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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(29)一、单选题1．如图，正方形ABCD中，，G是BC的中点．将沿AG对折至，延长GF交DC于点E，则DE的长是（）A．2B．2.5C．3.5D．42．如果四边形对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（ ）．A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形3．如图，任意四边形中，点分别是边的中点，连接，对于四边形的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．若，则四边形为菱形B．若，则四边形为矩形C．若，且，则四边形为正方形D．若与互相平分，且，则四边形是正方形4．如图，有一块菱形纸片，沿高剪下后拼成一个矩形，若矩形相邻两边和的长分别是5和3，则的长是（）,A．B．1C．2D．5．如图，在等腰中，，，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持．连接DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤面积的最大值为8，其中正确的结论个数为（）A．2B．3C．4D．56．如图，在菱形中，于点，则的长为（）A．1B．C．D．7．如图，四边形中，，点是的中点，连接、，，给出下列五个结论：①；②平分；③；④；⑤S四边形ABCD，其中正确的有（）A．个B．个C．个D．个8．如图，中，，点为斜边的中点，，，则的长（）,A．B．C．D．9．如图．正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（）．A．B．C．D．210．如图，在等腰直角三角形ABC中，，，点D是边AC的中点，连接BD，点E为AC延长线上的一点，连接BE，，则CE的长为（）A．B．C．D．11．如图，已知长方形中，，在边上取一点，将折叠使点恰好落在边上的点，的长是（）A．3B．2.5C．D．212．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，E，F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，当△ABC满足下列哪个条件时，四边形AEDF为菱形（ ）,A．AB＝ACB．∠B＝∠AC．BD＝DFD．DE⊥DF13．如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，与交于点E，连结，若，，则点D到的距离为（）A．B．C．D．14．如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（）A．B．C．D．15．如图所示，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AB⊥BD于点B，点E是BD的中点，连接AE，CE，则AE与CE的大小关系是（ ）,A．AE＝CEB．AE＞CEC．AE＜CED．AE＝2CE二、解答题16．如图，是的角平分线．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作线段的垂直平分线，分别交于点，连接；（2）判断四边形的形状是_________．（直接写出答案）17．如图1，∠MCN＝90°，点A在射线CM上滑动，点B在射线CN上滑动，且线段AB的长始终保持10cm不变．（1）若AC＝6cm，动点P从点A出发，从点A→点B→点C→点A，速度为2cm/s，设运动时间为ts．当t为何值时，△ACP为等腰三角形；（2）如图2，在滑动过程中，以AB为斜边在AB的右侧作Rt△ABE，在滑动的过程中EC的最大值为 ．（直接写出结果）18．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成（图1：△ABC中，,∠BAC=90°）．（1）如图2，若以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，则它们的面积、、之间的数量关系是（）．（2）如图3，若以直角三角形的三边为直径向外作半圆，则它们的面积、、之间的数量关系是（），请说明理由．（3）如图4，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＋∠BCD=90°，BC=2AD，分别以AB、CD、AD、BC为边向四边形外作正方形，其面积分别为、、、，则、、、之间的数量关系式为（），请说明理由．19．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作，，垂足分别为点M和N．,（1）求证：；（2）求证：．20．如图所示，甲、乙两人分别从正方形花坛ABCD的顶点B，C两点同时出发，甲由C向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1米/分，乙的速度为2米/分．若正方形花坛的周长为40米，问几分钟后，两人相距2米？21．如图，长方形ABCD沿着直线DE和EF折叠，使得AB的对应点A′，B′和点E在同一条直线上．（1）写出∠AEF的补角和∠ADE的余角；（2）求∠DEF．22．如图，已知正方形．（1）如图1，是上一点，过上一点作的垂线交于点，交于点，求证：．（2）如图2，过正方形内任意一点作两条互相垂直的直线，分别交，于点，，交，于点，，与相等吗？请写出你的结论．,（3）当点在正方形的边上或外部时，过点作两条互相垂直的直线，被正方形相对的两边（或它们的延长线）截得的两条线段还相等吗？其中一种情形如图3所示，过正方形外一点作互相垂直的两条直线，，与，的延长线分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，试就该图形对你的结论加以证明．23．如图，在△中，，，是的角平分线，是腰边上的高，和相交于点．（1）连结，求的度数；（2）求证：．24．把一张矩形纸片按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为．（1）连接，求证：四边形是菱形，并说明理由．（2）若，，求线段及折痕的长．25．如图，菱形ABCD的边长为12cm，∠A＝60°，动点P从点A出发，沿着线路AB—BD做匀速运动，动点Q从点D同时出发，沿着线路DC－CB－BA做匀速运动．（1）求BD的长．（2）已知动点P运动的速度为2cm/s，动点Q运动的速度为2.5cm/s．经过12秒后，P、Q分别到达M、N两点，试判断△AMN的形状，并说明理由．（3）设问题（2）中的动点P、Q分别从M、N同时沿原路返回，动点P的速度不变，动点Q的速度改变为acm/s，经过3秒后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF为直角三角形，试求a值．