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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(39)一、单选题1．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点Р是对角线BD上一动点（不与D，B重合），于点F，于点E，连接AP，EF．则下列结论错误的是（）A．B．，且C．四边形的周长是8D．2．下列说法正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形B．对角线互相垂直的矩形是正方形C．有一组邻边相等的菱形是正方形D．各边都相等的四边形是正方形3．如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为．下列说法错误的是（）A．B．C．D．△ABE≌△CDE4．已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当时，四边形是菱形B．当时，四边形是菱形C．当时，四边形是矩形D．当时，四边形是正方形5．下列命题中，错误的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是正方形；B．对角线相等的菱形是正方形；,C．对角线互相垂直的矩形是正方形；D．一组邻边相等的矩形是正方形．6．如图，ABE、BCF、CDG、DAH是四个全等的直角三角形，其中，AE＝5，AB＝13，则EG的长是（ ）A．7B．6C．7D．77．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（ ）A．96B．48C．24D．68．如图，已知正方形的边长为1，延长到，使得，延长到，使得，以同样的方式得到，连接，得到第2个正方形，再以同样方式得到第3个正方形，……，则第2020个正方形的边长为（）A．2020B．C．D．9．下列命题中，错误的是（）A．一组对边平行的四边形是梯形；B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形；C．对角线相等的平行四边形是矩形；,D．一组邻边相等的平行四边形是菱形．二、解答题10．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别在BD和DB的延长线上，且，连接AE，CF．（1）求证：；（2）连接AF，CE，当BD平分时，四边形AFCE是什么特殊四边形？请说明理由．11．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片和叠放在一起，这时对角线和互相重合．第二步：固定矩形，将矩形绕的中点逆时针方向旋转，直到点与点重合时停止．问题解决：（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边与交于点，边与交于点，如图2、图3所示，请写出线段与始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．,（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形时，如图3所示，请你猜测四边形的形状，并试着证明你的猜想．探索发现：（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形中与旋转角存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．12．如图，已知点是的边延长线上的一点；连接，，且；过点作，交的延长线于点，连接；求证：13．如图，四边形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若点是的中点，，求的长．14．如图所示，沿折叠长方形使点恰好落在边上的点处，已知，,．（1）求的长（2）求的面积．15．如图，矩形中，，，E，F分别是和上的点，，F是的中点，请使用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图1中，作一个以为直角边的直角三角形；（2）在图2中，作一个以为边的平行四边形．16．已知：如图，在正方形中，点为边的中点，连结，点在上，过点作交于点．（1）求证：；（2）联结，求证：．17．已知：如图，菱形的对角线与相交于点，若．（1）求证：四边形是正方形．（2）是上一点，，垂足为，与相交于点，求证：．,18．已知：如图，在梯形中，，，，，垂足为点，且是的中点，联结，交边于点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证：四边形是正方形．19．已知：如图，在梯形中，∥，点、在边上，∥，∥，且四边形是平行四边形．（1）试判断线段与的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）现有三个论断：①；②90°；③．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形是菱形．20．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题问程情境：已知正方形中，点是线段的中点，将将正方形绕点顺时针旋转得到正方形（点，，，分别是点，，，的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．,特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点旋转过程中，顺次连接点，，，得到四边形，求证：四边形是矩形；（2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点落在对角线上时，设与交于点.