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专题1.6七年级数学上册期中考点题型举一反三讲练【苏科版】【知识点1】有理数的基本概念(1)正数和负数：大于0的数叫做正数。在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数。(2)有理数：正整数、0、负整数统称整数。正分数、负分数统称分数。整数和分数统称为有理数。【知识点2】数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。【知识点3】相反数代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。一般地，a和-a互为相反数。0的相反数是0。a=-a所表示的意义是：一个数和它的相反数相等。很显然，a=0。【知识点4】绝对值定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。第47页/共47页即：如果a>0，那么|a|=a；如果a=0，那么|a|=0；如果a<0，那么|a|=-a。a=|a|所表示的意义是：一个数和它的绝对值相等。很显然，a≥0。【知识点5】倒数定义：乘积是1的两个数互为倒数。即：如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。所表示的意义是：一个数和它的倒数相等。很显然，a=±1。【知识点6】数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。【知识点7】乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。【知识点8】科学记数法定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。用科学记数法表示一个绝对值小于1的数（a×10-n）时，n是从小数点后开始到第一个不是0的数为止的数的个数。【知识点9】近似数一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。【知识点10】有理数的加法加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。加法运算律：①交换律a+b=b+a；②结合律(a+b)+c=a+(b+c)。【知识点11】有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)。【知识点12】有理数的乘法乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。第47页/共47页【知识点13】有理数的除法除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。【知识点14】有理数的混合运算混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。【知识点15】代数式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。【知识点16】单项式用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式【知识点17】多项式几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式与多项式统称整式。【知识点18】同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。【知识点19】合并同类项把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。【知识点20】整式的加减几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。【知识点21】去括号法则同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；第47页/共47页如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。【知识点22】添括号法则同号得正，异号得负。即括号前的符号决定了括号内各项的符号是否改变：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。【考点1有理数相关概念】【例1】（2018春•香坊区校级月考）下列说法正确的有（ ）（1）﹣a一定是负数；（2）有理数分为正有理数和负有理数；（3）如果a大于b，那么a的倒数小于b的倒数；（4）几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为负数；（5）符号不同的两个数互为相反数A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据有理数的运算法则即可求出答案．【答案】解：（1）﹣a不一定是负数，故（1）错误；（2）有理数分为正有理数、负有理数和0，故（2）错误；（3）如果a大于b，那么a的倒数不一定小于b的倒数，故（3）错误；（4）几个有理数相乘，负因数的个数是奇数个时，积为非正数，故（4）错误；（5）只有符号不同的两个数互为相反数，故（5）错误；故选：A．【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．【变式1-1】（2019•霍邱县校级期中）下列说法正确的有（ ）①所有的有理数都能用数轴上的点表示；②符号不同的两个数互为相反数；③有理数分为正数和负数；④两数相减，差一定小于被减数；⑤两数相加，和一定大于任何一个加数．A．1个B．2个C．3个D．4个第47页/共47页【分析】①根据数轴与有理数的关系即可求解；②根据相反数的定义即可求解；③根据有理数的分类即可求解；④根据有理数的减法举出反例即可求解；⑤根据有理数的加法举出反例即可求解．【答案】解：①所有的有理数都能用数轴上的点表示是正确的；②只有符号不同的两个数叫做互为相反数，故原来的说法错误；③有理数分为正数、0和负数，故原来的说法错误；④如：2﹣0＝2，故原来的说法错误；⑤如：2+0＝2，故原来的说法错误．故选：A．【点睛】本题考查数轴、有理数、相反数、有理数的加法，解题的关键明确它们各自的含义．【变式1-2】（2018秋•金牛区校级期中）现有以下五个结论：①正数、负数和0统称为有理数；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据有理数的乘法、除法法则及相反数和有理数的概念求解可得．【答案】解：①正有理数、负无理数和0统称为有理数，此结论错误；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1，此结论正确；③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数，此结论错误；④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，此结论错误；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0，此结论错误．故选：B．【点睛】本题主要考查有理数的除法，解题的关键是掌握有理数的乘法、除法法则及相反数和有理数的概念．【变式1-3】（2018秋•西湖区校级月考）下列说法中错误的有（ ）①若两数的差是正数，则这两个数都是正数；②若两数和为正，则这两个数都是正数；第47页/共47页③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数；④倒数等于本身的数是1；⑤任何数的绝对值都不是负数A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据有理数的减法法则：减去一个数，等于加上它的相反数；有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；绝对值具有非负性；乘积是1的两数互为倒数进行分析即可．【答案】解：①若两数的差是正数，则这两个数都是正数，说法错误；②若两数和为正，则这两个数都是正数，说法错误；③零减去任何一个有理数，其差是该数的相反数，说法正确；④倒数等于本身的数是1，说法错误；⑤任何数的绝对值都不是负数，说法正确；正确的说法有2个，故选：B．【点睛】此题主要考查了有理数的减法、绝对值、有理数加法、倒数、相反数，关键是掌握有理数的加减法法则．【考点2数轴与有理数综合应用】【例2】（2018秋•南山区校级期中）有理数m、n在数轴上分别对应点M、N，则下列式子结果为负数的个数是（ ）①m+n；②m﹣n；③|m|﹣n；④m2﹣n2；⑤m2n2A．1个B．2个C．3个D．4【分析】根据图示，可得m＜0＜n，而且|m|＞|n|，据此逐项判断即可．【答案】解：∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，∴m+n＜0，∴①的结果为负数；∵m＜0＜n，∴m﹣n＜0，第47页/共47页∴②的结果为负数；∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，∴|m|﹣n＞0，∴③的结果为正数；∵m＜0＜n，而且|m|＞|n|，∴m2﹣n2＞0，∴④的结果为正数；∵m＜0＜n，∴m2n2＞0，∴⑤的结果为正数，∴式子结果为负数的个数是2个：①、②．