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专题1.5平面图形的认识（一）单元考点题型举一反三讲练【苏科版】【考点1直线、射线、线段的表示与计数】【方法点拨】线段：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．射线：将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，若点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：①表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．②端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线③两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．直线的两种表示方法：一条直线可以用一个小写字母表示，可记作：直线a.一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，可记作：直线AB或直线BA.第18页/共18页【例1】（2020秋•苍溪县期末）如图，点C是线段BD之间的点，有下列结论①图中共有5条线段；②射线BD和射线DB是同一条射线；③直线BC和直线BD是同一条直线；④射线AB，AC，AD的端点相同，其中正确的结论是（ ）A．②④B．③④C．②③D．①③【变式1-1】（2020春•广饶县期末）如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式1-2】（2020秋•丰南区期末）下列语句正确的是（ ）A．延长线段AB到C，使BC＝ACB．反向延长线段AB，得到射线BAC．取直线AB的中点D．连接A、B两点，并使直线AB经过C点【变式1-3】如图所示，能用所给字母表示的直线有 条，射线有 条，线段有 条．【考点2平行线与垂线】【方法点拨】平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.垂线的基本性质是：过直线上或直线外的一点,有且只有一条直线和已知直线垂直（在同一平面内）；从直第18页/共18页线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短.【例2】（2020春•港南区期末）下列说法不正确的是（ ）A．过任意一点可作已知直线的一条平行线B．同一平面内两条不相交的直线是平行线C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D．平行于同一直线的两直线平行【变式2-1】（2019春•邱县期末）下列语句：①不相交的两条直线叫平行线②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【变式2-2】（2020春•丛台区校级月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．两点之间，线段最短【变式2-3】（2020春•长安区校级月考）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（ ）第18页/共18页A．4个B．3个C．2个D．1个【考点3作图题】【方法点拨】依据直线、射线、线段的定义及两点之间线段最短、垂线段最短作图即可.【例3】（2020秋•台州期末）已知：如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，根据下列语句画出图形：（Ⅰ）直线BC与射线AD相交于点M；（Ⅱ）连接AB，并反向延长线段AB至点E，使AE=12BE；（Ⅲ）①在直线BC上求作一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小；②作图的依据是 ．【变式3-1】（2019秋•苍南县期末）已知点A，B，C如图所示，根据要求完成下列各题．（1）画直线BC，线段AB和射线CA．（2）过点A画BC的垂线段AD，垂足为D，并量出点A到直线BC的距离为 cm．（以答题纸为测量依据，结果精确到0.1cm）．【变式3-2】（2020秋•北仑区期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．第18页/共18页【变式3-3】（2020春•赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．【考点4线段的计算（方程思想）】【例4】（2020秋•殷都区期末）如图，C，D是线段AB上的两点，已知M，N分别为AC，DB的中点，AB＝18cm，且AC：CD：DB＝1：2：3，求线段MN的长．【变式4-1】（2020秋•渝北区期末）如图所示．点C，B是线段AD上的两点，AC：CB：BD＝3：1：4，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝14，求AB，CD的长．【变式4-2】（2020秋•乐都区期末）如图所示，线段AB上有两点M，N，AM：MB＝5：11，AN：NB＝5：7，MN＝1.5，求AB长度．【变式4-3】（2020秋•南开区期末）如图，线段BD=14AB=15CD，点E、F分别是线段AB、CD的中点，EF＝14cm，求线段AB、CD的长．【考点5线段的计算（分类讨论思想）】【例5】（2020秋•南关区校级期末）在直线l上有A、B、C三个点，已知BC＝3AB，点D是AC中点，且BD＝6cm，求线段BC的长．【变式5-1】（2020秋•宿豫区期末）画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长．【变式5-2】（2019秋•咸丰县期末）已知线段AB＝14，在AB上有四个点C，D，M，N，且AC：CD：DB＝1：2：4，AM=12AC，DN=16DB，计算线段MN的长．第18页/共18页【变式5-3】（2019秋•柘城县期末）已知：点M是线段AB上．（1）如图1，点C在线段AM上，且AC=13AM，点D在线段BM上，且BD=23BM．若AB＝18cm，求AC+MD的值．（2）如图2，若AM=14AB，点N是直线AB上一点，且AN﹣BN=23MN，求MNAB的值．【考点6线段的计算（含参问题）】【例6】（2019秋•郊区期末）（1）如图1，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．（2）如图2，若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上的一点，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．【变式6-1】（2019秋•汾阳市期末）已知点C，线段AB．（1）如图，若点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，点M、N分别是AC、BC的中点，则线段MN的长度是 ；（2）若把（1）中点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，改为点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，其他条件不变，请求出线段MN的长度（用含a、b的式子表示）；（3）若把（2）中点C是线段AB上任意一点，改为点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．