,26．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图（1），判断：线段BC与线段CG的数量关系，位置关系；（2）如图（2），①若点D在线段BC的延长线上，（1）中判断线段BC与线段CG的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；②当G为CF中点，BC＝2时，求线段AD的长．27．如图，将矩形ABCD先过点A的直线L1翻折，点D的对应点D′刚好落在边BC上，直线L1交DC于点F；再将矩形ABCD沿过点A的直线L2翻折，使点B的对应点G落在AD′上，EG的延长线交AD于点H．（1）当四边形AED′H是平行四边形时，求∠AD′H的度数．（2）当点H与点D刚好重合时，试判断△AEF的形状，并说明理由．28．如图，在矩形中，，分别是线段上的点，且四边形也为矩形．（1）直接写出的长：____________；,（2）若是以为腰的等腰三角形时，求的长；（3）求证：．29．已知命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．（1）写出逆命题 ．（2）逆命题是真命题还是假命题？如果是真命题，请画出“图形”，写出已知，求证，再进行证明；如果是假命题，请举反例说明．30．如图，己知，为射线上一点．（1）利用直尺和圆规完成如下作图．①在射线上截取；②作；③在射线上截取，连接；（2）在（1）的作图后，求证：四边形是菱形．31．如图，为正方形对角线上一动点，当在图1的位置时，连接、，作与边交于，连接交与．,（1）求证：≌；（2）求的度数；（3）当在图2的位置时，作与边的延长线交于，射线与延长线交于，试探究线段、和之间的数量关系，并证明你的结论．32．如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD向上折叠，点C的对应点为，请利用尺规作图作出折叠后的．（保留作图痕迹，不写作法）33．如图，，，是同一直线上的三个点，四边形与四边形都是正方形，连结，．（1）观察图形，猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；（2）若延长交于点，求证：．34．如图，在矩形纸片中，AD=10，AB=4，点F为BC上的中点，把矩形纸片ABCD延EF折叠，使点B落在边AD上的B′处，点A落在A′处，求EF的长度．,35．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是 ；（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．36．如图，在中，中线，相交于点，，分别是，的中点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当四边形的形状为矩形时，为______三角形；（3）连接，当时，四边形的形状为______．37．如图，A（x1，y1），B（x2，y2）是直角坐标系中的任意两点，AD，BC都垂直于x轴，点D，C分别为垂足，（1）用适当的代数式表示：|AD﹣BC|，CD；（2）猜想A，B两点间的距离公式，不要求证明；（3）利用（2）的结果计算点（﹣1，3）与点（﹣5，7）之间的距离．38．如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；,（2）当ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？（3）四边形DBFE能否是正方形？如果能，ABC应满足什么条件？如果不能，说明理由．39．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边上的中线，BD=CE．（1）求证：点D在BE的垂直平分线上；（2）若∠ABE=25°，求∠BEC的度数．40．如图，在四边形中，，连接，，，分别是，的中点，连接．求证：；若，，求．41．如图所示：在四边形ABCD中，、，，，，动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以秒的速度由A向D运动，点Q以秒的速度由C向B运动．,（1）几秒钟后，四边形ABQP为平行四边形？并求出此时四边形ABQP的周长（2）几秒钟后，四边形PDCQ为平行四边形？并求出此时四边形PDCQ的周长．三、填空题42．如图，在直角坐标系中，正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．曲线AA1A2A3…叫做“正方形的渐开线”，其中AA1、A1A2、A2A3、A3A4…的圆心依次是B、C、D、A循环，则点A18的坐标是______________．43．某飞机模型的机翼形状如图所示，其中，，根据图中的数据计算的长为______（精确到）（参考数据：，，）．44．如图，将一张矩形纸片沿对角线进行折叠，点落在点处，若，则重叠部分（阴影部分）的面积是__________（平方单位）．,45．如图，点为正方形对角线上一点，且，则的度数为________．46．如图，将长方形ABCD的长AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，若，，则______．47．已知正方形的边长为5，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为_________．48．在平面直角坐标系中，，，，把一条长为2017个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A→B→C→D→A…,的规律紧绕在四边形ABCD的边上，那么当时，细线另一端所在位置的点的坐标是________．49．如图，在菱形中，已知，，把沿方向移动得到，连接、，则的最小值为______．50．已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为6cm、8cm，则它的斜边的中线长________cm．51．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′、D′处，C′E交AF于点G，若∠BEG=54°，则∠GEF＝____________°．52．如图，将长方形（纸片）折叠，使点B与边上的点K重合，为折痕；点C与边上的点K重合，为折痕．已知，，，则的长为________．,53．