故选：B．【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及正数、负数的特征和判断，要熟练掌握．【变式2-1】（2018秋•福安市期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列式子中：①ab＜0；②；③a＜|b|；④﹣a＞﹣b；⑤成立的有（ ）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】由数轴得a＜﹣1＜0＜b＜1，从而可以解答本题．【答案】解：∵a＜﹣1＜0＜b＜1，∴①ab＜0；②；③a＜|b|；④﹣a＞﹣b；⑤＜0，故选：C．【点睛】本题主要考查数轴，绝对值，根据数轴得出a、b间的关系是关键．【变式2-2】（2018秋•黄陂区期中）有理数a、b、c在数轴上对应的点的位置，如图所示：①abc＜0；②|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|；③（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0；④|a|＜1﹣bc，以上四个结论正确的有（ ）个．第47页/共47页A．4B．3C．2D．1【分析】先根据数轴上a、b、c的位置判断它们的正负、大小，利用乘法的符号法则、有理数的减法法则、绝对值的化简等知识点逐个判断得结论．【答案】解：由数轴知：a＜﹣1＜0＜b＜c＜1．∵a＜0．b＞0，c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵a＜b，b＜c，a＜c，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝b﹣a+c﹣b＝c﹣a，|a﹣c|＝c﹣a，∴|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，故②正确；∵a＜b，b＜c，a＜c，∴a﹣b＜0，b﹣c＜0，c﹣a＞0∴（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＞0，故③正确；∵a＜﹣1，∴|a|＞1，∵0＜b＜c＜1，∴0＜bc＜1，∴1﹣bc＜1，∴|a|＞1﹣bc，故④不正确．故选：B．【点睛】本题考查了数轴上点的特点，有理数乘法的符号法则，有理数的大小比较，绝对值的化简等知识点，掌握减法、乘法的符号法则是解决本题的关键．【变式2-3】（2018秋•洪山区期中）有理数a、b、c在数轴上位置如图，化简|a+c|﹣|a﹣b﹣c|+2|b﹣a|﹣|b﹣c|的值为（ ）A．2a﹣2b+3cB．cC．﹣4a+4b﹣cD．﹣2b+c【分析】根据a、b、c在数轴上的位置，进行绝对值的化简，然后合并．【答案】解：由图可得c＜b＜0＜a且|a|＜|c|，原式＝﹣（a+c）﹣（a﹣b﹣c）﹣2（b﹣a）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c﹣a+b+c﹣2b+2a﹣b+c）第47页/共47页＝﹣2b+c．故选：D．【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则．【考点3绝对值与偶次方的非负性】【例3】（2018•邵阳县期中）若|x﹣2|+（3y+2）2＝0，则的值是（ ）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．【分析】根据非负数的性质，两个非负数的和是0，则这两个数一定同时是0，即可求解．【答案】解：依题意有x﹣2＝0，解得x＝2；3y+2＝0，解得：y＝﹣；∴＝2×（﹣）＝﹣3．故选：C．【点睛】此题要转化为偶次方和绝对值的和，根据非负数的性质解答．非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零，即若a1，a2，…，an为非负数，且a1+a2+…+an＝0，则必有a1＝a2＝…＝an＝0．【变式3-1】（2019秋•凤庆县期中）若|4g﹣3|与（2f+1）2互为相反数，则2g+f的值为（ ）A．B．﹣C．1D．﹣1【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列方程，再根据非负数的性质列式求出g、f的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【答案】解：∵|4g﹣3|与（2f+1）2互为相反数，∴|4g﹣3|+（2f+1）2＝0，∴4g﹣3＝0，2f+1＝0，解得g＝，f＝﹣，所以，2g+f＝2×+（﹣）＝﹣＝1．故选：C．【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．【变式3-2】（2018秋•江都区期中）当1﹣（3m﹣5）2取得最大值时，关于x的方程5m﹣4＝3x+2的解是（ ）第47页/共47页A．B．C．D．【分析】利用完全平方式为非负数求出已知式子的最大值，以及此时m的值，代入方程计算即可求出解．【答案】解：∵（3m﹣5）2≥0，∴当1﹣（3m﹣5）2取得最大值时，3m﹣5＝0，即m＝，代入方程得：﹣4＝3x+2，去分母得：25﹣12＝9x+6，移项合并得：9x＝7，解得：x＝．故选：A．【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．【变式3-3】（2018秋•蓬溪县期中）若a、b有理数，下列判断：①a2+（b+1）2总是正数；②a2+b2+1总是正数；③9+（a﹣b）2的最小值为9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中错误的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用偶次方的性质分别分析得出答案．【答案】解：①a2+（b+1）2总是非负数，故此选错误；②a2+b2+1总是正数，正确；③9+（a﹣b）2的最小值为9，正确；④1﹣（ab+1）2的最大值是1，故此选项错误．故选：B．【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握偶次方的性质是解题关键．【考点4科学计数法及近似数】【例4】（2018秋•微山县期中）下列说法正确的是（ ）A．近似数13.5亿精确到亿位B．近似数3.1×105精确到十分位第47页/共47页C．近似数1.80精确到百分位D．用四舍五入法取2.258精确到0.1的近似值是2.2【分析】根据近似数的精确度对各选项进行判断．【答案】解：A、近似数13.5亿精确到千万位，故选项错误；B、近似数3.1×105精确到万位，故选项错误；C、近1.80精确到百分位，故选项正确；D、用四舍五入法取2.258精确到0.1的近似值是2.3，故选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．【变式4-1】（2018秋•渝中区校级期中）我市加大农村沼气等清洁能源推广，年产沼气21700000立方米，这个数用科学记数法精确到百万位可表示为（ ）A．217×105B．21.7×106C．2.17×107D．2.2×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，n的值是这个数的整数部分位数减1．有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．【答案】解：21700000＝2.17×107≈2.2×107．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．【变式4-2】（2018秋•慈溪市期中）把a精确到百分位得到的近似数是5.28，则a的取值范围是（ ）A．5.275＜a＜5.285B．5.275≤a＜5.285C．5.275＜a≤5.285D．5.275≤a≤5.285【分析】先根据近似数的精确度得到5.275≤a＜5.285，然后分别进行判断．【答案】解：∵a精确到百分位得到的近似数是5.28，∴5.275≤a＜5.285．故选：B．第47页/共47页【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．【变式4-3】（2018春•宜昌期中）3月31日，枝江中学校友总会成立大会暨2018年“宣才宣用・资智回枝”投资洽谈会在枝江市体育中心隆重举行．投资洽谈会共签约项目28个，总投资144.8亿元，其中144.8亿元用科学记数法表示为（ ）A．1.448×108B．28×1010C．1.448×109D．1.448×1010【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于144.8亿有11位，所以可以确定n＝11﹣1＝10．【答案】解：144.8亿＝14480000000，144.8亿元用科学记数法表示为：1.448×1010．故选：D．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【考点5整式相关概念】【例5】（2019秋•枝江市校级月考）下列表述正确的是（ ）A．多项式﹣xy4+4x3y2+y+1为四次四项式B．单项式﹣22a2b3系数为﹣2，次数为7C．