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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(40)一、单选题1．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，所得到的四边形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．以上都不对2．如图，边长为的正方形，剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长为（）A．0.5B．C．1D．3．如图，已知正方形与正方形的边长分别为4和1，若将正方形绕点旋转，则在旋转过程中，点之间的最小距离为（）A．3B．C．D．4．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，则的长为（）A．9B．8C．D．5．如图，以的每一条边为边作三个正方形．正方形的顶点H恰好在边上，记,的面积为，的面积为，的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为．若，则与的大小关系式成立的是()A．B．C．D．无法判断6．如图，四边形ABCD沿直线l对折后重合，如果，则结论①ABCD；②AB=CD；③；④中正确的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图所示，在菱形中，，，则菱形的周长是（）．A．20B．15C．10D．58．如图，在长方形中，，垂足为，交于点，连接，且平分．下列结论中：①；②；③；,④．其中正确的个数有（）A．个B．个C．个D．个9．如图，四边形中，，，，，点是上一动点，则的最小值是（）A．B．C．D．10．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接OE．若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为（ ）A．4B．4.5C．8D．9二、填空题11．如图，在菱形中，，点E、F分别在边、上，与关于直线对称，点B的对称点是点G，且点G在边上，若，，则的长为__________．,12．如图，正方形和正方形的边长分别为5和3，点，分别为，边上的点，点为的中点，连接，则的长为______．13．如图，正方形ABCD的边长为8，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE+PC的最小值是_____．14．菱形周长为，它的一条对角线长为，则另一条对角线长为__________．15．如图，在矩形纸片中，点是边的中点，沿直线折叠，点落在矩形内部的点处，连接并延长交于点．已知，，则的长为__________．16．如图，正方形，对角线，交于点，以，为一组邻边做正方形；，交于点，以，为一组邻边做正方形；，交于点，以，为一组邻边做正方形……．若，则的值为_____．,17．如图，菱形的边长为10，对角线的长为16，点，分别是边，的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则的长为________．18．如图，正方形中，点在边上，点在边上，若，，则下列结论：①；②；③；④；其中结论正确的序号有_____．19．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，若，则_______．,三、解答题20．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC⊥BD，垂足为E．（1）如图1，若BC＝DC，求证：∠ADC＝90°；（2）如图2，过点C作CG∥AB，分别与BD，AD交于点F，G，点M在边AB上，连接MC并延长，交BD于点N，过D作DH⊥MC于H，∠BCG＝2∠DCG，且∠BMC＝∠BDC+45°．①证明NM＝NB；②若BD＝AE+CH，探究AB与BC的数量关系．21．如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=8，E是AD边上的一点，将△ABE沿着BE折叠，点A恰好落在CD边上的点F处，连接BF．（1）求证：△EFD~△FBC；（2）求tan∠AFB的值．22．如图，是的中线，，且，连接，．（1）求证：（2）当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．,23．在正方形中，点、分别在边和上，且满足是等边三角形,连接交于点．（1）求证：；（2）若等边边长为，求的长．24．已知矩形中，点在边上，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．（1）在图画出中边上的中线；（2）在图中画出线段的垂直平分线．25．若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，，判断四边形ABCD是否为垂美四边形，并说明理由；（2）性质探究：如图2，试在垂美四边形ABCD中探究、、、之间的数量关系；（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFD和正方形ABGE，连接BD、CE、DE，CE分别交AB、BD于点M、N，若AB＝2，AC＝，求线段DE的长．,26．如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．27．如图1，点为正方形内一点，，现将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点），延长交于点．