小明同学课外阅读了《仁者无敌面积法》一书，深有感触，于是，他对平行四边形的面积问题进行了研究，请你破解小明提出的以下两个问题，如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点Р作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，若BE=2，PF=6，的面积为S1，的面积为S2，则S1+S2______（2）如图2，点P为平行四边形ABCD内一点（点Р不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点，设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S1>S2），的面积用含S1，S2的代数式可表示为____54．如图，在平面直角坐标系中有一矩形，其中，，．若将沿所在直线翻折，点B落在点E处，则E点的坐标是________．55．如图所示，长方形中，，，，点为上的任意一点（可与、重合），分别过、、作射线的垂线，垂足分别为、、，则的最小值为___________．,56．△ABC中，AC=2，BC=1，AB=，D为AB边上的中点，则CD=_______．57．如图，公路AC与BC互相垂直，垂足为点C，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.6km，则点M与C之间的距离是__km．58．如图，在△ABC中，AB=AC，CD是高线，E是AC的中点，若AB=4，则DE=__．59．把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．若AB=6cm，BC=8cm，则线段FG的长为_______．,【答案与解析】1．A【解析】连接AE，根据翻折变换的性质和正方形的性质可证Rt△AFE≌Rt△ADE，在直角△ECG中，根据勾股定理求出DE的长．解：连接AE，∵正方形ABCD中，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D=90°，由折叠的性质得：AB=AF，∠B=∠AFG=90°，BG=GF∴AD=AF，∠AFE=180°－∠AFG=90°=∠D在Rt△AFE和Rt△ADE中，∵∴Rt△AFE≌Rt△ADE，∴EF=DE，设DE=FE=x，EC=6−x．∵G是BC的中点∴BG=CG==3，∴GF=BG=3在Rt△ECG中，根据勾股定理，得：(6−x)2+9=(x+3)2，解得x=2．则DE=2故选A．本题考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用．证明,Rt△AFE≌Rt△ADE是解答本题的关键．2．C【解析】根据中位线定理得到，，，，由，可以证明四边形EFGH四个角都是直角，即四边形EFGH是矩形．解：如图所示：∵E、F分别是AB和BC的中点，∴，同理，，，∵，∴，∴，同理，∴四边形EFGH是矩形．故选：C．本题考查矩形的判定和中位线定理，解题的关键是掌握这两个性质定理进行证明．3．D【解析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可．A．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD时，存在EF=FG=GH=HE，故四边形EFGH为菱形，故本选项不符合题意；B、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为矩形，故本选项不符合题意；C、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC=BD，且AC⊥BD，存在EF=FG=GH=HE，,∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°，故四边形EFGH为正方形，故本选项不符合题意；D、当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC与BD互相平分，且AC=BD，故四边形EFGH为菱形，故本选项符合题意；故选：D．本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角线有关．4．B【解析】根据菱形的性质得到AD=CD=AB=5，利用勾股定理求出AE=4，即可求出答案．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=CD=AB=5，∵DE是高，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，，∴=4，∴BE=AB-AE=5-4=1，故选：B．此题考查菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键．5．B【解析】①连接CF，证明△ADF≌△CEF，得到△EDF是等腰直角三角形；②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；④根据△ADF≌△CEF，得到S四边形CEFD=S△AFC；⑤由③的结论进行计算即可．①连接CF，∵△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点，,∴∠FCB=∠A=∠B=45°，CF=AF=FB，∵AD=CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF=DF，∠AFD=∠CFE，∵∠AFD+∠CFD=90°，∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，∴△EDF是等腰直角三角形，①正确；②当D、E分别为AC、BC中点，即DF、EF分别为Rt△AFC和Rt△BFC斜边上的中线，∴CD=DF=AC，FE=EC=BC，∴CD=DF=FE=EC，四边形CDFE是菱形，又∠C=90°，∴四边形CDFE是正方形，②错误；③由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，当DF⊥AC时，DE最小，此时EF=DF=BC=4．∴DE=，③错误；④∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC，∴四边形CDFE的面积保持不变，④正确；⑤由③可知当DE最小时，DF也最小，DF的最小值是4，则DE的最小值为，当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．此时S△CEF=S四边形CEFD-S△DEF=S△AFC-S△DEF=16-8=8，⑤正确；综上，正确的是：①④⑤，故选：B．本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键．6．B【解析】,利用菱形的对角线相互垂直且平分可求出菱形的边长，利用菱形的面积公式即可求出DH的长．∵在菱形ABCD中，∴，，∴，∴，∴，故选：B．本题主要考查的是菱形的面积公式以及菱形的性质，和勾股定理的运用，熟练掌握菱形的性质求出边长是解答本题的关键．7．D【解析】延长AE交BC延长线于M，求出∠EAB＝∠M，推出AB＝BM，AD＝CM，AE＝EM，即可推出①②③正确，根据梯形中位线与三角形的面积公式即可判断⑤；根据AE和BE平分∠DAB、∠ABC即可判断④．