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专题1.5平面图形的认识（一）单元考点题型举一反三讲练【苏科版】【考点1直线、射线、线段的表示与计数】【方法点拨】线段：(1)一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示，以A，B为端点的线段，可记作“线段AB”或“线段BA”；(2)一条线段可以用一个小写字母来表示，如图，线段AB也可记作“线段a”．射线：将线段向一个方向无限延长就得到了射线．射线有一个端点，射线向一个方向无限延伸，射线是无法测量的．射线的表示法：两个大写字母：一条射线可以用表示它的端点和射线上的另一点的两个大写字母来表示，若点O是端点，点A是射线上异于端点的另一点，那么这条射线可以记作射线OA.注意：①表示射线的两个大写字母，其中一个一定是端点，并且要把它写在前面．②端点相同的射线不一定是同一条射线，端点不同的射线一定不是同一条射线③两条射线为同一射线必须具备的两个条件：①端点相同；②延伸的方向相同．直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线．直线没有端点，直线向两个方向无限延伸，直线是无法测量的．直线的两种表示方法：一条直线可以用一个小写字母表示，可记作：直线a.一条直线也可以用在这条直线上的表示两个点的大写字母来表示，可记作：直线AB或直线BA.第59页/共59页【例1】（2020秋•苍溪县期末）如图，点C是线段BD之间的点，有下列结论①图中共有5条线段；②射线BD和射线DB是同一条射线；③直线BC和直线BD是同一条直线；④射线AB，AC，AD的端点相同，其中正确的结论是（ ）A．②④B．③④C．②③D．①③【分析】根据直线、射线、线段的定义对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①图中共有6条线段，错误；②射线BD和射线DB不是同一条射线，错误；③直线BC和直线BD是同一条直线，正确；④射线AB，AC，AD的端点相同，正确，故选：B．【点评】本题考查了直线、射线、线段，熟记概念以及表示方法是解题的关键．【变式1-1】（2020春•广饶县期末）如图的四个图形和每一个图形相应的一句描述，其中所有图形都是画在同一个平面上．①线段AB与射线MN不相交；②点C在线段AB上；③直线a和直线b不相交；④延长射线AB，则会通过点C．其中正确的语句的个数有（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据直线、线段、射线的定义以及其性质分别判断得出即可．【解答】解：①线段AB与射线MN不相交，根据图象可得出此选项正确；②根据图象点C不在线段AB上，故此选项错误；③根据图象可得出直线a和直线b会相交，故此选项错误；④根据图象可得出应为延长线段AB，到点C，故此选项错误，故正确的语句的个数是1个．第59页/共59页故选：B．【点评】此题主要考查了直线、线段、射线的定义的应用，正确根据题意画出图形是解题关键．【变式1-2】（2020秋•丰南区期末）下列语句正确的是（ ）A．延长线段AB到C，使BC＝ACB．反向延长线段AB，得到射线BAC．取直线AB的中点D．连接A、B两点，并使直线AB经过C点【分析】根据直线、射线、线段的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、延长线段AB到C，使BC＝AC，不可以做到，故本选项错误；B、反向延长线段AB，得到射线BA，故本选项正确；C、取直线AB的中点，错误，直线没有中点，故本选项错误；D、连接A、B两点，并使直线AB经过C点，若A、B、C三点不共线则做不到，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了直线、射线、线段，是基础题，主要是对几何语言的判断，熟记概念与习惯用语是解题的关键．【变式1-3】如图所示，能用所给字母表示的直线有 条，射线有 条，线段有 条．【分析】根据直线、射线、线段的表示法即可得到．【解答】解：图中有直线AC、直线BC有2条；以A为端点的射线：有射线AB、射线AC；以B为端点的射线有：BC；以C为端点的射线有：CA、CB．射线共有5条；线段有：AB、BC、CA、BD、CD共有5条．故答案是：2，5，5．【点评】本题考查了直线、射线、线段的表示法，理解三线的延伸性是关键．【考点2平行线与垂线】【方法点拨】平行线：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；基本事实：过直线外一点有且只有一第59页/共59页条直线与这条直线平行.垂线的基本性质是：过直线上或直线外的一点,有且只有一条直线和已知直线垂直（在同一平面内）；从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂直线段最短.【例2】（2020春•港南区期末）下列说法不正确的是（ ）A．过任意一点可作已知直线的一条平行线B．同一平面内两条不相交的直线是平行线C．在同一平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直D．平行于同一直线的两直线平行【分析】根据平行线的定义及平行公理进行判断．【解答】解：A中，若点在直线上，则不可以作出已知直线的平行线，而是与已知直线重合，错误．B、C、D正确．故选：A．【点评】本题主要考查平行线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键．【变式2-1】（2019春•邱县期末）下列语句：①不相交的两条直线叫平行线②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案．【解答】解：①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，故选：B．【点评】此题主要考查了平行公理及推论，正确把握定义是解题关键．【变式2-2】（2020春•丛台区校级月考）如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON第59页/共59页重合（即O，M，N三点共线），其理由是（ ）A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．两点之间，线段最短【分析】利用垂线的性质解答．【解答】解：如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合（即O，M，N三点共线），其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：C．【点评】此题主要考查了垂线，关键是掌握垂线的性质．【变式2-3】（2020春•长安区校级月考）下列说法：①两点之间的所有连线中，线段最短；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离，其中正确的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据线段、点到直线的距离，垂线的概念或性质逐项分析即可．【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，说法正确；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，说法正确；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，说法错误．故选：B．【点评】本题主要考查了线段、点到直线的距离，垂线的概念及性质，理解概念是解答此题的关键．【考点3作图题】第59页/共59页【方法点拨】依据直线、射线、线段的定义及两点之间线段最短、垂线段最短作图即可.【例3】（2020秋•台州期末）已知：如图，平面上有A、B、C、D、F五个点，根据下列语句画出图形：（Ⅰ）直线BC与射线AD相交于点M；（Ⅱ）连接AB，并反向延长线段AB至点E，使AE=12BE；（Ⅲ）①在直线BC上求作一点P，使点P到A、F两点的距离之和最小；②作图的依据是 ．【分析】分别根据直线、射线、相交直线和线段的延长线进行作图即可．【解答】解：如图所示：作图的依据是：两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．【点评】本题主要考查直线、射线和线段的画法，掌握作图的基本方法是解题的关键．【变式3-1】（2019秋•苍南县期末）已知点A，B，C如图所示，根据要求完成下列各题．（1）画直线BC，线段AB和射线CA．（2）过点A画BC的垂线段AD，垂足为D，并量出点A到直线BC的距离为 cm．（以答题纸为测量依据，结果精确到0.1cm）．第59页/共59页【分析】（1）过点C、B作直线，要向两方延伸；过A、C作射线，向A点方向延伸，C点方向不延伸；作线段AB，不向任何一个方向延伸；（2）利用直角三角三角板过A作垂线AD，利用直尺测量即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）经测量AD＝1.8cm，故答案为：1.8．【点评】本题主要考查了作图知识的把几何语言转化为几何图形的能力，要求同学们一定要认真作图，特别是直线与射线需要延伸，而线段不需要延伸，也就是端点在作图时的表示．【变式3-2】（2020秋•北仑区期末）如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短并说明根据．【分析】（1）由两点之间线段最短可知，连接AD、BC交于H，则H为蓄水池位置；（2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直EF的线段．【解答】解：（1）∵两点之间线段最短，∴连接AD，BC交于H，则H为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小．第59页/共59页（2）过H作HG⊥EF，垂足为G．“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池H中开渠最短的根据．【点评】本题考查了线段和垂线的性质在实际生活中的运用．【变式3-3】（2020春•赣州期末）如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．【解答】解：如图所示（1）沿AB走，两点之间线段最短；（2）沿AC走，垂线段最短；（3）沿BD走，垂线段最短．【点评】根据具体的问题正确判断出是点到点的距离还是点到线的距离是解答问题的关键．【考点4线段的计算（方程思想）】【例4】（2020秋•殷都区期末）如图，C，D是线段AB上的两点，已知M，N分别为AC，DB的中点，AB第59页/共59页＝18cm，且AC：CD：DB＝1：2：3，求线段MN的长．