求证：四边形是正方形．深入探究：（3）“好问”小组提出问题：如图3.若点是线段的三等分点且，在正方形旋转的过程中当线段经过点时，请直接写出的值．21．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝12cm，AB＝18cm，CD＝23cm，动点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以2cm/s的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．（1）当t＝3时，PB＝ cm．（2）当t为何值时，直线PQ把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？（3）四边形PBQD能否成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．22．如图，在ABC中，D是AB的中点，AC＝2，BC＝2，AB＝2，延长AC到E，使得CE＝CD，连接BE．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）求线段BE的长度．,23．如图所示，小明在测量旗杆的高度时发现，国旗的升降绳自然下垂到地面时，还剩余0.3米，小明走到距离国旗底部6米的C处，把绳子拉直，绳子末端恰好位于他的头顶D处，假设小明的身高为1.5米，求旗杆的高度是多少米？24．用总长度为的铁丝可围成一个长方形或正方形，小东同学认为围成一个正方形的面积较大．小东同学的看法对不对？请你用数学知识进行说理．25．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，、是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图：（1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰，其中；（2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段的垂直平分线．26．已知：如图，在梯形中，平分，若以点为圆心，长为半径作弧，交边于点，联结、、．,（1）求证：四边形是菱形；（2）若点是的中点，请判断线段和的位置关系，并证明你的结论．三、填空题27．如图，平行四边形中，于点E，点F为边AB的中点，连接EF，CF，若，，则_____________．28．如图，在平行四边形中，，F是的中点，，垂足E在线段上．下列结论①；②；③；④中，一定成立的是_________．（请填序号）29．如图，正方形ABCD的边长为，O是对角线BD上一动点（点O与端点B，D不重合），OM⊥AD于点M，ON⊥AB于点N，连接MN，则MN长的最小值为_____．30．如图，先将正方形纸片对折，折痕为，再把点折叠到折痕上，折痕为，点,在上的对应点为，则______°．,【答案与解析】1．A【解析】由三个直角的四边形是矩形，由此判断四边形是矩形，得到，再结合正方形的性质，解得，由此判断A；过点作垂足为，过作交于点，连接，由角平分线的性质得到，继而结合勾股定理证明、证明四边形是平行四边形，即可得到，设，结合勾股定理证明，即可判断B；根据等腰直角三角形的性质计算四边形的周长即可判断C；设，由勾股定理解得的长，再结合，解得与的数量关系即可判断D．解：A.四边形是矩形正方形中故A错误；B.过点作垂足为，过作交于点，连接，平分，，且,四边形是平行四边形设，则，故B正确；C.为等腰直角三角形故四边形的周长为，故C正确；D.设故D正确，故选：A．,本题考查四边形的综合题，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．2．B【解析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．故选B．本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．3．B【解析】由折叠的性质和平行线的性质可得∠ADB=∠CBD，可得BE=DE，可证AE=CE，由“SAS”可证△ABE≌△CDE，即可求解．解：如图，∵把矩形纸片ABC'D沿对角线折叠，∴∠CBD=∠DBC'，CD=C'D=AB，AD=BC=BC'，∵AD∥BC'，∴∠EDB=∠DBC'，∴∠EDB=∠EBD，故选项C正确；∴BE=DE，∵AD=BC，∴AE=CE，故选项A正确；在△ABE和△CDE中，,，∴△ABE≌△CDE（SAS），故选项D正确；没有条件能够证明，故选：B．本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握折叠的性质是本题的关键．4．D【解析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．解：、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故本选项不符合题意；、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当时，四边形是菱形，故本选项不符合题意；、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当时，四边形是矩形，故本选项不符合题意；、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；综上所述，符合题意是选项；故选：．本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．5．A【解析】根据正方形的判定逐项作出判断即可求解．