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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(37)一、单选题1．如图，直线上有三个正方形，若的边长分别为1和3，则的面积为（）A．8B．9C．10D．112．如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BM是AC边的中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB=DE，EF⊥AC于点F，则以下结论；①∠DBM=∠CDE；②BN=DN；③AC=2DF；④S﹤S其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④D．①③3．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（）A．8B．C．16D．4．如图，中，，，要判定四边形DBFE是菱形，可添加的条件是（）,A．B．C．D．BE平分5．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，，，，小敏行走的路线为，小聪行走的路线为．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（）A．3100mB．4600mC．5500mD．6100m6．如图，中，于点的平分线分别交于两点，为的中点，的延长线交于点，连，下列结论：①；②为等腰三角形；③平分；④，其中正确结论的个数是（）A．B．C．D．7．图1中甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD．已知图甲中，，，图乙中，则图2中正方形的对角线AC长为（ ）,A．B．C．D．8．如图，在等腰直角中，，点D是内部一点，，，垂足分别为E，F，若，，，则（）A．8B．10C．12.5D．159．如图，点、分别在正方形的边、上，，已知（正方形的四条边都相等，四个内角都是直角），．则的面积（）A．6B．12C．15D．30二、填空题10．如图，点E是长方形纸片上的中点，将过E点折起一个角，折痕为，再将过点E折起，折痕为，且C，D均落在上的一点H处．若，则_______．11．如图，在矩形ABCD中，连接AC，按以下步骤作图：分别以点A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交BC于点E，连接AE．若AB＝1，BC＝2，则BE＝_____．,12．我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的图形就用了这种分割方法若，正方形ODCE的边长为1，则BD等于___________．13．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是斜边AB上一动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°至CE，连接BE，DE，点O是DE的中点，连接OB、OC，下列结论：①△ADC≌△BEC；②OB=OC；③DEBC；④AO的最小值为2．其中正确的是_____________．（把你认为正确结论的序号都填上）14．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____．,15．如图，在平面直角坐标系中，点A、点B分别在轴和轴的正半轴上运动，且AB=4，若AC=BC=5，△ABC的形状始终保持不变，则在运动的过程中，点C到原点O的最小距离为____________．16．在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点P在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP，则∠AEP的度数为_________．17．如图，在中，，过点作平分交于点是线段上的点，连接，过点作交于点，当为等腰三角形时，________________________．18．如图，在四边形中，，平分，过点作交于点，于点若，则的长为________．19．如图，将长方形纸片沿着对角线翻折，点落在点处，与交于点．若，，则_______．,三、解答题20．在中，，点是的中点，点是直线上一点（不与点，重合），连结，．（1）如图①若，求证：．②若平分，且，求的度数．（2）设，，若，求关于的函数关系式，并说明理由．21．如图，在正方形中，，，点在边上，且，如果点在线段上以秒的速度点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为秒．,（1）若点与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等？请说明理由；（2）若点与点的运动速度不相等，则当为何值时，与全等？此时点的运动速度为多少？22．如图，在四边形中，分别是的中点，分别是对角线的中点，依次连接连接．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当时，与有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若，则．23．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．但人们可以通过折纸把一个角三等分，今天我们就通过折纸把一个直角三等分．操作如下：第一步：如图①，对折长方形纸片，使与重合，沿对折后，得到折痕，把纸片展平；第二步：如图②，再一次折叠纸片，使点落在上（标记为点），并使折痕经过点；第三步：如图③，再展开纸片，得到折痕，同时连接．这时就可以得到把直角三等分．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图④，线段是长方形对折后的折痕，是由沿,折叠后得到的三角形，求证：24．