【分析】根据题意分别求出AC、CD、DB的长，根据中点的性质计算即可．【解答】解：设AC，CD，DB的长分别为xcm，2xcm，3xcm∵AC+CD+DB＝AB，AB＝18cm∴x+2x+3x＝18解得x＝3∴AC＝3cm，CD＝6cm，DB＝9cm∵M，N为AC，DB的中点，∴MC=12AC=1.5，DN=12BD=4.5∴MN＝MC+CD+DN＝12cm，∴MN的长为12cm．【点评】本题考查的是两点间的距离的计算，掌握线段中点的概念、灵活运用数形结合思想是解题的关键．【变式4-1】（2020秋•渝北区期末）如图所示．点C，B是线段AD上的两点，AC：CB：BD＝3：1：4，点E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝14，求AB，CD的长．【分析】根据已知条件“AC：CB：BD＝3：1：4”设AC＝3x，则CB＝x，BD＝4x，表示出BE，CF，根据EF＝14列方程求解，即可得到x的值．从而求得线段AB、CD的长．【解答】解：设AC＝3x，则CB＝x，BD＝4x，∴AB＝AC+CB＝3x+x＝4x，CD＝CB+BD＝x+4x＝5x．∵点E，F分别是AB，CD的中点则BE=12AB＝2x，CF=12CD=52x．∵EF＝14，∴EB+CF﹣CB＝14，∴2x+52x-x=14，解得：x＝4，∴AB＝4x＝16，CD＝5x＝20．第59页/共59页【点评】本题考查了线段中点的有关计算及两点间的距离．此题是根据图形来计算相关线段的长度，所以从图中得到相关线段间的和差倍分关系是解题的关键．【变式4-2】（2020秋•乐都区期末）如图所示，线段AB上有两点M，N，AM：MB＝5：11，AN：NB＝5：7，MN＝1.5，求AB长度．【分析】由已知条件可知，AM：MB＝5：11，设一份是x，进而分别表示AM，MB的长，则能够表示出AB的长，再根据AN：NB＝5：7，表示AN的长．根据MN＝AN﹣AM即可列方程求解．【解答】解：设AM＝5x，则MB＝11x，∵AN：NB＝5：7，∴AN=512AB=203x，∴203x﹣5x＝1.5，解得x＝0.9，∴AB＝16x＝16×0.9＝14.4．∴AB长度为14.4．【点评】注意根据线段的比值进行设未知数，从而表示出相关线段的长．然后列方程求解．灵活运用线段的倍、分转化线段之间的数量关系十分关键．【变式4-3】（2020秋•南开区期末）如图，线段BD=14AB=15CD，点E、F分别是线段AB、CD的中点，EF＝14cm，求线段AB、CD的长．【分析】先BD＝x，则CD＝5x，AB＝4x，再根据点E，F分别是AB，CD的中点，得到EF＝ED+DF＝3.5x，根据EF＝14，可得x的值，进而得到AB，CD的长．【解答】解：设BD＝x，则CD＝5x，AB＝4x，∵点E，F分别是AB，CD的中点，∴EB=12AB＝2x，DF=12CD＝2.5x，∴ED＝1x，∴EF＝ED+DF＝3.5x，又∵EF＝14，∴3.5x＝14，第59页/共59页解得x＝4，∴CD＝5x＝20，AB＝4x＝16．【点评】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是依据中点的定义，利用线段的和差关系进行计算．【考点5线段的计算（分类讨论思想）】【例5】（2020秋•南关区校级期末）在直线l上有A、B、C三个点，已知BC＝3AB，点D是AC中点，且BD＝6cm，求线段BC的长．【分析】分为两种情况，画出图形，求出线段AB的长，即可得出答案．【解答】解：（1）当C在AB的延长线上时，∵BC＝3AB，∵AC＝4AB，∵点D是AC中点，∴AD＝CD＝2AB，∵BD＝6cm，∴2AB﹣AB＝6cm，∴AB＝6cm，∴AC＝4AB＝24cm，∴BC＝AC﹣AB＝24cm﹣6cm＝18cm；（2）当C在BA的延长线上时，∵BC＝3AB，∵AC＝2AB，∵点D是AC中点，∴AD＝CD＝AB，∵BD＝6cm，∴AB＝3cm，∴BC＝3AB＝9cm．【点评】本题考查了求两点之间的距离，能求出符合的所有情况是解此题的关键．第59页/共59页【变式5-1】（2020秋•宿豫区期末）画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长．【分析】根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．【解答】解：因为点E、F分别是线段AB、BC的中点，所以BE=12AB，BF=12BC；第一种：点C在点B的右侧，因为EF＝BE+BF，所以EF=12AB+12BC=12(AB+BC)=12×(10+4)=7；第二种：点C在点B的左侧，因为EF＝BE﹣BF，所以EF=12AB-12BC=12(AB-BC)=12×(10-4)=3．综上：EF＝7或3．【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能根据线段的中点定义得出AE＝EB=12AB和CF＝FB=12CB是解此题的关键．【变式5-2】（2019秋•咸丰县期末）已知线段AB＝14，在AB上有四个点C，D，M，N，且AC：CD：DB＝1：2：4，AM=12AC，DN=16DB，计算线段MN的长．【分析】根据题意画出图形，分别求得CM，CD，DN的值即可求得线段MN的长，即可解题．【解答】解：①当N在D右侧时，∵AC：CD：DB＝1：2：4，AC+CD+DB＝14，∴AC＝2，CD＝4，BD＝8，∵AM=12AC，∴CM＝1，第59页/共59页∵DN=16DB，∴DN=86=43，∴MN＝CM+CD+DN＝1+4+43=193．②当N在D左边时，MN＝CM+（CD﹣DN）＝1+4-43=113．综上所述MN为193或113．【点评】本题考查了线段长度的计算，分别求出CM，CD，DN的长是解题的关键．【变式5-3】（2019秋•柘城县期末）已知：点M是线段AB上．（1）如图1，点C在线段AM上，且AC=13AM，点D在线段BM上，且BD=23BM．若AB＝18cm，求AC+MD的值．（2）如图2，若AM=14AB，点N是直线AB上一点，且AN﹣BN=23MN，求MNAB的值．【分析】（1）根据已知条件得到DM=13BM，根据线段的和差即可得到结论；（2）分两种情况讨论，①当点N在线段AB上时，②当点N在线段AB的延长线上时，然后根据数量关系即可求解．【解答】解：（1）∵BD=23BM，∴DM=13BM，∵AC=13AM，∴AC+MD=13BM+13AM=13（AM+BM）=13×AB=13×18＝6cm；（2）当点N在线段AB上时，如图2，∵AN﹣BN=23MN，∴3AN﹣3BN＝2MN，又∵AN﹣AM＝MN∴3AN﹣3AM＝3MN，∴3BN﹣3AM＝MN，∴BN=13MN+AM=13MN+14AB，第59页/共59页∵AN＝MN+AM＝MN+14AB，∴AN+BN＝AB=13MN+14AB+MN+14AB，∴12AB=43MN，∴MNAB=38；当点N在线段AB的延长线上时，如图2，∵AN﹣BN=23MN，又∵AN﹣BN＝AB，∴23MN＝AB，即MNAB=32．综上所述MNAB=38或32．【点评】本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．【考点6线段的计算（含参问题）】【例6】（2019秋•郊区期末）（1）如图1，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，求MN的长．（2）如图2，若C为线段AB上任意一点，满足AC+CB＝acm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由；（3）若C在线段AB的延长线上的一点，且满足AC﹣BC＝bcm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．【分析】（1）根据“点M是AC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用MN＝CM+CN即可求出MN的长度即可，（2）当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN=12a，（3）点在AB的延长线上时，根据M、N分别为AC、BC的中点，即可求出MN的长度．【解答】解：（1）因为M是AC的中点，AC＝6，所以MC=12AC＝6×12=3，第59页/共59页又因为CN：NB＝1：2，BC＝15，所以CN＝15×13=5，所以MN＝MC+CN＝3+5＝8，所以MN的长为8cm；（2）MN=12a，当C为线段AB上一点，且M，N分别是AC，BC的中点，则存在MN=12a，（3）当点C在线段AB的延长线时，如图：则AC＞BC，∵M是AC的中点，∴CM=12AC，∵点N是BC的中点，∴CN=12BC，∴MN＝CM﹣CN=12（AC﹣BC）=12b．【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．【变式6-1】（2019秋•汾阳市期末）已知点C，线段AB．（1）如图，若点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，点M、N分别是AC、BC的中点，则线段MN的长度是 ；（2）若把（1）中点C在线段AB上，且AC＝12，BC＝8，改为点C是线段AB上任意一点，且AC＝a，BC＝b，其他条件不变，请求出线段MN的长度（用含a、b的式子表示）；（3）若把（2）中点C是线段AB上任意一点，改为点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．【分析】（1）根据线段的中点的性质，可得MC、NC的长，再根据线段的和差，可得答案；（2）根据线段的中点的性质，可得MC、NC的长，再根据线段的和差，可得答案；（3）根据线段的中点的性质，可得MC、NC的长，再根据线段的和差，可得答案．第59页/共59页【解答】解：（1）点M、N分别是AC、BC的中点，AC＝12，BC＝8，MC＝AC÷2＝12÷2＝6，NC＝CB÷2＝8÷2＝4，由线段的和差，得MN＝MC+NC＝6+4＝10．答：线段MN的长是10，故答案为：10；（2）由点M、N分别是AC、BC的中点可得MC=12AC=12a，CN=12BC=12b所以MN=MC+CN=a+b2（3）线段MN的长度会变化当点C在线段AB上时，由（2）知MN=a+b2当点C在线段AB上的延长线时，如图，则AC＞BC，即a＞b．由点M、N分别是AC、BC的中点．可得MC=12AC=12a，CN=12BC=12b．所以MN=MC-CN=a-b2．当点C在线段BA上的延长线时，如图．则BC＞AC，即b＞a．由点M、N分别是AC、BC的中点．可得MC=12AC=12a，CN=12BC=12b．