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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(30)一、单选题1．如图，在正方形ABCD中，BF⊥CE于点F，交AC于点G，有以下结论：①∠ABG＝∠AGB；②∠OBG＝∠OCE；③AG＝BE；④△BCG≌△CDE．则下列结论正确的是（ ）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2．两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，AB＝AF，AE＝BC．若AB＝2，BC＝6，则图中阴影部分的面积为（ ）A．4B．C．D．6二、填空题3．如图，在矩形中，，为中点，点为上一动点，将沿所在直线折叠到的位置，连接，则的最小值为__________．4．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的顶点A在第二象限，顶点B在x轴上，顶点C,在y轴上，若正方形ABOC的面积等于7，则点A的坐标是______．5．直角三角形的重心到斜边中点的距离为，那么该直角三角形的斜边长为____________．6．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形（记为第1个正方形）的顶点与原点重合，点在轴上，点在轴上，点在第一象限内，以为顶点作等边，使得点落在轴上，轴，再以为边向右侧作正方形（记为第2个正方形），点在轴上，以为顶点作等边，使得点落在轴上，轴，若按照上述的规律继续作正方形，则第2021个正方形的边长为_________．7．如图，在矩形ABCD中，AD=6，对角线AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，且AE平分∠BAC，则AB的长为___________8．如图，边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，则图中阴影部分的面积为_____．,9．如图所示，在中，，以BC为斜边向外侧做等腰直角，过点D做于点E，若线段，，则______．10．将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点处，交AD于点E．若，对角线，则______．三、解答题11．如图，在中，，，，点P是AB上的动点，联结CP，并以CP为边作等边（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．（1）请猜想：线段EM与PB的数量关系？线段EM与CB的位置关系？（2）请证明上题中你的猜想；（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．,12．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点E，点F为四边形ABCD外一点，DA平分∠BDF，∠ADF＝∠BAD，且AF⊥AC．（1）求证：四边形ABDF是菱形；（2）若AB＝5，求AC的长．13．如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，EC⊥BC与点C，连接BD、DE、AE且CE=BD，求证：△ADE为等边三角形14．如图，过边的中点，作，交于点，过点作，与的延长线交于点，连接，，若平分，于点．（1）求证：①，②四边形是矩形；（2）若，求的长．,15．如图，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，探究图中线段PA，PB，PD之间的数量关系．解法探究：小慧同学通过思考，得到如下解题思路：将△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'．先证明△APP'是等腰直角三角形，再证明△PP'B是直角三角形，从而可得结论．请先写出小慧同学得出的结论，并在小慧的解题思路的提示下，写出所得结论的理由．16．在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交直线DC的延长线于点F．（1）在图1中证明：CE=CF．（2）若∠ABC=90°，G是EF的中点（如图2），猜想BG和DG的关系，并说明理由．（3）若∠ABC=120°，FG∥CE，FG=CE，分别连接DB，DG（如图3），直接写出∠BDG的度数为_______．17．如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB，交MN于点E，连接AE、CD．（1）求证：OD＝OE；（2）请判断四边形ADCE的形状，并说明理由．,18．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若AB＝6，BC＝10，求EF的长．19．已知：如图所示，四边形中，．（1）求证：；（2）当时，若点分别在边上，且，求证：；（3）在（2）的条件下，若，是等腰三角形，使用含的代数式表示．20．矩形ABCD中，AB=8，BC=6，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF是菱形时，求该菱形的边长．,21．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝3，则BD＝_____；（2）如图2，正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；（3）已知，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，当△ADC为等腰三角形时，求这个准矩形的面积．22．如图，在△ABC中，AB=AC，E，F分别为AB，AC上的点（E，F不与A重合），且EF//BC．将△AEF沿着直线EF向下翻折，得到，再展开．（1）请证明四边形为菱形；（2）当等腰△ABC满足什么条件时，按上述方法操作，四边形将变成正方形？（只写结果，不作证明）23．