分别单独购买门票，一共应付5500元”建立方程求出其解即可；（3）有三种方案：方案一：各自购买门票；方案二：联合购买门票；方案三：联合购买101张门票．分别求出三种方案的付费，比较即可．【解答】解：（1）如果甲、乙两单位联合起来购买门票需40×102＝4080（元），则比各自购买门票共可以节省：5500﹣4080＝1420（元）；（2）设甲单位有退休职工x人，则乙单位有退休职工（102﹣x）人．依题意得：50x+60×（102﹣x）＝5500，解得：x＝62．则乙单位人数为：102﹣x＝40．答：甲单位有62人，乙单位有40人；（3）方案一：各自购买门票需50×60+40×60＝5400（元）；方案二：联合购买门票需（50+40）×50＝4500（元）；第48页/共48页方案三：联合购买101张门票需101×40＝4040（元）；综上所述：因为5400＞4500＞4040．故应该甲乙两单位联合起来选择按40元一次购买101张门票最省钱．【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，有理数大小比较的运用，设计方案的运用，解答时建立方程求出各单位人数是关键．【变式15-1】（2019秋•当涂县期末）当涂大青山有较为丰富的毛竹资源．某企业已收购毛竹110吨，根据市场信息，将毛竹直接销售，每吨可获利100元；如果对毛竹进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利1000元；如果进行精加工，每天可加工1.5吨，每吨可获利5000元，由于受条件限制，在同一天中只能采用一种方式加工，并且必须在一个月（30天）内将这批毛竹全部销售．为此研究了两种方案：（1）方案一：将收购毛竹全部粗加工后销售，则可获利 元；方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利 元．（2）是否存在第三种方案，将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成？若存在，求销售后所获利润；若不存在，请说明理由．【分析】（1）方案一：由已知将毛竹全部粗加工后销售，即获利为：1000×110元．方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：1.5×30×5000+（110﹣1.5×30）×100（元）．（2）由已知分析存在第三种方案，可设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，则得方程8x+1.5×（30﹣x）＝110，解方程求出粗加工、精加工的天数，从求出销售后所获利润．【解答】解：（1）方案一：由已知得：将毛竹全部粗加工后销售，则可获利为：1000×110＝110000（元）．故可获利110000元；方案二：30天时间都进行精加工，未来得及加工的毛竹，在市场上直接销售，则可获利为：1.5×30×5000+（110﹣1.5×30）×100＝231500（元）．故可获利231500元．（2）由已知分析存在第三种方案．设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天，依题意得：8x+1.5×（30﹣x）＝110，解得：x＝10，30﹣x＝20，第48页/共48页所以销售后所获利润为：1000×10×8+5000×20×1.5＝230000（元）．故销售后所获利润为230000元．故答案为：110000；290000．【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是依题意求方案一、方案二的利润，由将部分毛竹精加工，其余毛竹粗加工，并且恰好在30天内完成可设粗加工x天，则精加工（30﹣x）天列方程求解．【变式15-2】（2019春•海阳市期中）某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有45座和60座两种型号的客车可供租用（1）已知60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元，会务组第一天在这家公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1600元，求45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元？（2）由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需重新确定租车方案方案1：若只租用45座的客车，会有一辆客车空出30个座位；方案2：若只租用60座客车，正好坐满且比只租用45座的客车少用两辆①请计算方案1、2的费用；②从经济角度考虑，还有方案3吗？如果你是会务组负责人，应如何确定最终租车方案，并说明理由．