解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，判断错误，应该是矩形，符合题意；B.对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不合题意；C.对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不合题意；D.一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不合题意．,故选：A本题考查了正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解题关键．6．A【解析】根据勾股定理求出BE，证明四边形EFGH为正方形，根据正方形的性质、勾股定理计算，得到答案．解：在Rt△ABE中，AE＝5，AB＝13，由勾股定理得，BE＝＝＝12，∵△ABE、△BCF、△CDG、△DAH是四个全等的直角三角形，∴∠AEB＝∠BFC＝∠CGD＝90°，BF＝CG＝DH＝AE＝5，∴∠FEB＝∠EFC＝∠FGD＝90°，EF＝EH＝12﹣5＝7，∴四边形EFGH为正方形，∴EG＝＝7，故选：A．本题考查的是全等三角形的应用，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．7．C【解析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为AC×BD＝＝24．故选：C．本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．8．B【解析】结合题意分析每个正方形的边长，从而发现数字的规律求解解：由题意可得：第1个正方形的边长为∵,∴∴第2个正方形的边长为由题意，以此类推，，∴第3个正方形的边长为…∴第n个正方形的边长为∴第2020个正方形的边长为故选：B．本题考查勾股定理及图形类规律探索，题目难度不大，正确理解题意求解每个正方形边长的规律是解题关键．9．A【解析】根据梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定进行判断即可．解：A、一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形，故错误，符合题意；B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，正确，不符合题意；C、对角线相等的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不符合题意；故选：A．主要考查梯形，平行四边形，矩形，菱形的判定，注意梯形的定义应从两组对边的不同位置关系分别考虑．10．（1）见解析；（2）四边形AFCE是菱形，理由见解析【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到AD=CB，AD∥BC，从而可以得到∠ADE=∠CBF，然后根据SAS证明△ADE≌△CBF，从而得出结论；（2）根据BD平分∠ABC和平行四边形的性质，可以证明▱ABCD是菱形，从而可以得到AC⊥BD，然后即可得到AC⊥EF，再根据题目中的条件，可以证明四边形AFCE是平行四边形，然后根据AC⊥EF，即可得到四边形AFCE是菱形．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，AD∥BC，,∴∠ADB=∠CBD，∴∠ADE=∠CBF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF（SAS），∴∠E=∠F；（2）当BD平分∠ABC时，四边形AFCE是菱形，理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥EF，∵DE=BF，∴OE=OF，又∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．,本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11．（1），理由见解析；（2）四边形为菱形，证明见解析；（3）=【解析】（1）结论：AM=CN．先证明，推出，，，再证明即可解决问题．（2）过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．首先证明四边形QMRN是平行四边形，再证明QM=QN即可．（3）结论：∠MQN=∠AOE．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．（1）关系：理由：如图：设分别与、相交于点、；∵四边形与都是矩形，且点为对角线的中点；∴，，，；∴；又,∴∴，；∴；又，∴；又；∴∴∴，则即（2）四边形为菱形．证明：过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG∴四边形QMRN为平行四边形，∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL，又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，∴∠KMQ=∠LNQ，,∴△QKM≌△QLN（AAS）∴MQ=NQ∴四边形为菱形．（3）结论：∠MQN=∠AOE．理由：如图中，∵∠QND=∠1+∠2，∠AOE=∠1+∠3，又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2=∠3，∴∠QND═∠AOE，∵AB∥CD，∴∠MQN=∠QND，∴∠MQN=∠AOE．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．12．