【变式6-2】（2019秋•襄城县期末）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝ ；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ第18页/共18页长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．【变式6-3】（2019秋•金牛区期末）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM．（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝ ；（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）．【考点7线段的计算（动点问题）】【例7】（2019秋•宽城区期末）如图，AB＝10cm，C是线段AB上一个动点，沿A→B→A以2cm/s的速度往返运动一次，D是线段BC的中点，设点C的运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，求线段CD的长．（2）当t＝6时，求线段AC的长．（3）求运动过程中线段AC的长．（用含t的代数式表示）（4）在运动过程中，设AC的中点为E，线段DE的长是否发生变化？若不变，直接写出DE的长；若发生变化，请说明理由．【变式7-1】（2020秋•锦江区校级期中）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A第18页/共18页，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【变式7-2】（2019秋•新都区期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）OA＝ cm，OB＝ cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；【变式7-3】（2019秋•秦淮区期末）【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点 是 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒．（2）点M在运动过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）；（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．【考点8钟面角的计算】【方法点拨】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．【例8】（2019秋•顺城区期末）如图，八点三十分时针与分针所成的角是（ ）第18页/共18页A．75°B．65°C．55°D．45°【变式8-1】（2020春•五华区校级月考）11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（ ）A．140°B．130°C．120°D．110°【变式8-2】（2020春•广饶县期末）当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度（ ）A．115°B．120°C．105°D．90°【变式8-3】（2019秋•清苑区期末）下列时刻中的时针与分针所成的角最大的是（ ）A．1：00B．3：03C．5：05D．10：10【考点9度分秒的换算】【方法点拨】度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．【例9】（2020春•莱州市期中）35.48°＝ 度 分 秒．【变式9-1】（2019秋•岳阳楼区校级期末）35.15°＝ ° ′ ″；12°15′36″＝ °．【变式9-2】（2020春•肥城市期末）计算：65°19′48″+35°17′6″＝ （将计算结果换算成度）．【变式9-3】（2020秋•柘城县期末）计算：18°13′×5﹣49°28′52″÷4【考点10余角和补角的认识】【方法点拨】余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．性质：等角（同角）的补角相等．等角（同角）的余角相等．【例10】（2020春•高新区校级月考）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）A．120°B．60°C．30°D．150°【变式10-1】（2020春•六盘水期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°第18页/共18页【变式10-2】（2019秋•裕安区期末）已知∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则有下列式子：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③12（∠α+∠β）④12（∠α﹣∠β）；⑤12（∠α﹣90°），其中，表示∠β的余角的式子有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式10-3】（2020春•雨花区校级月考）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（ ）A．∠BOA＞∠DOCB．∠BOA﹣∠DOC＝90°C．∠BOA+∠DOC＝180°D．∠BOC≠∠DOA【考点11角度的计算（对顶角、邻补角）】【例11】（2019秋•姜堰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．【变式11-1】（2019秋•武侯区期末）如图，射线OC的端点O在直线AB上，OE⊥OC于点O，且OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝70°，分别求∠DOE与∠DOF的度数．【变式11-2】（2020春•公主岭市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．第18页/共18页（1）∠AOC的邻补角为 （写出一个即可）；（2）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；（3）若∠1=14∠BOC，求∠MOD的度数．【变式11-3】（2020春•芝罘区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°．（1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数；（2）若∠AOC：∠BOC＝3：7，求∠DOE的度数．【考点12角度的计算（方程思想）】【例12】（2019秋•息县期末）如图，OC平分∠AOB，∠AOD：∠BOD＝3：5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．【变式12-1】（2019秋•渝中区校级期末）如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度数．【变式12-2】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD，∠COE＝80°，求∠COD的度数．