【分析】（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，根据题意可得等量关系：2辆60座的一天的租金+5辆45座的一天的客车的租金＝一天的租金为1600元；根据等量关系列出方程，再解即可；（2）①设参会人员为y人，由题意列出方程，得出y＝240，即可求出方案1、2的费用；②方案3：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，求出费用＝1100元，即可得出结论．【解答】解：（1）设45座的客车每辆每天的租金为x元，则60座的客车每辆每天的租金为（x+100）元，则：2（x+100）+5x＝1600，解得：x＝200，∴x+100＝300，答：设45座的客车每辆每天的租金为200元，则60座的客车每辆每天的租金为300元；（2）设参会人员为y人，由题意得：y+3045=y60+2，第48页/共48页解得：y＝240，①方案1的费用：（240+30）÷45×200＝1200（元），方案2的费用：240÷60×300＝1200（元），②有方案3：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，理由如下：共240人，租用45座的客车4辆，60座的客车1辆，费用：4×200+300＝1100（元）＜1200元，∴最终租车方案为：租用45座的客车4辆，60座的客车1辆．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用；根据题意列出方程是解题的关键．【变式15-3】（2020秋•南浔区校级月考）现有A、B两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，A地可运出粮食80吨，B地可运出粮食60吨，其中甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从A基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从B基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元．设A地运送到甲中心粮食为x吨（1）请根据题意填写下表（填写表中所有空格）：运往甲地运往乙地AB（2）若某次运送总运费共花去50000元，请指出当时的调运方案；（3）按照题（2）的调运方案，从A基地往甲中心运送粮食，在运输途中的E地接到F地商家的一个电话，该商家需要25吨．已知A基地与E地之间的运费为每吨520元，甲中心与F地之间的运费为每吨480元．现A基地有两种方案运送到甲中心和F地商家：方案一：从E地直接运送到F地商家，运到后把剩下的粮食运到甲中心；方案二：先把粮食运到甲中心，再运25吨到F地商家．若方案一比方案二的总运费多21000元，则从E地到F地商家的运费是每吨多少元？【分析】（1）根据设A地运送到甲中心粮食为x吨，进而得出运往乙地以及B地运往甲、乙两个粮食配送中心的粮食，即可得出答案；（2）根据运送总运费共花去50000元得出等式求出即可；（3）设从E地到F地商家的运费是每吨y元，根据方案一比方案二的总运费多21000元列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）如图表：第48页/共48页运往甲地运往乙地Ax80﹣xB90﹣xx﹣30（2）由题意得：500x+400（80﹣x）+200（90﹣x）+300（x﹣30）＝50000，解得x＝45．答：从A基地运往甲、乙两中心的粮食分别为45吨，35吨；从B基地运往甲、乙两中心的粮食分别为45吨，15吨；（3）设从E地到F地商家的运费是每吨y元，根据题意得520×45+45y+480×（45﹣25）﹣（500×45+480×25）＝21000，解得y＝500．答：从E地到F地商家的运费是每吨500元．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【考点16一元一次方程的应用（动点问题）】【例16】（2019秋•市中区期末）如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t＝2时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时t的值；（3）①点P由点A到点B的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；②点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是多少（用含t的代数式表示）；（4）当点P表示的有理数与原点距离是2个单位时，直接写出所有满足条件的t的值．