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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(38)一、单选题1．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，在中，，，，是的中点，则中最短边的长为（）A．B．C．D．3．顺次连接矩形各边的中点，所得四边形是（）A．平行四边形B．正方形C．矩形D．菱形4．如图，以平行四边形的边、、、为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连结这四个点，得四边形，当时，有以下结论：①；②；③；④；⑤四边形是平行四边形．则结论正确的是（）,A．①③④B．②③⑤C．①③④⑤D．②③④⑤5．在菱形ABCD中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=()A．B．2C．3D．46．菱形的一个内角是，边长是，则这个菱形的较短的对角线长是（）A．B．C．D．7．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若，．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个8．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直平分D．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形9．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（）,A．B．C．D．DE平分10．如图，以为斜边的和位于直线的同侧，连接．若，则的长为（）A．3B．4C．D．二、解答题11．如图，过对角线与的交点作两条互相垂直的直线，分别交边、．、于点、、、．（1）求证：；（2）顺次连接点、、、，求证：四边形是菱形．12．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在上，．,（1）判断四边形的形状；（2）若，求菱形的面积和的长．13．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形是平行四边形，且求作：菱形，使点在上，点在上．作法：①作的角平分线，交于点；②以为圆心，长为半径作弧，交于点；③连接．则四边形为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）求证四边形为菱形．14．如图，已知点在的边上，交于，交于．（1）求证：；（2）若平分，试判断四边形的形状，并说明理由．,15．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，是等边三角形，，求的面积．16．如图1，点E是正方形ABCD边AB上任意一点，以BE为边作正方形BEFG，连接DF，点M，N分别是线段AE、DF中点，连接MN．（1）请猜想MN与AE的关系，并证明你的结论；（2）把图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转，此时点E、G恰好分别落在线段BC、AB上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．17．如图，矩形的顶点分别在菱形的边上，顶点在菱形的对角线上．,（1）求证：；（2）若为中点，，求菱形的周长；18．如图，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一点，将△ABE沿着AE折叠，点B刚好落在CD边上点G处；点F在DG上，将△ADF沿着AF折叠，点D刚好落在AG上点H处，且CE＝，（1）求AD的长；（2）求FG的长19．（定义）如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果条线段将一个三角形分成个等腰三角形，那么这条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”．（理解）（1）如图（1），在中，，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数．,（2）如图（2），已知是一个顶角为的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数．（应用）（3）小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”．①你认为直角三角形的__就是它的“二分等腰线”；②如图（3），在中，，请你在图（3）中帮助小丽画出的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．,（4）在中，和分别是的“三分等腰线”，点在边上，点在边上，且，请根据题意写出度数的所有可能的值．20．如图，长方形ABCD中，AD＝acm，AB＝bcm，且a、b满足|8－a|＋(b－4)2＝0．（1）长方形ABCD的面积为；（2）动点P在AD所在直线上，从A出发向左运动，速度为2cm/s，动点Q在DC所在直线上，从D出发向上运动，速度为4cm/s．动点P、Q同时出发，设运动时间为t秒．①当点P在线段AD上运动时，求以D、P、B、Q为顶点的四边形面积；（用含t的式子表示）②求当t为何值时，S△BAP＝S△CQB．21．如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，BC=12cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始以每秒4cm的速度运动到B点，动点E也同时从点C开始沿射线CM方向以每秒2cm的速度运动．（1）问动点D运动多少秒时，△ABD≌△ACE，并说明理由；（2）设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S；,（3）动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为4：1．22．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，与相交于点O．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求线段的长．