所以MN=CN-MC=b-a2．第59页/共59页【点评】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义，熟记线段中点的定义是解题的关键．【变式6-2】（2019秋•襄城县期末）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝ ；（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据已知AB＝6，CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及线段的中点的定义解答；（2）根据已知AB＝m（m为常数），CQ＝2AQ，CP＝2BP；（3）根据题意，画出图形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ与1的大小关系．【解答】解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=23BC，∵点C恰好在线段AB中点，∴AC＝BC=12AB，∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×12AB+23×12AB=23×AB=23×6＝4；故答案为：4；（2）①点C在线段AB上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=23BC，∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ+CP═23AC+23BC=23×（AC+BC）=23AB═23m；②点C在线段BA的延长线上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=23BC，第59页/共59页∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CP﹣CQ=23BC-23AC=23×（BC﹣AC）=23AB=23m；③点C在线段AB的延长线上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=23BC，∵AB＝m（m为常数），∴PQ＝CQ﹣CP=23AC-23BC=23×（AC﹣BC）=23AB=23m；故PQ是一个常数，即是常数23m；（3）如图：∵CQ＝2AQ，∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0，∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．【点评】本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解题的关键．【变式6-3】（2019秋•金牛区期末）已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与点A、B重合），点M、N分别在线段BC、AC上，且满足CN＝3AN，CM＝3BM．第59页/共59页（1）如图，当点C恰好在线段AB中点，且m＝8时，则MN＝ ；（2）若点C在点A左侧，同时点M在线段AB上（不与端点重合），请判断CN+2AM﹣2MN的值是否与m有关？并说明理由．（3）若点C是直线AB上一点（不与点A、B重合），同时点M在线段AB上（不与端点重合），求MN长度（用含m的代数式表示）．【分析】（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．由AB＝8列出方程，求得x+y，再进而求得MN；（2）把MN＝AM+AN代入CN+2AM﹣2MN中计算便可知道结果；（3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y，①当C点在B点右边时，不符合题意，舍去；②当点C在点A的左边，由AB＝CB﹣CA得出y﹣x=14m，进而得MN＝3（y﹣x）=34m；③当点C在线段（AB上时，由AB＝CB+CA得y+x=14m，进而得MN＝3（y+x）=34m，最后总结结论．【解答】解：（1）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y．∵AB＝AN+CN+CM+MB＝m，∴x+3x+3y+y＝m＝8，∴x+y＝2，MN＝NC+CM＝3x+3y＝3（x+y）＝6．（2）CN+2AM﹣2MN的值与m无关．理由如下：如图1，第59页/共59页∵CN＝3AN，∴CN+2AM﹣2MN＝3AN+2AM﹣2（AN+AM）＝AN∵AN与m的取值无关，∴CN+2AM﹣2MN的值与m无关；（3）设AN＝x，BM＝y，则CN＝3x，CM＝3y①当C点在B点右边时，∵满足CM＝3BM，M在线段AB上，如图2此时，M不是线段BC上的点，不符合题意，舍去；②当点C在点A的左边，如图3，∵AB＝CB﹣CA＝（CM+MB）﹣（CN+AN）＝m，∴（3y+y）﹣（x+3x）＝m，∴y﹣x=14m，∴MN＝CM﹣CN＝3y﹣3x＝3（y﹣x）=34m；③当点C在线段（AB上时，如图4，∵AB＝CB+CA＝（CM+MB）+（CN+AN）＝m，∴（3y+y）+（x+3x）＝m，∴x+y=14m，∴MN＝CM+CN＝3y+3x＝3（y+x）=34m；∴MN长度为34m．第59页/共59页综上，MN长度为34m．【点评】本题主要考查两点间的距离，方程的应用，掌握线段的和差运算是解题的关键，分类讨论是难点．【考点7线段的计算（动点问题）】【例7】（2019秋•宽城区期末）如图，AB＝10cm，C是线段AB上一个动点，沿A→B→A以2cm/s的速度往返运动一次，D是线段BC的中点，设点C的运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝2时，求线段CD的长．（2）当t＝6时，求线段AC的长．（3）求运动过程中线段AC的长．（用含t的代数式表示）（4）在运动过程中，设AC的中点为E，线段DE的长是否发生变化？若不变，直接写出DE的长；若发生变化，请说明理由．【分析】（1）t＝2，AC＝4cm，得到CB＝6cm；（2）t＝6，由题可知A点从B点返回，AC＝10﹣2＝8cm；（3）当0≤t≤5时，AC＝2tcm，当5≤t≤10时，AC＝（20﹣2t）cm；（4）DE＝EC+CD=12AC+12CB=12（AC+CB）=12AB＝5cm．【解答】解：（1）∵t＝2，∴AC＝4cm，∵AB＝10cm，∴CB＝6cm，∵D是线段BC的中点，∴CD＝3cm；（2）∵t＝6，∴AC＝10﹣2＝8cm，（3）当0≤t≤5时，AC＝2tcm，当5≤t≤10时，AC＝（20﹣2t）cm；（4）DE＝EC+CD=12AC+12CB=12（AC+CB）=12AB＝5cm，∴线段DE的长不发生变化．第59页/共59页【点评】本题考查两点间的距离；熟练掌握线段的和与差的关系，列出代数式进行运算是解题的关键．【变式7-1】（2020秋•锦江区校级期中）（1）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长度；（2）已知点C在线段BA的延长线上，点M，N分别是AC，BC的中点，设BC﹣AC＝a，请根据题意画出图形并求MN的长度；（3）在（1）的条件下，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，C、P、Q三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【分析】（1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案；（3）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）∵线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC＝5厘米，CN=12BC＝3厘米，∴MN＝CM+CN＝8厘米；（2）如图，∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=12AC，CN=12BC，∴MN＝CN﹣CM=12（BC﹣AC）=12a；（3）①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10﹣2t＝6﹣t，解得t＝4；②当5＜t≤163时，P为线段CQ的中点，2t﹣10＝16﹣3t，解得t=265；③当165＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6﹣t＝3t﹣16，解得t=112；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t﹣10＝t﹣6，解得t＝4（舍），综上所述：t＝4或265或112．【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出关于t第59页/共59页的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．【变式7-2】（2019秋•新都区期末）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．（1）OA＝ cm，OB＝ cm；（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点AB重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；（3）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向右运动，点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s．设运动时间为t（s），当点P与点Q重合时，P，Q两点停止运动．求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）；【分析】（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；（3）①0＜t＜4（P在O的左侧）；②4≤t≤12，分情况讨论求解即可．【解答】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，∴OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，解得OB＝4cm，OA＝2OB＝8cm．故答案为：8，4；（2）设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝﹣x+4﹣x，3x＝﹣4，x=-43；②点C在线段OB上时，∵AC＝CO+CB，∴8+x＝4，x＝﹣4（不符合题意，舍）．