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A、C不重合），过点P作PE⊥PB，PE交DC于点E，过点E作EF⊥AC，垂足为点F．,（1）求证：PB=PE；（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值，写出解答过程；若变化，试说明理由；24．如图，已知四边形ABCD中，，点E是AC中点，点F是BD中点．（1）求证：；（2）过点D作于H点，如果BD平分，求证：．25．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量关系，并证明你的结论；（2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．26．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE,的延长线于点F，连接CF．（1）求证：AF＝DC；（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，并说明理由．27．如图，边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（点P不与A、C重合），连结BP，过点B作且使得，连结QP交BC于点E，延长QP与直线AD交于点F．（1）面积的最小值为______；（2）连结CQ，求证：；（3）猜想PF与EQ的数量关系，并说明理由．28．已知，在直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a²+b²+10a−10b+50=0．（1）如图1，求A，B的坐标．（2）如图2，C是OA上一点，OA的垂直平分线交BC于P，且∠POA=15°，求BP的长．（3）如图3，如A，B以相同速度分别向x轴负方向和y轴正方向移动，D是B关于x轴的对称点，C是OA上一点，过A，D点作BC的垂线，垂足N（n，−3），M（m，t），求m，n之间的数量关系式．,29．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延长BC到点E，使CE＝3，连结DE．动点P从点B出发，沿着BE以每秒1个单位的速度向终点E运动，点P运动的时间为t秒．（1）DE的长为 ．（2）连结AP，求当t为何值时，△ABP≌△DCE．（3）连结DP．①求当t为何值时，△PDE是直角三角形．②直接写出当t为何值时，△PDE是等腰三角形．30．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．（1）求证：四边形BECD是平行四边形；（2）若，则当____°时，四边形BECD是菱形．,【答案与解析】1．D【解析】由正方形的性质得∠BCD＝90°，∠BCG＝∠CDE＝45°，BC＝CD，再由BF⊥CE，根据同角的余角相等得∠CBG＝∠DCE，进而由相似三角形的判定得△BCG≌△CDE，故④正确；由△BCG≌△CDE得CG＝DE，根据正方形的对角线相等得AC＝BD，由等式性质得AG＝BE，故③正确；由△BCG≌△CDE得∠CBG＝∠DCE，根据正方形的性质得∠OBC＝∠OCD＝45°，再根据等式性质得∠OBG＝∠OCE，故②正确；由E是OD上的任意一点，当BE≠BC时，得到AB≠AG，此时∠ABG≠∠ACB，故①错误．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCG＝∠CDE＝45°，BC＝CD，∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBG+∠BCF＝∠BCF+∠DCE＝90°，∴∠CBG＝∠DCE，∴△BCG≌△CDE（ASA），故④正确；∵△BCG≌△CDE，∴CG＝DE，∵正方形ABCD中，AC＝BD，∴AG＝BE，故③正确；∵△BCG≌△CDE，∴∠CBG＝∠DCE，∵正方形ABCD中∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCE，故②正确；∵E是OD上的任意一点，∴当BE≠BC时，有AB≠BE，∵AG＝BE，,∴AB≠AG，∴∠ABG≠∠AGB，故①错误；故选：D．本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，关键是证明三角形全等．2．B【解析】先证四边形AHCG是平行四边形，∠BAH＝∠FAG，再证△AFG≌△ABH（ASA），得AG＝AH，则平行四边形AHCG是菱形，得AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝6﹣x，然后在Rt△ABH中，由勾股定理得出方程，解得x＝，得BH＝，由三角形面积公式即可得出答案解：如图所示：∵两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图方式交叉叠放在一起，∴AD∥BC，AE∥CF，∠B＝∠BAD＝∠EAF＝∠F＝90°，AD＝BC＝6，∴四边形AHCG是平行四边形，∠BAH＝∠FAG，在△AFG和△ABH中，，∴△AFG≌△ABH（ASA），∴AG＝AH，∴平行四边形AHCG是菱形，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝6﹣x，在Rt△ABH中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴BH＝6﹣＝，∴图中阴影部分的面积＝BH×AB＝××2＝，故选：B．,本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．3．【解析】由题意可知当点G在DE上时，此时GD的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知GE=BE，即可求出GD的最小值．解：如图所示，由EG=EB==，可得当点G在DE上时，此时GD的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EGF，∴EG⊥GF，∴EG=EB，∵E是AB边的中点，AB=5，∴AE=EG=，∵BC=AD=12，∴Rt△ADE中，DE=，∴GD=．