23．如图一，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=，对角线AC，BD相交于O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．（所需图形须在备用图中画出）（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；（2）求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；（3）在旋转过程中，当EF⊥BD，旋转的角度小于180°时，求出此时绕点O顺时针旋转的度数．24．已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交BC于点F．（1）求证：AE＝BF；（2）连接EF，求∠DEF的度数；（3）若AC=，直接写出EF的取值范围．,25．（1）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边上，且∠EAF=45°，求证：EF=BE+DF；（2）如图2，四边形ABCD中，ADBC，∠D=90°，AD=DC=10，BC=6，点E在CD上，∠BAE=45°，在（1）的基础上求DE长．三、填空题26．己知菱形的边长是3，点在直线上，=1，联结与对角线相交于点，则的值是______．27．正三角形ABC中，已知AB=6，D是直线AC上的动点，CE⊥BD于点E，连接AE，则AE长的取值范围是_______________．28．如图，在四边形中，，，且顺次连接四边形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形…如此进行下去，得到四边形，下列结论正确的有__________．,①四边形是矩形；②四边形是菱形；③四边形的周长是．29．如图，在中，，，点D是AB上一动点，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是________．30．如图，正方形中，，点、是正方形内的两点，且，，则的平方为________．,,【答案与解析】1．B【解析】判断出△ABE是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACB＝30°，再判断出△ABO，△DOC是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出OB＝AB，再求出OB＝BE，可判断②，由直角三角形的性质可得BC＝AB，可判断③，由等腰三角形性质求出∠BOE＝75°，再根据∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝135°，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解．解：∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠CAE＝15°，∴∠ACE＝∠AEB−∠CAE＝45°−15°＝30°，∴∠BAO＝90°−30°＝60°，∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，∴△ABO是等边三角形，△COD是等边三角形，故①正确；∴OB＝AB，又∵AB＝BE，∴OB＝BE，∴△BOE是等腰三角形，故②正确；在Rt△ABC中∵∠ACB=30°∴BC＝AB，故③错误；∵∠OBE＝∠ABC−∠ABO＝90°−60°＝30°＝∠ACB，∴∠BOE＝（180°−30°）＝75°，∴∠AOE＝∠AOB＋∠BOE＝60°＋75°＝135°，故④错误；∵AO＝CO，,∴，故⑤正确；故选：B．本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．2．B【解析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．解：在△A1A2A3中，∠A1A3A2=90°，∠A2=30°，A1A3=1，An+3是AnAn+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A4A5//A1A3，A3A4=A2A4，∴∠A3A5A4=90°，∠A4A3A2=∠A2=30°，∴△A1A2A3是含30°角的直角三角形，同理可证△AnAn+1An+2是含30°角的直角三角形．△A1A2A3中最短边的长度为A1A3=1=，△A3A4A5中最短边的长度为A4A5==，△A5A6A7中最短边的长度为A5A7=，…，所以△AnAn+1An+2中最短边的长度为，则△A2019A2020A2021中最短边的长度为．故选：B．本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．3．D【解析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，,∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，∴EF=AC，FG=BD，GH=AC，EH=BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选D.本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.4．D【解析】根据平行四边形性质得出∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，根据等腰直角三角形得出BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，求出∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE=90°+α，证△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG，推出∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，求出∠EFG=90°，根据正方形性质得出即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=α，∠BAD=∠BCD，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