﹣4a2b，3ab，﹣5是多项式﹣4a2b+3ab﹣5的项D．不是整式【分析】利用多项式，单项式，以及整式的定义判断即可．【答案】解：A、多项式﹣xy4+4x3y2+y+1为五次四项式，错误；B、单项式﹣22a2b3系数为﹣4，次数为5，错误；C、﹣4a2b，3ab，﹣5是多项式﹣4a2b+3ab﹣5的项，正确；D、是多项式，即为整式，错误．故选：C．【点睛】此题考查了多项式，整式，以及单项式，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．【变式5-1】（2018秋•杭州期末）下列说法正确的有（ ）①﹣的系数是﹣2；②不是单项式；③是多项式；④mn2次数是3次；⑤x2﹣x﹣第47页/共47页1的次数是3次；⑥是代数式但不是整式．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】利用单项式及多项式的定义判定即可．【答案】解：①﹣的系数是﹣，故①不正确；②不是单项式；错误，③是多项式；正确，④mn2次数是3次；正确，⑤x2﹣x﹣1的次数是2次；故⑤错误，⑥是代数式但不是整式，正确．共3个正确，故选：B．【点睛】本题主要考查了单项式及多项，解题的关键是熟记单项式及多项式的定义．【变式5-2】（2018秋•伊川县期中）下列说法正确的有（ ）个（1），都是单项式；（2）多项式2x﹣xy+y+4是五次四项式；（3）多项式3mn﹣2xy﹣5m﹣7有四项，分别为3mn，﹣2xy，﹣5m，7；（4）2x是7次单项式；（5）单项式a的指数和系数均为1．A．1B．2C．3D．4【分析】分别根据单项式以及多项式的概念分析得出即可．【答案】解：（1）不是整式，是多项式，此说法错误；（2）多项式2x﹣xy+y+4的是二次四项式，此说法错误；（3）多项式3mn﹣2xy﹣5m﹣7有四项，分别为3mn，﹣2xy，﹣5m，﹣7，此说法错误；（4）2x是1次单项式，此说法错误；（5）单项式a的指数和系数均为1，此说法正确；故选：A．第47页/共47页【点睛】此题主要考查了单项式以及多项式的定义，正确把握定义是解题关键．【变式5-3】（2019秋•雁塔区校级月考）有下列说法：（1）单项式x的系数、次数都是0；（2）多项式﹣3x2+x﹣1的系数是﹣3，它是三次二项式；（3）单项式﹣34x2y与πr6都是七次单项式；（4）单项式﹣和﹣πa2b的系数分别是﹣4和﹣；（5）是二次单项式；（6）2a+与3π+都是整式，其中正确的说法有（ ）A．0个B．1个C．3个D．4个【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断．【答案】解：根据单项式和多项式的概念可知，单项式的系数是字母前的数字，次数是字母的指数和；多项式是若干个单项式的和．故（1），（2），（3）（4）（5）（6）都错．其中（2）多项式﹣3x2+x﹣1不能说多项式的系数，它是2次3项式；（3）单项式﹣34x2y是3次单项式πr6是6次单项式；（4）单项式﹣和﹣πa2b的系数分别是﹣和﹣π；（5）是多项式；（6）2a+是整式，3π+是分式．故选：A．【点睛】主要考查了整式的有关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．单项式是字母和数的乘积，只有乘法，没有加减法．多项式是若干个单项式的和，有加减法．【考点6代数式求值】【例6】（2019春•海阳市期中）已知1﹣a2+2a＝0，则的值为（ ）A．B．C．1D．5【分析】1﹣a2+2a＝0经过整理得：a2﹣2a＝1，＝（a2﹣2a）+，把a2﹣2a＝1代入代数式（a2﹣2a）+，计算求值即可．【答案】解：∵1﹣a2+2a＝0，∴a2﹣2a＝1，第47页/共47页∴＝（a2﹣2a）+＝×1+＝，故选：A．【点睛】本题考查了代数式求值，正确掌握代数式变形，代入法，有理数混合运算法则是解题的关键．【变式6-1】（2018秋•渝中区校级期中）当x＝﹣1时，代数式2ax2+3bx+8的值是12，则6b﹣4a+2＝（ ）A．﹣12B．10C．﹣6D．﹣22【分析】将x＝﹣1代入2ax3+3bx+8＝12得到2a﹣3b＝4，整体代入6b﹣4a+2＝﹣2（2a﹣3b）+2计算可得．【答案】解：将x＝﹣1代入2ax2+3bx+8＝12，得：2a﹣3b＝4，则6b﹣4a+2＝﹣2（2a﹣3b）+2＝﹣2×4+2＝﹣8+2＝﹣6，故选：C．【点睛】本题主要考查代数式求值，解题的关键是熟练掌握整体代入思想的运用．【变式6-2】（2018秋•杭州期中）已知m2+2mn＝384，2n2+3mn＝560，则代数式2m2+13mn+6n2﹣430的值是（ ）A．2018B．2019C．2020D．2022【分析】先将题干中第一个式子乘以2，再将第二个式子乘以3，然后将得到的两个式子相加，即可得到2m2+13mn+6n2的值，则2m2+13mn+6n2﹣430的值便易得出．【答案】解：∵m2+2mn＝384，∴2（m2+2mn）＝2×384，即2m2+4mn＝768①又∵2n2+3mn＝560，∴上式乘以3得：9mn+6n2＝1680②①+②得：2m2+13mn+6n2＝2448，∴2m2+13mn+6n2﹣430＝2018．故选：A．【点睛】此题主要考查简单的计算能力，以及正确分析出所求式子和已知之间的联系．【变式6-3】（2019秋•深圳期中）已知a﹣b＝4，c+d＝2，则b+c﹣（a﹣d）的值是（ ）第47页/共47页A．﹣2B．2C．﹣5D．15【分析】把a﹣b＝4，c+d＝2代入解答即可．【答案】解：因为b+c﹣（a﹣d）＝﹣（a﹣b）+c+d＝﹣4+2＝﹣2，故选：A．【点睛】此题考查代数式求值，关键是先化简再求值．【考点7定义新运算】【例7】（2019秋•洛宁县期中）现定义两种运算△，*：对于任意两数a、b都有a△b＝2a+b﹣1，a*b＝ab﹣1，则2*[（1△1）△（2*1）]的值为 15 ．【分析】根据题目中的新定义可以求出题目中所求式子的值．【答案】解：∵a△b＝2a+b﹣1，a*b＝ab﹣1，∴2*[（1△1）△（2*1）]＝2*[（2×1+1﹣1）△（21﹣1）]＝2*[（2+1﹣1）△1]＝2*[2△1]＝2*[2×2+1﹣1]＝2*[4+1﹣1]＝2*4＝24﹣1＝16﹣1＝15，故答案为：15．【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．【变式7-1】（2019秋•重庆期中）定义新运算a⊕b＝，例如：2⊕3＝＝﹣，那么[（﹣3）⊕1]⊕（﹣2）的值为 ﹣ ．【分析】原式利用已知的新定义计算即可得到结果．【答案】解：根据题中的新定义得：（﹣3）⊕1＝＝＝﹣4，则原式（﹣4）⊕（﹣2）＝＝＝﹣，第47页/共47页故答案为：﹣【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式7-2】（2018秋•西城区校级期中）“※”定义新运算：对于有理数a、b都有：a※b＝ab﹣（a+b），那么5※3＝ 7 ；当m为有理数时，3※（m※2）＝ 2m﹣7 ．【分析】各式利用题中的新定义计算即可求出值．【答案】解：根据题中的新定义得：原式＝15﹣8＝7；原式＝3※（m﹣2）＝3m﹣6﹣3﹣m+2＝2m﹣7，故答案为：7；2m﹣7【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式7-3】（2018秋•海淀区校级期中）用#定义一种新运算对于任意有理数a和b，规定a#b＝+若（﹣2）#（﹣3）＝，则m的值为 3 ．【分析】先将a＝﹣2，b＝﹣3代入公式得（﹣2）#（﹣3）＝+＝，解之可得．【答案】解：∵+＝+，∴+＝，解得：m＝3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及解一元一次方程的能力．【考点8有理数的混合运算】【例8】（2018秋•桥西区校级期中）计算：（1）（﹣2）﹣（+4.7）﹣（﹣0.4）+（﹣3.3）（2）（+）﹣（﹣）﹣|﹣3|（3）（﹣+）×（﹣36）（4）（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2【分析】（1）先算同分母分数，再算加减法；第47页/共47页（2）先算绝对值，再算减法；（3）根据乘法分配律简便计算；（4）先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．【答案】解：（1）（﹣2）﹣（+4.7）﹣（﹣0.4）+（﹣3.3）＝（﹣2.4+0.4）﹣（4.7+3.3）＝﹣2﹣8＝﹣10；（2）（+）﹣（﹣）﹣|﹣3|＝（+）+﹣3＝2﹣3＝﹣1；（3）（﹣+）×（﹣36）＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝﹣18+20﹣21＝﹣19；（4）（﹣48）÷（﹣2）3﹣（﹣25）×（﹣4）+（﹣2）2＝﹣48÷（﹣8）﹣100+4＝6﹣100+4＝﹣90．【点睛】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【变式8-1】（2018秋•灵石县期中）计算：（1）（﹣81）÷÷（﹣16）（2）﹣1.5+1.4﹣（﹣3.6）﹣4.3+（﹣5.2）（3）﹣32×（）2+（）×（﹣24）第47页/共47页（4）（﹣2）4﹣[（﹣3）2﹣（1﹣23×）÷（﹣2）]【分析】（1）原式从左到右依次计算即可求出值；（2）原式利用减法法则变形，结合后相加即可求出值；（3）原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值；（4）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．