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC，（1）求证：CF=EF；（2）求∠EFB的度数．25．如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OABC如图放置，点B（4，3），E，F分别为OA，BC边上的中点，动点P从点出发以每秒2个单位速度沿EO方向向点O运动，同时，动点Q从点F出发以每秒1个单位速度沿FB方向向点B运动．当一个点到达终点时，另一个点随之停止．连接EF、PQ，且EF与PQ相交于点M，连接AM．（1）求线段AM的长度；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为点，连接CH，求线段CH长度的最小值．26．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M，N分别为OA、OC的中点，延长BM至点E，使，连接DE．,（1）求证：；（2）若，且，，求四边形DEMN的面积．27．如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？28．如图，的对角线，相交于点，，是上的两点，并且，连接，．（1）求证：；（2）若，连接，，判断四边形的形状，并说明理由．29．如图，在中，，，垂足为，是边上一点，过点作，垂足为，连接，为的中点．（1）如图，过点作交于点，若，，求的度数；（2）如图，若，过点作，垂足为．求证：．30．如图，已知在中，是斜边上的中线，点是边延长线上一点，连结过点作于点，且．,（1）求证：．（2）若，求的面积．,【答案与解析】1．C【解析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可．解：如图：由于、、都是正方形，所以，；，即，在和中，，，，；在中，由勾股定理得：，即，则的面积为10，故选：．本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，证明是解题的关键．2．D【解析】①设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x从而可得到∠DBE=∠DEB=180°-（90°-x）-45°=45°+x，∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x，从而可得到∠DBM=∠CDE；③由△BDM≌△DEF，可知DF=BM，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=AC；④可证明△BDM≌△DEF，然后可证明：△DNB的面积=四边形NMFE的面积，所以△DNB的面积+△BNE的面积=四边形NMFE的面积+△BNE的面积；解：①设∠EDC=x，则∠DEF=90°-x，,∵BD=DE，∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，∴∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x．∴∠DBM=∠CDE，故①正确；②由①得∠DBM=∠CDE，如果BN=DN，则∠DBM=∠BDN，∴∠BDN=∠CDE，∴DE为∠BDC的平分线，∴△BDE≌△FDE，∴EB⊥DB，已知条件∠ABC=90°，∴②错误的；③在△BDM和△DEF中，，∴△BDM≌△DEF（AAS），∴BM=DF，∵∠ABC=90°，M是AC的中点，∴BM=AC，∴DF=AC，即AC=2DF；故③正确．④由③知△BDM≌△DEF（AAS）∴S△BDM=S△DEF，∴S△BDM-S△DMN=S△DEF-S△DMN，即S△DBN=S四边形MNEF．∴S△DBN+S△BNE=S四边形MNEF+S△BNE，∴S△BDE=S四边形BMFE，故④错误；故选D．,本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用面积法证明S△BDE=S四边形BMFE是解题的关键．3．A【解析】由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积．解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又∵将△CDE沿CE折叠，得到△CFE，∴FC=CD=4由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积∴△BCF面积的最大值是故选：A．本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．4．D【解析】当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，可知先证明四边形BDEF是平行四边形，再证明BD=DE即可解决问题．解：当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形，理由：∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵∠EBC=∠EBD，∴∠EBD=∠DEB，,∴BD=DE，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形，∵BD=DE，∴四边形DBFE是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE是菱形，故选：D．本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．B【解析】连接CG，由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．解：连接GC，∵四边形ABCD为正方形，所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，∵∠CDB=45°，GE⊥DC，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DE=GE．