,故答案为：．本题主要考查折叠的性质、全等三角形的判定与性质的综合运用；注意掌握并确定点G在何位置时，GD的值最小是解决问题的关键．4．【解析】先根据正方形面积公式求出正方形的边长，再根据第二象限点的坐标特征可求点A的坐标．解：正方形ABOC的面积等于7，正方形ABOC的边长，正方形ABOC的顶点A在第二象限，顶点B在x轴上，顶点C在y轴上，点A的坐标是故答案为：．考查了正方形的性质，坐标与图形性质，解题的关键是根据正方形面积公式求出正方形的边长．5．【解析】先根据三角形重心的性质求出斜边中线的长，再根据三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得斜边的长．解：由题意得，GD=2，∵点G是△ABC的重心，∴CD=3GD=6，CD是△ABC的中线，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，∴AB=2CD=12，故答案为：12．本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质和重心的性质，熟练掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半以及重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1,是解决问题的关键．6．【解析】根据等边三角形的性质求出第2，3个正方形的边长，发现规律即可求解．依题意可得：第一个正方形的边长为1，∴C1D1=1,∠C1D1A2=90°，∵是等边三角形，是正方形，∴∠B2A2C1=60°，∠B2A2D2=90°，∴∠C1A2D1=30°，∴A2B2=A2C1=2C1D1=2，∴正方形的边长为2=21，同理可得：正方形的边长=2A2B2=4=22，…∴正方形的边长=2n-1，其中n为正整数，∴第2021个正方形的边长为，故答案为：．此题主要考查图形与坐标规律变化、等边三角形与正方形的性质，解题的关键是根据题意发现边长的变化规律．7．【解析】由矩形的性质可得AO=CO=BO=DO，从而证明∆AEB≅∆AEO，进而得DB=2AB，结合勾股定理，即可求解．∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAO，∵AE⊥BD于E，∴∠AEB=∠AEO=90°，又∵AE=AE，,∴∆AEB≅∆AEO，∴AB=AO，∴DB=2AB，∵，∴，∴AB=．故答案是：本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分，是解题的关键．8．﹣1．【解析】连接AC，根据旋转的性质和正方形的性质得出∠D′AC′＝∠D′AB′＝45°，AD′＝D′C′＝AD＝AB′＝1，∠ABC＝∠D′＝90°，求出A、B、C′三点共线，根据勾股定理得求出AC′长，求出B′C′和BE，再分别求出△AD′C′和△EBC′的面积，再求出答案即可．解：连接AC′，∵边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，∴AD′＝D′C′＝AD＝AB＝1，∠ABC＝∠D′＝90°，∠D′C′A＝45°，∠D′AC′＝45°，∠D′AB＝45°，∴A、B、C′三点共线，在Rt△AD′C′中，由勾股定理得：AC′＝＝＝，,∴BC′＝AC′﹣AB＝﹣1，∵在Rt△EBC′中，∠EBC′＝90°，∠EC′B′＝45°，∴∠BEC′＝∠EC′B＝45°，∴EB＝BC′＝﹣1，∴阴影部分的面积S＝△AD′C′的面积﹣△EBC′的面积＝＝﹣（﹣1）×（﹣1）＝﹣1，故答案为：﹣1.本题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形的面积，完全平方公式，熟练掌握正方形的性质，会正确进行图形分割是解题的关键．9．7【解析】过D作DF⊥AC交AC延长线于F，证明△BED≌△CFD，则有DC=DE，且，可证四边形DEAF是正方形，根据勾股定理可求得DE=DF=，即可解答．解：过D作DF⊥AC交AC延长线于F，则∠F=90°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠DEA=90°，∴∠DEB=∠F，∵∠BAC=∠BDC=90°，∴∠DBE+∠ACD=180°，又∠DCF+∠ACD=180°，∴∠DBE=∠DCF，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），,∴DF=DE，且，又∵∠F=∠BAC=∠DEA=90°，∴四边形DEAF是正方形，∵△BDC为等腰直角三角形，且BC=4，∴BD2+DC2=2BD2=BC2=16，即BD2=8，∵DE⊥AB，BE=1，∴DE2=BD2﹣BE2=8﹣1=7，即DE=DF=，∴=DE·DF=×=7，故答案为：7．．本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、正方形的判定与性质、四边形的内角和为360°、勾股定理、同角的补角相等等知识，添加辅助线，利用全等三角形的性质证得S四边形ABCD=S四边形DEAF是解答的关键．10．【解析】根据矩形的性质和勾股定理可求得AD，再根据折叠性质和平行线性质证得BE=DE，利用勾股定理即可求得BE．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∵AB=5，BD=13，∴AD=，,由折叠性质得：∠CBD=∠EBD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，设BE=DE=x，则AE=12﹣x，由勾股定理得：，∴，解得：x=，即BE=,故答案为：．本题考查矩形折叠问题、勾股定理、解一元一次方程、等腰三角形的判定、平行线的性质，属于基础题型，熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理是解答的关键．11．