，∵平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边，分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，∴BE=AE=CG=DG，AH=DH=BF=CF，∠ABE=∠EAB=∠FBC=∠FCB=∠GCD=∠GDC=∠HAD=∠EDA=45°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠BCD=180°-α，∴∠EAH=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，∠GCF=360°-45°-45°-（180°-α）=90°+α，,∴①错误；②正确；∠HDG=45°+45°+α=90°+α，∠FBE=45°+45°+α=90°+α，∴∠HAE=∠HDG=∠FCG=∠FBE，在△FBE、△HAE、△HDG、△FCG中，，∴△FBE≌△HAE≌△HDG≌△FCG（SAS），∴∠BFE=∠GFC，EF=EH=HG=GF，③正确；∴四边形EFGH是菱形，∵∠BFC=90°=∠BFE+∠EFC=∠GFC+∠CFE，∴∠EFG=90°，∴四边形EFGH是正方形，⑤正确；∴EH⊥GH，④正确；故选：D．本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的性质和判定，正方形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．5．D【解析】根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；如图，AC与BD相较于点O，∵四边形ABCD是菱形，，,∴，，又∵∠ABC=60゜，∴，∴，∴，∴；故选D．本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．6．C【解析】根据菱形的四边相等和一个内角是60°，可判断较短对角线与两边组成等边三角形，根据等边三角形的性质可求较短的对角线长．解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．∵菱形的边长是，∴这个菱形的较短的对角线长是3cm．故选：C．此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定，解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形．7．C【解析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，,∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF≌△CBF（SSS），∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，∴FB⊥OC，OM=CM；∴①正确，∵AB∥CD，∴∠OCF=∠OAE，∵OA=OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF，FC=AE，∴DF=BE，DF∥BE，∴四边形EBFD是平行四边形，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF，∴四边形EBFD是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB＞OB，∵OB=OC，∴FB＞OC，,∴③错误，在直角三角形AMB中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM，∴④错误，设ED与AC的交点为N，设AE=OE=2x，则NE=x，BE=4x，∴AB=6x，∴BM=3x，∴==3:2，结论⑤正确.故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.8．B【解析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．解：A.菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B.顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C.矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D.顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B．,本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．9．D【解析】先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可．解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAB=∠EBA，∵点F是AB的中点，∴AF=BF，∵∠AFD=∠BFE，∴△ADF≌△BEF，∴AD=BE，∵AD∥BE，∴四边形AEBD是平行四边形，A、当时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；D、当DE平分时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；故选：D．此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．10．C【解析】取AB的中点O，连结OD，OC，根据直角三角形的性质可得，可得，，，在四边形ABCD中，根据四边形的内角和为，，可得出，由，可证得是等腰直角三角形，由，根据勾股定理，即可得出CD的长．取AB的中点O，连结OD，OC，,∵和的斜边为AB，∴，，∴，∴，，，在四边形ABCD中，，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，故选：Ｃ．本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质和以及勾股定理，解题的关键是正确做出辅助线．11．