解：延长AE交BC延长线于M，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠M，∵∠EAD＝∠EAB，∴∠EAB＝∠M，∴AB＝BM，∵E为CD中点，∴DE＝EC，,∵∠DEA＝∠CEM，∴△DAE≌△CME，∴AD＝CM，AE＝EM，∴AD＋BC=CM+BC=BM＝AB，∵AB＝BM，AE＝EM，∴BE⊥AE；BE平分∠ABC；∴∠ABE＝∠CBE，取AB中点，连接EF，∵E,F分别是AB,DC的中点，∴EF是梯形ABCD是中位线∴EF=，设梯形的高为h，∴×h×EF，S四边形ABCD=∴S四边形ABCD正确；即①②③⑤正确；根据已知不能得出AB⊥BC；故④错误；故选：D．本题考查了全等三角形的性质和判断，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，梯形的性质，关键是推出△ABM是等腰三角形，题目是一道比较常见的题目，比较典型．8．C【解析】根据勾股定理求出AC，根直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可求出BD的长．解：在Rt△ABC中，，，,由勾股定理得：AC==5，∵点为斜边的中点，∴BD=AC=，故选：C．本题考查了直角三角形斜边上中线，勾股定理的应用，通过做此题培养了学生的计算能力．9．B【解析】连接AC、CF，如图，根据正方形的性质得∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=，CF=3，则∠ACF=90°，再利用勾股定理计算出AF=2，然后根据直角三角形斜边上的中线求CH的长．解：连接AC、CF，如图，∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴∠ACD=45°，∠FCG=45°，AC=BC=，CF=CE=3，∴∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△ACF中，AF=，∵H是AF的中点，∴CH=AF=．故选：B．本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．10．B【解析】根据等腰直角三角形和三角形内角和性质，得，即,，再根据勾股定理的性质计算，得AC；根据直角三角形斜边中线的性质，得；结合，根据含角的直角三角形的性质，得，最后根据勾股定理计算，即可得到答案．∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵是等腰直角三角形，D是的中点，∴，，∵，∴，∴，∴，故选：B．本题考查了等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、三角形内角和、勾股定理、直角三角形的性质，从而完成求解．11．C【解析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=6-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（6-x）2=x2+（10-BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=10cm，CD=AB=6cm，根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，设CE=xcm，则DE=EF=CD-CE=（6-x）cm，在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，,即62+BF2=102，∴BF=8cm，∴CF=BC-BF=10-8=2（cm），在Rt△ECF中，由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即（6-x）2=x2+22，∴36-12x+x2=x2+4，∴x=，即CE=cm．故选：C．本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．12．A【解析】可根据三角形的中位线定理、等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．解：要使四边形AEDF是菱形，则应有DE＝DF＝AE＝AF，∵E，F分别为AC，BC的中点∴AE＝BE，AF＝FC，应有DE＝BE，DF＝CF，则应有△BDE≌△CDF，应有BD＝CD，∴当点D应是BC的中点，而AD⊥BC，∴△ABC应是等腰三角形，∴应添加条件：AB＝AC或∠B＝∠C．则当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠C时，四边形AEDF是菱形．故选：A．解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论．13．B【解析】过点D作DF⊥BC'，垂足为F，过点A作AG⊥BC'，交BC'的延长线于G，则四边形ADFG是矩形，计算的长，后利用三角形M面积的不同计算方法计算即可.,如图，过点D作DF⊥BC'，垂足为F，过点A作AG⊥BC'，交BC'的延长线于G，∵把沿翻折，得到，∴DC=，∠ADC=∠A，∵D是边上的中点，∴DC=BD，∵，∴=，∴是等边三角形，∴∠ADC=∠A=∠B=∠B=60°，∴BG∥AD，∵DF⊥BC'，AG⊥BC'，∴四边形ADFG是矩形，∴BF=FC'=1，FG=AD=3，DF==，∴AG=，=2，∴==，设点D到的距离为h，∴，∴，∴h=，,故选B.本题考查了三角形的折叠问题，等边三角形的判定和性质，平行线的判定，矩形的判定，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握折叠的性质，矩形的判定，三角形面积不同表示方法是解题的关键.14．B【解析】根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB，代入求出即可．∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵M为AB的中点，∴CM＝AB，∵AB＝4.8km，∴CM＝2.4km，故选：B．本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，能根据直角三角形斜边上的中线性质得出CM＝AB是解此题的关键．15．B【解析】利用斜边上的中线等于斜边的一半得到CE=BE=DE，然后利用斜边大于直角边可判断AE与CE的大小关系．∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，∴CE＝BE＝DE，∵AB⊥BD，∴∠ABE＝90°，∴AE＞BE，∴AE＞CE．故选：B．本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．