（1）；；（2）见解析；（3）面积不变；见解析【解析】（1）连接CM，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得CM=CB，然后根据题意运用SAS定理证明△ECM≌△PCB，从而求得EM与PB的数量及位置关系；（2）利用（1）中的思路进行推理证明；（3）结合全等三角形的的性质可得△ECM与△PCB面积相等，从而四边形ECPM的面积即△MCB的面积，根据题意可求其面积为定值，从而得出结论解：（1）；（2）连接CM,∵在中，，，M是线段AB的中点∴CM=，∠B=60°∴△CBM是等边三角形∴CM=CB，∠MCB=60°又∵以CP为边作等边∴CE=CP，∠ECP=60°∴∠ECM+∠MCP=∠PCB+∠MCP∴∠ECM=∠PCB在△ECM和△PCB中∴△ECM≌△PCB∴EM=PB，∠EMC=∠B=60°又∵∠MCB=60°∴∠EMC=∠MCB∴（3）过点M作MN⊥BC由（2）已证△MCB为等边三角形∴MB=BC=2∵MN⊥BC∴∠BMN=,∴BN=∴在Rt△MCB中，∴又∵△ECM≌△PCB∴点P在BM上移动时，即四边形ECPM的面积不会发生变化．本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线及含30°的直角三角形的性质，题目难度不大有一定的综合性，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．12．（1）见解析；（2）AC＝．【解析】（1）首先证明四边形ABDF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）设BE＝x，则DE＝5﹣x，由AD2﹣DE2＝AB2﹣BE2，列出方程即可解决问题．（1）证明：∵∠ADF＝∠BAD，∴ABDF，∵AF⊥AC，BD⊥AC，∴AFBD，∴四边形ABDF是平行四边形；∵DA平分∠BDF，∴∠ADF＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝AB，∴四边形ABDF是菱形．（2）解：∵DA平分∠BDF，∴∠ADF＝∠BDA，∴∠BAD＝∠BDA，∴BD＝AB＝5，∵BD垂直平分AC，∴AD=DC,,则∠DAC=∠DCA∵∠DAC+∠DAF=90°∠AFC+∠DCA=90°∴∠DAF=∠AFC∴AD=DF=DC=AF=5∴AC=本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程，属于中考常考题型．13．证明见解析【解析】利用△ABC是等边三角形，D为边AC的中点，求得∠ADB=90°，再用SAS证明△CBD≌△ACE，推出AE=CD=AD，∠AEC=∠BDC=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=AD，即可证明．证明：∵△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，∴AD=DC，BC=CA，BD⊥AC，∴∠BDC=90°，即∠DBC+∠DCB=90°，∵EC⊥BC，∴∠BCE=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∴∠ACE=∠DBC，在△CBD和△ACE中，∴△CBD△ACE（SAS）∴CD=AE，∴∠AEC=∠CDB=90°∵D为AC的中点,∴AD=DE，AD=DC，∴AD=AE=DE，即△ADE为等边三角形．本题主要考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线等．解答此题的关键是先证明△CBD≌△ACE，然后再利用三边相等证明此三角形是等边三角形．14．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）.【解析】（1）①运用ASA证明即可得出结论；②先证明四边形是平行四边形，再证明即可得出结论；（2）证明△OCB是等边三角形，得∠ECB=30°，求出OE=EB=，运用勾股定理求出AE的长，再运用勾股定理求出DE的长即可．证明：（1）①∵平分，∴．∵，∴．又∵，∴∴．②∵是的中点，∴．又∵．∴，．∴．∴．∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴∵，，，,∴．∴．∴四边形是矩形．（2）∵四边形是矩形，∴，，．∴．∵，∴．∴是等边三角形．∴∴．∵，∴．∵，．∴，．∵，，∴．在中，，∴．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解答此题的关键．15．2PA2+PD2＝PB2．理由见解析【解析】如图，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，构造等腰直角三角形△APP'，由勾股定理PP'2＝PA2+P'A2＝2PA2，∠PP'A＝45°．可求∠AP'B＝∠APD＝135°，可求∠PP'B＝90°．在Rt△PP'B中，由勾股定理得，PP'2+P'B2＝PB2即可．解：结论：2PA2+PD2＝PB2．理由如下：如图，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP'，连接PP'，则P'B＝PD，P'A＝PA，,∠PAP'＝90°，∴△APP'是等腰直角三角形，由勾股定理PP'2＝PA2+P'A2＝2PA2，∠PP'A＝45°．∵∠APD＝135°，∴∠AP'B＝∠APD＝135°，∴∠PP'B＝135°﹣45°＝90°．在Rt△PP'B中，由勾股定理得，PP'2+P'B2＝PB2，∴2PA2+PD2＝PB2．本题考查正方形的性质，三角形全等变换。等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，掌握正方形的性质，三角形全等变换。等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理是解题关键．16．（1）见解析；（2）BG⊥DG，理由见解析；（3）60°【解析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可；（2）根据∠ABC=90°，G是EF的中点可直接求得；（3）延长AB、FG交于H，连接HD．