见解析【解析】根据平行四边形的性质可得，，然后结合题意利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和直角三角形斜边中线等于斜边一半证明求解．证明：∵四边形是平行四边形，∴，，又∵,∴四边形是平行四边形；∴，即；又于点；∴∠EFC=90°∴在中，点是斜边的中点∴．本题考查平行四边形的性质和判定以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）根据HL证明Rt△EGF≌Rt△EOF即可；（2）证明四边形ABCD为矩形，可得BG=CD；（3）设CD=x，分别表示出BE2，EF2，BF2，证明∠BEF=90°，利用勾股定理得到方程，解之即可．解：（1）∵E是AD中点，∴AE=DE，由折叠可知：AE=EG，∠EGB=∠EGF=∠D=∠A=90°，∴EG=ED，又EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EOF（HL）；（2）△ABE折叠得到△GBE，∴AB=BG，∵AD∥BC，∠A=∠D=90°，∴∠ABC=90°，∠C=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC，∴BG=CD；（3）∵点E是AD中点，AD=BC=8，∴AE=DE=4，∵点F是CD中点，∴设CD=x，则DF=x，则BE2=BG2+EG2，即BE2=CD2+AE2，,即BE2=x2+42，且EF2=DE2+DF2，即EF2=42+（x）2，且BF2=BC2+CF2，即BF2=82+（x）2，∵∠AEB=∠GEB，∠DEF=∠GEF，∴∠BEF=∠GEB+∠GEF=90°，∴BF2=BE2+EF2，∴82+（x）2=x2+42+42+（x）2，解得：x=，即CD=．本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，熟记性质，找出三角形全等的条件，合理利用勾股定理得到方程是解题的关键．14．（1）cm；（2）cm2【解析】（1）根据矩形的性质得DC=8cm，AD=10cm，再根据折叠的性质得到AF=AD=10cm，DE=EF，在Rt△ABF中，利用勾股定理易得BF=6cm，设DE=xcm，则EF=xcm，EC=(8-x)cm，在Rt△CEF中，利用勾股定理可求出x的值，进一步得到EC的长；（2）根据三角形面积公式计算即可求解．（1）∵AB=8cm，BC=10cm，∴DC=8cm，AD=10cm，又∵将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，∴AF=AD=10cm，DE=EF，在Rt△ABF中，AB=8cm，AF=10cm，∴BF=(cm)，∴FC=10-6=4(cm)，设DE=xcm，则EF=xcm，EC=(8-x)cm，在Rt△CEF中，EF2=FC2+EC2，即x2=42+(8-x)2，解得x=5，即DE的长为5cm，EC=8-x=8-5=3，即EC的长为3cm；,（2）S△AEF=EF×AF=×5×10=25(cm2)．故△AFE的面积是25cm2．本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．15．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】(1)连接CE，CF，先利用勾股定理计算EF，EC，CF的长，再利用勾股定理的逆定理，判定三角形的形状即可；(2)过点E作BC的垂线E，连接D，取CD，C的中点即可，过点E作E⊥D，垂足为，也可以得到符合题意的平行四边形.解：（1）在图1中，连接CE，CF，则即为所作；理由如下：∵，，，F是的中点，∴AF=BF=2，ED=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，∴==8，==32，==40，∵+=，∴是直角三角形.（2）如图2，四边形即为所作．,本题考查了勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理及其逆定理，平行四边形的判定定理是解题的关键.16．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由可证得，因为，所以，再由等腰三角形的判定即可得证；（2）因为，所以是的垂直平分线，再证由全等三角形对应边相等可得，这样即可解决问题；证明：（1）四边形是正方形，，，，，，即，．（2）如图，连结．,点、在线段的中垂线上，，，，．四边形是正方形，，，，点是边的中点，点是边的中点，，，，即．本题是正方形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等知识，侧重考查了学生的逻辑推理能力和对知识的应用能力．17．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由菱形的性质得出，，得出，证出，求出，即可得出结论；（2）由正方形的性质得出，得出，，证出，证明，即可得出结论．证明：（1）四边形是菱形，，,，四边形是正方形；（2）证明：四边形是正方形，，，垂足为，，，在和中，，．本题考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．18．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）连接AC和BE，根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证明∥和即可得到四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，即可证明结论；（2）先由（1）的结论证明四边形是平行四边形，再由得到四边形是菱形，再根据勾股定理的逆定理得，即可证明结论．