第59页/共59页故CO的长是43cm；（3）①0＜t＜4（P在O的左侧），OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，解得t＝1.6s；②4≤t≤12，OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，解得t＝8s．综上所述，t＝1.6s或8s时，2OP﹣0Q＝4cm．【点评】本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．【变式7-3】（2019秋•秦淮区期末）【探索新知】如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍点”．（1）一条线段的中点 是 这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）【深入研究】如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒．（2）点M在运动过程中表示的数为 （用含t的代数式表示）；（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．【分析】（1）可直接根据“二倍点”的定义进行判断；（2）根据题意即可得到结论；（3）用含t的代数式分别表示出线段AM、BM、AB，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论得结果；（4）用含t的代数式分别表示出线段AN、NM、AM，然后根据“二倍点”的意义，分类讨论．【解答】解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，该线段等于2倍的中点一侧的线段长．第59页/共59页所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”故答案为：是（2）点M在运动过程中表示的数为20﹣3t，故答案为：20﹣3t；（3）当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t=103；当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t=203；答：t为103或5或203时，点M是线段AB的“二倍点”；（4）当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t=152；当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t=9013；当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t=9011；当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t=152；答：t为152或9013或9011或152时，点M是线段AN的“二倍点”．【点评】本题考查了一元一次方程的解法、线段的和差等知识点，题目需根据“二倍点”的定义分类讨论，理解“二倍点”是解决本题的关键．【考点8钟面角的计算】【方法点拨】计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数．分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60=6°时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60=0.5°．【例8】（2019秋•顺城区期末）如图，八点三十分时针与分针所成的角是（ ）A．75°B．65°C．55°D．45°【分析】根据钟面平均分成12份，可得每份的度数；根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．第59页/共59页【解答】解：钟面每份是30°，上午8：30时时针与分针相距2.5份，此时时钟的时针与分针所夹的角（小于平角）的度数是30°×2.5＝75°．故选：A．【点评】本题考查了钟面角，时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题关键．【变式8-1】（2020春•五华区校级月考）11点40分，时钟的时针与分针的夹角为（ ）A．140°B．130°C．120°D．110°【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【解答】解：11点40分时针与分针相距3+4060=113（份），30°×113=110°，故选：D．【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题的关键．【变式8-2】（2020春•广饶县期末）当时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度（ ）A．115°B．120°C．105°D．90°【分析】根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数，可得答案．【解答】解：时钟指向上午10：10分，时针与分针相距3+5060=236份，时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是多少度30°×236=115°，或时针与分针的夹角是120°﹣10×（12）°＝115°；故选：A．【点评】本题考查了钟面角，确定时针与分针相距的份数是解题关键．【变式8-3】（2019秋•清苑区期末）下列时刻中的时针与分针所成的角最大的是（ ）A．1：00B．3：03C．5：05D．10：10【分析】根据时针的旋转角减去分针的旋转角，可得答案．【解答】解：A、1：00时时针与分针的夹角是30°，B、3：03时时针与分针的夹角是3×30+0.5×3﹣3×6＝73.5°，C、5：05时时时针与分针的夹角是30×5+0.5×5﹣6×5＝122.5°，D、10：10时时时针与分针的夹角是30×（3+56）＝90+25＝115°，故选：C．第59页/共59页【点评】本题考查了钟面角，利用了时针与分针的夹角是时针的旋转角减去分针的旋转角．【考点9度分秒的换算】【方法点拨】度、分、秒是常用的角的度量单位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．【例9】（2020春•莱州市期中）35.48°＝ 度 分 秒．【分析】根据大单位化小单位乘以进率，先把0.48°化成分，再把0.8′化成秒，即可得出答案．【解答】解：0.48°＝（0.48×60）′＝28.8′，0.8′＝（0.8×60）″＝48″，所以35.48°＝35°28′48″．故答案为：35，28，48．【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率，小单位华大单位除以进率是解题关键．度分秒之间的换算要注意：1°＝60′，1′＝60″．【变式9-1】（2019秋•岳阳楼区校级期末）35.15°＝ ° ′ ″；12°15′36″＝ °．【分析】1°＝60′，1′＝60″，根据度分秒的换算即可得出结果．【解答】解：∵0.15°＝9′，∴35.15°＝35°9′；∵36″＝0.6′，15.6′＝0.26°，∴12°15′36″＝12.26°，故答案为：35，9，0；12.26．【点评】此题考查了度分秒的换算，解题的关键是熟记1°＝60′，1′＝60″．【变式9-2】（2020春•肥城市期末）计算：65°19′48″+35°17′6″＝ （将计算结果换算成度）．【分析】根据度、分、秒间的进制是60进行解答．【解答】解：65°19′48″+35°17′6″＝100°36′54″，∵54÷60＝0.9，（36+0.9）÷60＝0.615，100+0.615＝100.615，∴100°36′54″＝100.615°．第59页/共59页故答案是：100.615°．【点评】本题考查了角度的计算和度分秒的换算，单位度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．【变式9-3】（2020秋•柘城县期末）计算：18°13′×5﹣49°28′52″÷4【分析】根据度分秒的除法，从大的单位算起，余数乘以进率化成小的单位再除，可得答案．【解答】解：原式＝90°65′﹣48°88′52′′÷4＝90°65′﹣12°22′13′′＝78°42′47′′【点评】本题考查了度分秒的换算，从大的单位算起，余数化成下一单位再除．【考点10余角和补角的认识】【方法点拨】余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．性质：等角（同角）的补角相等．等角（同角）的余角相等．【例10】（2020春•高新区校级月考）已知∠1和∠2互为余角，且∠2与∠3互补，∠1＝60°，则∠3为（ ）A．120°B．60°C．30°D．150°【分析】根据∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，求得∠2的度数，然后根据∠2与∠3互补，得出∠3＝180°﹣∠2．【解答】解：∵∠1和∠2互为余角，∠1＝60°，∴∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣60°＝30°，∵∠2与∠3互补，∴∠3＝180°﹣∠2＝180°﹣30°＝150°．故选：D．【点评】本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．【变式10-1】（2020春•六盘水期末）一个角的补角比这个角的余角的3倍少20°，这个角的度数是（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°【分析】设这个角为α，根据余角的和等于90°，补角的和等于180第59页/共59页°表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．【解答】解：设这个角为α，则它的补角为180°﹣α，余角为90°﹣α，根据题意得，180°﹣α＝3（90°﹣α）﹣20°，解得α＝35°．故选：B．【点评】本题考查了余角与补角的定义，熟记“余角的和等于90°，补角的和等于180°”是解题的关键．