证四边形AHFD为为菱形得△ADH，△DHF为全等的等边三角形，再证△BHD≌△GFD得∠BDH=∠GDF，根据∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG可得答案．解：（1）如图1，∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，,∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F．∴CE=CF；（2）如图2，连接GC、BG，∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC=90°，∴四边形ABCD为矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF∥AB，∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF为等腰直角三角形，∵G为EF中点，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE为等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG与△DCG中，，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∠DGC=∠BGA，∵CG⊥EF，,∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴BG⊥DG；（3）如图3，延长AB、FG交于H，连接HD．∵AD∥GF，AB∥DF，∴四边形AHFD为平行四边形，∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，∴△DAF为等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四边形AHFD为菱形，∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，∵∠CEF=∠DAF，∠DAF=∠DFA=30°，∴∠CEF=∠DFA，∴CE=CF，∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD与△GFD中，，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF，∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．,此题考查四边形的综合问题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．17．（1）见解析；（2）菱形，见解析【解析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，得出AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°，由CE∥AB，得到∠DAO=∠ECO，利用AAS证明△ADO≌△CEO，即可得出OD=OE；（2）由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形得平行四边形ADCE是菱形．解：（1）证明：∵MN是AC的垂直平分线，∴OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°．∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO，在△ADO与△CEO中，，∴△ADO≌△CEO（AAS），∴OD=OE；（2）四边形ADCE是菱形．理由如下：由（1）得OA=OC，OD=OE，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AC⊥DE，∴平行四边形ADCE是菱形．本题考查了中垂线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，证明△ADO≌△CEO，得出OD=OE是解题的关键．18．（1）见解析；（2）．【解析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可．,解：（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，∴四边形AECD是平行四边形，∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，∴AE＝CE＝BC，∴四边形AECD是菱形；（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝，∵，∴AH＝，∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，∴CD＝CE＝5，∵S▱AECD＝CE•AH＝CD•EF，∴EF＝AH＝．此题考查菱形的判定和性质，关键是根据平行四边形和菱形的判定和性质解答．19．（1）见解析；（2）见解析；（3）90°−α或180°−2α或α【解析】（1）连，由等腰三角形的性质知AB＝AD，故∠ABD＝∠ADB，而∠ABC＝∠ADC，故∠CBD＝∠CBA−∠ABD＝∠ADC−∠ADC＝∠CDB，即可求解；（2）由旋转全等，将△ABE围绕点A旋转到ADG的位置，证明△AFE≌△AFG（SAS），即可求解；（3）分AE＝AF、AE＝EF、AF＝EF三种情况，利用等腰三角形的性质和外角的性质即可求解．