解：（1）如图，连接AC和BE，,∵，是的中点，∴，由等腰三角形“三线合一”的性质得，∵∥，，∴，∴，∴∥，∵，∴四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵∥，∴四边形是平行四边形；（2）∵四边形是平行四边形，∴∥，，∵∥，，∴∥，，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形，∴，由，即得，∴，∴，∴四边形是正方形．,本题考查平行四边形的性质和判定，正方形的判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理．19．（1），见解析；（2）见解析【解析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，同理得到，根据四边形是平行四边形，得到，从而得到，进而得到；（2）选择论断②作为条件．根据∥，得到，从而证明，得到，根据，得到，从而证明平行四边形是菱形．解：（1）线段与的长度之间的数量为：．证明：∵∥，∥，∴四边形是平行四边形．∴．同理可证，四边形是平行四边形．∴．又∵四边形是平行四边形，∴．∴．∴．（2）选择论断②作为条件．证明：∵∥，∴．∵，∴．即得．又∵，∴．∵四边形是平行四边形，∴平行四边形是菱形．本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟知相关定理并根据题意灵活应用是解题关键．,20．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】(1)由旋转性质可得OB=OB′，OC=OC′，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又BC=B′C′，得到平行四边形BB′CC′是矩形．（2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形OB′MC是矩形，再由OC=OB′得到四边形OB′MC是正方形．（3）过D作DN⊥B′C′，证Rt△DNO≌Rt△DCO(HL)，设OC=a，得到OC′=a，DD′=2a，即可求解.解：（1）由旋转性质可得，．点是线段的中点，，．四边形是平行四边形．又，平行四边形是矩形．（2）证明：四边形是正方形，，．由旋转可知，，．四边形是正方形，四边形是矩形，OC=OC′，OB′=OB，∴OC=OB′矩形是正方形，（3）．如图，过D作DN⊥B′C′,可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°，∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，在Rt△DNO与Rt△DCO中，∵OD=OD，DN=DC，∴Rt△DNO≌Rt△DCO(HL)设OC=a，则OB=2OC=2a，∴ON=OC=OC′=a∴BC=OB+OC=3a，DD′=NC′=ON+OC′=2a，∴=2．本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．21．（1）15；（2）t＝6或；（3）能，t＝5.【解析】（1）先求出AP，即可求解；（2）分两种情况讨论，由平行四边形的性质可求解；（3）由菱形的性质可求DP＝BP，由勾股定理可求解．解：（1）当t＝3时，则AP＝3×1＝3cm，∴PB＝AB﹣AP＝18﹣3＝15cm，故答案为：15．（2）若四边形PBCQ是平行四边形，∴PB＝CQ，,∴18﹣t＝2t，∴t＝6，若四边形PQDA是平行四边形，∴AP＝DQ，∴t＝23﹣2t，∴t＝，综上所述：t＝6或；（3）如图，若四边形PBQD是菱形，∴BP＝DP，∵，∴，∴AP＝5，∴t＝＝5，∴当t＝5时，四边形PBQD为菱形．本题考查了平行四边形，菱形的判定，勾股定理，分类思想，熟练掌握菱形的判定定理，灵活运用分类思想是解题的关键.22．（1）见解析；（2）【解析】（1）利用勾股定理的逆定理判定AC⊥BC；（2）在直角△BCE中，利用勾股定理来求BE的长度．证明：（1）∵在△ABC中，AC＝2，BC＝2，AB＝2，∴AC2＝4，BC2＝8，AB2＝12，∴AC2+BC2＝AB2．∴∠ACB＝90°；,（2）由（1）知，∠ACB＝90°，则∠BCE＝90°．∵D是AB的中点，AB＝2，CE＝CD，∴CE＝CD＝AB＝．∴在直角△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝．本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线．注意：勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．23．旗杆的高度为10.6米【解析】过点D作，垂足为E，可证四边形为长方形，可知米，设旗杆高度为米，则绳子长度为米，米，在中，由勾股定理，得，，解方程即可．解：过点D作，垂足为E，∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠EBC=∠BCD=∠BED=90°，∴四边形为长方形，∴米，设旗杆高度为米，则绳子长度为米，米，在中，由勾股定理，得，∴，整理得，即，解得．答：旗杆的高度为10.6米．,本题考查勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，掌握勾股定理，矩形的判定与性质，一元一次方程的解法，利用勾股定理结合旗杆与绳长的关系构造方程是解题关键．24．对，见解析【解析】设长方形的长为，则宽为，由长方形面积公式求得，，由两者左侧，即即可．解：小东同学的看法对，理由如下，设长方形的长为，则宽为，，，长方形面积为：，若铁丝围成正方形，则其边长为，，∴，即，所以正方形的面积较大．小东同学认为围成一个正方形的面积较大．