（1）如图1，求证：四边形是正方形；（2）连接．①如图2，若，求证：为的中点；②如图3，若，，试求的长．28．如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接、．（1）请用含有的式子填空：______，______，______；（2）是否存在某一时刻使四边形为菱形？如果存在，求出相应的值；如果不存在，说明理由；（3）当为何值时，为直角三角形？请说明理由．,（备用图）29．在四边形中，对角线相交于点，且垂直平分平分．（1）如图1，求证：四边形是菱形；（2）如图2，过点作，交延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形（除外）,30．如图，在中，对角线AC与BD相交于点O，点M，N分别为OB，OD的中点，连接AM并延长至点E，使，连接CE，CN．（1）求证：；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形MECN是矩形？请说明理由；（3）连接AN，EN．当满足什么条件时，四边形MECN是正方形？请说明理由．,【答案与解析】1．B【解析】根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形；如图，AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H，∵点E、F、G、H，分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形，∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形；故选：B．本题考查了三角形中位线的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定方法，正确掌握知识点是解题的关键．2．D【解析】设正八边形的边长为x，表示出剪掉的等腰直角三角形的直角边，再根据正方形的边长列出方程求解即可．解：设正八边形的边长为x，则剪掉的等腰直角三角形的直角边为，∵正方形的边长为，,∴由题意可得：解得：∴正八边形的边长为故选：D本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，读懂题目信息，根据正方形的边长列出方程是解题的关键．3．B【解析】连接CE、AC，根据正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，可以求出AC的长，又因为CE≥AC-AE，所以当A、E、C三点共线时取等号，即可求值；如图，连接CE、AC，已知正方形ABCD与正方形AEFG的边长分别为4和1，∴AB=BC=4，AE=1，由勾股定理得：，∴∵CE≥AC-AE，∴CE≥，∴CE的最小值为，故选：B．本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及三角形的三边关系，正确掌握知识点是解题的关键．4．D【解析】,先求出DE＝3，CE＝6，根据翻折变换的性质可得PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，然后根据直角三角形30°角的性质求出∠DPE＝30°，从而得到∠DPF，根据平行线的性质求出∠CFP，再求出∠CFE＝30°，然后利用30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求出FC，从而得解．解：∵DC＝3DE＝9，∴DE＝3，CE＝6，由翻折变换得，PE＝CE，FP＝FC，∠EPF＝∠C＝90°，∠CFE＝∠PFE，所以，在Rt△DPE中，∠DPE＝30°，所以，∠DPF＝∠EPF+∠DPE＝90°+30°＝120°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠CFP＝180°﹣∠DPF＝180°﹣120°＝60°，∴∠CFE＝∠CFP＝30°，∴EF＝2CE＝2×6＝12，在Rt△CEF中，根据勾股定理得，FC＝＝＝6=FP．故选：D．本题考查了矩形的性质、折叠的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．5．B【解析】设，则有，，进而可得△ABC是直角三角形，然后由正方形的性质可证△ABJ≌△BIK，最后根据等积法可求解．解：∵四边形ACDE、ABIH、BCGF都是正方形，∴AB=AH=BI，AC=AE，∠ABI=∠BIK=90°，∠GCB=90°，设，则有，，∵，∴，,∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB=90°，∴A、C、G三点共线，∵∠JAB+∠ABC=90°，∠KBI+∠ABC=90°，∴∠JAB=∠KBI，∵∠ABJ=∠BIK=90°，∴△ABJ≌△BIK（ASA），，∵，∴；故选B．本题主要考查正方形的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质及勾股定理是解题的关键．6．C【解析】分析已知条件，根据轴对称图形的性质结合图形对题中小问题的条件进行分析，选出正确答案，其中③是无法证明是正确的．解：如图所示：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，∴AB=AD，BC=DC，∠1=∠2，∠3=∠4，又∵AD∥BC，∴∠2=∠3，∴∠1=∠4，∴AB∥CD，故①正确；∴四边形ABCD是菱形；,∴AB=CD，故②正确；∵四边形ABCD是菱形；∴AO=OC，故④正确．∵当四边形ABCD是菱形时，直线l是四边形ABCD的对称轴，但是AB与BC不一定垂直，故③错误；故选：C．