（1）如图1，连接BD，,∵AB＝AD，故∠ABD＝∠ADB，而∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠CBA−∠ABD＝∠ADC−∠ADB＝∠CDB，∴BC＝CD；（2）将△ABE围绕点A旋转到ADG的位置（点G、E为对应点），则AE＝AG，∠GAD＝∠BAE，BE＝GD，∵2∠EAF＝∠BAD，则∠DAF＋∠BAE＝∠FAE，∴∠GAF＝∠GAD＋∠DAF＝BAE＋∠DAF＝∠FAE，∵AF＝AF，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝GF＝FD＋GD＝FD＋BE；（3）在四边形ABCD中，∠BAD＝180°−α，∵2∠EAF＝∠BAD，则∠EAF＝（180°−α）＝90°−，∴△AFE≌△AFG知，∠GFA＝∠EFA，∠G＝∠AEF，①当AE＝AF时，则∠AEF＝∠AFE＝（180°−∠EAF）＝（180°−90°＋）＝45°＋＝∠GFA，则∠GFE＝2∠GFA＝2（45°＋）＝∠C＋∠CEF＝α＋∠CEF，∴∠CEF＝；②当AE＝EF时，,则∠AFE＝∠EAF＝90°−＝∠GFE＝（∠C＋∠CEF），∴∠CEF＝180°−2α；③当AF＝EF时，则∠EAF＝∠AEF＝90°−，则∠EFA＝180°−2∠EAF＝180°−2（90°−）＝α＝∠GFE＝（∠C＋∠CEF）＝（α＋∠CEF），∴∠CEF＝α，综上，∠CEF为90°−α或180°−2α或α．本题是四边形综合题，考查了三角形全等、等腰三角形的性质、外角的性质、图象的旋转等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．20．（1）证明见解析；（2）菱形边长为．【解析】（1）根据矩形ABCD的性质，利用SAS可判定△BOE≌△DOF，得出四边形BEDF的对角线互相平分，即可得出结论；（2）根据菱形的性质可得BE=DE，在Rt△ADE中，设BE=DE=x,则AE=8-x，由勾股定理得出方程，解方程即可求出DE．（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥DC，又O是BD的中点OB=OD在△BOE与△DOF中△BOE≌△DOFEO=FO，四边形BEDF为平行四边形（2）四边形BEDF为菱形，BE=DE=DF=BF，又AB=8，BC=6，设BE=DE=x,则AE=8-x，,在Rt△ADE中，，，则菱形边长为．本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用相关知识是解决问题的关键．21．（1）；（2）证明见解析；（3）；；．【解析】（1）直接应用勾股定理计算即可；（2）证明△ABE≌△BCF即可；（3）把等腰三角形的腰分三种情形求解即可．解：（1）∵∠ABC=90，∴BD=，故答案为，（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC,∠A=∠ABC=90°，∴∠EBF+∠EBC=90°，∵BE⊥CF，∴∠EBC+∠BCF=90°，∴∠EBF=∠BCF，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，且∠CBF=90°，∴四边形BCEF是准矩形；（3）∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∵AB=2，∴AC=4，BC=2，,准矩形ABCD中，BD=AC=4，①当AC=AD时，则AD=AC=BD，如图1，作DE⊥AB，∴AE=BE=AB=1，∴DE=，∴=DE×AE+（BC+DE）×BE=××1+（2+）×1=+；②当CA=CD时，则CD=CA=BD，如图2，作DF⊥BC，垂足为F∵BD=CD，∴BF=CF=BC=，∴DF=，∴=FC×DF+（AB+DF）×BF=××+（2+）×,=+；③当DA=DC，如图3，取AC中点G，连DG，则DG⊥AC．连接BG，过B作BH⊥DG，垂足为H．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，G为AC中点∴AG=BG=AC=AB=2，∴△ABG为等边三角形，∴∠BGC=120°，∠BGH=30°又BD=AC=4，在Rt△BHG中，BG=2，∠BGH=30°，∴BH=1，HG=在Rt△DHB中，BH=1，BD=4，∴DH=，∴DG=DH﹣HG=﹣，∴=AB×BC+AC×DG=×2×2+×4×（﹣）=2；故答案为；；．本题考查了几何新定义问题，正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解答时，准确理解新定义的内涵，灵活运用分类思想计算是解题的关键．22．（1）证明见解析，（2）当∠A=90°时，四边形AEA′F是正方形．【解析】,（1）由题意易得△AEF为等腰三角形，AE＝EA′，AF＝FA′，所以四边形AEA′F是菱形；（2）因为有一角为直角的菱形是正方形，故当等腰△ABC的顶角为90°时，四边形AEA′F是正方形．证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠C＝∠AFE．∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF．∵AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′=AF＝FA′，∴四边形AEA′F是菱形．（2）当∠A=90°时，四边形AEA′F是正方形．由（1）可知四边形AEA′F是菱形，∵∠A=90°，∴四边形AEA′F是正方形．．本题考查了等腰三角形的性质与判定、折叠的性质、菱形的判定、正方形的判定，解题关键是掌握折叠是性质，熟练运用已知进行证明．23．（1）见详解；（2）不变，．【解析】（1）过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．要证PB＝PE，只需证到△PGB≌△PHE即可；（2）连接BD，如图2．易证△BOP≌△PFE，则有BO＝PF，只需求出BO的长即可．（1）证明：过点P作PG⊥BC于G，过点P作PH⊥DC于H，如图1．∵四边形ABCD是正方形，PG⊥BC，PH⊥DC，,∴∠GPC＝∠ACB＝∠ACD＝∠HPC＝45°．∴PG＝PH，∠GPH＝∠PGB＝∠PHE＝90°，∵PE⊥PB即∠BPE＝90°，∴∠BPG＝90°−∠GPE＝∠EPH．在△PGB和△PHE中，∵，∴△PGB≌△PHE（ASA），∴PB＝PE；（2）解：连接BD，如图2．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOP＝90°．∵PE⊥PB，即∠BPE＝90°，∴∠PBO＝90°−∠BPO＝∠EPF．∵EF⊥PC，即∠PFE＝90°，∴∠BOP＝∠PFE．