【分析】（1）根据点P表示的有理数＝﹣4+运动时间+运动速度，即可得出结论；（2）由点P与点B重合，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t值；（3）①由点P的运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P与点A的距离；②由点P的出发点、运动时间及运动速度，可用含t的代数式表示出点P表示的有理数；第48页/共48页（4）分0≤t≤5及5＜t≤10两种情况，找出点P表示的数，结合OP＝2，即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）﹣4+2×2＝0．答：求t＝2时点P表示的有理数为0．（2）依题意，得：﹣4+2t＝6，解得：t＝5．答：当t＝5时，点P与点B重合．（3）①∵点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，且当t＝5时点P到达点B，∴点P由点A到点B的运动过程中，PA＝2t（0≤t≤5）；②∵点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，且当t＝5时点P到达点B，∴点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是﹣4+2t（0≤t≤5）．（4）当0≤t≤5时，点P表示的有理数是﹣4+2t，OP＝|﹣4+2t|，∴|﹣4+2t|＝2，即﹣4+2t＝﹣2或﹣4+2t＝2，解得：t＝1或t＝3；当5＜t≤10时，点P表示的有理数是6﹣2（t﹣5）＝16﹣2t，OP＝|16﹣2t|，∴|16﹣2t|＝2，即16﹣2t＝2或16﹣2t＝﹣2，解得：t＝7或t＝9．答：当点P表示的有理数与原点距离是2个单位时，满足条件的t的值为1或3或7或9．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及列代数式，解题的关键是：（1）根据点P的运动方向、速度及运动时间，找出t＝2时点P表示的有理数；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）①利用路程＝速度×时间，找出PA的长；②根据点P的运动方向、速度及运动时间，用含t的代数式表示出点P表示的有理数；（4）分0≤t≤5和5＜t≤10两种情况，找出关于t的方程．【变式16-1】（2020春•道里区期末）已知：如图，点A、点B为数轴上两点，点A表示的数为a，点B表示的数为b，a与b满足|a+4|+（b﹣8）2＝0．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时动点Q从点B出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动．第48页/共48页（1）直接写出a、b的值，a＝ ，b＝ ；（2）设点P的运动时间为t秒，当t为何值时，P、Q两点相距20个单位长度；（3）若在运动过程中，动点Q始终保持原速度原方向，动点P到达原点时，立即以原来的速度向相反的方向运动．设点P的运动时间为t秒，当t为何值时，原点O分线段PQ为1：3两部分．【分析】（1）根据非负数的性质，可求出a，b的值，（2）根据P、Q两点相距20个单位长度列方程即可求解；（3）分三种情况进行讨论即可求解．【解答】解：（1）依题意有：a+4＝0，b﹣8＝0，解得：a＝﹣4；b＝8；（2）AB＝8﹣（﹣4）＝12，依题意有2t﹣t＝12+20，解得t＝32；（3）①3（4﹣2t）＝8+t，解得：t=47；②3（2t﹣4）＝8+t，解得：t＝4；③2t﹣4＝3（8+t），解得：t＝﹣28（舍去）．故当t为47秒或4秒时，原点O分线段PQ为1：3两部分．故答案为：﹣4，8．【点评】考查数轴、两点之间的距离以及一元一次方程的应用，把各个距离用含有t的代数式表示和列方程是解决问题的两项重要任务．【变式16-2】（2019秋•抚州期末）阅读理解：第48页/共48页【探究与发现】如图1，在数轴上点E表示的数是8，点F表示的数是4，求线段EF的中点M所示的数对于求中点表示数的问题，只要用点E所表示的数﹣8，加上点F所表示的数4，得到的结果再除以2，就可以得到中点M所表示的数：即M点表示的数为：-8+42=-2．【理解与应用】把一条数轴在数m处对折，使表示﹣20和2020两数的点恰好互相重合，则m＝ ．【拓展与延伸】如图2，已知数轴上有A、B、C三点，点A表示的数是﹣6，点B表示的数是8．AC＝18．（1）若点A以每秒3个单位的速度向右运动，点C同时以每秒1个单位的速度向左运动设运动时间为t秒．①点A运动t秒后，它在数轴上表示的数表示为 （用含t的代数式表示）②当点B为线段AC的中点时，求t的值．（2）若（1）中点A、点C的运动速度、运动方向不变，点P从原点以每秒2个单位的速度向右运动，假设A、C、P三点同时运动，求多长时间点P到点A、C的距离相等？