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第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．若等腰三角形的底角为40°，则它的顶角度数为( )A．40°B．50°C．60°D．100°2．已知等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是( )A．12cmB．16cmC．16cm或20cmD．20cm3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )A．a不垂直于cB．a，b都不垂直于cC．a与b相交D．a⊥b4．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( )A．，，B．1，，C．6，7，8D．2，3，45．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，直线a∥b，顶点C在直线b上，直线a交AB于点D，交AC于点E，若∠1＝145°，则∠2的度数是( )A．30°B．35°C．40°D．45°6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．107．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，且AD交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列说法错误的是( )A．∠CAD＝30°B．AD＝BDC．BE＝2CDD．CD＝ED8．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )10
A．∠B＝∠CB．AD＝AEC．BD＝CED．BE＝CD9．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )A．7B．14C．17D．2010．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，则下列四个结论：①∠DEF＝∠DFE；②AE＝AF；③DA平分∠EDF；④EF垂直平分AD.其中结论正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题3分，共30分)11．如图，在△ABC中，∠C＝40°，CA＝CB，则△ABC的外角∠ABD＝________．12．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．13．已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：____________________________________________，该逆命题是________(填“真”或“假”)命题．10
14．如图，已知直线l1∥l2，将等边三角形如图放置，若∠α＝40°，则∠β＝________.15．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，∠A＝60°，点E为AD边上一点，连接BD，CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB＝8，CE＝6，则BC的长为________．16．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝________．17．等腰三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD＝AC，则等腰三角形ABC底角的度数为________．18．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD＝3，BE＝1，则DE＝________．19．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为________．10
20．如图，等边三角形ABC的边长为12，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上的一点．若AE＝4，则EM＋CM的最小值为________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．已知：∠ABC，射线BC上一点D(如图所示)．求作：等腰三角形PBD，使线段BD为等腰三角形PBD的底边，点P在∠ABC的内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．(要求：请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)22．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB，CF交ED的延长线于点F.(1)求证：△BDE≌△CDF；(2)当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．23．如图，锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．10
24．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，按要求画图．(1)在图①中画出一个面积为4的等腰三角形ABC(点C在格点上)，使A，B，C中任意两点都不在同一条网格线上；(2)在图②中画出一个面积为5的直角三角形ABD(点D在格点上)，使A，B，D中任意两点都不在同一条网格线上．25．如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：10
(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由．26．数学课上，张老师举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．(答案：35°)例2 等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．(1)请你解答以上的变式题．(2)解(1)后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同．如果在等腰三角形ABC中，设∠A＝x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．10
答案一、1.D 2.D 3.C 4.B5．C 点拨：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ACB＝×(180°－30°)＝75°.∵∠1＝∠A＋∠AED＝145°，∴∠AED＝145°－30°＝115°.∵a∥b，∴∠AED＝∠2＋∠ACB.∴∠2＝115°－75°＝40°.6．C 7.C 8.D 9.C10．C 点拨：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°，DE＝DF.∴∠DEF＝∠DFE.∵AD＝AD，∴Rt△ADE≌Rt△ADF.∴AE＝AF，∠ADE＝∠ADF.∴AD垂直平分EF.∴①②③正确，④不正确．二、11.110° 12.3 13．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假14．20° 15.2 16.70°17．45°或15°或75° 点拨：如图①，AC是底边，AB＝CB.∵BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC.∵BD＝AC，∴AD＝BD.∴∠A＝∠ABD＝45°.如图②，BC是底边，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵BD＝AC，∴BD＝AB.又∵BD⊥AC，∴∠BAD＝30°.∵∠BAD＝∠ABC＋∠C＝2∠C，∴∠C＝15°.如图③，BC是底边，同理可得∠A＝30°，∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝75°.若AB是底边，同理可得等腰三角形ABC底角的度数为15°或75°.综上，等腰三角形ABC底角的度数为45°或15°或75°.18．2 点拨：∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠DAC＋∠DCA＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ECB＋∠DCA＝90°.∴∠DAC＝∠ECB.又∵AC＝CB，10
∴△ACD≌△CBE.∴AD＝CE＝3，CD＝BE＝1.∴DE＝CE－CD＝3－1＝2.19．320．4 点拨：如图，在AB上截取AE′＝AE＝4，连接CE′，CE′与AD交于点M，连接ME，易知此时EM＋CM的值最小，即为线段CE′的长度．过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵△ABC是等边三角形，∴AF＝AB＝6，∴CF＝＝6，E′F＝AF－AE′＝2，∴CE′＝＝4.三、21.解：如图，△PBD为所求作的三角形． 22．(1)证明：∵CF∥AB，∴∠B＝∠FCD，∠BED＝∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.∴△BDE≌△CDF(AAS)．(2)解：∵△BDE≌△CDF，∴BE＝CF＝2.∴AB＝AE＋BE＝1＋2＝3.∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AC＝AB＝3.23．(1)证明：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.∵BE，CD是两条高，∴∠BDC＝∠CEB＝90°.又∵BC＝CB，∴△BDC≌△CEB(AAS)．10
∴∠DBC＝∠ECB.∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形．(2)解：点O在∠BAC的平分线上．理由：∵△BDC≌△CEB，∴DC＝EB.∵OB＝OC，∴OD＝OE.又∵∠BDC＝∠CEB＝90°，∴点O在∠BAC的平分线上．24．解：(1)如图①所示．(2)如图②所示．25．解：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB垂直．理由：∵点Q到达点C时，BQ＝BC＝6cm，∴t＝＝3.∴AP＝3cm.∴BP＝AB－AP＝3cm＝AP.∴点P为AB的中点．∴PQ⊥AB.(2)能．∵∠B＝60°，∴当BP＝BQ时，△BPQ为等边三角形．∴6－t＝2t，解得t＝2.∴当t＝2时，△BPQ是等边三角形．26．解：(1)若∠A为顶角，则∠B＝(180°－80°)÷2＝50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×80°＝20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝80°.故∠B为50°或20°或80°.(2)分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个．②当0＜x＜90时，10
若∠A为顶角，则∠B＝°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝(180－2x)°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B＝x°.当≠180－2x且180－2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．10
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