在△AGD和△GDC中，，∴△AGD≌△GDC（SAS）∴AG=CG，,在矩形GECF中，EF=CG，∴EF=AG．∵BA+AD+DE+EF-BA-AG-GE，=AD=1500m．∵小敏共走了3100m，∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m），故选：B．本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF，DE=GE．6．D【解析】求出，，，证明即可判断①，证明，推出即可判断④，证明，得，由直角三角形斜边的中线的性质推出，，即可判断③，根据三角形外角性质求出，证明，即可判断②．解：∵，，，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，在和中，，∴，,∴，故①正确；在和中，，∴，∴，∵，∴，故④正确；在和中，，∴，∴，在中，，∴，∴，∴平分，故③正确；∵，∴，∴，∴是等腰三角形，故②正确．故选：D．本题考查了全等三角形的性质与判断，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握这些性质定理进行证明求解．7．D【解析】连接，过点作交于点，根据甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD，可得是等腰直角三角形，则可求得，,，根据勾股定理，可得：，，则有，，根据正方形的对角线可求出答案．解：如图示，连接，过点作交于点，∵甲、乙两种图形可以无缝隙拼接成图2中的正方形ABCD．∴根据题意，根据对称性可得是等腰直角三角形，则有：，∵，，∴，,又∵，，∴根据勾股定理，可得：，，则有，∴，∴正方形的对角线，故选：D．本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．8．C【解析】根据比例关系设DF=x，可判断四边形DEBF为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB和AB，再根据，列出方程，求解即可得出x，从而得出AF．，，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∴四边形DEBF为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB，,设DF=3x，则EB=3x，∵，∴AF=5x，AB=5x+2.5，∵，∴CE=7.5，∴CB=7.5+3x，∵AB=CB，∴5x+2.5=7.5+3x，解得x=2.5,∴，故选：C．本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．9．C【解析】延长CD到G，使DG=BE，连接AG，易证所以AE=AG，，证，所以GF=EF，设BE=DG=x，则EF=FG=x+2，在中，利用勾股定理得解得求出x，最后求问题即可求解．解：延长CD到G，使DG=BE，连接AG，在正方形ABCD中，AB=AD，，，，，，，，又，(SAS)，，设BE=DG=x，则EC=6-x，FC=4，EF=FG=x+2，,在中，，，解得，x=3，，，故选：C．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确构造辅助线，证三角形全等是解决本题的关键.10．【解析】根据翻折的性质可得∠GEH=∠1，∠HEF=∠CEF，从而可求出∠DEH，∠CEF的度数．解：∵，∠GEH=∠1，∴∠GEH=，∴∠DEH=+=，∴∠HEF=∠CEF=×(180°-)=，故答案为：．本题考查了翻折变换的性质，熟练掌握折叠的性质找出相等的角是解题的关键．11．【解析】根据作图过程可得MN是AC的垂直平分线，可得EA=EC，再根据矩形性质和勾股定理即可得到结论．解：在矩形ABCD中，∠B=90°，,根据作图过程可知：MN是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴EA=CE=BC-BE=2-BE，在Rt△ABE中，根据勾股定理，得，∴，解得BE=，故答案为．本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．12．【解析】设BD=x，正方形ODCE的边长为1，则CD=CE=1，根据全等三角形的性质得到AF=AE，BF=BD，根据勾股定理即可得到结论．解：设正方形ODCE的边长为1，则CD=CE=1，设BD=x，∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO，∴AF=AE=5，BF=BD=x，∴AB=x+5，AC=5+1=6，BC=x+1，∵在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴（x+1）2+62=（x+5）2，∴x=，故答案为：．本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．13．①②【解析】,先证明∠ACD=∠BCE，根据三角形全等判定定理SAS可证明△ADC≌△BEC；根据三角形全等性质可得∠EBC=∠A=45°，于是∠EBD=90°，然后根据直角三角形斜边中线性质可证得OB=OC；利用三角形三边关系可得；根据OB=OC可知点O在BC的垂直平分线上，找到点O的起始位置及终点位置，即可求出OA的最小值．解：∵∠ACB=90°，∠DCE=90°∴∠ACB=∠DCE∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB即∠ACD=∠BCE∵CE是由CD旋转得到．∴CE=CD则在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，故①正确；∴∠EBC=∠A=45°，∴∠EBD=90°，∵点O是DE的中点，∴∴OB=OC；故②正确；∴，故③错误；如图2，∵CA=CB=4，∠ACB=90°，∴AB=，,当D与A重合时，△CDE与△CAB重合，O是AB的中点P；当D与B重合时，△CDE与△CBM重合，O是BM的中点Q；前面已证OB=OC，所以点O在BC的垂直平分线上，∴当D在AB边上运动时，O在线段PQ上运动，∴当O与P重合时，AO的值最小为，故④错误；故答案是：①②．