【变式10-2】（2019秋•裕安区期末）已知∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，则有下列式子：①90°﹣∠β；②∠α﹣90°；③12（∠α+∠β）④12（∠α﹣∠β）；⑤12（∠α﹣90°），其中，表示∠β的余角的式子有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】根据∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，求出∠β的余角是90°﹣∠β，90°﹣∠β表示∠β的余角；∠α﹣90°＝90°﹣∠β，即可判断②；180°﹣∠α＝∠β，根据余角的定义即可判断③；求出12（∠α﹣∠β）＝90°﹣∠β，即可判断④⑤．【解答】解：∵∠α与∠β互补，∴∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β，∴90°﹣∠β表示∠β的余角，∴①正确；∠α﹣90°＝180°﹣∠β﹣90°＝90°﹣∠β，∴②正确；180°﹣∠α＝∠β，∴③错误；12（∠α﹣∠β）=12（180°﹣∠β﹣∠β）＝90°﹣∠β，∴④正确，⑤错误．故表示∠β的余角的式子有3个．故选：B．【点评】本题考查了对余角和补角的理解和运用，注意：∠α与∠β互补，得出∠β＝180°﹣∠α，∠α＝180°﹣∠β；∠β的余角是90°﹣∠β，题目较好．【变式10-3】（2020春•雨花区校级月考）如图，将一副三角板叠在一起使直角顶点重合于点O，（两块三角板可以在同一平面内自由转动），下列结论一定成立的是（ ）第59页/共59页A．∠BOA＞∠DOCB．∠BOA﹣∠DOC＝90°C．∠BOA+∠DOC＝180°D．∠BOC≠∠DOA【分析】根据角的和差关系以及余角和补角的定义、结合图形计算即可．【解答】解：因为是直角三角板，所以∠AOC＝∠BOD＝90°，所以∠BOA+∠DOC＝∠AOC+∠BOC+∠DOC＝∠AOC＝∠BOD＝180°，故选：C．【点评】本题考查的是余角和补角的概念、角的计算，掌握余角和补角的概念、正确根据图形进行角的计算是解题的关键．【考点11角度的计算（对顶角、邻补角）】【例11】（2019秋•姜堰区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，求∠NOD的度数；（2）若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．【分析】（1）利用垂直的定义得出∠2+∠AOC＝90°，进而得出答案；（2）根据题意得出∠1的度数，即可得出AOC和∠MOD的度数．【解答】证明：（1）∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴∠NOD＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°；第59页/共59页（2）∵∠AOD＝3∠1，∴∠NOD＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣45°＝45°；∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°，∴∠MOD＝∠BOD+∠BOM＝45°+90°＝135°．故答案为：（1）90°；（2）45°，135°．【点评】此题主要考查了垂直的定义以及邻补角、对顶角等知识，正确把握垂直的定义是解题关键．【变式11-1】（2019秋•武侯区期末）如图，射线OC的端点O在直线AB上，OE⊥OC于点O，且OE平分∠BOD，OF平分∠AOE，若∠BOC＝70°，分别求∠DOE与∠DOF的度数．【分析】直接利用垂线的定义得出∠COE＝90°，再利用角平分线的定义得出∠DOE以及∠DOF的度数．【解答】解：∵OE⊥OC于点O，∴∠COE＝90°，∵∠BOC＝70°，∴∠BOE＝∠COE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE＝20°，∵∠AOB＝180°，∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣20°＝160°，∵OF平分∠AOE，∴∠EOF=12∠AOE＝80°，∴∠DOF＝∠EOF﹣∠DOE＝80°﹣20°＝60°，第59页/共59页综上，∠DOE的度数为20°，∠DOF的度数为60°．【点评】此题主要考查了垂线以及角平分线的定义，正确得出∠BOE的度数是解题关键．【变式11-2】（2020春•公主岭市期中）如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB．（1）∠AOC的邻补角为 （写出一个即可）；（2）若∠1＝∠2，判断ON与CD的位置关系，并说明理由；（3）若∠1=14∠BOC，求∠MOD的度数．【分析】（1）根据邻补角的定义解答即可；（2）根据垂直定义可得∠AOM＝90°，进而可得∠1+∠AOC＝90°，再利用等量代换可得到∠2+∠AOC＝90°，从而可得ON⊥CD；（3）根据垂直定义和条件可得∠1＝30°，∠BOC＝120°，再根据邻补角定义可得∠MOD的度数．【解答】解：（1）∠AOC的邻补角为∠AOD（或∠COB）故答案为：∠AOD；（2）结论：ON⊥CD，证明：∵OM⊥AB，∴∠1+∠AOC＝90°，又∵∠1＝∠2，∴∠NOC＝∠2+∠AOC＝90°，∴ON⊥CD；第59页/共59页（3）∵∠1=14∠BOC，∴∠BOC＝4∠1，∵∠BOC﹣∠1＝∠MOB＝90°，∴∠1＝30°，∴∠MOD＝180°﹣∠1＝150°．【点评】此题主要垂直定义，关键是掌握垂线的定义当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．【变式11-3】（2020春•芝罘区期末）如图，已知直线AB，CD相交于点O，∠BOE＝90°．（1）若∠BOD＝40°，求∠COE的度数；（2）若∠AOC：∠BOC＝3：7，求∠DOE的度数．【分析】（1）直接利用对顶角的性质分析得出答案；（2）直接利用邻补角的性质得出∠AOC的度数进而得出答案．【解答】解：（1）∵∠BOE＝90°，∠BOD＝40°，∴∠AOE＝90°，∠AOC＝∠BOD＝40°，则∠COE＝90°﹣40°＝50°；（2）∵∠AOC：∠BOC＝3：7，∴设∠AOC＝3x，则∠BOC＝7x，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴3x+7x＝180°，解得：x＝18°，∴∠AOC＝54°，∵∠BOD＝∠AOC，第59页/共59页∴∠BOD＝54°，∴∠DOE＝∠BOE+∠BOD＝90°+54°＝144°．【点评】此题主要考查了对顶角以及邻补角，正确掌握对顶角的性质是解题关键．【考点12角度的计算（方程思想）】【例12】（2019秋•息县期末）如图，OC平分∠AOB，∠AOD：∠BOD＝3：5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．【分析】根据角平分线的意义和∠AOD：∠BOD＝3：5，设未知数表示∠COD进而求出答案．【解答】解：设∠AOD＝3x，则∠BOD＝5x．∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x+5x＝8x．∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=12∠AOB=12×8x=4x．∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝4x﹣3x＝x．∵∠COD＝15°，∴x＝15°．∴∠AOB＝8x＝8×15°＝120°．【点评】考查角平分线的意义，用方程思想解决几何图形问题是常用方法．【变式12-1】（2019秋•渝中区校级期末）如图所示，AB为一条直线，OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，∠DOE：∠BOD＝2：5，∠COE＝80°，求∠EOB的度数．第59页/共59页【分析】设∠DOE＝2x，根据题意得到∠BOE＝3x，∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x，再根据平角为180度，得到2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°，即可得到∠BOE的度数．【解答】解：如图，设∠DOE＝2x，∵∠DOE：∠BOD＝2：5，∴∠BOE＝3x，又∵OC是∠AOD的平分线，∠COE＝80°，∴∠AOC＝∠COD＝80°﹣2x2×（80°﹣2x）+5x＝180°，解得x＝20°∴∠BOE＝3x＝3×20°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查了角平分线定义，邻补角定义，掌握角平分线把已知角分成两个相等的角是解题的关键．【变式12-2】如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD，∠COE＝80°，求∠COD的度数．【分析】根据∠AOC＝3∠COD，可以用∠COD表示∠DOE，再根据∠COE＝80°，列方程求出答案即可．【解答】解：设∠COD＝x，∵∠AOC＝3∠COD，∴∠AOC＝3x，∠AOD＝4x，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE＝∠DOE=12（180°﹣∠AOD）＝90°﹣2x，第59页/共59页由∠COE＝∠COD+∠DOE得，x+90°﹣2x＝80°，∴x＝10°，即：∠COD＝10°【点评】考查角平分线的意义，邻补角的意义，以及利用代数的方法解决几何问题等知识，正确地找出各个角之间的关系是正确解答的关键．【变式12-3】（2019秋•青龙县期末）如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．（1）若∠AOB＝120°，则∠COE是多少度？（2）如果∠BOC＝3∠AOD，∠EOD﹣∠COD＝30°，那么∠BOE是多少度？【分析】（1）由OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．可得∠COE=12∠AOB＝60°；（2）用∠BOE，表示∠COD，∠AOC，∠BOC和∠AOD，列方程求解即可．【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，∴∠AOC＝∠DOC．∵OE是∠BOD的平分线，∴∠BOE＝∠DOE，所以∠COE=12∠AOB=60°．（2）设∠BOE的度数为x，则∠DOE的度数也为x．∵∠EOD﹣∠COD＝30°，∴∠COD＝∠AOC＝x﹣30°，∴∠AOD＝2∠AOC＝2（x﹣30°）．∴∠BOC＝3∠AOD，∴可列方程为x+x+x﹣30°＝3×2（x﹣30°），解得x＝50°，即∠BOE的度数为50°．