【答案】解：（1）原式＝81×××＝1；（2）原式＝﹣1.5+1.4+3.6﹣4.3﹣5.2＝3.6﹣9.6＝﹣6；（3）原式＝﹣1﹣6﹣4﹣9＝﹣20；（4）原式＝16﹣[9+（1﹣8×）×2]＝16﹣[9﹣（1﹣6）×2]＝16+1＝17．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-2】（2018秋•南山区校级期中）计算：（1）（﹣12）+18+|﹣5|；（2）；（3）；（4）．【分析】根据有理数混合运算的法则计算各题即可．【答案】解：（1）（﹣12）+18+|﹣5|＝﹣12+18+5＝11；（2）＝×（﹣5﹣7+12）＝0；（3）＝（+﹣）×（﹣24）＝﹣12﹣20+10＝﹣22；（4）＝﹣1÷（﹣）﹣（﹣9+2）＝+7＝．【点睛】本题考查了有理数的混合运算的法则，熟练掌握有理数混合运算的法则是解题的关键．【变式8-3】（2018秋•临泽县校级期中）计算（1）﹣1+5÷（﹣）×（﹣4）（2）﹣52﹣[（﹣2）3+（1﹣0.8×）]÷|﹣1﹣1|（3）第47页/共47页（4）﹣36×（）÷（﹣2）【分析】（1）先计算除法，再计算乘法，最后计算加法即可得；（2）先计算括号内的和乘方运算，再计算括号外的除法，最后计算加减可得；（3）先提取公因数﹣，再进一步计算可得；（4）先利用乘法分配律计算，再计算除法即可得．【答案】解：（1）原式＝﹣1+5×（﹣4）×（﹣4）＝﹣1+80＝79；（2）原式＝﹣25﹣（﹣8+0.4）÷2＝﹣25+3.8＝﹣21.2；（3）原式＝（﹣）×（﹣5+13﹣3）＝（﹣）×5＝﹣11；（4）原式＝（﹣9+4+3）÷（﹣2）＝（﹣2）÷（﹣2）＝1．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．【考点9解一元一次方程】【例9】（2019春•松江区期中）解方程：4（x+）+9＝5﹣3（x﹣1）【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【答案】解：去括号，得4x+2+9＝5﹣3x+3，移项，得4x+3x＝5+3﹣2﹣9，化简，得7x＝﹣3，两边同除以x的系数7，得x＝﹣，所以，方程的解为x＝﹣．【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．第47页/共47页【变式9-1】（2019春•杨浦区期中）解方程：x﹣﹣1．【分析】根据解一元一次方程的步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．【答案】解：去分母得：12x﹣2（10x+1）＝3（2x+1）﹣12，去括号，得：12x﹣20x﹣2＝6x+3﹣12，移项，得：12x﹣20x﹣6x＝3﹣12+2，合并同类项，得：﹣14x＝﹣7，系数化为1，得：x＝．【点睛】此题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是熟记解一元一次方程的步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．【变式9-2】（2019春•新泰市期中）解方程：（1）x﹣3（x+1）﹣1＝2x（2）y﹣＝3+【分析】（1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案，（2）先把原方程进行整理，然后依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．【答案】解：（1）去括号得：x﹣3x﹣3﹣1＝2x，移项得：x﹣3x﹣2x＝3+1，合并同类项得：﹣4x＝4，系数化为1得：x＝﹣1，（2）原方程可整理得：y﹣（4y+20）＝3+，方程两边同时乘以2得：2y﹣2（4y+20）＝6+（y+3），去括号得：2y﹣8y﹣40＝6+y+3，移项得：2y﹣8y﹣y＝6+3+40，合并同类项得：﹣7y＝49，系数化为1得：y＝﹣7．【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．【变式9-3】（2018秋•高邮市期中）解下列方程第47页/共47页（1）﹣1（2）【分析】（1）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解；（2）根据分数的性质去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，依此即可求解．【答案】解：（1），3x＝2（x+1）﹣6，3x＝2x+2﹣6，3x﹣2x＝﹣4，x＝﹣4；（2）2x+＝x﹣，12x+x+2＝6x﹣4，12x+x﹣6x＝﹣4﹣2，7x＝﹣6，x＝﹣．【点睛】考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．【考点10整式化简求值】【例10】（2019春•南岗区校级期中）先化简，再求值：（3a2﹣ab+7）﹣（﹣4a2+2ab+7），其中a＝﹣1，b＝2【分析】先去括号、合并同类项化简原式，再将a、b的值代入计算可得．【答案】解：原式＝3a2﹣ab+7+4a2﹣2ab﹣7＝7a2﹣3ab，当a＝﹣1，b＝2时，原式＝7×1﹣3×（﹣1）×2＝7+6第47页/共47页＝13．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则是解题的关键．【变式10-1】（2018秋•金牛区校级期中）先简化，再求值：3a2b﹣2[2ab2﹣4（ab﹣a2b）+ab]+（4ab2﹣a2b），其中a＝﹣1，b＝．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【答案】解：原式＝3a2b﹣2（2ab2﹣4ab+6a2b+ab）+4ab2﹣a2b＝3a2b﹣4ab2+8ab﹣12a2b﹣2ab+4ab2﹣a2b＝﹣10a2b+6ab当a＝﹣1，b＝时，原式＝﹣10×1×+6×（﹣1）×＝﹣5﹣3＝﹣8【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型【变式10-2】（2018秋•合川区期中）先化简，再求值：3ab﹣[2ac﹣2（2ab﹣3ac）+ab]+（﹣2ab+4ac），其中a，b，c满足（a﹣）2+|b﹣c﹣1|＝0．【分析】先根据整式的加减法则进行化简，求出a、b﹣c的值，再代入求出即可．【答案】解：3ab﹣[2ac﹣2（2ab﹣3ac）+ab]+（﹣2ab+4ac）＝3ab﹣[2ac﹣4ab+6ac+ab]+（﹣2ab+4ac）＝3ab﹣2ac+4ab﹣6ac﹣ab﹣2ab+4ac＝4ab﹣4ac＝4a（b﹣c），∵a，b，c满足（a﹣）2+|b﹣c﹣1|＝0，∴a﹣＝0，b﹣c﹣1＝0，∴a＝，b﹣c＝1，当a＝，b﹣c＝1时，原式＝4×1＝2．第47页/共47页【点睛】本题考查了整式的加减和求值、绝对值和偶次方的非负性等知识点，能正确根据整式的加减法则进行化简是解此题的关键．【变式10-3】（2018秋•崇川区校级期中）已知多项式（a﹣3）x3+4xb+3+5x﹣1是关于x的二次三项式．（1）求a、b的值；（2）利用（1）中的结果，先化简，再求值：2（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+1﹣2a2b）﹣3【分析】（1）利用多项式次数与项的定义判断即可；（2）原式去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．【答案】解：（1）∵多项式（a﹣3）x3+4xb+3+5x﹣1是关于x的二次三项式，∴a﹣3＝0，b+3＝2，解得：a＝3，b＝﹣1；（2）原式＝6a2b﹣2ab2﹣3ab2﹣3+6a2b﹣3＝12a2b﹣5ab2﹣6＝﹣108﹣15﹣6＝﹣129．【点睛】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点11整式化简中的不含某项】【例11】（2018秋•金牛区校级期中）已知代数式A＝2x2+5xy﹣7y﹣3，B＝x2﹣xy+2．（1）当x＝﹣1，y＝2时，求3A﹣[9B﹣2（3B﹣A）]的值；（2）若A﹣2B的值与y的取值无关，求x的值．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【答案】解：（1）原式＝3A﹣（9B﹣6B+2A）＝3A﹣（3B+2A）＝A﹣3B，＝（2x2+5xy﹣7y﹣3）﹣（x2﹣xy+2）＝2x2+5xy﹣7y﹣3﹣x2+xy﹣2＝x2+6xy﹣7y﹣5当x＝﹣1，y＝2时，原式＝1﹣12﹣14﹣5＝﹣30（2）由（1）可知：A﹣2B＝（2x2+5xy﹣7y﹣3）﹣2（x2﹣xy+2）＝2x2+5xy﹣7y﹣3﹣2x2+2xy﹣4＝7xy﹣7y﹣7＝7y（x﹣1）﹣7第47页/共47页由题意可知：x﹣1＝0，x＝1．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．【变式11-1】（2018秋•新洲区期中）已知多项式（2mx2﹣x2+8x+1）﹣（5x2﹣5y2+6x）化简后不含x2项，求多项式2m3﹣[3m3﹣（4m﹣6）+m]的值．【分析】直接去括号进而合并同类项化简得出m的值，进而把m的值代入多项式求出答案．