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形斜边中线性质，垂直平分线的判定定理，本题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理以及性质．难点是判断点O的运动路线．14．10【解析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．解：∵DEAC，CEBD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8，∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故答案为：10．本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．,15．【解析】如图，过作于证明求解结合三角形的三边的关系可得：＞当三点共线时，可得从而可得答案．解：如图，过作于由三角形三边的关系可得：＞当三点共线时，的最小值是：点C到原点O的最小距离为故答案为：,本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形三边之间的关系，掌握以上知识是解题的关键．16．60°或90°或150°【解析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB，再以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，分类讨论即可．如图所示，在正方形ABCD中，∠AEB=105°，∵点P在正方形的边上，且AE=EP，∴可以E为圆心，EA为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P点，①当P在AD上时，如图，AE=EP1，∵∠EBA=45°，∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP1=60°，△EAP1为等边三角形，∴此时∠AEP1=60°；②当P在CD上时，如图，AE=EP2，AE=EP3，由①可知∠DEP1=180°-105°-60°=15°，∴此时∠DEP1=∠DEP2=15°，∠CEP2=∠AEP1=60°，∴此时∠AEP2=60°+15°+15°=90°；∠AEP3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，故答案为：60°或90°或150°．本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键．17．【解析】过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB，运用AAS定理证明△QBF≌△BPG，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解．,解：过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB∵，PG⊥CB∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB，∴∠QFB=∠PGB=90°又∵为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中∴△QBF≌△BPG∴PG=BF，BG=QF∵∠ACB=90°，CE平分∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB，∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC，∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°，即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形，∴PG=AC=6，AP=CG在Rt△ABC中，BC=∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF⊥BC，∠ECB=45°∴△CQF是等腰直角三角形，即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10,本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键18．3【解析】过点A作AM⊥CB，交CB延长线于点M，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF．解：过点A作AM⊥CB，交CB延长线于点M，∵，∴∠ABM=30°，∴AM=AB=×6=3，∵AM⊥CB，，∴AM∥EF，∵，∴四边形AMFE是平行四边形，∵AM⊥CB，∴四边形AMFE是矩形，∴EF=AM=3，故答案为：3．．,本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．19．【解析】根据题意得到BE＝DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可．解：设ED＝x，则AE＝20﹣x，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠DBC；由题意得：∠EBD＝∠DBC，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED＝x；由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2，即x2＝52+（20﹣x）2，解得：x＝，∴ED＝．本题主要考查了几何变换中的翻折变换及其应用问题；解题的关键是根据翻折变换的性质，结合全等三角形的判定及其性质、勾股定理等几何知识，灵活进行判断、分析、推理或解答．20．