16．（1）见解析；（2）菱形【解析】（1）利用尺规作线段AD的垂直平分线EF即可．（2）根据四边相等的四边形是菱形即可证明．,（1）如图所示：作出直线．连接．（2）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠AOE＝∠AOF＝90°，AO＝AO，∴△AOE≌△AOF（ASA），∴AE＝AF，∵EF垂直平分线段AD，∴EA＝ED，FA＝FD，∴EA＝ED＝DF＝AF，∴四边形AEDF是菱形．故答案为：菱形．本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题时注意：四条边都相等的四边形是菱形．17．（1）t＝3秒或秒t＝6秒或t＝2.5秒；（2）10cm．【解析】（1）当在上运动时，分三种情况讨论，当在上运动时，只有，当在上运动时，不存在，从而可得答案；（2）如图，过作，过作于，证明四边形为矩形，连接，与的交点为，连接，从而可得再利用三角形三边的关系可得：的最大值．解：（1）当在上运动时，①如图，当AP＝AC＝6cm时，,则t＝6÷2＝3；②如图，当CP＝AC＝6cm时，在Rt△ACB中，（cm），过作于，，③当AP＝CP时，如图，,t＝5÷2＝2.5．当在上运动时，如图，此时为等腰直角三角形，则只有当在上运动时，不存在，舍去；综上：当t＝3秒或秒或t＝6秒或t＝2.5秒时，△ACP为等腰三角形；（2）如图，过作，过作于，则四边形是矩形，连接，与的交点为，连接，，,是直角三角形，又当与重合时，最大，∴EC的最大值为10cm．故答案为：10cm．本题考查了勾股定理的应用，三角形三边的关系，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，矩形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．18．（1）；（2）；理由见解析；（3），理由见解析．【解析】（1）利用直角的边长就可以表示出等边三角形、、的大小，满足勾股定理；（2）利用直角的边长就可以表示出半圆、、的大小，满足勾股定理；（3）利用BC、AD的长分别表示正方形、、、的大小，根据BC=2AD，即可求解．解：（1）由题意可得：，，，，，故答案为：；（2）由题意得：，，，，故答案为：；（3）过D作，交BC于点E，∵AD∥BC，,∴四边形ABED为平行四边形，故，又∵BC=2AD，∴，，∴，∵，，，，∴，故答案为：．本题主要考查的是三角形、正方形、圆形的计算面积以及勾股定理，熟练掌握三角形、正方形、圆形的面积的计算公式是解答本题的关键．19．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由四边形ABCD为正方形可得出AC平分∠BAD，再利用角平分线的性质可证出PM=PN；（2）易证四边形PMAN为正方形，进而可得出∠MPN=90°，利用等角的余角相等可得出∠MPE=∠NPB，结合PM=PN，∠PME=∠PNB=90°，即可证出△PME≌△PNB（ASA），再利用全等三角形的性质即可证出EM=BN．证明：如图：,（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM=PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN=90°，PM=PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN=90°，即∠MPE+∠EPN=90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB=90°，∴∠MPE=∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME=∠PNB=90°．在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM=BN．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质，解题的关键是：（1）牢记“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”；（2）利用全等三角形的判定定理ASA证出△PME≌△PNB．20．2分钟后，两人相距米．【解析】设x分钟后，两人相距2米，根据题意利用勾股定理解答即可．设x分钟后，两人相距2米，如图所示，此时甲运动到E点，乙运动到F点；,于是，EC＝2x米，FC＝（10﹣x）米，在Rt△EFC中，得x2+（10﹣2x）2＝，解之，得x1＝2，x2＝6（舍去）．答：2分钟后，两人相距米．此题考查正方形的性质，勾股定理，图形与动点问题，根据图形列勾股定理的等式解决问题是解题的关键．21．（1）∠AEF的补角有∠BEF和∠B′EF，∠ADE的余角有∠AED、∠A′ED和∠CDE；（2）∠DEF=90°【解析】（1）根据折叠的性质以及补角的定义和余角的定义即可写出；（2）由折叠的性质得到∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠B′EF，根据平角的定义即可得到结论；（1）根据折叠的性质知：∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠B′EF，∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC=∠A=90，∴∠AEF+∠BEF=180，∴∠AEF的补角有∠BEF和∠B′EF，∠ADE+∠CDE=90，∠ADE+∠AED=90，∠ADE的余角有∠AED、∠A′ED和∠CDE；（2）由折叠可知∠AED=∠A′ED，∠BEF=∠B′EF，∵∠AED+∠A′ED+∠BEF+∠B′EF=180°，∴∠DEA′+∠B′EF=180°=90°，∴∠DEF=90°；本题考查了折叠的性质，补角和余角的定义，正确的识别图形解题的关键．22．（1）证明见解析；（2）；（3）相等，证明见解析．【解析】,（1）在图中，过点作的平行线，交于点，交于点，由是正方形，可得，由，，可得，可证（AAS）即可；（2），理由如下：过点作于，过作于．可证，由矩形可得，可证即可；（3）在图中，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，可得，，由（1）知，，由性质即可．证明：（1）在图中，过点作的平行线，交于点，交于点，则AH'=GH，∵是正方形，∴，，∵，，∴．∴，∴，在和中，，∴（AAS），∴．（2），理由如下：过点作于，过作于．∴，∵，∴，,∴，，∴，∵∠A=∠B=∠AEM=90°，∠B=∠C=∠CNG=90°，∴四边形ABME，四边形BCNG均为矩形，∴EM=AB=BC=GN，∴，∴，∴．（3）在图中，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点，∴四边形AF′FE，四边形DG′GH都是平行四边形，则，，由（1）知，，∴，∴．