在△BOP和△PFE中，∵，∴△BOP≌△PFE（AAS），∴BO＝PF．∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∴BC＝OB，,∵BC＝2，∴OB＝，∴PF＝OB＝，∴点PP在运动过程中，PF的长度不变，值为．本题主要考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，有一定的综合性，而通过添加辅助线证明三角形全等是解决本题的关键．24．（1）见详解；（2）见详解【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等腰三角形“三线合一”，即可得到结论；（2）先证明DH∥BE，再证明BE垂直平分AC，即可得到结论．（1），点E是AC中点，∴DE=,BE=，∴DE=BE，∵点F是BD中点，∴；（2）∵BD平分，∴∠HDB=∠EDB，∵DE=BE，∴∠EDB=∠∠EBD，∴∠HDB=∠EBD，∴DH∥BE，∵，∴BE⊥AC，∵点E是AC中点，∴BE垂直平分AC，∴．本题主要考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质定理以及中垂线的性质定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形“三线合一”是解题的关键．25．（1）AP=EF，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）成立，AP=EF，画图和证明见解析,【解析】（1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可证得AP⊥EF．（2）延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立．（3）延长AB交PF于H，证明四边形HBEP是正方形，从而得到AH=FP，证明△APH≌△FEP，即可得到结论．解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下：连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M；∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形，∴四边形OECF是正方形，∴OM=OF=OE=AM，∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°，∴△AMO≌△FOE（AAS），∴AO=EF，故AP=EF．（2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°，∴四边形MBEP是正方形，∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；又∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE，∴AM=PF，∴△AMP≌△FPE（SAS），∴AP=EF．,（3）结论仍然成立；如图，延长AB交PF于H，∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠EBH=∠ABC=90°，∴四边形EBHP是矩形，∵∠EBP=∠HBP=45°，∴PE=PH，∴四边形HBEP是正方形，∴BH=PH，∴AH=FP，又∵∠AHP=∠FPE=90°，PH=EP，∴△APH≌△FEP（SAS），∴AP=EF．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活构造全等三角形，并能够根据全等三角形的性质来得到所求的条件是解决此题的关键．26．（1）见解析；（2）AC⊥AB，理由见解析【解析】（1）根据平行线的性质可得∠AFE=∠DBE，然后利用AAS判定△AFE≌△DBE，可得AF=BD=CD；（2）首先证明四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AD=CD，进而可得四边形ADCF是菱形．解：（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，,∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF=DB∵AD是BC边上的中线，∴DB=DC∴AF=DC（2）AC⊥AB，理由如下：∵AF=DC，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，∴AD=BC=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，全等三角形对应边相等．27．（1）1；（2）见解析；（3）PF=EQ，理由见解析．【解析】（1）易证△BPQ是等腰直角三角形，当BP最短时，面积最小，即BP⊥AC，此时P为AC的中点，根据正方形的性质可求得BP的长，进而可求得面积的最小值；（2）先证明∠ABP=∠CBQ，再利用SAS证明△ABP≌△CBQ即可解答；（3）作PM⊥AB，PN⊥AD，GQ⊥BC，根据角平分线的性质和全等三角形的性质可证明PN=PM=GQ，再根据平行线的性质可证∠NFP=∠GEQ，利用AAS证明△NFP≌△GEQ，即可得出结论．解：（1）连接BD交AC于O，∵，，,∴△BPQ为等腰直角三角形，∴当BP最短即BP⊥AC，△BPQ的面积最小，此时P为AC的中点O，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴BD=AB=2，∴BO=，即BP=，∴△BPQ的最小面积为=1，故答案为：1；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵BP⊥BQ，∴∠CBQ+∠PBC=90°，∴∠ABP=∠CBQ，又BP=BQ，∴△ABP≌△CBQ（SAS），∴CQ=AP；（3）PF=EQ，理由为：作PM⊥AB，PN⊥AD，GQ⊥BC，垂足分别为M、N、G，则∠PNF=∠QGE=90°，在正方形ABCD中，AC平分∠DAB，AD∥BC，∴PN=PM，∠NFP=∠GEQ，∵△ABP≌△CBQ，∴PM=QG，∴PN=QG，在△NFP和△GEQ中，，∴△NFP≌△GEQ（AAS），∴PF=EQ．