主要考查了轴对称的性质及菱形的性质与判定；证明四边形是菱形是正确解答本题的关键．7．A【解析】根据题意可得出∠B=60，结合菱形的性质可得BA=BC，判断出△ABC是等边三角形即可得出菱形的周长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴，又∵∠BCD=120，∴∠B=180-∠BCD=60，又∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角形，∴BA=BC=AC=5，故可得菱形的周长=4AB=20．故选：A．本题考查了菱形的性质及等边三角形的判定与性质，根据菱形的性质判断出△ABC是等边三角形是解答本题的关键，难度一般．8．C【解析】由长方形的性质可得：从而可判断①；由面积公式可得再利用角平分线的性质证明再利用面积差可判断②；由结合，证明再证明可得是的垂直平分线，可得则四边形,为正方形，与已知互相矛盾，可判断③；由结合，可证明是的垂直平分线，可得从而可证明可得则四边形为正方形，与已知互相矛盾，可判断④．解：长方形，故①符合题意；平分，故②符合题意；长方形，若，是的中点，是的垂直平分线，,则四边形为正方形，与已知互相矛盾，故③不符合题意；若，是的垂直平分线，则四边形为正方形，与已知互相矛盾，故④不符合题意；故选：本题考查全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的判定，角平分线的性质，垂直平分线的定义与判定，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．C【解析】作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小；再作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD，先根据等边对等角得出∠DCD'=∠DD'C，然后根据平行线的性质得出∠D'CE=∠DD'C，从而求得∠D'CE=∠DCD'，得出∠D'CE=30°，根据30°角的直角三角形的性质求得D'C=2D'E=2AB，即可求得PC+PD的最小值．作D点关于AB的对称点D'，连接CD'交AB于P，P即为所求，此时PC+PD=PC+PD'=CD'，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．作D'E⊥BC于E，则EB=D'A=AD．∵CD=2AD，∴DD'=CD，∴∠DCD'=∠DD'C．,∵∠DAB=∠ABC=90°，∴四边形ABED'是矩形，∴DD'∥EC，D'E=AB=4，∴∠D'CE=∠DD'C，∴∠D'CE=∠DCD'．∵∠DCB=60°，∴∠D'CE=30°，∴在Rt△D'CE中，D'C=2D'E=2×4=8，∴PC+PD的最小值为8．故选：C．本题考查了轴对称﹣最短路线问题，轴对称的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质等，确定出P点是解答本题的关键．10．B【解析】由菱形的性质得出BD＝12，由菱形的面积得出AC＝9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，OB＝OD＝BD，BD⊥AC，∴BD＝2OB＝12，,∵S菱形ABCD═AC×BD＝54，∴AC＝9，∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴OE＝AC＝4.5，故选：B．本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．11．【解析】根据题意利用菱形的性质可得：，，易知△ABC，是等边三角形，根据等腰三角形判定及性质可得：，根据对称的性质，继而可得，从而可得菱形ABCD面积=2SΔABC=BC⋅FG，再根据已知数值代入计算即可．∵四边形是菱形，，∴，，∴△ABC，是等边三角形，∵，AC平分∠BAD，∴AE=AG，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴本题主要考查菱形的性质，对称的性质，关键在于得到以及菱形的面积等于两个三角形的面积之和．12．,【解析】作辅助线构造直角三角形HMG，先根据三角形的中位线定理得到MN的长等于1，即可得到HM的长，再根据矩形的判定和性质得到GM=NP=1，最后由勾股定理即可得到HG的长．解：延长GF交AB于P，过H作HN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB//CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD∴FG//HM//BC，∵H是BF的中点，∴PN=BN=CM=GM=CG=1，∴HN是△BFP的中位线，∴HN=FP=1，∴MH=5-1=4，∴在Rt△GHM中，由勾股定理得：GH=故答案为：．本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，矩形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握矩形的判定方法与正方形的性质是解题的关键．13．4【解析】,要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．解：如图，连接AE，∵点C关于BD的对称点为点A，∴PE+PC＝PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为8，E是BC边的中点，∴BE＝4，∴AE，故答案为：4．此题主要考查了正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．