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第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为( )A．40°B．50°C．60°D．70°2．以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )A．4，5，6B．2，3，4C．11，12，13D．8，15，173．下列命题的逆命题是真命题的是( )A．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0B．直角都相等C．两直线平行，同位角相等D．若a＝b，则|a|＝|b|4．如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等．以下给出的条件适合的是( )A．AC＝ADB．AC＝BCC．∠ABC＝∠ABDD．∠BAC＝∠BAD5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则BDAD的值为( )A.B.C.D.6．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝5，BC＝3，则BD的长为( )A．2.5B．1.5C．2D．17．有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )A．△ABC三条角平分线的交点处B．△ABC三条中线的交点处C．△ABC三条高的交点处D．△ABC三边垂直平分线的交点处13
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm9．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，∠BAE＝∠DEC＝60°，AB＝3，CE＝4，则AD等于( )A．10B．12C．24D．4810．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线与△ABC的外角∠CAM的平分线相交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥AM于点F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CA－AB＝2AE；③∠BDC＋∠FAE＝180°；④∠DAF＋∠CBD＝90°.其中正确的是( )A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④二、填空题(每题3分，共24分)11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中____________________．“两直线平行，内错角相等”的逆命题是______________________．13
12.如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝4，AD平分∠BAC，点E是AC的中点，则DE的长为________．13．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC于F，则图中全等的直角三角形有________对．14．如图，在△ABC中，高AD，CE相交于点H，且CH＝AB，则∠ACB＝________．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积为________．16．如图，在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，且AD＝4，E是AB边的中点，点P在AD上运动，则PB＋PE的最小值是________．17.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC＝________．18.如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为________．13
三、解答题(23题10分，24，25题每题12分，其余每题8分，共66分)19．如图，在△ABC中，已知AB＝5，AC＝9，BC＝7.(1)尺规作图：作AC的垂直平分线DE，与AC交于点D，与BC交于点E，连接AE；(2)求△ABE的周长．20．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．13
21．如图，在长方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF，求证：BF＝CD.22．已知：如图，锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．13
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：△BED≌△CFD；(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．24．如图，点P是等边三角形ABC内一点，AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G.求证：AD＝PE＋PF＋PG.13
25．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.(1)求点B的坐标．(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．13
答案一、1.D 2.D3．C 点拨：A项的逆命题：若a＋b＞0，则a＞0，b＞0，是假命题；B项的逆命题：相等的角是直角，是假命题；C项的逆命题：同位角相等，两直线平行，是真命题；D项的逆命题：若|a|＝|b|，则a＝b，是假命题．故选C.4．A 5.C 6.D 7.D 8.C 9.A10．A 点拨：由题意得BD＝CD，DE＝DF，∠DFB＝∠DEC＝90°，∴Rt△CDE≌Rt△BDF，∴①正确；易知AE＝AF，BF＝CE，∴CA－AB＝AE＋CE－(BF－AF)＝AE＋AF＝2AE，∴②正确；∵∠BDC＝180°－∠DBC－∠DCB，∠FAE＝∠ABC＋∠ACB，∠FBD＝∠ECD，∴∠BDC＋∠FAE＝180°－∠DBC－∠DCB＋(∠FBD＋∠DBC)＋(∠DCB－∠ECD)＝180°，∴③正确；由已知条件无法得到∠DAF＋∠CBD＝90°，∴④错误．故正确的结论有①②③，故选A.二、11.有两个角是直角；内错角相等，两直线平行12．2 13.214．45° 点拨：如图，∵CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，∴∠AEC＝90°，∠5＝∠6＝90°.∴∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°.∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠4.在△ABD和△CHD中，∴△ABD≌△CHD(AAS)．∴AD＝CD.∴△ADC为等腰直角三角形．∴∠ACB＝45°. (第14题)15．15 16．4 点拨：如图，连接EC，交AD于点P，连接BP，此时PB＋PE的值最小，且PB＋PE＝EC.因为点E是AB的中点，所以CE是等边三角形ABC的高，所以CE＝AD＝4，即PB＋PE的最小值为4.13
(第16题)17．100°18．32 点拨：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠A1B1A2＝∠B1A1A2＝∠A1A2B1＝60°.∴∠OA1B1＝120°.∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝180°－120°－30°＝30°.∴OA1＝A1B1＝A2B1＝1.又∵∠A1B1A2＝60°，∴∠A2B1B2＝180°－60°－30°＝90°.∵△A2B2A3是等边三角形，∴∠B2A2A3＝60°.∴∠B1A2B2＝60°.∴∠B1B2A2＝90°－∠B1A2B2＝30°.∴A2B2＝2B1A2＝2.同理得出B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4.以此类推，A6B6＝32B1A2＝32.三、19.解：(1)作图如图所示．(第19题)(2)∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，∴AB＋BE＋AE＝AB＋BE＋EC＝AB＋BC.∵AB＝5，BC＝7，∴AB＋BE＋AE＝5＋7＝12，即△ABE的周长为12.20．解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)．13
∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°.∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°.∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB)＝40°.21．证明：∵四边形ABCD是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.∵EF⊥DF，∴∠EFD＝90°.∴∠EFB＋∠CFD＝90°.∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.在△BEF和△CFD中，∴△BEF≌△CFD(ASA)．∴BF＝CD.22．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵锐角三角形ABC的两条高BD，CE相交于点O，∴∠BEC＝∠BDC＝90°.∴∠BCE＋∠ABC＝∠DBC＋∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．(2)解：点O在∠BAC的平分线上．理由：在△EOB和△DOC中，OB＝OC，∠BEO＝∠CDO，∠EOB＝∠DOC，13
∴△EOB≌△DOC，∴OE＝OD.又∵∠AEO＝∠ADO＝90°，∴OE⊥AE，OD⊥AD.∴点O在∠BAC的平分线上．23．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D是BC边的中点，∴BD＝CD.在△BED与△CFD中，∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°.∴在Rt△BED中，BD＝2BE＝2.∴BC＝2BD＝4.∴△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝3BC＝12.24．证明：连接PA，PB，PC，如图．(第24题)13
∵AD⊥BC于点D，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥BC于点G，∴S△ABC＝×BC×AD，S△PAB＝×AB×PE，S△PAC＝×AC×PF，S△PBC＝×BC×PG.∵S△ABC＝S△PAB＋S△PAC＋S△PBC，∴×BC×AD＝(AB×PE＋AC×PF＋BC×PG)．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∴BC×AD＝BC×(PE＋PF＋PG)，∴AD＝PE＋PF＋PG.25．解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C.∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2.∴∠BOC＝30°.又∵∠OCB＝90°，∴BC＝OB＝1，∴OC＝.∴点B的坐标为(，1)．13
(第25题)(2)∠ABQ的大小始终不变．∵△APQ，△AOB均为等边三角形，∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°.∴∠PAO＝∠QAB.在△APO与△AQB中，∴△APO≌△AQB(SAS)．∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(3)如图②，当OQ∥AB时点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方，∵AB∥OQ，∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.∴∠OBQ＝30°.又OB＝OA＝2，∴OQ＝OB＝1，∴BQ＝.由(2)可知，△APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝.∴此时点P的坐标为(－，0)．13
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