（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）由证即可；（2）由全等三角形的性质得出，同理可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形是平行四边形，再由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论．（1）证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，,；（2）证明：如图所示：，，同理可得，四边形是平行四边形，，四边形是菱形．本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．12．（1）矩形；（2）24，【解析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据垂直即可得到结果；（2）根据菱形的面积求解和等面积法计算即可；解:四边形是矩形．,在菱形中，是的中点，又四边形是平行四边形．四边形是矩形．菱形的面积．四边形是菱形，，．由知，四边形是矩形，．，，．本题主要考查了矩形和菱形的判定和性质，准确计算是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．解:解:如图所示．,证明:平分在中，又四边形为平行四边形．四边形为菱形．本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（1）见解析；（2）菱形，见解析【解析】（1）由DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，可证得四边形AEDF是平行四边形，即可证得结论；（2）由AD平分∠BAC，DE∥AC，易证得△ADE是等腰三角形，又由四边形AEDF是平行四边形，即可证得四边形AEDF是菱形．（1）证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE=AF；,（2）若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；理由：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠FAD，∴∠EAD=∠ADE，∴AE=DE，∵四边形AEDF是平行四边形，∴四边形AEDF是菱形．此题考查了等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质．注意熟练掌握菱形的判定方法是解此题的关键．15．【解析】△AOB是等边三角形，得出AO=AB，进而得出四边形ABCD是矩形，求出AC，再根据勾股定理求出BC，即可求出面积=AB•BC．解：因为平行四边形，∴，，又∵三角形是等边三角形，∴，∴∴平行四边形是矩形∴°在中，由勾股定理得∴∴S▱ABCD=AB•BC=4×4=16本题考查了矩形的判定和性质和等边三角形的性质以及勾股定理，运用勾股定理求边长是解题的关键．,16．（1）MN⊥AE，MN=AE，证明见解析；（2）成立，理由见解析【解析】（1）连接EN，并延长交AD于H．证明△DHN≌△FEN，进而可证AH=AE，然后根据三角形中位线的判定与性质证明即可；（2）证明△ANH≌△GNH，可得AN=GN，∠ANH=GNH；证明△GNF≌△ENF，可得EN=GN，∠GNF=∠ENF，根据四边形内角和可求出∠HNF=45°，然后证明△ANE是等腰直角三角形即可证明结论成立．（1）MN与AE的关系：MN⊥AE，MN=AE．证明：连接EN，并延长交AD于H．∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，∴EF//BG，AD//BC，EF=BE，AD=AB，∴AD//EF，∴∠HDN=∠EFN．∵N是DF的中点，∴DN=NF，在△DHN和△FEN中，，∴△DHN≌△FEN，∴HD=EF，∴HD=BE，∴AH=AE，∵M是AE的中点，N是DF的中点，,∴MN是△AHE的中位线，∴MN//AD，MN=AD，∵AD⊥AB，∴MN⊥AB，∴MN⊥AE，MN=AE；（2）成立．证明：如图，连接AN，BF，NE，GN，取AG中点H，连接NH．∵H是AG中点，N是DF中点，∴NH//AD．∵AD⊥AB，∴NH⊥AG，在△ANH和△GNH中，，∴△ANH≌△GNH，∴AN=GN，∠ANH=GNH．∵∠GBF=45°，∠GBD=45°，∴B，F，D共线，∵∠BFG=∠BFE=45°，∴∠GFN=∠EFN=135°，在△GNF和△ENF中，,，∴△GNF≌△ENF，∴EN=GN，∠GNF=∠ENF，∵∠GHN=∠HGF=90°，∠GFN=135°，∴∠HNF=360°-90°-90°-135°=45°，∴∠ANE=90°，∵EN=GN，AN=GN，∴AN=EN，∴△ANE是等腰直角三角形，∵M是AE中点，∴MN⊥AE，MN=AE．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，梯形的中位线，等腰直角三角形的判定，以及直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线是结打法本题的关键．17．（1）见解析；（2）菱形的周长【解析】（1）根据菱形和矩形的性质可证得，即可得证；（2）连接，根据菱形的性质与平行四边形的判定与性质可得，利用勾股定理求出FH的长，即可求解．（1）证明：四边形是矩形，，四边形是菱形，,，（2）解：连接，四边形是菱形，，为中点，，，四边形是平行四边形，四边形是矩形，，菱形的周长．本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握菱形、矩形和平行四边形的判定与性质是解题的关键．18．（1）AD=9；（2）FG=7.5【解析】（1）设CE，则BE，在Rt△CEG和Rt△AGD中，分别求得CG，,GD=，再利用CG+GD=CD=15，构造方程求得的值，即可求解；（1）设HF，利用，构造方程求得的值，即可求解．（1）∵CE＝，∴设CE，则BE，∴BC=AD=CE+BE，∵△AGE是由△ABE翻折得到的，∴GE=BE，AG=AB=15，在Rt△CEG中，由勾股定理可知：CG=，在Rt△AGD中，由勾股定理可知：GD=，∵CG+GD=CD=15，∴，解得：，AD；（2）由（1）知：CG=3，GD=12，设HF，∵△AHF是由△ADF翻折得到的，∴HF=DF，∵，即，∴，解得：，即DF，∴FG=CD-CG-DF=15-3-4.5=7.5．