根据已知得出两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值是解题关键．14．24【解析】根据菱形的性质，先求菱形的边长，利用勾股定理求另一条对角线的长度．如图，菱形ABCD中，BD=10，∴AC⊥BD，∵菱形的周长为52，BD=10，∴AB=52÷4=13，BO=5，∴AO=,∴AC=．则这个菱形的另一条对角线长为24cm．故答案为：24．本题考查了菱形对角线互相垂直平分、菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求AO的值是解题的关键．15．【解析】连接EF，根据矩形的性质可得AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°，根据折叠的性质可得，，=∠B=90°，利用HL证出Rt△≌Rt△FCE，从而求出，即可求出AF，最后利用勾股定理即可求出结论．解：连接EF，∵，，∴CD=CF＋DF=9∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD=9，∠B=∠C=∠D=90°由折叠的性质可得，，=∠B=90°∴=90°=∠C∵点E为BC的中点∴BE=CE∴在Rt△和Rt△FCE中∴Rt△≌Rt△FCE∴∴AF=＋=13在Rt△AFD中，AD==12,故答案为：12．此题考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质、折叠的性质、利用HL判定两个三角形全等和勾股定理是解题关键．16．【解析】依题意，得，由，从而可得，同理，，，继而可得，，，……，依此规律作答解：在正方形中，，，，，，同理∵，∴，∵，，……，故答案为：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质及求三角形的面积等知识，正确理解正方形的对角线把正方形分成面积相等的四个全等三角形是解题的关键17．12,【解析】连接AC，交BD于点O，先证EF是△ACD的中位线，得EF∥AC，再证四边形CAEG是平行四边形，得AC＝EG，然后由勾股定理求出OA＝OC＝6，即可解决问题．解：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵菱形ABCD的边长为10，∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝DA＝10，∵点E、F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF∥AC，∴AC∥EG∴四边形CAEG是平行四边形，∴AC＝EG，∵AC、BD是菱形的对角线，BD＝16，∴AC⊥BD，OB＝OD＝8，OA＝OC，在Rt△AOB中，AB＝10，OB＝8，∴OA＝OC6，∴AC＝2OA＝12，∴EG＝AC＝12；故答案为：12．本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理及勾股定理等知识；熟练掌握菱形、平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键．18．①②③④【解析】设正方形的边长为3，假设F为DC的中点，证明进而证明PE=PB可得假设成立，故可对①进行判断；由勾股定理求出EF的长即可对②进行判断；过点E作EH⊥BF，利用三角形BEF的面积求出EH和BH的长，判断△BEH是等腰直角三角形即可对③进行判断；根据,DE，DF，EF的长可对④进行判断；如图，设正方形ABCD的边长为3，即，，，，①假设F为CD的中点，延长EF交BC的延长线于点P，在和中由勾股定理得，，，，，，故假设成立，，故①正确；②，，，而，，故②正确；③过E和，垂足为H，,∵，又，，在中，，，在中，，，而是等腰直角三角形，，，故③正确；④，，，故④正确；综上所述，正确的结论是①②③④．故答案为：①②③④．本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，设出AB=3是解答此题的关键．19．【解析】根据折叠的性质可以判断出三角形ABC是等腰三角形，继而根据三角形内角和为180°求解即可；将翻折后的图形如图所示：∵四边形ADCF是矩形，三角形ACE是由三角形ACF翻折得到的，,∴∠D=∠E=90°，AD=CE在△ABD和△BCE中：∴△ABD≌△BCE（AAS）∴AB=BC∵∠ABC=118°，∴∠BAC=∠BCA=，故答案为：31°．本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，以及等腰三角形的性质，正确理解知识点是解题的关键；20．（1）见解析；（2）①见解析；②AB＝2BC，证明见解析．【解析】（1）证△ACB≌△ACD（SAS），即可得出结论；（2）①过点D作DQ⊥BC交BC延长线于Q，先由平行线的性质得∠BCG＝90°＝2∠DCG，∠BMC＝∠MCF，∠MBF＝∠BFC，再证∠BMC＝∠BFC＝∠MBF，可得结论；②先证△QCD是等腰直角三角形，得CQ＝DQ，再证△DCH≌△DCE（AAS），得CH＝CE，则BD＝AE+CH＝AE+CE＝AC，然后证△ABC≌△BQD（AAS），得BC＝QD＝QC，AB＝BQ，进而得出结论．