（1）①见解析；②22°；（2）或，见解析【解析】（1）①由直角三角形斜边上中线的性质得，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；②设，则，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x的值即可；（2）分情况讨论，当点E在线段BC上，或当点E在线段BC的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．（1）①证明：∵，∴，,∵点是的中点，∴，∴．∵，∴，∴；②解：设，则，∵平分，∴．∵，∴，∴，解得，∴；（2）①如图，当时，∴．∵，，∴，∴，∴，得；②如图，当时∴，∴，得．,本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．21．（1）全等，理由见解析；（2）秒，点的运动速度为．【解析】（1）由题意可得BP＝CQ，BE＝CP，由“SAS”可证△BPE≌△CQP；（2）由全等三角形的性质可得BP＝CP＝5，BE＝CQ＝6，即可求点Q的速度．解：（1）全等．理由：由题意：，当时，，，，，在与中，；（2）、运动速度不相等，，，当，时，，，，当（秒）时，，,此时点的运动速度为．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质解决问题是本题的关键．22．（1）见解析；（2），见解析；（3）【解析】（1）利用中位线性质得，且，，且，可推出，且，可证四边形是平行四边形；（2由分别是的中点，可得，由（1）知，由，可证，由（1）知四边形是平行四边形，可证四边形是菱形即可；（3）先证四边形是平行四边形；再证四边形是菱形，由EG∥AB，GF∥CD，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE平分∠GEH，∠GEF=即可．证明：（1）分别是的中点，，且，同理可证：，且，，且，四边形是平行四边形；（2），理由：分别是的中点，，由（1）知，又，，又四边形是平行四边形，四边形是菱形，；（3）分别是的中点，分别是的中点，，，，,，同理可证，，四边形是平行四边形，∵，，∴四边形是菱形，，EG∥AB，GF∥CD，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，∵FE平分∠GEH，∴∠GEF=．故答案为：．本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．23．点在折痕上，把三等分，见解析【解析】如图④，线段是长方形对折后的折痕，是沿折叠后得到的三角形，点在折痕上；连接AO，根据折叠的性质可得△AOB为等边三角形，然后结合矩形的性质即可求证所求问题．解：已知：如图④，线段是长方形对折后的折痕，是沿折叠后得到的三角形，点在折痕上．求证：把三等分证明：连接线段是长方形对折后的折痕垂直平分又点在对称轴上,是沿折叠后得到的三角形是等边三角形又又把三等分．本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质和判定，还考查了学生的观察力和动手能力，动手操作一下，问题更容易解决．24．（1）证明见解析；（2）【解析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及CE⊥AB得出△ACE是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ACB的度数，由AB=AC，AF⊥BC，可知BF=CF，CF=EF；（2）根据三角形外角的性质即可得出结论．∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵CE⊥AB，∴△ACE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，即F是BC的中点，,∴Rt△BCE中，EF=BC=CF；（2）由（1）得：△ACE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ACE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=，∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=67.5°-45°=22.5°，∵CF=EF，∴∠CEF=∠BCE=22.5°，∵∠EFB是△CEF的外角，∴∠EFB=∠CEF+∠BCE=22.5°+22.5°=45°．本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．25．(1)；(2)【解析】(1)证明△FMQ∽△EMP，且相似比为，由EF=3求出FM=1，ME=2，再在Rt△MEA中，由勾股定理即可求出AM的长度；(2)连接AM，取MA中点I，只要C、H、I，此时会形成△ICH，根据三角形两边之差小于第三边可知，CH>IC-IH，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH有最小值，由此即可求解．解：(1)∵BC∥OA，∴∠FQM=∠EPM，且∠FMQ=∠EMP，∴△FQM∽△EPM，设运动时间为t，则FQ=t，PE=2t∴，又FE=3，∴FM=1，ME=2，又E为OA的中点，∴EA=OE=2，∴在Rt△MEA中，，故答案为：；(2)如下图所示，连接AM，取AM中点I，当且仅当C、H、I三点共线时，有CH=IC-IH，此时CH,有最小值，否则构成△ICH，三角形两边之差小于第三边CH，过I点作IN⊥BC于N，连接IH，∵FM∥IN∥AB，且I是AM的中点，∴IN是梯形MFBA的中位线，∴IN=，,在Rt△CIN中，由勾股定理：，又I为直角△AHM斜边AM上的中点，∴，∴当C、H、I三点共线时，CH有最大值为，故答案为：．本题考查了矩形的性质，勾股定理，梯形中位线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形两边之差小于第三边等知识点，具有一定的综合性，熟练掌握各性质是解决本题的关键．