,．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的面积、角平分线的性质、平行线的性质、最短路径、余角性质等知识，是基础综合题型，难度适中，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的性质，添加适当的辅助线解决相关问题是解答的关键．28．（1）A（-5，0），B（0，5）；（2）5，（3）n-m=3．【解析】（1）由配方得利用非负数性质可求即可；（2）过P作PQ⊥OB于Q，PK⊥x轴于K，在OK上截取点U，使得∠KUP=30º，可证△PUO为等腰三角形，由直角三角形PKU和∠KUP=30º得PU=OU=2PK，UK=PK，利用OK=2.5构造方程OK=KU+OU=2PK+PK=2.5，求出PK与QB，利用勾股定理求PB=即可（3）连结AD，过A作AH⊥DM，交DM延长线于H，先证△ABD为等腰直角三角形，再证△AHD≌△ANB（AAS），得AH=AN结合辅助线与已知可证四边形ANMH为正方形，最后证△ANE≌△NMG（AAS），得NE=MG，利用坐标求出即可．（1）由，得，，，，A（-5，0），B（0，5）；（2）过P作PQ⊥OB于Q，PK⊥x轴于K，在OK上截取点U，使∠KUP=30º由∠KUP=∠UPO+∠POU=30º，∠POA=15º∴∠UPO=30º-∠POA=15º,∴PU=OU=2PK，UK=PK由PK所在直线是OA的垂直平分线上，OA=OB=5，∴PQ=KO=，∴OK=KU+OU=2PK+PK=2.5∴OQ=PK=BQ=OB-OQ=5-∴在Rt△BPQ中，由勾股定理得PB=（3）连结AD，过A作AH⊥DM，交DM延长线于H，由直线OA为对称轴，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵A，B以相同速度分别向x轴负方向和y轴正方向移动，∴OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠ABO=45º，∴∠ABD=∠ADB=45º，∴AB⊥AD，∴∠HAD+∠DAN=90º，∠DAN+∠NAB=90º，∴∠HAD=∠NAB，∵∠H=∠ANB=90º，,∴△AHD≌△ANB（AAS），∴AH=AN，∵AN⊥BC，DM⊥BC，∴∠ANM=∠NMH=∠H=90º，∴四边形ANMH为矩形，且AH=AN，∴四边形ANMH为正方形，∴AN=NM，过M作MF⊥y轴于F，过N作NG⊥MF于G，延长GN交x轴于E，则GE⊥x轴，∴∠AEN=∠ANM=∠NGM=90º，∴∠ANE+∠MNG=90º，∠NMG+∠MNG=90º，∴∠ANE=∠NMG，AN=NM，∴△ANE≌△NMG（AAS），∴NE=MG，∵N（n，−3），M（m，t），∴G（n，t），E(n，0)，∵MG=n-m，NE=3，∴n-m=3．本题考查完全平方公式的应用，线段垂直平分线，30º角的直角三角形的性质构造方程，辅助线的引入，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形，正方形的判定与性质，坐标计算，涉及的知识多，辅助线引入较多，习题难度大，综合性强．,29．（1）5；（2）t＝3；（3）①当t=或t＝6；②当t＝3或4或．【解析】（1）根据题意得CD=4，根据勾股定理可求出DE的长；（2）若△ABP≌△DCE，可得BP=CE=3，根据时间=路程÷速度，可求出t的值；（3）①当△PDE是直角三角形时，可分∠PDE=90°，∠DPE=90°两种情况；②当△PDE是等腰三角形时，可分PD=DE，PE=DE，PD=PE三种情况．（1）∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，CD⊥BC，∵CE=3，在Rt△DCE中，DE===5（2）在长方形ABCD中，AB=DC，∠B=∠DCB=90°，∴∠DCE=∠B=90°．∴当BP＝CE时，△ABP≌△DCE，∴1×t＝3．∴t＝3．（3）①当∠PDE=90°时，如图①在Rt△PDE中，PD2=PE2-DE2，在Rt△PCD中，PD2=PC2+CD2，∴PE2-DE2=PC2+CD2．∴(9-t)2-52=(6-t)2+42．∴t=．当∠DPE=90°时，此时点P与点C重合，如图②,∴BP=BC=6．∴t＝=6．综上所述，当t=或t＝6时，△PDE是直角三角形．②当PD=DE时，∵PD=DE，DC⊥BE，∴PC=CE=3，∵BP=BC-PC=6-3=3,∴t==3，当PE=DE=5时，∵BP=BE-PE=BC+CE-PE=6+3-5=4，∴t==4，当PD=PE时，∴PE=PC+CE=PC+3，在Rt△PDC中，PD2=CD2+PC2，∴，解得PC=∵BP=BC-PC=6-=，∴t==,综上所述，当t＝3或4或时，△PDE是等腰三角形．本题考查了四边形的综合问题，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．利用分类思想是解题的关键．30．（1）见解析；（2）【解析】（1）由AAS证明，得出OE=OD，即可得出结论；（2）先根据三角形内角和定理得到，在根据平行线的性质定理得到，求得，然后根据菱形的判定定理即可得到结论；（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∴，∵O是BC的中点，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，，∴，∴OE=OD，∴四边形BECD是平行四边形；（2）当时，四边形BECD是菱形，理由如下：∵，，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴，∴，∴，∴四边形BECD是菱形．本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定，准确分析计算是解题的关键．
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