本题考查正方形的性质，矩形性质与判定，平行四边形的性质与判定，三角形全等判定与性质，关键是利用辅助线，在正方形内作出平移的准确图形．23．（1）；（2）见解析．,【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD=CD，再DE为直角△BCE的斜边上的中线，所以DC=DE，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠CDE=∠BACC；（2）证明△AEF≌△BEC得到AF=BC，从而得到AF=2BD．（1）解：，是的角平分线，，，，，为直角的斜边上的中线，，，，，；（2）证明：，，为等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，而，．,本题考查了角平分线的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是掌握：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．24．（1）证明过程见解析；（2）DF=10cm，EF=cm【解析】（1）根据ABCD是矩形，可得，由，可得DE=BF，进而可知四边形BFDE是平行四边形，再根据折叠的性质得，继而可证得四边形BFDE是菱形；（2）首先设DF=x，则CF=16-x，过点E作EG⊥BC，在Rt中，利用勾股定理可求得BG的长，继而可求得GF的长，在Rt中，利用勾股定理，即可求得EF的长．（１）证明：如图，由折叠可知，EF垂直并平分BD，设BD与EF交于点O，则：BE=DE，BF=DF∵四边形ABCD是矩形，∴∴在和中：∴∴DE=BF∴四边形BFDE是平行四边形又∵∴四边形BFDE是菱形．,（2）设DF＝x，则BF=x，则CF＝16-x在Rt中，由勾股定理得：解得：x＝10，∴DF=10cm如图，过点E作EG⊥BC于G，∵BE=DF=10cm，EG=AB=8cm∴BG=cm∴GF＝4cm由勾股定理得：EF＝（cm）本题考察了矩形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系．25．（1）BD=12；（2）△AMN为直角三角形；证明见解析；（3）a的值为1或3或6．【解析】（1）根据菱形的性质得，加上，于是可判断是等边三角形，所以；（2）如图1，根据速度公式得到12秒后点走过的路程为，则点到达点，即点与点重合，12秒后点走过的路程为，而，易得点到达的中点，即点为的中点，根据等边三角形的性质得，即为直角三角形；（3）由为等边三角形得，根据速度公式得经过3秒后点运动的路程为、点运动的路程为，所以，然后分类讨论：当点运动到点，且点在上，如图1，则，，由于为直角三角形，而，只能得到，所以，根据含30,度的直角三角形三边的关系得，解得；当点运动到点，且点在上，如图2，则，，由于为直角三角形，而，若，则，根据含30度的直角三角形三边的关系得，解得；若，易得此时点在点处，则，解得．（1）解：∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB=BC=CD=12∵∠A＝60°∴△ABD是等边三角形∴BD=12（2）答：△AMN为直角三角形证：如图1，12秒后点P走过的路程为2×12=24，则12秒后点P到达点D，即点M与D点重合，12秒后点Q走过的路程为2．5×12=30，而BC+CD=24，所以点Q到B点的距离为30-24=6，则点Q到达AB的中点，即点N为AB的中点．∵△ABD是等边三角形，而MN为中线∴MN⊥AB∴△AMN为直角三角形（3）∵△ABD为等边三角形∴∠ABD=60°经过3秒后，点P运动的路程为6cm．点Q运动的路程为3acm∵点P从点M开始运动，即DE=6cm∴点E为DB的中点，即BE=DE=6cm①当点Q运动到F点，且点F在NB上，如图1，则NF=3a∴BF=BN-NF=6-3a∵△BEF为直角三角形，而∠FBE=60°∴∠EFB=90°（∠FEB不能为90°，否则点F在点A的位置）,∴∠FEB=30°∴BF=BE∴6-3a=×6，即a=1②当点Q运动到F点，且点F在BC上，如图2，则NF=3a∴BF=NF-BN=3a-6∵△BEF为直角三角形，而∠FBE=60°（i）若∠EFB=90°，则∠FEB=30°∴BF=BE∴3a-6=×6，即a=3（ii）若∠FEB=90°，即FB⊥BD，而DE=BE∴点F在BD的垂直平分线上∴此时点F在点C处∴3a=6+12，即a=6综上所述，若△BEF为直角三角形，a的值为1或3或6．本题考查了四边形的综合题，熟练掌握等边三角形的判定与性质、菱形的性质、含30度的直角三角形三边的关系计算几何计算，能运用分类讨论的思想解决数学问题是解题的关键．26．（1）BC＝BG，BC⊥BG；（2）①（1）中结论仍然成立，理由见解析；②【解析】（1）由题意易得∠ACB＝∠B＝45°，AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠BAD＝∠CAF，进而可证△ABD≌△ACF，然后问题可求解；（2）①由题意易得∠ACB＝∠B＝45°，AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠BAD＝∠CAF，进而可证△ABD≌△ACF，则问题可求解；②过点A作AM⊥BD于M，由题意易得AM＝BC＝1，CG＝2，由①△ABD≌△ACF，则有BD＝,CF，进而可得BD＝CF＝4，DM＝BD﹣AM＝3，最后根据勾股定理可求解．解：（1）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠CAF＝90°﹣∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCG＝90°，∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，∴BC＝BG，故答案为：BC＝BG，BC⊥BG；（2）①（1）中结论仍然成立，理由：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠CAF＝90°+∠CAD，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝90°+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAF，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴∠ACF＝∠B＝45°，∴∠BCG＝90°，∴BC⊥CG，∠G＝90°﹣∠B＝45°＝∠B，∴BC＝BG；,②如图，过点A作AM⊥BD于M，∵BC＝2，△ABC是等腰直角三角形，∴AM＝BC＝1，∵BC＝CG，∴CG＝2，由①△ABD≌△ACF，∴BD＝CF，∵点G是CF的中点，∴CF＝2CG＝4，∴BD＝CF＝4，∴DM＝BD﹣AM＝3，在Rt△AMD中，根据勾股定理得，AD＝＝．