【答案】解：（2mx2﹣x2+8x+1）﹣（5x2﹣5y2+6x）＝2mx2﹣x2+8x+1﹣5x2+5y2﹣6x＝（2m﹣6）x2+5y2+2x+1，∵多项式（2mx2﹣x2+8x+1）﹣（5x2﹣5y2+6x）化简后不含x2项，∴2m﹣6＝0，解得：m＝3，2m3﹣[3m3﹣（4m﹣6）+m]＝2m3﹣3m3+4m﹣6﹣m＝﹣m3+3m﹣6，把m＝3代入得：原式＝﹣33+3×3﹣6＝﹣24．【点睛】此题主要考查了整式的加减，正确合并同类项是解题关键．【变式11-2】（2018秋•姜堰区期中）已知：A＝x2﹣2，B＝2x2﹣x+3（1）化简：4A﹣2B；（2）若2A﹣kB中不含x2项，求k的值．【分析】（1）根据整式的运算法则即可求出答案．（2）令含x2的项的系数为0即可求出k的值．【答案】解：（1）原式＝4（x2﹣2）﹣2（2x2﹣x+3）＝4x2﹣8﹣4x2+2x﹣6＝2x﹣14（2）2A﹣kB＝2（x2﹣2）﹣k（2x2﹣x+3）第47页/共47页＝2x2﹣4﹣2kx2+kx﹣3k∵2A﹣kB中不含x2项，∴2﹣2k＝0，∴k＝1【点睛】本题考查整式的加减，解题的关键是熟练运用整式的加减法则，本题属于基础题型．【变式11-3】（2018秋•兴化市期中）已知：A＝2a2+ab﹣2a+1，B＝﹣a2+ab﹣2a（1）求4（A﹣B）﹣[A+2（A﹣2B）]；（2）若（1）中的代数式的值与a的取值无关，求b的值；（3）比较A、B的大小．【分析】（1）先化简，然后把A和B代入求解；（2）根据题意可得原式＝（3b﹣6）a+1与a的取值无关，即化简之后a的系数为0，据此求b值即可．（3）利用作差法得出A﹣B＝3a2+1＞0，据此可得．【答案】解：（1）4（A﹣B）﹣[A+2（A﹣2B）]＝4A﹣2B﹣A﹣2（A﹣2B）＝3A﹣2B﹣2A+4B＝A+2B，当A＝2a2+ab﹣2a+1，B＝﹣a2+ab﹣2a时，原式＝A+2B＝2a2+ab﹣2a+1+2（﹣a2+ab﹣2a）＝2a2+ab﹣2a+1﹣2a2+2ab﹣4a＝3ab﹣6a+1；（2）原式＝（3b﹣6）a+1，∵（1）中的代数式的值与a的取值无关，∴3b﹣6＝0，解得：b＝2；第47页/共47页（3）∵A﹣B＝（2a2+ab﹣2a+1）﹣（﹣a2+ab﹣2a）＝2a2+ab﹣2a+1+a2﹣ab+2a＝3a2+1＞0，∴A＞B．【点睛】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则以及合并同类项法则．【考点12有理数的实际应用】【例12】（2019秋•双峰县校级月考）出租车司机沿东西方向的公路送旅客，如果约定向东为正，向西为负，当天的历史记录如下（单位：千米）+17，﹣9，+7，﹣15，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+5，+16（1）出租车司机最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？（2）出租车司机最远离出发点有多远？（3）若汽车每千米耗油量为0.08升，则这天共耗油多少升？【分析】（1）求得这组数据的和，结果是正数则最后到达的地点在出发点的东边，相反，则在西边；（2）求得每个记录点的位置，即可确定；（3）求得这组数据的绝对值的和，即是汽车行驶的路程，乘以0.08，即可求得总耗油量．【答案】解：（1）+17﹣9+7﹣15﹣3+11﹣6﹣8+5+16＝15（千米）．所以出租车司机最后到达的地方在出发点的东方，距出发点15千米；（2）第一次距离17千米，第二次距离17﹣9＝8千米，第三次距离8+7＝15千米，第四次距离15﹣15＝0千米，第五次距离|0﹣3|＝|﹣3|＝3千米，第六次距离﹣3+11＝8千米，第七次距离8﹣6＝2千米，第八次距离|2﹣8|＝|﹣6|＝6千米，第九次距离|﹣6+5|＝|﹣1|＝1千米，第十次距离1+16＝17千米．所以出租车司机最远离出发点17千米；（3）（17+9+7+15+3+11+6+8+5+16）×0.08第47页/共47页＝97×0.08＝7.76（升）．答：汽车每千米耗油量为0.08升，则这天共耗油7.76升．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，以及正负数表示一对具有相反意义的量，是一个基础题．【变式12-1】（2019秋•灌南县校级月考）某年的“十•一”黄金周期间，南京市山陵风景在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）日期1日2日3日4日5日6日7日人数变化单位：万人1.60.80.4﹣0.4﹣0.80.2﹣1.2（1）请判断七天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？（2）若9月30日的游客人数为2万人，求这7天的游客总人数是多少万人？【分析】（1）由表知，从10月4日旅游的人数比前一天少，所以10月3日人数最多；10月7日人数最少；10月3日人数减去10月7日人数可得它们相差的人数；（2）在9月30日的游客人数为2万人的基础上，把黄金周期间这七天的人数先分别求出来，再分别相加即可．【答案】解：（1）10月3日人数最多；10月7日人数最少；它们相差：（1.6+0.8+0.4）﹣（1.6+0.8+0.4﹣0.4﹣0.8+0.2﹣1.2）＝2.2万人；（2）3.6+4.4+4.8+4.4+3.6+3.8+2.6＝27.2（万人）．答：这7天的游客总人数是27.2万人．【点睛】本题考查正数和负数，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义．【变式12-2】（2018秋•汉滨区期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产自行车100辆，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入．表是某周的自行车生产情况（超计划生产量为正、不足计划生产量为负，单位：辆）：星期一二三四五六日增减+8﹣2﹣3+16﹣9+10﹣11（1）根据记录可知前三天共生产自行车 303 辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 27 辆；第47页/共47页（3）若该厂实行按生产的自行车数量的多少计工资，即计件工资制．如果每生产一辆自行车就可以得人民币60元，超额完成任务，每超一辆可多得15元；若不足计划数的，每少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？【分析】（1）根据记录可知，前三天共生产了200×3+（8﹣2﹣3）辆自行车；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产了16﹣（﹣11）辆自行车；（3）先计算超额完成几辆，然后再求算工资．【答案】解：（1）3×100+（8﹣2﹣3）＝303；故答案为：303（2）16﹣（﹣11）＝27；故答案为：27（3）一周的超计划生产量是：8﹣2﹣3+16﹣9+10﹣11＝9一周的工资总额为：（700+9）×60+9×15＝42675元．【点睛】本题考查有理数运算在实际生活中的应用，利用所学知识解答实际问题是我们应具备的能力，这也是今后中考的命题重点．认真审题，准确的列出式子是解题的关键．【变式12-3】（2018秋•金堂县期中）小华的父亲上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（单位：元）星期一二三四五六每股涨跌+3+4.5﹣1﹣2.5﹣5+2请根据以上信息，完成下列各题：（1）星期三收盘时，每股是多少元？（2）本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？（3）已知小华父亲买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果他在本周六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？【分析】（1）直接根据表中数据列式计算即可；（2）分别计算出星期一至星期六收盘时的每股股价，再比较即可判断；（3）根据“买进股票时付1.5‰的手续费，卖出时需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税”计算即可．【答案】解：（1）星期三收盘时每股股价为27+3+4.5+（﹣1）＝33.5（元）；（2）由题知星期一至星期六收盘时的每股股价分别为：周一27+3＝30（元），第47页/共47页周二30+4.5＝34.5（元），周三34.5﹣1＝33.5（元），周四33.5﹣2.5＝31（元），周五31﹣5＝26（元），周六26+2＝28（元）．答：本周内最高价是每股34.5元，最低价是每股26元；（3）28×1000﹣28×1000×（1.5‰+1‰）﹣1000×27×（1+1.5‰）＝889.5（元），答：小华父亲在本周六收盘前将全部股票卖出赚了889.5元．【点睛】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法运算是解题关键，注意卖出的交易额减去买进的交易额减去手续费、交易税等于收益．