本题考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）①斜边上的中线；②见解析；（4）22°或38°【解析】（1）作CD将∠ACB分成∠ACD=33°，∠DCB=48°，然后理由三角形内角和定理可知∠B=∠CDB=66°,正好是等腰三角形；（2）理由顶角为36°的等腰三角形，底角是72°正好是顶角的2倍这一特点即可作出图形；（3）①根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得出结论；②作Rt△ABC斜边的垂直平分线，可将它分成一个等腰三角形和一个直角三角形，再结合①中的结论，作直角三角形斜边上的中线即可；（4）分AD=DE时和AD=AE时两种情况，借助等腰三角形的性质和三角形内角和，外角的性质即可求得∠B．解：如图所示：如图所示：直角三角形的斜边上的中线就是它的“二分等腰线"；作的垂直平分线，得等腰；作边上的中线，得等腰和．如图所示：,（4）如图，当AD=DE时，∵AD=CD，∠C=33°，∴∠DAC=∠C=33°，∵DE=BE，∴∠EDB=∠B，∵AD=DE，∴∠DAE=∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，∵∠C+∠CAD+∠B=180°，∴∠C+∠C+2∠B+∠B=180°，即66°+3∠B=180°，即∠B=38°；当AD=AE时，,∵AD=CD，∠C=33°，∴∠DAC=∠C=33°，∴∠ADB=∠DAC+∠C=66°，∵DE=BE，∴∠EDB=∠B，∠AED=∠EDB+∠B=2∠B，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ADB=∠ADE+∠EDB=3∠B=66°，即∠B=22°，综上所述，∠B=22°或38°．本题考查等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质和三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线等．熟练掌握相关定理，能借助图形得出角度之间的关系是解题关键，（4）中注意分类讨论．20．（1）32cm2；（2）①四边形的面积为S＝12t＋16（cm2）；②当t＝或时，S△BAP＝S△CQB．【解析】(1)由|8－a|＋(b－4)2＝0．可求，可求长方形ABCD的面积=AD•AB＝32(cm2)；(2)①当P在线段AD上运动时，如图，DP＝8－2t，DQ＝4t，连BD，可求S四边形BPDQ＝S△BDP＋S△BDQ＝12t＋16(cm2)；②由S△BAP＝S△CQB，可列方程×2t×4＝×|4t－4|×8，化去绝对值分类解方程即可．解：(1)a、b满足|8－a|＋(b－4)2＝0．∵，∴，∴，∴AD＝8cm，AB＝4cm，∴长方形ABCD的面积=AD•AB＝32(cm2)；(2)①当P在线段AD上运动时，如图，DP＝8－2t，DQ＝4t，连BD，,S四边形BPDQ＝S△BDP＋S△BDQ，＝(8－2t)×4＋×4t×8，＝12t＋16(cm2)；②由S△BAP＝S△CQB，得：×2t×4＝×|4t－4|×8，即|4t－4|＝t，，或，解得：t＝或，当t＝或时，S△BAP＝S△CQB．本题考查非负数和的性质，矩形面积，四边形面积，一元一次方程，掌握非负数的性质，利用非负数求出AD，AB，会求矩形面积，以及四边形面积，会利用三角形面积列方程解决问题是解题关键．21．（1）动点D运动2秒时，△ABD≌△ACE；理由见解析；（2）；（3）动点D运动1秒时，△ABD与△ACE的面积比为4:1．【解析】（1）设动点D运动t秒时△ABD≌△ACE，先根据等腰直角三角形得：∠ACE=∠B，再加上AB=AC所以只要满足BD=CE，△ABD≌△ACE列式可求得t的值；（2）作高线AF，根据等腰直角三角形三线合一可知：AF是斜边的中线，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得AF=6，代入面积公式可求出代数式；（3）作高线AG，先证明四边形AFCG是矩形，求出AG=6，由△ABD与△ACE的面积比为4:1列式可得出结论．(1)如图1，设动点D运动t秒时，△ABD≌△ACE,由题意得：CD=4t,CE=2t,则BD=12-4t,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵CM⊥BC,∴∠BCM=90°,∴∠ACE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠B,∴当BD=CE时,△ABD≌△ACE,即12-4t=2t,t=2,动点D运动2秒时,△ABD≌△ACE;(2)如图2,过A作AF⊥BC于F,∵AB=AC,∠BAC=90°，∴AF是等腰直角三角形的中线,∴AF=6,由题意得：CD=4x,则BD=12-4x，；(3)设动点D运动x秒时,△ABD与△ACE的面积比为4:1如图2,再过A作AG⊥CM于G,∵∠AFC=∠BCM=∠AGC=90°，∴四边形AFCG为矩形，,∴AG=CF=6,∵△ABD与△ACE的面积比为4:1,∴∴BD=4CE,即12-4x=8x，x=1．答：动点D运动1秒时,△ABD与△ACE的面积比为4:1．本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定及性质以及动点问题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键；在动点问题中，明确路程=时间´速度，根据时间准确表示动点D和E的路程BD、CE的代数式，根据题中的等量关系列等式即可．22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）由正方形的性质可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ABE和△BCF全等；（2）由全等三角形对应角相等可得∠BAE＝∠CBF，然后求出∠BAE＋∠ABF＝∠ABC＝90°，判断出AE⊥BF；（3）由30度角所对的直角边是斜边的一半，可得AE=2BE=4，同理可得OE=1，即可求得AO的长．（1）证明：∵是正方形，∴，且，∵，∴（SAS）；（2）证明：由（1）知∠BAE＝∠CBF，∵,∴，∴∠AOB=90，∴；（3）∵，，∴，由（1）知，，且，∴，∴，∴．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△BCF是解题的关键．23．（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）45°．