【点评】考查角平分线的意义，根据图形直观得出各个角之间的和差关系是正确解答的前提．第59页/共59页【考点13角度的计算（分类讨论思想）】【例13】（2019秋•沧州期末）在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC，OD，使∠COD＝90°，当∠AOC＝50°时，∠BOD的度数是 ．【分析】分射线OC、OD在直线AB的两侧两种情况作出图形，在同一侧时，根据平角等于180°列式计算即可得解，在两侧时，先求出∠AOD，再根据邻补角的定义列式计算即可得解．【解答】解：如图，射线OC、OD在直线AB的同一侧时，∵∠COD＝90°，∴∠BOD＝180°﹣90°﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣50°＝40°，射线OC、OD在直线AB的两侧时，∵∠COD＝90°，∴∠AOD＝90°﹣∠AOC＝90°﹣50°＝40°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣40°＝140°．综上所述，∠BOD的度数是40°或140°．故答案为：40°或140°．【点评】本题考查了余角和补角，难点在于考虑射线OC、OD在直线AB的两侧两种情况，作出图形更形象直观．【变式13-1】（2019秋•渝中区校级期末）平面内，已知∠AOB＝90°，∠BOC＝20°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，则∠EOF＝ ．【分析】分两种情况：当OC在∠AOB内时；当OC在∠AOB外时．根据角平分线的定义，角的和差进行解答便可．【解答】解：当OC在∠AOB内时，如图1，第59页/共59页∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF=12∠AOB-12∠BOC=12×90°-12×20°=35°；当OC在∠AOB外时，如图2，∠EOF＝∠BOE+∠BOF=12∠AOB+12∠EOF=12×90°+12×20°=55°，故答案为：35°或55°．【点评】本题主要考查了角的和差，角平分线的定义，关键是分情况讨论．【变式13-2】（2019秋•蜀山区期末）已知，在同一平面内，∠AOB＝30°，射线OC在∠AOB的外部，OD平分∠AOC，若∠BOD＝40°，则∠AOC度数为 ．【分析】根据题意画出图形，再根据角的和差关系以及角平分线的定义解答即可．【解答】解：有两种情况，①如图1所示，∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝30°+40°＝70°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOD＝2×70°＝140°；②如图2所示，第59页/共59页∠AOD＝∠BOD﹣∠AOB＝40°﹣30°＝10°，∵OD平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠AOD＝2×10°＝20°．综上所述，∠AOC度数为140°或20°．故答案为：140°或20°【点评】本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是正确的画出图形并分类讨论．【变式13-3】已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB内部，且∠AOC＝20°，∠COD＝50°，射线OE、OF分别平分∠BOC、∠COD，则∠EOF的度数是 ．【分析】先根据题意画出图形，再分OD在∠AOB内和OD在∠AOB外，根据角的和差关系和角平分线的定义可求∠EOF的度数．【解答】解：如图1，OD在∠AOB内，∵∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，∴∠BOC＝70°，∵射线OE平分∠BOC，∴∠EOC＝35°，∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，∴∠FOC＝25°，∴∠EOF＝10°；如图2，OD在∠AOB外，∵∠AOB＝90°，∠AOC＝20°，∴∠BOC＝70°，∵射线OE平分∠BOC，∴∠EOC＝35°，∵射线OF平分∠COD，∠COD＝50°，第59页/共59页∴∠FOC＝25°，∴∠EOF＝60°．则∠EOF的度数是10°或60°．故答案为：10°或60°．【点评】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，注意要根据射线OD的位置不同，分类讨论．【考点14角度的计算（旋转含参问题）】【例14】（2020秋•长兴县期末）如图1，已知∠AOB＝150°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．（1）在图1中，若∠COE＝32°，则∠DOE＝ ；∠BOD＝ ；（2）在图1中，设∠COE＝α，∠BOD＝β，请探索α与β之间的数量关系；（3）在已知条件不变的前提下，当∠COD绕点O逆时针转动到如图2的位置时，（2）中α与β的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出α与β的数量关系．【分析】（1）根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解；根据角平分线的定义求出∠AOD，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD计算即可得解；（2）先表示出∠DOE，然后表示出∠AOD，再根据∠AOB＝∠BOD+∠AOD整理即可得解；（3）思路同（2）．【解答】解：（1）∵∠COE与∠EOD互余，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣32°＝58°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOE＝2×58°＝116°，∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝150°﹣116°＝34°；第59页/共59页故答案为：58°，34°；（2）∵∠COE与∠EOD互余，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOE＝2（90°﹣α），∵∠AOB＝150°，∠BOD＝β，∴2（90°﹣α）+β＝150°，整理得，2α﹣β＝30°；（3））∵∠COE与∠EOD互余，∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOE＝2（90°﹣α），∵∠AOB＝150°，∠BOD＝β，∴2（90°﹣α）﹣150°＝β，整理得2α+β＝30°．【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．【变式14-1】（2019秋•普宁市期末）如图1直角三角板的直角顶点O在直线AB上，OC，OD是三角板的两条直角边，射线OE平分∠AOD．（1）若∠COE＝40°，则∠BOD＝ ．（2）若∠COE＝α，求∠BOD（请用含α的代数式表示）；（3）当三角板绕O逆时针旋转到图2的位置时，其它条件不变，试猜测∠COE与∠BOD之间有怎样的数量关系？并说明理由．第59页/共59页【分析】（1）先根据直角计算∠DOE的度数，再同角平分线的定义计算∠AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；（2）先根据直角计算∠DOE的度数，再同角平分线的定义计算∠AOD的度数，最后利用平角的定义可得结论；（3）设∠BOD＝β，则∠AOD＝180°﹣β，根据角平分线的定义表示∠BOE，再利用角的和差关系求∠COE的度数，可得结论．【解答】解：（1）若∠COE＝40°，∵∠COD＝90°，∴∠EOD＝90°﹣40°＝50°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝100°，∴∠BOD＝180°﹣100°＝80°；（2）∵∠COE＝α，∴∠EOD＝90﹣α，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90﹣α）＝180﹣2α，∴∠BOD＝180°﹣（180﹣2α）＝2α；（3）如图2，∠BOD+2∠COE＝360°，理由是：设∠BOD＝β，则∠AOD＝180°﹣β，∵OE平分∠AOD，∴∠EOD=12∠AOD=180°-β2=90°-12β，∵∠COD＝90°，第59页/共59页∴∠COE＝90°+（90°-12β）＝180°-12β，即∠BOD+2∠COE＝360°．故答案为：80°．【点评】本题考查了余角的定义，角平分线的定义和平角的定义，以及角的和差关系，熟练掌握平角和余角的定义是关键，并注意利用数形结合的思想．【变式14-2】（2019秋•沈河区期末）已知：点O为直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE平分∠AOD，设∠COE＝α，（1）如图①所示，若α＝25°，则∠BOD＝ ．（2）若将∠COD绕点O旋转至图②的位置，试用含α的代数式表示∠BOD的大小，并说明理由；（3）若将∠COD绕点O旋转至图③的位置，则用含α的代数式表示∠BOD的大小，即∠BOD＝ ．（4）若将∠COD绕点O旋转至图④的位置，继续探究∠BOD和∠COE的数量关系，则用含α的代数式表示∠BOD的大小，即∠BOD＝ ．【分析】（1）由互余得∠DOE度数，进而由角平分线得到∠AOE度数，根据∠AOC＝∠AOE﹣∠COE、∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD可得∠BOD度数；（2）由互余及角平分线得∠DOE＝90°﹣∠COE＝∠AOE，∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝90°﹣2∠COE，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD可得；（3）由互余得∠DOE＝90°﹣∠COE，由角平分线得∠AOD＝2∠DOE＝180°﹣2∠COE，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD可得；（4）由互余得∠DOE＝∠COE﹣90°，由角平分线得∠AOD＝2∠DOE＝2∠COE﹣180°，最后根据∠BOD＝180°﹣∠AOD可得．