【分析】根据数轴上两点之间中点所表示数的计算方法进行计算即可；（1）①点A向右移动，求出移动的距离，进而得到移动后点A所表示的数，②分两种情况进行解答，即点A在点B的左侧和右侧，画出相应的图形，根据数轴上两点之间距离的计算方法列方程求解即可；（2）根据追及、相遇问题可求出追及或相遇的时间，根据时间，判断各个点在数轴上位置顺序，再根据数轴上两点之间距离的计算方法列方程求解即可；【解答】解：m=-20+20202=1000；故答案为：1000；（1）①点A向右移动的距离为3t，因此点A从数轴上表示﹣6的点向右移动3t的单位后，所表示的数为3t﹣6，第48页/共48页故答案为：3t﹣6，②当点B为线段AC的中点时，Ⅰ）当移动后点C在点B的右侧时，此时t＜4，如图1，由BA＝BC得，8﹣（3t﹣6）＝（12﹣t）﹣8，解得，t＝5＞4（舍去）Ⅱ）当移动后点C在点B的左侧时，此时t＞4，如图2，由BA＝BC得，（3t﹣6）﹣8＝8﹣（12﹣t），解得，t＝5，答：当点B为线段AC的中点时，t的值为5秒．（2）根据运动的方向、距离、速度可求出，点P、C相遇时间为12÷（2+1）＝4秒，点A、C相遇时间为18÷（3+1）=92秒，点A追上点P的时间为6÷（3﹣2）＝6秒，当点P到点A、C的距离相等时，①如图2﹣3所示，此时t＜4，由PA＝PC得，2t﹣（3t﹣6）＝（12﹣t）﹣2t，解得，t＝3；②当A、C相遇时符合题意，此时，t=92，③当点A在点P的右侧，点C在点P的左侧时，此时t＞6，∵点A追上点P时用时6秒，之后PA距离每秒增加1个单位长度，而PC每秒增加4个单位长度，∴不存在点P到点A、C的距离相等的情况，因此：当点P到点A、C的距离相等时，t＝3或t=92．第48页/共48页【点评】考查数轴表示数的意义和方法、一元一次方程的应用，理解和掌握数轴上两点之间距离的计算方法，是解决问题的关键，用含有时间的代数式表示该点在数轴上所表示的数，是解决问题的为前提．【变式16-3】（2020春•南岗区校级月考）如图，在数轴上有两点A、B，所对应的数分别是a、b，且满足a+5是最大的负整数，b﹣3是绝对值最小的有理数．点C在点A右侧，到点A的距离是2个单位长度．（1）数轴上，点B表示的数是 ，点C表示的数是 ．（2）点P、Q为数轴上两个动点，点P从A点出发速度为每秒1个单位长度，点Q从B点出发速度为每秒2个单位长度．若P、Q两点同时出发，相向而行，运动时间为t秒．求当t为何值时，点P与点Q之间的距离是3个单位长度？（3）在（2）的条件下，在点P、Q运动的过程中，是否存在t值，使点Q到点A、点B、点C的距离之和为15？若存在，求出t值，并直接写出此时点P在数轴上所表示的数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据最大的负整数是﹣1可求a，根据绝对值最小的有理数是0可求b，根据点C在点A右侧，到点A的距离是2个单位长度可求点C表示的数；（2）当PQ＝3时，分两种情况进行讨论：①点P与点Q相遇之前，Q在P的右边；②点P与点Q相遇之后，P在Q的右边．根据PQ＝3列出方程即可求解；（3）当QA+QB+QC＝15时，分两种情况进行讨论：①Q在AB之间；②Q在A点左边．【解答】解：（1）∵a+5是最大的负整数，b﹣3是绝对值最小的有理数，∴a+5＝﹣1，b﹣3＝0，∴a＝﹣6，b＝3，∴点A、B所对应的数分别是﹣6，3．∵点C在点A右侧，到点A的距离是2个单位长度，∴点C表示的数是﹣6+2＝﹣4．故答案为：3，﹣4；（2）∵点P从A点出发速度为每秒1个单位长度，点Q从B点出发速度为每秒2个单位长度，∴t秒时，AP＝t，BQ＝2t，点P表示的数是﹣6+t，点Q表示的数是3﹣2t．第48页/共48页当PQ＝3时，分两种情况：①点P与点Q相遇之前，Q在P的右边，∵PQ＝3，∴3﹣2t﹣（﹣6+t）＝3，解得t＝2；②点P与点Q相遇之后，P在Q的右边，∵PQ＝3，∴﹣6+t﹣（3﹣2t）＝3，解得t＝4．故当t为2或4时，点P与点Q之间的距离是3个单位长度；（3）当QA+QB+QC＝15时，分两种情况：①如果Q在AB之间，那么QA+QB＝AB＝9，∴QC＝15﹣9＝6，∵点C表示的数是﹣4，点A、B所对应的数分别是﹣6，3，∴Q在数轴上所表示的数是﹣4+6＝2或﹣4﹣6＝﹣10．∵﹣10＜﹣6，此时Q不在AB之间，∴Q在数轴上所表示的数是2，∴BQ＝3﹣2＝1＝2t，则t=12，∴点P在数轴上所表示的数是﹣6+12=-512；②如果Q在A点左边，设此时Q表示的数为x，∵QA+QB+QC＝15，∴﹣6﹣x+3﹣x+（﹣4）﹣x＝15，解得x=-223，∴3﹣2t=-223，则t=316，∴点P在数轴上所表示的数是﹣6+316=-56．故在（2）的条件下，在点P、Q运动的过程中，存在t值，使点Q到点A、点B、点C的距离之和为15，此时t值为12或316，点P在数轴上所表示的数为﹣512或-56．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离公式，理解题意利用数形结合与分类讨论思想是解题的关键．第48页/共48页
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