【解析】（1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠FAO=∠ECO，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE；（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（3）根据（1）的结论可得AF=CE，再求出DF∥BE，DF=BE，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形BEDF平行四边形，再求出对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形；根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．解：（1）如图一∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，AD∥BC，,∴∠FAO=∠ECO，又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF=EC，∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．（2）如备用图一：证明：∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°．∵∠AOF=90°，∴∠BAC=∠AOF，∴AB∥EF．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴四边形ABEF是平行四边形．（3）如备用图二：在Rt△ABC中，AC==2．∵AO=OC，∴AO=1=AB．∵∠BAO=90°，∴∠AOB=45°∵EF⊥BD，,∴∠BOF=90°，∴∠AOF=45°，即AC绕点O顺时针旋转45°．本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键.24．（1）见解析；（2）∠DEF=45°；（3）≤EF≤4【解析】（1）连结BD，由等腰直角三角形，结合D为AC中点可得AD=BD=CD，BD⊥AC,可求∠A=∠DBF=45º，由DE⊥DF，可得∠ADE=∠BDF，再证△ADE≌△BDF（ASA）即可；（2）由△ADE≌△BDF得DE=DF，由DE⊥DF，可证△DEF是等腰直角三角形即可；（3）由AC=，利用勾股定理AB=BC，当点E与点A重合时EF最大=4，当DE⊥AB时，由∠DEB=∠B=∠EDF=90º，DE=DF，可证四边形EBFD正方形，可得EF最小=BD=，即可求出EF的取值范围为≤EF≤4．解：（1）证明：连结BD，∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A=∠C=45º，∵D是AC的中点，∴AD=BD=CD，BD⊥AC,∴∠DBC=∠DBA=45º，∴∠A=∠DBF=45º，∵DE⊥DF，∴∠ADE+∠EDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，∴∠ADE=∠BDF，∴△ADE≌△BDF（ASA），∴AE=BF，,（2）∵△ADE≌△BDF，∴DE=DF，∵DE⊥DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°；（3）若AC=，在Rt△ABC中，由勾股定理AB=BC=，当点E与点A重合时EF最大=4，当DE⊥AB时，∵∠DEB=∠B=∠EDF=90º，DE=DF，四边形EBFD正方形，EF最小=BD=，EF的取值范围为≤EF≤4．本题考查等腰直角三角形的性质与判定，三角形全等判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，掌握等腰直角三角形的性质与判定方法，三角形全等判定的方法与性质，正方形的判定方法与性质，勾股定理的应用是解题关键．25．（1）见解析；（2）【解析】（1）延长EB至点G，使BG=DF，连接AG，根据题意易证△ADF≌△ABG（SAS），即可得到AG=AF，∠GAB=∠FAD．即可证明△GAE≌△FAE（SAS），即得到EF=BE+DF．（2）作AM⊥BC点M，连接BE，易证四边形AMCD是正方形，即可得到AD=CD=MC=10，,MB=4．再由（1）的结论得BE=MB+DE，设DE=，则EC=，BE=．在Rt△BCE中，结合勾股定理即可列出关于x的方程，求出x即可．（1）如图，延长EB至点G，使BG=DF，连接AG．在△ADF和△ABG中，，∴△ADF≌△ABG（SAS）．∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，∵，∴,∴，即．在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EG=EF，即EF=BE+BG=BE+DF．（2）如图，作AM⊥BC点M，连接BE，由题意可知四边形AMCD是正方形，∴AD=CD=MC=10，MB=4．由（1）知BE=MB+DE．设DE=，则EC=，BE=．在Rt△BCE中，，即，解得：，即DE=,本题考查三角形全等的判定和性质，正方形的判定和性质以及勾股定理．作出常用的辅助线是解答本题的关键．26．或【解析】首先根据题意作图，注意分为E在线段AD上与E在AD的延长线上，然后由菱形的性质可得AD∥BC，则可证得△MAE∽△MCB，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．解：∵菱形ABCD的边长是3，∴AD=BC=3，AD∥BC，如图①：当E在线段AD上时，∴AE=AD－DE=3－1=2，∴△MAE∽△MCB，∴；如图②，当E在AD的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE∽△MCB，∴．∴的值是或．故答案为或．,此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E在线段AD上与E在AD的延长线上两种情况，小心不要漏解．27．≤AE≤【解析】取BC中点O，利用勾股定理以及直角三角形的性质分别求得AO和OE，再利用三角形三边关系即可求解．解：取BC中点O，连接OA、OE，∵△ABC正三角形，且AB=6，∴AO⊥BC，BO=OC=BC=AB=3，∴AO=，在△OAE中，OA-OE
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