【考点13数式变化规律探究】【例13】（2018秋•白塔区校级月考）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝（1﹣）第2个等式：a2＝＝（﹣）第3个等式：a3＝＝（﹣）第4个等式：a4＝＝（﹣）…请回答下列问题：（1）按上述等式的规律，列出第5个等式： a5＝＝（﹣） ；（2）a5＝ ＝ （﹣） ；an＝ ＝ （﹣） ；（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．【分析】（1）由连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半可得；（2）利用以上所得规律可得答案；（3）利用以上所得规律列出算式，再裂项求和即可得．【答案】解：（1）第5个等式：a5＝＝（﹣）；第47页/共47页故答案为，（﹣）；（2）由（1）知，an＝＝（﹣），故答案为：，（﹣），，（﹣）．（3）原式＝+++…+＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝×＝．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出连续奇数乘积的倒数等于各自倒数差的一半的规律，并加以运用．【变式13-1】（2018秋•港南区期中）观察下列算式，解答问题：1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝421+3+5+7+9＝25＝52（1）请猜想1+3+5+7+…+49＝ 625 ；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝ （n+1）2 ；（3）请利用上题猜想结果，计算39+41+43+45+…+2015+2017的值（要有计算过程）【分析】（1）由等式可知左边是连续奇数的和，右边是数的个数的平方，由此规律解答即可；（2）由（1）的结论可知是n个连续奇数的和，得出结果；（3）让从1加到2017这些连续奇数的和，减去从1加到37这些连续奇数的和即可．【答案】解：由1+3＝4＝221+3+5＝9＝321+3+5+7＝16＝42第47页/共47页1+3+5+7+9＝25＝52…依此类推：第n个图案所代表的算式为：1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2；（1）当n＝25时分别为：1+3+5+7+…+49＝625；故答案为：625；（2）由（1）可知：1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）＝1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]＝（n+1）2．故答案为：（n+1）2．（3）39+41+43+…+2015+2017＝（1+3+…2017）﹣（1+3+…+37）＝10092﹣192＝1017720．【点睛】考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形和算式找到规律，难度不大．【变式13-2】（2018春•平南县期中）阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22017，将等式两边同时乘以2得：2S＝2+22+23+24+…+22017+22018将下式减去上式得2S﹣S＝22018﹣1即S＝22018﹣1即1+2+22+23+24+…+22017＝22018﹣1请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+…+29＝ 210﹣1 ；（2）1+5+52+53+54+…+5n（其中n为正整数）；（3）1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29．【分析】（1）根据题目中的信息可以解答本题；（2）根据题目中的信息可以解答本题；（3）根据题目中的信息，运用类比的数学思想可以解答本题．【答案】解：（1）设S＝1+2+22+23+…+29，将等式两边同时乘以2得：第47页/共47页2S＝2+22+23+24+…+29+210，将下式减去上式得2S﹣S＝210﹣1，即S＝210﹣1，即1+2+22+23+…+29＝210﹣1．故答案为：210﹣1；（2）设S＝1+5+52+53+54+…+5n，将等式两边同时乘以5得：5S＝5+52+53+54+55+…+5n+5n+1，将下式减去上式得5S﹣S＝5n+1﹣1，即S＝，即1+5+52+53+54+…+5n＝；（3）设S＝1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29，将等式两边同时乘以2得：2S＝2+2×22+3×23+4×24+…+9×29+10×210，将上式减去下式得﹣S＝1+2+22+23+…+29+10×210，﹣S＝210﹣1﹣10×210，S＝9×210+1，即1+2×2+3×22+4×23+…+9×28+10×29＝9×210+1．【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．【变式13-3】（2019秋•隆昌市月考）观察下列等式：第一个等式：a1＝＝﹣第二个等式：a2＝＝﹣第三个等式：a3＝＝﹣第四个等式：a4＝＝﹣按照上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6＝ ＝ ﹣ ；第47页/共47页（2）用含n的代数式表示第n个等式：an＝ ＝ ﹣ ；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6＝ （得出最简结果）；（4）a1+a2+a3+……+an．【分析】（1）由已知得到规律即可得到a6＝＝﹣；（2）根据已知式子的规律能够推断出an＝＝﹣；（3）将已知式子和（1）中所求式子相加即可得解；（4）结合前面的探索可得a1+a2+a3+……+an＝﹣+﹣+﹣+……+﹣化简可求解．【答案】解：（1）由已知可得a6＝＝﹣；故答案为，﹣；（2）an＝＝﹣；故答案为，﹣；（3）由已知式子可得a1+a2+a3+a4+a5+a6＝﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣＝﹣＝；故答案为；（4）a1+a2+a3+……+an＝﹣+﹣+﹣+……+﹣＝﹣＝．第47页/共47页【点睛】本题考查数字的变化规律；能够根据已知式子找到式子存在的规律，并利用探索的规律计算是解题的关键．【考点14图形的变化规律探究】【例14】（2018秋•武威期中）同样大小的黑色棋子按图中所示的规律摆放：（1）填写下表：图形序号1234567…图中棋子数69 12 15 18 21 24 …（2）照这样的方式摆下去，写出摆第n（n为正整数）个图形所需黑色棋子的颗数．【分析】（1）设摆第n（n为正整数）个图形需要an颗黑色棋子，根据各图形黑子棋子数量的变化，可找出第3，4，5，6，7个图形中需要的棋子数；（2）根据各图形黑子棋子数量的变化可找出变化规律“an＝3n+3（n为正整数）”，此题得解．【答案】解：（1）设摆第n（n为正整数）个图形需要an颗黑色棋子，∵a1＝6，a2＝6+3＝9，a3＝9+3＝12，a4＝12+3＝15，∴a5＝15+3＝18，a6＝18+3＝21，a7＝21+3＝24．故答案为：12；15；18；21；24．（2）∵a1＝6＝3×1+3，a2＝9＝3×2+3，a3＝12＝3×3+3，a4＝15＝3×4+3，…，∴an＝3n+3（n为正整数），即摆第n（n为正整数）个图形需要（3n+3）颗黑色棋子．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中棋子数量的变化，找出变化规律“an＝3n+3（n为正整数）”是解题的关键．【变式14-1】（2018秋•潮阳区校级期中）如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环下去．（1）填写下表：剪的次数12345第47页/共47页正方形个数4710 13 16 （2）如果剪了8次，共剪出 25 个小正方形．（3）如果剪n次，共剪出 （3n+1） 个小正方形．（4）设最初正方形纸片为1，则剪n次后，最小正方形的边长为 ．【分析】（1）根据题意可以将表格中的数据补充完整；（2）根据表格中的数据可以计算出剪了8次，共剪出多少个正方形；（3）根据表格中的数据可以计算出剪了n次，共剪出多少个正方形；（4）根据题意可以写出最初正方形纸片为1，剪n次后，最小正方形的边长．【答案】解：（1）由题意可得，第4次剪成的正方形总的个数为：4+（4﹣1）×3＝13（个），第5次剪成的正方形总的个数为：4+（5﹣1）×3＝16（个），故答案为：13，16；（2）如果剪了8次，共剪出：4+（8﹣1）×3＝25（个），故答案为：25；（3）如果剪n次，共剪出：4+（n﹣1）×3＝（3n+1）（个），故答案为：（3n+1）；（4）最初正方形纸片为1，则剪n次后，最小正方形的边长为：，故答案为：．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中正方形个数的变化规律，利用数形结合的思想解答．【变式14-2】（2018秋•成都期中）用火柴按下图中的方式搭图形：第47页/共47页（1）按图示规律补全表格：图形编号①②③④⑤火柴棒根数712 17 22 27 （2）按照这种方式搭下去，请写出搭第n个图形需要的火柴根数；（3）小明发现：按照这种方式搭图形会产生若干个正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？