本题主要考查正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质是解题的关键．27．（1）∠AD′H=30°；（2）△AEF是等腰直角三角形，理由见解析【解析】（1）如图1中，证明四边形AED′H是菱形，在Rt△ABD′中，由AB=AD′，推出∠AD′B=30°，即可解决问题．（2）如图2中，先证明△DD′G≌△DD′C得出DG=DC=AB=AG，发现△AGD、△GED′、△DEC都是等腰直角三角形，再证明△ABE≌△ECF即可解决问题．（1）如图1中，∵四边形AED′H是平行四边形，,∴AG=GD′，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵△AEG是由△AEB翻折得到，∴∠AGE=∠B=90，∵EH⊥AD′，∴四边形AED′H是菱形，∴∠AD′H=∠AD′B，∵△AEG是由△AEB翻折得到，∴AB=AG=D′G=AD′，∴∠AD′B=30°，∴∠AD′H=30°；（2）结论：△AEF是等腰直角三角形．理由：如图2中，连接DD′．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ADD′=∠DD′C，AB=DC，∠B=∠C=90°，∵AD=AD′，∴∠ADD′=∠AD′D，∴∠DD′A=∠DD′C，在△DD′G和△DD′C中，,，∴△DD′G≌△DD′C(AAS)，∴DG=DC=AB=AG，∵∠AGD=90°，∴∠GAD=∠GDA=∠AD′E=∠DED′=45°，∴EG=GD′=BE=CD′，∵∠AD′B+∠FD′C=90°，∴∠FD′C=∠D′FC=45°，∴CD′=CF=BE，∵∠CED=∠CDE=45°，∴EC=CD=AB，在△ABE和△ECF中，，∴△ABE≌△ECF(SAS)，∴AE=EF，∠BAE=∠CEF，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形．本题考查了翻折变换、矩形的性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定等知识，第一问的关键是菱形性质的应用，第二个问题的关键是正确寻找全等三角形，利用特殊三角形解决问题．28．（1）10；（2）4或5；（3）见解析．【解析】（1）根据勾股定理解题；（2）分两种情况讨论，当CP=DC时，直接由AP=AC-CP计算解题；当CP=DP时，由等边对等角，及余角的性质解得，继而得到,，最后由直角三角形斜边中线等于斜边的一半解题；（3）连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，根据矩形性质结合三角形中线性质，解得，，继而得到，结合等腰三角形的性质，得到，最后根据三角形内角和180°解题．（1）在中，，故答案为：10；（2）在矩形ABCD中，若是以为腰的等腰三角形时，①当CP=DC时AP=AC-CP=10-6=4②当CP=DP时综上所述，AP=4或AP=5；（3）连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC在矩形ABCD中，在矩形PEFD中，PF=DE，,．本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线、矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．29．（1）如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）真命题；答案见解析【解析】（1）把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题；（2）判断逆命题是真命题，画出图形利用矩形的性质进行证明即可．解：（1）命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的逆命题是如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；故答案为：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形；（2）是真命题，已知，中，是边上的中线，，求证：，证明：延长至，使，连接，，，，四边形是平行四边形，，，，平行四边形是矩形，．,此题考查命题的定义，真假命题的判定，矩形的判定定理，根据命题写出已知求证进行证明是解题的关键．30．（1）①见解析；②见解析；③见解析；（2）见解析【解析】（1）①用圆规作线段相等即可；②用尺规作图的作角相等即可；③用圆规作线段相等即可；（2）根据一组对边平行且相等证平行四边形，再用邻边相等证明菱形．（1）解：如图所示①线段即为所求；②即为所求；③线段，即为所求；（2）证明：∵，∴又∴∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形．本题考查了尺规作图和菱形的判定，解题关键是明确尺规作图的方法和熟练运用菱形的判定定理进行证明．,31．（1）证明见解析；（2）∠HDM的度数为；（3）；证明见解析．【解析】（1）根据SAS证明≌即可；（2）设，可证，再证明，得，进一步可证明为等腰直角三角形，从而可得结论；（3）过点作且，连接，，分别证明≌和≌，可得，再由勾股定理可得结论．（1）∵四边形为正方形，为对角线，∴，，在与中，，∴≌.（2）设，则，由（1）知≌，则，，∴，四边形中，，即，∴，又由图知，，∴，∴，∴，∴且，∴为等腰直角三角形，∴.（3），证明如下：,过点作且，连接，，由（2）知，为等腰直角三角形，∴且，∴，即，∴在与中，,∴≌，∴，∵，，∴，在与中，，∴≌，∴，，∴，∴中，，即成立,本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，难度偏大．32．见解析．【解析】作∠C′BD=∠CBD，且截取BC′=BC，连结DC′即可得．解：如图，作∠C′BD=∠CBD，且截取BC′=BC，连结DC′，本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形性质．33．（1），证明见解析；（2）见解析【解析】（1）根据已知，利用SAS判定△BCG≌△DCE，全等三角形的对应边相等，所以BG＝DE；（2）根据全等三角形的对应角相等，得到∠CBG＝∠CDE，再根据角之间的关系可得到∠DHB＝∠BCG＝90°即BH⊥DE．（1）猜想：；∵四边形与四边形都是正方形，∴，，，在和中∴，∴；（2）由（1）得：，∴，∵，，,∴，∴，∴．此题主要考查学生对正方形的性质及全等三角形的判定的理解及掌握情况，正确熟练的掌握正方形的性质及全等三角形的判定方法是解答本题的关键．34．【解析】首先根据矩形的性质、折叠的性质求得、、的长度，再利用勾股定理求得的长度即的长度，然后根据线段的和差求得的长度，最后再利用勾股定理即可求得答案．