第18页/共18页【变式12-3】（2019秋•青龙县期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）若∠AOB＝120°，则∠COE是多少度？（2）如果∠BOC＝3∠AOD，∠EOD﹣∠COD＝30°，那么∠BOE是多少度？【考点13角度的计算（分类讨论思想）】【例13】（2019秋•沧州期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝50°时，∠BOD的度数是 ．【变式13-1】（2019秋•渝中区校级期末）平面内，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝20°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，则∠EOF＝ ．【变式13-2】（2019秋•蜀山区期末）已知，在同一平面内，∠AOB＝30°，射线OC在∠AOB的外部，OD平分∠AOC，若∠BOD＝40°，则∠AOC度数为 ．【变式13-3】已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ．【考点14角度的计算（旋转含参问题）】【例14】（2020秋•长兴县期末）如图1，已知∠AOB＝150°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．（1）在图1中，若∠COE＝32°，则∠DOE＝ ；∠BOD＝ ；（2）在图1中，设∠COE＝α，∠BOD＝β，请探索α与β之间的数量关系；（3）在已知条件不变的前提下，当∠COD绕点O逆时针转动到如图2的位置时，（2）中α与β的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出α与β的数量关系．第18页/共18页【变式14-1】（2019秋•普宁市期末）如图1直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE平分∠AOD．（1）若∠COE＝40°，则∠BOD＝ ．（2）若∠COE＝α，求∠BOD（请用含α的代数式表示）；（3）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．【变式14-2】（2019秋•沈河区期末）已知：点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE平分∠AOD，设∠COE＝α，（1）如图①所示，若α＝25°，则∠BOD＝ ．（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试用含α的代数式表示∠BOD的大小，并说明理由；（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，则用含α的代数式表示∠BOD的大小，即∠BOD＝ ．（4）若将∠COD绕点O旋转至图④的位置，继续探究∠BOD和∠COE的数量关系，则用含α的代数式表示∠BOD的大小，即∠BOD＝ ．第18页/共18页【变式14-3】（2020秋•南陵县期末）已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，如图1，求∠MON的度数；（2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155），如图2，①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由．【考点15角度的计算（旋转动态问题）】【例15】（2019秋•海州区校级期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．【变式15-1】（2019秋•雨花区校级期末）一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180第18页/共18页°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．（1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度；（2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．①当t为何值时，边PB平分∠CPD；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【变式15-2】（2019秋•吴兴区期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．第18页/共18页①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【变式15-3】（2019秋•恩施市期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON？请说明理由．【考点16线段与角的规律探究】【例16】（2019秋•曲沃县期末）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题．（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2＝3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3＝6条…一条直线上有10个点，线段共有 条．（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有 条．（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成 个角第18页/共18页（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？【变式16-1】（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．【变式16-2】（2019春•张店区期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性．（3）拓展应用：①从十二边形的一个顶点出发画出这个多边形的对角线，可以画 条；②8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【变式16-3】（2019秋•李沧区期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？构建模型：第18页/共18页生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有5×42=10条线段，所以该校一共要安排10场比赛．（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排 场比赛；（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛．实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次．拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为 种．第18页/共18页
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