（1）证明：∵BC＝DC，AC⊥BD，∴AC平分∠BCD，∴∠ACB＝∠ACD，,在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（SAS），∴∠ADC＝∠ABC＝90°；（2）①证明：过点D作DQ⊥BC交BC延长线于Q，如图2所示：∵CG∥AB，∴∠BCG+∠ABC＝180°，∴∠BCG＝90°＝2∠DCG，∴∠DCG＝45°，∵CG∥AB，∴∠BMC＝∠MCF，∠MBF＝∠BFC，∵∠BFC是△CDF的外角，∴∠BFC＝∠BDC+∠DCG＝∠BDC+45°，∵∠BMC＝∠BDC+45°，∴∠BMC＝∠BFC＝∠MBF，∴NM＝NB；②解：AB＝2BC，理由如下：由①知：∠BMC＝∠MBF，在Rt△MBC中，∠BMC+∠BCM＝90°，∠MBF+∠CBN＝90°，∴∠BCM＝∠CBN，∴∠DNC＝∠BCM+∠CBN＝2∠CBN＝2∠BCM，∵AC⊥BD，∴∠MBF+∠BAC＝90°，,∴∠BAC＝∠CBN＝∠BCM＝∠ACG，∵∠BCG＝90°＝∠QCG，且∠DCG＝45°，∴∠QCD＝45°，∴△QCD是等腰直角三角形，∴CQ＝DQ，在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠BCG﹣∠DCG﹣∠CBN＝45°﹣∠CBN，∴∠DCH＝∠BDC+∠DNC＝45°﹣∠CBN+2∠CBN＝45°+∠CBN，∵∠DCE＝∠DCG+∠ACG＝45°+∠CBN，∴∠DCH＝∠DCE，∵DH⊥MC，∴∠H＝∠DEC＝90°，又∵∠DCH＝∠DCE，CD＝CD，∴△DCH≌△DCE（AAS），∴CH＝CE，∵BD＝AE+CH＝AE+CE，∴BD＝AC，又∵∠ABC＝∠Q，∠BAC＝∠QBD，∴△ABC≌△BQD（AAS），∴BC＝QD＝QC，AB＝BQ，∵BQ＝BC+QC＝2BC，∴AB＝2BC．本题是四边形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．21．（1）见解析；（2）2．【解析】（1）根据折叠的性质，得到，结合互余定义解得，再由可证明；（2）在由勾股定理解得的长，继而得到的长，再在,中，利用正切定义解得，然后由矩形对应边平行的性质结合翻折性质，解得，最后由正切定义解题即可．结合．解：（1）折叠；（2）在中矩形中，折叠．本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、正切等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．22．（1）证明见解析；（2）当满足时，四边形是矩形，证明见解析【解析】(1)根据三角形中位线定理和平行四边形的判定和性质解答即可；(2)根据矩形的判定解答即可.,（1）是的中线又四边形是平行四边形（2）当满足时，四边形是矩形，又四边形是平行四边形当时，四边形是矩形此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及矩形的判定.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.23．（1）见解析（2）【解析】（1）根据正方形和等边三角形的性质，证即可；（2）由（1）可知，AC垂直平分EF，根据勾股定理和斜边中线等于斜边的一半求AG、CG即可．（1）证明：正方形，∴，=90°，．是等边三角形，．．．．,（2）由（1）得，CE=CF，AE=AF=2，垂直平分．．，∵∠ECF=90°，EG=GF，∴，．本题考查了正方形、等边三角形、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是准确把握已知，熟练运用全等三角形、勾股定理等知识进行证明和计算．24．（1）见解析（2）见解析【解析】（1）（1）延长交于，连结，交于N，连结AH，FB交于M，过M、N作直线交DC于G,连结BG即可；（2）连接，相交于M，连接BE并交AD于N，由四边形是平行四边形，矩形，可得EF=CD=AB，EF∥CD∥AB，可证△ANB≌△FNE（AAS），可得AN=FN过M、N作直线l即可．解：（1）如图，延长交于，连结，交于N，连结AH，FB交于M过M、N作直线交DC于G连结BG如图，线段即为所求作；（2）如图，连接，相交于M，连接BE并交AD于N，∵四边形是平行四边形，矩形∴EF=CD=AB，EF∥CD∥AB∴∠ABN=∠FEN，∠ANB=∠FNE,∴△ANB≌△FNE（AAS）∴AN=FN过M、N作直线l如图，直线即为所求作．本题考查的是利用无刻度的直尺作图，平行四边形的性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，三角形的中线的概念，线段垂直平分线，掌握以上知识是解题的关键．25．（1）是，见解析；（2）；（3）【解析】（1）证法一：证明△ABC≌△ADC，即可得解；证法二：根据垂直平分线的性质证明即可；（2）根据勾股定理解答即可；（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理计算即可；解：（1）如图1，四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：证法一：∵，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC．∴∠BAC＝∠DAC．∴AC是等腰三角形ABD顶角∠BAD的平分线．∴．∴四边形ABCD是垂美四边形．证法二：连结AC、BD交于点E．,∵，∴点A在线段BD的垂直平分线上．∵，∴点C在线段BD的垂直平分线上．∴直线AC是线段BD的垂直平分线．∴．∴四边形ABCD是垂美四边形．（2）如图2，在垂美四边形ABCD中，∵于点O，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°．∴．．．．∴．．∴．（3）分别连结CD、BE，如图3，∵∠CAD＝∠BAE＝90°，∴．即．,在和中，，∴．∴．∵∠BAE＝90°，∴．∴．∴，即．∴四边形CDEB是垂美四边形．由（2）得：．∵AB＝AE＝2，AC＝AD＝，∴．．．∴．∴．本题主要考查了四边形综合，结合勾股定理、垂直平分线的性质计算是解题的关键．26．