【解答】解：（1）∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣25°＝65°，∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD＝2×65°＝130°，∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣130°＝50°．第59页/共59页故答案为：50°．（2）∠BOD＝2∠COE＝2α．理由如下：∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝90°﹣∠COE，∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠DOE＝90°﹣∠COE，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝90°﹣2∠COE，∵A、O、B在同一直线上，∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝180°﹣90°﹣（90°﹣2∠COE）＝2∠COE，即：∠BOD＝2∠COE＝2α．（3）∠BOD＝2∠COE，理由如下；∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠EOD，∵∠BOD+∠AOD＝180°，∴∠BOD+2∠EOD＝180°．∵∠COD＝90°，∴∠COE+∠EOD＝90°，∴2∠COE+2∠EOD＝180°，∴∠BOD＝2∠COE＝2α．故答案为：2α；（4）∵∠COD＝90°，∴∠DOE＝∠COE﹣90°，又∵OE平分∠AOD，∴∠AOD＝2∠DOE＝2∠COE﹣180°，第59页/共59页∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣2∠COE+180°＝360°﹣2∠COE，即：∠BOD+2∠COE＝360°．∴∠BOD＝360°﹣2∠COE＝360°﹣2α．故答案为：360°﹣2α．【点评】本题主要考查利用互余、互补及角平分线进行角的计算，求∠BOD时可逆向推理得到与∠COE间关系，灵活运用以上三点是关键．【变式14-3】（2020秋•南陵县期末）已知∠AOB＝130°，∠COD＝80°，OM，ON分别是∠AOB和∠COD的平分线．（1）如果OA，OC重合，且OD在∠AOB的内部，如图1，求∠MON的度数；（2）如果将图1中的∠COD绕点O点顺时针旋转n°（0＜n＜155），如图2，①∠MON与旋转度数n°有怎样的数量关系？说明理由；②当n为多少时，∠MON为直角？（3）如果∠AOB的位置和大小不变，∠COD的边OD的位置不变，改变∠COD的大小；将图1中的OC绕着O点顺时针旋转m°（0＜m＜100），如图3，∠MON与旋转度数m°有怎样的数量关系？说明理由．【分析】（1）根据角平分线的定义得：∠AOM=12∠AOB＝65°，∠AON＝40°，相减可得∠MON的度数；（2）①根据角的和差定义计算即可；②构建方程求出n即可；（3）分两种情形，根据角的和差定义计算即可；【解答】解：（1）如图1，∵OM平分∠AOB，∠AOB＝130°，第59页/共59页∴∠AOM=12∠AOB=12×130°＝65°，∵ON平分∠COD，∠COD＝80°，∴∠AON=12∠COD=12×80°＝40°，∴∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣40°＝25°；（2）①如图2中，∠MON＝∠COM﹣∠NOC＝65°+n°﹣40°＝n°+25°．②当∠MON＝90°时，n°+25°＝90°，∴n＝65．（3）如图3中，当ON在∠AOB内部时∠MON＝∠AOM﹣∠AON＝65°﹣（40°-12m°）=12m°+25°．当ON在∠AOB外部时时，∠MON＝∠AOM+∠AON＝65°+12m°﹣40=12m°+25°．综上所述，∠MON=12m°+25°．【点评】本题考查角的计算、角平分线的定义、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，属于中考常考题型．【考点15角度的计算（旋转动态问题）】【例15】（2019秋•海州区校级期末）如图1，点A、O、B依次在直线MN上，现将射线OA绕点O沿顺时针方向以每秒4°的速度旋转，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度旋转，直线MN保持不动，如图2，设旋转时间为t（0≤t≤60，单位秒）第59页/共59页（1）当t＝3时，求∠AOB的度数；（2）在运动过程中，当∠AOB第二次达到72°时，求t的值；（3）在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）利用∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON，即可求出结论；（2）利用∠AOM+∠BON＝180°+∠AOB，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）分0≤t≤18及18≤t≤60两种情况考虑，当0≤t≤18时，利用∠AOB＝180°﹣∠AOM﹣∠BON＝90°，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；当18≤t≤60时，利用∠AOM+∠BON＝180°+∠AOB（∠AOB＝90°或270°），即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．综上，此题得解．【解答】解：（1）当t＝3时，∠AOB＝180°﹣4°×3﹣6°×3＝150°．（2）依题意，得：4t+6t＝180+72，解得：t=1265．答：当∠AOB第二次达到72°时，t的值为1265．（3）当0≤t≤18时，180﹣4t﹣6t＝90，解得：t＝9；当18≤t≤60时，4t+6t＝180+90或4t+6t＝180+270，解得：t＝27或t＝45．答：在旋转过程中存在这样的t，使得射线OB与射线OA垂直，t的值为9、27或45．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【变式15-1】（2019秋•雨花区校级期末）一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0第59页/共59页°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．（1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度；（2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．①当t为何值时，边PB平分∠CPD；②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由【分析】（1）当t＝5秒时，由旋转知，10°×5＝50°即可得出结论；（2）①如图1，根据PB平分∠CPD，可得10°t＝180°﹣45°﹣30°﹣2°t，进而求解；②设时间为t秒，则∠APM＝10°t，∠DPN＝2°t，分两种情况说明：Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3，根据旋转过程列出方程即可求得结论．【解答】解：（1）180°﹣45°﹣5×10°＝85°，故答案为：85；（2）①如图1所示：∵PB平分∠CPD；∴∠CPB＝∠BPD=12∠CPD＝30°，∴∠APC＝∠APB﹣∠CPB＝45°﹣30°＝15°，由∠MPN＝180°得，10°t+15°+60°+2°t＝180°，（或者10°t＝180°﹣45°﹣30°﹣2°t）第59页/共59页解得，t=354，∴当t=354秒时，边PB平分∠CPD；②设时间为t秒，则∠APM＝10°t，∠DPN＝2°t，Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：此时，∠APC＝180°﹣10°t﹣60°﹣2°t＝120°﹣12°t，∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12°t，若∠BPD＝2∠APC，则135°﹣12°t＝2（120°﹣12°t），解得，t=354，Ⅱ）当PA在PC右侧时，如图3所示：此时，∠APC＝10°t+2°t+60°﹣180°＝12°t﹣120°，∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12t°，若∠BPD＝2∠APC，则135°﹣12°t＝2（12°t﹣120°），解得，t=12512．综上所述，当t=354秒或12512秒时，∠BPD＝2∠APC．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的变化，量角器的识别，表示出∠APC与∠BPD第59页/共59页是解本题的关键．【变式15-2】（2019秋•吴兴区期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=12∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC=12∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD=12∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．【知识运用】（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是 ．（用含α的代数式表示）（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．【解答】解：（1）40°，α6；（2）射线OD与OA重合时，t=1805=36（秒）①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，∴t＝20；第59页/共59页若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，∴t＝25；所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．②相遇之前：（i）如图1，OC是OA的伴随线时，则∠AOC=12∠COD即3t=12（180﹣5t﹣3t）∴t=907（ii）如图2，OC是OD的伴随线时，则∠COD=12∠AOC即180﹣5t﹣3t=12×3t∴t=36019相遇之后：（iii）如图3，第59页/共59页OD是OC的伴随线时，则∠COD=12∠AOD即5t+3t﹣180=12（180﹣5t）∴t=1807（iv）如图4，OD是OA的伴随线时，则∠AOD=12∠COD即180﹣5t=12（3t+5t﹣180）∴t＝30所以，综上所述，当t=907，36019，1807，30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．