【分析】（1）由已知图形中火柴棒的根数是序数的5倍与2的和，据此可补全表格；（2）根据以上所得规律可得答案；（3）先根据使用187根火柴搭图形得出图形序号，再利用图n中正方形的个数为2+3（n﹣1）＝3n﹣1可得答案．【答案】解：（1）图①中火柴棒的根数7＝2+5×1，图②中火柴棒的根数12＝2+5×2，图③中火柴棒的根数2+5×3＝17，图④中火柴棒的根数2+5×4＝22，图⑤中火柴棒的根数2+5×5＝27，补全图形如下：图形编号①②③④⑤火柴棒根数712172227（2）搭第n个图形需要的火柴根数为2+5n；（3）根据题意，得：2+5n＝187，解得：n＝31，∵图n中正方形的个数为2+3（n﹣1）＝3n﹣1，∴第31个图形中，正方形的个数为3×31﹣1＝92．第47页/共47页【点睛】本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形得到后一个图形比前一个图形多5根火柴棒是解题的关键．【变式14-3】（2018秋•广陵区校级期中）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面，观察下列图形，探究并解答问题：（1）在第4个图中，共有白色瓷砖 24 块；在第n个图中，共有白色瓷砖 n（n+2） 块；（2）试用含n的代数式表示在第n个图中共有瓷砖的块数；（3）如果每块黑瓷砖20元，每块白瓷砖30元，当n＝10时，求铺设长方形地面共需花多少钱购买瓷砖？【分析】（1）通过观察发现规律，第4个图中共有白色瓷砖4×6块，共有6×8块瓷砖；（2）将上面的规律写出来即可；（3）求出当n＝10时黑色和白色瓷砖的个数，然后计算总费用即可．【答案】解：（1）图形发现：第1个图形中有白色瓷砖1×3块，共有瓷砖3×5块；第2个图形中有白色瓷砖2×4块，共有瓷砖4×6块；第3个图形中有白色瓷砖3×5块，共有瓷砖5×7块；…第4个图形中有白色瓷砖4×6＝24块，第n个图形中有白色瓷砖n（n+2）块；故答案为：24，n（n+2）；（2）共有瓷砖（n+2）（n+4）块；（3）当n＝10时，共有白色瓷砖120块，黑色瓷砖48块，120×30+48×20＝4560元．【点睛】此题主要考查学生对图形变化类这个知识点的理解和掌握，此题有一定拔高难度，属于难题，解答此题的关键是通过观察和分析，找出其中的规律．【考点15列代数式】【例15】（2017秋•宜兴市期中）将连续的奇数1，3，5，7…排列成如下的数表用十字框框出5个数（如图）第47页/共47页（1）若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数式表示十字框框住的5个数字之和；（2）十字框框住的5个数之和能等于2010吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由；（3）十字框框住的5个数之和能等于355吗？若能，分别写出十字框框住的5个数；若不能，请说明理由．【分析】从表格可看出上下相邻相差12，左右相邻相差2，中间的数为a，上面的为a﹣12，下面的为a+12，左面的为a﹣2，右面的为a+2，这5个数的和可用a来表示，然后分别代入2010和355看看求出的结果是整数就可以，不是整数就不可以．【答案】解：（1）从表格知道中间的数为a，上面的为a﹣12，下面的为a+12，左面的为a﹣2，右面的为a+2，a+（a﹣2）+（a+2）+（a﹣12）+（a+12）＝5a；（2）5a＝2010，a＝402，∵402是偶数，∴这个是不可以的；（3）5a＝355，a＝71，∵71位于一行的最右边，∴十字框框住的5个数之和不能等于355．【点睛】本题考查了理解题意能力和看表格能力，写出这5个数的和代入要求的数看看能不能是整数，是整数就可以．【变式15-1】（2018秋•点军区期中）在边长为a的正方形的一角剪去一个边长为b的小正方形（a＞b第47页/共47页），如图①（1）由图①得阴影部分的面积为 a2﹣b2 ．（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为 （a+b）（a﹣b） ．（3）由（1）（2）的结果得出结论： a2﹣b2 ＝ （a+b）（a﹣b） ．（4）利用（3）中得出的结论计算：20182﹣20172【分析】（1）根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，列式即可得到结论；（2）根据梯形的面积公式列式，化简即可得到结论；（3）由（1）（2）的结论即可得到结果；（4）根据（3）中得出的结论计算即可．【答案】解：（1）由图①得阴影部分的面积为a2﹣b2．故答案为a2﹣b2；（2）沿图①中的虚线剪开拼成图②，则图②中阴影部分的面积为（2a+2b）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．故答案为（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）（2）的结果得出结论：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；（4）20182﹣20172＝（2018+2017）（2018﹣2017）＝4035．【点睛】此题考查了列代数式，图形的面积，根据正方形的面积公式和梯形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键，是一道基础题．【变式15-2】（2018秋•第47页/共47页青岛期末）为发展校园足球运动，某县城区四校决定联合购买一批足球运动装备，市场调查发现，甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球，乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．（1）求每套队服和每个足球的价格是多少？（2）若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；（3）在（2）的条件下，若a＝60，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？【分析】（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据两套队服与三个足球的费用相等列出方程，解方程即可；（2）根据甲、乙两商场的优惠方案即可求解；（3）把a＝60代入（2）中所列的代数式，分别求得在两个商场购买所需要的费用，然后通过比较得到结论：在乙商场购买比较合算．【答案】解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元，根据题意得2（x+50）＝3x，解得x＝100，x+50＝150．答：每套队服150元，每个足球100元；（2）到甲商场购买所花的费用为：150×100+100（a﹣）＝100a+14000（元），到乙商场购买所花的费用为：150×100+0.8×100•a＝80a+15000（元）；（3）在乙商场购买比较合算，理由如下：将a＝60代入，得100a+14000＝100×60+14000＝20000（元）．80a+15000＝80×60+15000＝19800（元），因为20000＞19800，所以在乙商场购买比较合算．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．【变式15-3】（2018秋•十堰期末）某超市在春节期间对顾客实行优惠，规定如下：第47页/共47页一次性购物优惠办法少于200元不予优惠低于500元但不低于200元九折优惠500元或超过500元其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠（1）王老师一次性购物600元，他实际付款 530 元．（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 0.9x 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 （0.8x+50） 元．（用含x的代数式表示）．（3）如果王老师两次购物货款合计820元，第一次购物的货款为a元（200＜a＜300），用含a的代数式表示：两次购物王老师实际付款多少元？【分析】（1）让500元部分按9折付款，剩下的100按8折付款即可；（2）等量关系为：购物款×9折；500×9折+超过500的购物款×8折；（3）两次购物王老师实际付款＝第一次购物款×9折+500×9折+（总购物款﹣第一次购物款﹣第二次购物款500）×8折，把相关数值代入即可求解．【答案】解：（1）500×0.9+（600﹣500）×0.8＝530；（2）0.9x；500×0.9+（x﹣500）×0.8＝0.8x+50；（3）0.9a+0.8（820﹣a﹣500）+450＝0.1a+706．【点睛】解决本题的关键是得到不同购物款所得的实际付款的等量关系，难点是求第二问的第二次购物款应分9折和8折两部分分别计算实际付款．【考点16数轴上的动点问题】【例16】（2018秋•监利县期末）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，4秒后，两点相距20个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4．