26．（1）见解析；（2）24【解析】（1）依据平行四边形的性质，即可得到△AMB≌△CND；（2）依据全等三角形的性质，即可得出四边形DEMN是平行四边形，再根据等腰三角形的性质，即可得到∠EMN是直角，进而得到四边形DEMN是矩形，即可得出四边形DEMN的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，，∴，又点M，N分别为OA、OC的中点，∴，在和中，,，∴△AMB≌△CND(SAS)（2）∵△AMB≌△CND，∴BM=DN，∠ABM=∠CDN，又∵BM=EM，∴DN=EM，∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO，∴∠MBO=∠NDO，∴ME∥DN，∴四边形DEMN是平行四边形，∵BD=2AB，BD=2BO，∴AB=OB，又∵M是AO的中点，∴BM⊥AO，∴∠EMN=90°，∴四边形DEMN是矩形，∵AM=3，DN=4，∴AM=MO=3，DN=BM=4，∴MN=6，∴矩形DEMN的面积=6×4=24．本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及矩形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．27．cm2【解析】由面积法可求BF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求CF的长，由勾股定理可求DE的长，即可求解．解：∵四边形ABCD是长方形，,∴AB＝CD＝6cm，BC＝AD，∵S△ABF＝AB×BF＝24cm2，∴BF＝8cm，在Rt△ABF中，AF＝＝10（cm），∵沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，∴AD＝AF＝10cm，DE＝EF，∴BC＝10cm，∴FC＝BC﹣BF＝2cm，在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2，∴DE2＝（6﹣DE）2＋4，∴DE＝（cm），∴S△ADE＝×AD×DE＝＝（cm2），答：折叠的△ADE的面积为cm2．此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求线段的长度，熟记矩形的性质是解题的关键．28．（1）见解析；（2）矩形，见解析【解析】（1）已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，由AE＝CF即可得OE＝OF，利用SAS即可证明△BOE≌△DOF；（2）四边形BEDF是矩形．由（1）得OD＝OB，OE＝OF，根据对角线互相平方的四边形为平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形，再由BD＝EF，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定四边形EBFD是矩形．（1）证明：四边形是平行四边形，，．又，，即，在和中，，∴．,（2）四边形是矩形，理由如下：，相交于点，，，四边形是平行四边形．又，四边形是矩形．本题考查了三角形全等的性质和判定，平行四边形的性质及判定、矩形的判定，熟练运用相关的性质及判定定理是解决问题的关键．29．（1）16°；（2）证明见详解．【解析】（1）连结GE，由，，可得FE∥AB，利用平行线性质可得∠B=∠CEF=32°，由为的中点．，利用中垂线性质AG=GE=EB，利用等腰三角形性质可得∠EAG=∠AEG，∠EGB=∠B=32°，利用外角性质可得∠EAG=，由FE∥AB可得∠AEF=∠EAG=16°；（2）延长HM交EF于G，先证△CAD≌△ECF，可得CD=EF，再证△AMH≌△EMG（AAS），得AH=GE，HM=GM，证四边形FGHD为矩形，得FG=DH，可证HM=FG．（1）连结GE，∵，，∴FE∥AB，∴∠B=∠CEF=32°，∵为的中点．，∴AG=GE=EB，∴∠EAG=∠AEG，∠EGB=∠B=32°，∴∠EAG=，由FE∥AB，∴∠AEF=∠EAG=16°；,（2）延长HM交EF于G，∵∠ACB=90°，∠CDA=90°，∠CFE=90°，∴∠ACD+∠FCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠ECF，∵，∴△CAD≌△ECF，∴CD=EF，∵由（1）知EF∥AB，∴MH⊥AB，∴MG⊥EG，由为的中点．∴AM=EM，∵∠AMH=∠GME，∴△AMH≌△EMG（AAS），∴AH=GE，HM=GM，由，，，∴四边形FGHD为矩形，∴FG=DH，AD=AH-DH=EG-DH=EF-FG-DH=EF-2FG，AD=CF=CD-2HM=EF-2HM，∴EF-2HM=EF-2FG，∴HM=FG，∴EF=EG+FG=AH+HM．,本题考查直线垂直，直线平行，线段中点，垂直平分线，等腰三角形性质与判定，三角形外角性质，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，综合较强，难度较大，熟练掌握所学知识是解题关键．30．（1）见解析（2）【解析】（1）中，由斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据已知条件证明△CEF≌△CDE（SAS）得出，等量转换得出．（2）由（1）求得，在等腰三角形BCD中，过作于，由等腰三角形的性质得出，由勾股定理求出DG，然后用三角形的面积公式计算的面积为即可．证明:是斜边上的中线∴在△CEF和△CDE中，∴△CEF≌△CDE（SAS）．由知:，,.过作于，，的面积为:．本题考查了直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半，三角形全等的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握各性质是解题的关键．
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