【变式15-3】（2019秋•恩施市期末）如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角尺（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．（1）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度，沿顺时针方向旋转t秒，当OM恰好平分∠BOC时，如图2．①求t值；②试说明此时ON平分∠AOC；第59页/共59页（2）将图1中的三角尺绕点O顺时针旋转，设∠AON＝α，∠COM＝β，当ON在∠AOC内部时，试求α与β的数量关系；（3）若将图1中的三角尺绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转的同时，射线OC也绕点O以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转，如图3，那么经过多长时间，射线OC第一次平分∠MON？请说明理由．【分析】（1）①根据角平分线的定义计算即可；②求出∠AON，∠CON的值即可判断；（2）根据题意列方程即可得到结论；（3）设∠AON＝5t，∠AOC＝30+8t，根据∠AOC﹣∠AON＝∠CON，构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）①如图2中，∵∠AOC＝30°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOM=12∠BOC＝75°，∠AON＝180°﹣90°﹣75°＝15°，∴t=15°5°=3s，②当t＝3时，∠AON＝3t＝15°，∠CON＝30°﹣3t＝15°，∴∠AON＝∠CON，∴ON平分∠AOC；（2）∵∠CON＝30°﹣α＝90°﹣β，∴β＝α+60°；（3）∵OC平分∠MON，∠MON＝90°，∴∠CON＝∠COM＝45°，∵三角板绕点O以每秒5°的速度，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，∴设∠AON＝5t，∠AOC＝30+8t，∵∠AOC﹣∠AON＝∠CON，∴30+8t﹣5t＝45，解得t＝5，∴经过5秒OC平分∠MON．第59页/共59页【点评】本题考查角的计算、角平分线的定义、旋转变换等知识，解题的关键是理解题意．【考点16线段与角的规律探究】【例16】（2019秋•曲沃县期末）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题．（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2＝3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3＝6条…一条直线上有10个点，线段共有 条．（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有 条．（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成 个角（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？【分析】（1）根据图形的变化寻找规律即可求解；（2）根据（1）总结规律即可；（3）结合（2）所得规律即可得结论；（4）根据以上所得规律运用规律即可求解．【解答】解：（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2＝3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3＝6条…一条直线上有10个点，线段共有10×92=45．故答案为45；（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有n(n-1)2；故答案为：n(n-1)2；（3）根据（2）具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成n(n-1)2个角，故答案为：n(n-1)2；第59页/共59页（4）解：45(45-1)2+1＝991，45×（45﹣1）+1×45＝2025．答：共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片．【点评】本题考查了角的概念，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．【变式16-1】（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有 个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有 个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有 个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有 个不同的角．【分析】（1）根据图形数出即可；（2）根据图形数出即可；（3）根据图形数出即可；（4）有1+2+3+…+9+10+11＝66个角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可．【解答】解：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为：3．（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为：6．（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为：10．第59页/共59页（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11＝66个不同的角，故答案为：66．（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=(n+1)(n+2)2个不同的角．故答案为：(n+1)(n+2)2．【点评】本题考查了角的有关概念的应用，关键是能根据题意得出规律．【变式16-2】（2019春•张店区期末）（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性．（3）拓展应用：①从十二边形的一个顶点出发画出这个多边形的对角线，可以画 条；②8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）①多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，进而得出答案；②将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．【解答】解：（1）∵以点A为端点的线段有：线段AC，AD，AB；以点C为端点的线段有：线段CD，CB；以点D为端点的线段有：线段DB．∴共有线段3+2+1＝6（条）；（2）如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），第59页/共59页设该线段上共有线段x条x＝（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，∴x＝1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），∴2x＝m（m﹣1），即：x=12m(m-1)；（3）①∵多边形有n条边，则经过多边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）条，∴十二边形的一个顶点的所有对角线有（n﹣3）＝12﹣3＝9（条），②比赛采用单循环制，相当于线段上有8个点，每两位同学之间的一场比赛可看作为一条线段，即：12×8×(8-1)=28（场），答：一共要进行28场比赛．故答案为：9．【点评】此题是线段的计数问题，主要考查了数线段的方法和技巧，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．【变式16-3】（2019秋•李沧区期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有5×42=10条线段，所以该校一共要安排10场比赛．第59页/共59页（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排 场比赛；（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排 场比赛．实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手 次．拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为 种．【分析】（2）根据图②即可得结果；（3）根据（1）（2）发现的规律即可写出n支足球队进行单循环比赛，一共的比赛场数；（4）根据（1）（2）发现的规律即可得到班上42位新同学每两个人都相互握一次手，总共握手次数；（5）中途经过4个车站，共6个站往返行车，再根据以上规律即可得结论．【解答】解：（2）学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②可知，该校一共要安排6×52=15（场）比赛．故答案为15；（3）根据以上规律可知：学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排n(n-1)2（场）比赛．故答案为：n(n-1)2；（4）班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手：42×412=861（次）．第59页/共59页故答案为：861；（5）中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为：6×5＝30（种）．故答案为：30．【点评】本题考查了规律型﹣图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．第59页/共59页
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