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11.3第2课时完全平方公式课件(冀教版七下数学)

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第2课时完全平方公式11.3公式法第十一章因式分解 学习目标1.理解并掌握用完全平方公式分解因式.(重点)2.灵活应用各种方法分解因式,并能利用因式分解进行计算.(难点) 导入新课复习引入1.因式分解:把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法?1.提公因式法2.平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 讲授新课用完全平方公式分解因式一你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗?同学们拼出图形为:aabbabababa²b²ab 这个大正方形的面积可以怎么求?a2+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2+2ab+b2=将上面的等式倒过来看,能得到: a2+2ab+b2a2-2ab+b2我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子:(1)每个多项式有几项?(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?三项这两项都是数或式的平方,并且符号相同是第一项和第三项底数的积的±2倍 完全平方式的特点:1.必须是三项式(或可以看成三项的);2.有两个同号的数或式的平方;3.中间有两底数之积的±2倍.完全平方式: 简记口诀:首平方,尾平方,首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方. 3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()²2.m²-6m+9=()²-2·()·()+()²=()²1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²x2x+2aa2ba+2b2b对照a²±2ab+b²=(a±b)²,填空:mm-33x2m3 下列各式是不是完全平方式?(1)a2-4a+4;(2)1+4a²;(3)4b2+4b-1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是(2)因为它只有两项;不是(3)4b²与-1的符号不统一;不是分析:不是是(4)因为ab不是a与b的积的2倍. 例1如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()A.11B.9C.-11D.-9B解析:根据完全平方式的特征,中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.解析:∵16=(±4)2,故-m=2×(±4),m=±8.±8典例精析 本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征,根据参数所在位置,结合公式,找出参数与已知项之间的数量关系,从而求出参数的值.计算过程中,要注意积的2倍的符号,避免漏解.方法总结 例2分解因式:(1)16x2+24x+9;(2)-x2+4xy-4y2.分析:(1)中,16x2=(4x)2,9=3²,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式,即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+(3)2.2ab+b2a2(2)中首项有负号,一般先利用添括号法则,将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式. 解:(1)16x2+24x+9=(4x+3)2;=(4x)2+2·4x·3+(3)2(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2. 练一练下把下列各式分解因式:(1)t2+22t+121;(2)m2+n2-mn.(2)m2+n2-mn=m2-2·m·n+(n)2=(m-n)2.解:(1)t2+22t+121=t2+2×11t+112=(t+11)2. 例3把下列各式分解因式:(1)3ax2+6axy+3ay2;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2;分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解因式;(2)中将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2. 练一练:把下列各式分解因式:(1)ax2+2a2x+a3;(2)-x2-y2+2xy;解:(1)ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2.先提出公因式a(2)-x2-y2+2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2.先提出公因式-1 解:(3)(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2·(x+y)·2+22=(x+y-2)2.(4)(3m-1)2+(3m-1)+=(3m-1)2+2·(3m-1)·+()2=(3m-)2(3)(x+y)2-4(x+y)+4;(4)(3m-1)2+(3m-1)+.把(x+y)看成一个整体把(3m-1)看成一个整体 当多项式有公因式时,应先提出公因式,再利用完全平方公式进行因式分解;完全平方公式中的a、b,既可以是单项式,也可以是多项式,把多项式看成一个整体即可.方法总结 利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,完全平方式等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.概念学习 例4把下列完全平方公式分解因式:(1)1002-2×100×99+99²;(2)342+34×32+162.解:(1)原式=(100-99)²(2)原式=(34+16)2本题利用完全平方公式分解因式,可以简化计算,=1.=2500. 例5已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值.=112=121.解:∵x2-4x+y2-10y+29=0,∴(x-2)2+(y-5)2=0.∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0,∴x-2=0,y-5=0,∴x=2,y=5,∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2几个非负数的和为0,则这几个非负数都为0. 此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式,然后利用非负数性质解答问题.方法总结 当堂练习1.下列四个多项式中,能因式分解的是()A.a2+1B.a2-6a+9C.x2+5yD.x2-5y2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是()A.4xy(x-y)-x3B.-x(x-2y)2C.x(4xy-4y2-x2)D.-x(-4xy+4y2+x2)3.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是________.BB14.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式,则m的值为___________.±4 5.把下列多项式因式分解.(1)x2-12x+36;(2)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1-x2;(2)原式=[2(2a+b)]²-2·2(2a+b)·1+(1)²=(4a+2b-1)2;解:(1)原式=x2-2·x·6+(6)2=(x-6)2;(3)原式=(y+1)²-x²=(y+1+x)(y+1-x). (2)原式6.计算:(1)38.92-2×38.9×48.9+48.92.解:(1)原式=(38.9-48.9)2=100. 7.分解因式:(1)4x2+4x+1;(2)小聪和小明的解答过程如下:他们做对了吗?若错误,请你帮忙纠正过来.x2-2x+3.(2)原式=(x2-6x+9)=(x-3)2解:(1)原式=(2x)2+2•2x•1+1=(2x+1)2小聪:小明:×× 8.(1)已知a-b=3,求a(a-2b)+b2的值;(2)已知ab=2,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值.原式=2×52=50.解:(1)原式=a2-2ab+b2=(a-b)2.当a-b=3时,原式=32=9.(2)原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.当ab=2,a+b=5时, 课堂小结完全平方公式分解多项式完全平方公式:a2+2ab+b2=()2a2-2ab+b2=()2多项式的特征另一项是这两整式的______的_____倍.注意事项有公因式时,应先提出_______.公因式a+ba-b可化为____个整式.有两项符号_____,能写成两个整式的_________的形式.三相同平方和乘积2运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫做公式法. 查看更多

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