（1）见解析；（2）【解析】（1）由题意可得，则有，，进而可得，然后可证四边形是平行四边形，最后问题可求证；（2）由题意易得，则有AF=4，DF=1，设，则，，然后根据勾股定理可得，进而问题可求解．（1）证明：由题意可得，，，，,，，，，，四边形是平行四边形，又，四边形是菱形；（2）解：矩形中，，，，，，，，设，则，，，解得，，．本题主要考查矩形的性质及菱形的判定，熟练掌握矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．27．（1）见解析；（2）①见解析；②【解析】（1）由旋转性质知，，由，可证四边形是矩形．由，可证四边形是正方形；（2）如图，过点作，垂足为．由，得．可证．可得，由旋转性质知，即可；（3）设正方形的边长为．在中，，，，由勾股定理可求，由，可求，．在中，得,．（1）证明：由旋转性质知，，又延长与于点，．∵绕点按顺时针方向旋转，，四边形是矩形．又∵，四边形是正方形．（2）证明：如图，过点作，垂足为．由，得．，．又，，．，由旋转性质知，，故，即．（3）解：设正方形的边长为．在中，，，，，解得（舍去）．如图，过点作，垂足为，同（2）知，，．,，．在中，得．本题考查正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握正方形性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理应用是解题关键．28．（1），，；（2）存在，当时四边形为菱形；（3）或时为直角三角形．【解析】（1）在中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长，由PM=PB则可得出答案；（2）证明四边形AQMP是平行四边形，当AP=AQ时，平行四边形AQMP是菱形，可得出20-2t=t，求出t的值即可；（3）分三种不同的情况，由直角三角形的性质可得出答案．解：（1）∵点Q从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向点C匀速运动，∴AQ=t，∵∠C=90°，AC=10，∠A=60，∴∠B=30°，∴AB=2AC=20，∴AP=AB-BP=20-2t，∵PM⊥BC，∴∠PMB=90，∴PM=PB=t．故答案为：，，．（2）存在，理由如下：由（1）知，,∵，∴∴四边形是平行四边形．当时，是菱形即，解得．故当时四边形为菱形．（3）为直角三角形有3种可能：①当时：此时四边形为矩形在中，∴∴，即，解得②当时：由（2）知∴．∵∴，∴，即，解得．③当时：此种情况不存在．综上所述，或时为直角三角形．此题属于四边形综合题，考查了含30度直角三角形的性质，矩形的性质以及菱形的判定与性质，熟练掌握性质是解本题的关键．29．（1）见解析；（2）△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．,【解析】（1）证明△AOD≌△COD全等，得AD=CD，则AB=AD=CD=BC，即可得出结论；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．（1）证明：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∵BD平分∠ADC，∴∠ADO=∠CDO，又OD=OD，∠AOD=∠COD=90，∴△AOD≌△COD（ASA），∴AD=CD，∴AB=AD=CD=BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∵BE∥AC，∴四边形ACEB是平行四边形，∴DC=AB=CE，∴图中所有与△CBE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．30．（1）见解析；（2）AC=2AB，理由见解析；（3）当AN=EN且∠ENA=90°时，四边形MECN是正方形．【解析】（1）根据SAS证明三角形全等即可．（2）先根据等腰三角形的性质可得∠NMA=90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可．（3）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出MN=EM，再根据有一个角是直角的菱形是正方形证明即可．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，OB=OD，OA=OC，∴∠ABM=∠CDN，,∵点M，N分别为OB，OD的中点，∴∴BM=DN，在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN．（2）当AC=2AB时，四边形MECN是矩形，理由如下：∵△ABM≌△CDN，∴AM=CN，∠AMB=∠CND，∴∠AMN=∠CNM，∴AM∥CN，∵，∴，∴四边形EMNC是平行四边形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2OA，∵AC=2AB，∴AB=OA，∵M是OB的中点，∴AM⊥OB，∴∠NMA=90°，∴∠NME=90°，∴平行四边形MECN是矩形．（3）当AN=EN且∠ENA=90°时，四边形MECN是正方形；理由如下：连接AN、EN∵△ABM≌△CDN，∴AM=CN，∠AMB=∠CND，∴∠AMN=∠CNM，∴AM∥CN，,∵，∴，∴四边形EMNC是平行四边形，∵，∠ENA=90°∴MN=EM，∴平行四边形EMNC是菱形，∵AN=EN，AM=EM∴∠NME=90°，∴四边形EMNC是正方形．本题考查了正方形的判定、平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
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