（速度单位：单位长度/秒）（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动4秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中的位置同时向数轴负方向运动，几秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）在（2）中A、B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从A点位置出发向B运动，当遇到B后，立即返回向A点运动，遇到A点后立即返回向B点运动，如此往返，直到A追上B时，C第47页/共47页立即停止运动．若点C一直以15单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．【分析】（1）设A的速度是x，则B的速度为4x，根据行程问题的数量关系建立方程求出其解即可；（2）设y秒后，原点恰好在A、B的正中间，根据两点到原点的距离相等建立方程求出其解即可；（3）设A追上B时间z秒，由速度×时间＝路程就可以求出结论．【答案】解：（1）设A的速度是x，则B的速度为4x，由题意，得4（x+4x）＝20，解得：x＝1，∴B的速度为4，∴A到达的位置为﹣4，B到达的位置是16，在数轴上的位置如图：答：A的速度为1；B的速度为4．（2）设y秒后，原点恰好在A、B的正中间，由题意，得16﹣4y＝y+4y＝．答：秒后原点恰好处在两个动点正中间；（3）设A追上B时间z秒，由题意，得解得：z＝，∴C点行驶路程为：＝64．答：点C从开始到停止运动，运动的路程是64单位长度．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，相遇问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，数轴的运用，解答时由行程问题的数量关系建立方程是关键．【变式16-1】（2018秋•香洲区期末）如图，数轴上点A、C对应的数分别为a、c，且a、c，满足|a+4|+（c﹣1）2014＝0，点O对应的数为0，点B对应的数为﹣3．第47页/共47页（1）求数a、c的值；（2）点A，B沿数轴同时出发向右匀速运动，点A速度为2个单位长度/秒，点B速度为1个单位长度/秒，几秒后，点A追上点B；（3）在（2）的条件下，若运动时间为t秒，运动过程中，当A，B两点到原点O的距离相等时，求t的值．【分析】（1）根据非负数的和为0的定理建立方程求出其解；（2）可设x秒后，点A追上点B，根据等量关系：路程差＝速度差×时间，列出方程求解即可；（3）根据A，B两点到原点O的距离相等分两种情况：当A、B在原点的左侧A、B相遇时和A、B在原点的异侧时，建立方程求出其解即可．【答案】解：（1）由题意，得a+4＝0，c﹣1＝0，解得：a＝﹣4，c＝1．答：a的值是﹣4，b的值是1；（2）∵点B对应的数为﹣3，A对应的数是﹣4，∴AB＝1，AO＝4，BO＝3．设x秒后，点A追上点B，依题意有2t﹣t＝1，解得t＝1；（3）∵点B对应的数为﹣3，A对应的数是﹣4，∴AB＝1，AO＝4，BO＝3．当A、B在原点的左侧A、B相遇时，2t﹣t＝1，t＝1，当A、B在原点的异侧时，2t﹣4＝3﹣t，解得：t＝．∴A，B两点到原点O的距离相等时，t的值为1或．第47页/共47页【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，绝对值的运用，偶次幂的运用，解答时根据行程问题的追击问题的数量关系建立方程是关键．【变式16-2】（2019春•南关区校级月考）如图，在数轴上点A表示的有理数为﹣4，点B表示的有理数为6，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动．设运动时间为t（单位：秒）．（1）求t＝2时点P表示的有理数；（2）求点P与点B重合时t的值；（3）①在点P由点A到点B的运动过程中，求点P与点A的距离（用含t的代数式表示）；②在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是多少（用含t的代数式表示）．（4）当点P表示的有理数与原点距离是2.5个单位时，求所有满足条件的t的值．【分析】（1）当t＝2时，利用距离＝速度×时间，计算出点P移动的距离，点A的坐标加上点P移动的距离，即可得到答案，（2）当点P与点B重合时，计算出点P移动的距离，根据时间＝距离÷速度，即可得到答案，（3）①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为：速度×时间，即可得到答案，②在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是：点P与点A的距离+点A的坐标，即可得到答案，（4）设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点﹣2.5时，与原点距离是2.5个单位，所用时间为t1，在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点2.5时，与原点距离是2.5个单位，所用时间为t2，点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点2.5时，与原点距离是2.5个单位，所用时间为t3，点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点﹣2.5时，与原点距离是2.5个单位，所用时间为t4，列出四个一元一次方程，解之即可．【答案】解：（1）当t＝2时，点P移动的距离为：2×2＝4，此时点P表示的有理数为：﹣4+4＝0，即t＝2时点P表示的有理数为0，（2）当点P与点B重合时，点P移动的距离为：6﹣（﹣4）＝10，移动的时间t＝10÷2＝5（秒），即点P与点B重合时t的值为5，第47页/共47页（3）①在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为：2t，②在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数是2t﹣4，（4）设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点﹣2.5时，与原点距离是2.5个单位，所用时间为t1，2t1﹣4＝﹣2.5，解得：t1＝，设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点2.5时，与原点距离是2.5个单位，所用时间为t2，2t2﹣4＝2.5，解得：t2＝，设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点2.5时，与原点距离是2.5个单位，所用时间为t3，2t3＝10+（6﹣2.5），解得：t3＝，设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点﹣2.5时，与原点距离是2.5个单位，所用时间为t4，2t4＝10+[6﹣（﹣2.5）]，解得：t4＝，即所有满足条件的t的值为，，，．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是：正确掌握速度，时间，距离公式，数轴的定义，正确找出等量关系，列出一元一次方程．【变式16-3】（2018秋•铁西区期末）如图，数轴的单位长度为1，点P，A，Q，B是数轴上的四个点，其中点A，B表示的数是互为相反数．（1）请在数轴上用点M表示出代表原点“0”的点；（2）点P表示的数是 ﹣5 ，点Q表示的数是 2 ；（3）若点P以1.5单位/秒的速度向数轴的正方向运动，点Q以2单位/秒的速度向数轴的负方向运动，且两点同时开始运动．①当运动时间为多少秒时，点P，Q重合？②当运动时间为多少秒时，P，Q两点之间的距离恰好为1？第47页/共47页【分析】（1）根据点A，B表示的数是互为相反数，可得在数轴上用点M表示出代表原点“0”的点；（2）根据点A，B表示的数是互为相反数，可求点A，B表示的数，进一步得到点P表示的数，点Q表示的数；（3）①可设当运动时间为t秒时，点P，Q重合，根据等量关系：速度和×时间＝路程和，列出方程求解即可；②可设当运动时间为x秒时，P，Q两点之间的距离恰好为1，根据等量关系：速度和×时间＝路程和，列出方程求解即可．【答案】解：（1）如图所示：（2）∵点A，B表示的数是互为相反数，∴点A表示的数是﹣4，点B表示的数是4，∴点P表示的数是﹣3﹣1＝﹣5，点Q表示的数是4﹣2＝2．（3）①设当运动时间为t秒时，点P，Q重合，依题意有（1.5+2）t＝2﹣（﹣5），解得t＝2．故当运动时间为2秒时，点P，Q重合；②设当运动时间为x秒时，P，Q两点之间的距离恰好为1，依题意有①（1.5+2）x＝2﹣（﹣5）﹣1，解得x＝．②（1.5+2）x＝2﹣（﹣5）+1，解得x＝．故当运动时间为或秒时，P，Q两点之间的距离恰好为1．故答案为：﹣5，2．【点睛】考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：速度和×时间＝路程和，列出方程，再求解．第47页/共47页
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