小东同学的看法对．本题考查周长一定，围成的长方形中，正方形面积最大问题，掌握求长方形与正方形面积公式，作差后利用公式因式分解是解题关键．25．（1）见解析；（2）见解析．【解析】,（1）如图1所示，取点C，连接AC、BC，然后找出图中全等的三角形，依据全等三角形的性质可证明AB=BC，最后再结合全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明；（2）先确定出AB的中点D，然后再确定出AC的中点E，依据直角三角形斜边上中线的性质可得到AE=BE，则DE为AB的垂直平分线．解：如图：（1）三角形ABC即为所求；（2）直线DE即为所求．本题考查了尺规作图，熟练掌握矩形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定方法是解题的关键．26．（1）见解析；（2）线段和的位置关系是垂直．证明见解析．【解析】（1）根据题意可得ED=DC，根据SAS证明△EDF≌△CDF，可得EF=CF，根据梯形的性质和平行线的性质，由等角对等边可得CF=CD，再根据菱形的判定即可求解；（2）先根据平行四边形的判定可证四边形BEDF是平行四边形，再根据菱形的性质即可求解．（1）∵平分，∴．由题意，．在△与△中，．∴△≌△．∴．∵四边形为梯形．∴∥．∴．∴．,∴．∴．∴四边形是菱形．（2）线段和的位置关系是垂直．理由如下：∵点是的中点，∴．∴．∵∥，∴四边形是平行四边形．∴∥．∵四边形是菱形，∴⊥．∴⊥．考查了梯形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质及菱形的判定和性质，熟悉相关定理进行正确推理是关键．27．24°【解析】延长CF交DA延长线于点G，证△BCF≌△AGF，得GF=FC，由垂直得△FEC是等腰三角形，，可知△BFC是等腰三角形，求出∠GFE和∠GFA即可．解：延长CF交DA延长线于点G，∵AG∥BC，∴∠G=∠BCF，∠GAF=∠B，∵AF=FB，∴△AGF≌△BCF，∴GF=CF，AG=BC，∵，∴EF=FG=FC，∠GEC=90°，,∵，∴∠FEG=∠FGE=52°，∠GFE=76°，∵，∴BC=BF=AF，∵AG=BC，∴AG=AF，∠G=∠AFG=52°，76°-52°=24°．本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题关键是作出适当的辅助线，构造等腰三角形．28．②③④【解析】如图延长EF交CD的延长线于H．作EN∥BC交CD于N，FK∥AB交BC于K．利用平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质一一判断即可解决问题．解：如图，延长EF交CD的延长线于H．作EN∥BC交CD于N，FK∥AB交BC于K．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CH，∴∠A=∠FDH，在△AFE和△DFH中，，,∴△AFE≌△DFH，∴EF=FH，∵CE⊥AB，AB∥CH，∴CE⊥CD，∴∠ECH=90°，∴CF=EF=FH，故②正确，∵DF=CD=AF，∴∠DFC=∠DCF=∠FCB，∵∠FCB＞∠ECF，∴∠DCF＞∠ECF，故①错误，∵FK∥AB，FD∥CK，∴四边形DFKC是平行四边形，∵AD=2CD，F是AD中点，∴DF=CD，∴四边形DFKC是菱形，∴∠DFC=∠KFC，∵AE∥FK，∴∠AEF=∠EFK，∵FE=FC，FK⊥EC，∴∠EFK=∠KFC，∴∠DFE=3∠AEF，故③正确，∵四边形EBCN是平行四边形，∴S△BEC=S△ENC，∵S△EHC=2S△EFC，S△EHC＞S△ENC，∴S△BEC＜2S△CEF，故④正确，故正确的有②③④．故答案为②③④．,本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．29．1.【解析】连接AO，可证四边形AMON是矩形，可得AO＝MN，当AO⊥BD时，AO有最小值，即MN有最小值，由等腰直角三角形的性质可求解．解：如图，连接AO，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝，BD＝AB＝2，∠DAB＝90°，又∵OM⊥AD，ON⊥AB，∴四边形AMON是矩形，∴AO＝MN，∵当AO⊥BD时，AO有最小值，∴当AO⊥BD时，MN有最小值，此时AB＝AD，∠BAD＝90°，AO⊥BD，∴AO＝BD＝1，∴MN的最小值为1，故答案为：1．本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，等腰直角三角形的性质，利用矩形的对角线相等，把线段MN的最小值转化为线段AO的最小值是解题的关键.30．75．【解析】由将正方形纸片对折，折痕为MN，可得MA=MD=，由折叠得AB=AH由四边形ABCD是正方形得AD=AB，可推出AH=AD=2AM，可求∠AHM=30°，利用平行线性质可求∠BAH=30°，在△AHB中，AH=AB由内角和可求∠ABH=即可．,解:∵正方形纸片对折，折痕为MN，∴MN是AD的垂直平分线，∴MA=MD=，∵把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，∴AB=AH，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∴AH=AD=2AM，∵∠AMH=90°，AM=，∴∠AHM=30°，∵MN∥AB，∴∠BAH=30°，在△AHB中，AH=AB，∴∠ABH=．故答案为：75．本题考查正方形折叠问题，涉及垂直平分线，正方形性质，等腰三角形性质，三角形内角和，关键是30°角所对直角边等于斜边一半逆用求角度．
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