解：过点作，如图：∵四边形是矩形∴，，，，∴，∵矩形纸片延折叠，使点落在边上的处，点落在处∴，，，∴∴∵点是的中点∴∴∴在中，∴∴,∴在中，．本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、线段的和差、线段中点的定义、平行线的性质等，添加适当的辅助线构造出直角三角形是解题的关键．35．（1）AE＝AF；（2）成立，证明见解析【解析】（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF；（2）由菱形的性质可得AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，可证△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，可得AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，由“ASA”可证△BAE≌△CAF，可得AE＝AF．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，故答案为：AE＝AF；（2）仍然成立，理由如下：如图2，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，∵∠MAN＝60°＝∠BAC，,∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，，∴△BAE≌△CAF（ASA），∴AE＝AF．本题考查菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定，掌握菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等判定方法是解题关键．36．（1）见解析；（2）等腰；（3）菱形．【解析】（1）由中线，相交于点，可得是的中位线，可得，，由、分别是，的中点，可得是的中位线，可得，，可推出，即可；（2）由四边形的形状为矩形，可得FD=EG，OE=OF=OG=OD，EF⊥ED，∠EOF=∠DOG，由、分别是，的中点，可得BO=CO，，由中线，E为中点，是的中点，可得EF∥OA，可推出OA⊥ED，由等腰三角形性质可得OA平分∠EOD，可证△AOB≌△AOC（SAS），可得AB=AC即可；（3）连接，由（1）知四边EFGD为平行四边形，由中位线性质可得AO=2EF，，由，可得EF=FG即可．证明：（1）∵中线，相交于点，∴E、D分别为AB、AC中点，∴是的中位线，∴，，又∵、分别是，的中点，∴是的中位线，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形；（2）连接OA，如图∵四边形的形状为矩形，,∴FD=EG，OE=OF=OG=OD，EF⊥ED，∠EOF=∠DOG，∵、分别是，的中点，∴BO=CO，∵中线，E为中点，是的中点，∴EF∥OA，∴OA⊥ED，∴OA平分∠EOD，∴∠EOA=∠DOA，∴∠BOA=∠EOF+∠EOA=∠DOG+∠DOA=∠COA，∵AO=AO，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，故答案为：等腰；（3）当时，四边形的形状为菱形．由（1）知四边EFGD为平行四边形，∵中线，E为中点，是的中点，∴EF为△ABO的中位线，∴AO=2EF，又∵、分别是，的中点，∴是的中位线，∴，∵，∴2EF=2FG，∴EF=FG，∴四边形是菱形，,故答案为：菱形．本题考查平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定，掌握平行四边形的判定方法与性质，等腰三角形的判定，菱形的判定定理，细心观察图形，利用数形结合从图形中分析线段之间和角之间关系是解题关键．37．（1）|AD﹣BC|=|y1﹣y2|，CD=|x1﹣x2|；（2）AB=；（3）【解析】（1）由于AD，BC都垂直于轴，点D，C分别为垂足，则AD，BC，则|AD-BC|=，CD直接用两点的横坐标之差的绝对值表示；（2）利用勾股定理求解；（3）把点（-1，3）和点（-5，7）直接代入（2）中的公式中计算即可．（1）|AD﹣BC|=，CD=；（2）AB=，理由如下：过B作BE⊥AD于E，∵AD，BC都垂直于x轴，∴四边形BCDE是矩形，∴ED=BC，CD=BE，∴AE，BE=，∴AB=；（3）点（﹣1，3）与点（﹣5，7）之间的距离．本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（，），B（，），则这两点间的距离为．求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式．38．（1）证明见解析；（2）AB＝BC，理由见解析；（3）能，∠ABC＝90°，AB＝BC,，理由见解析．【解析】（1）根据三角形的中位线得出DE∥BF，根据平行四边形的判定得出即可；（2）由三角形中位线定理和中点定义可得DE=BD，根据菱形的判定得出即可；（3）由正方形的判定可得．解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BF，∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）AB＝BC，理由是：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝BC，BD＝AB，∵AB＝BC，∴DE＝BD，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，即当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形；（3）∠ABC＝90°，AB＝BC，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE＝BC，BD＝AB∵AB＝BC，∴DE＝BD，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形，∵∠ABC＝90°，∴菱形DBFE是正方形，即当∠ABC＝90°，AB＝BC时，四边形DBFE是正方形．本题考查了正方形的判定，菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，灵活运用这些判定定理进行推理是解决本题的关键．39．（1）见解析；（2）75°．【解析】,（1）连接DE．想办法证明DB=DE即可．（2）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．（1）证明：连接DE，∵CD是AB边上的高，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵BE是AC边上的中线，∴AE=CE，∴DE=AC=CE，∵BD=CE，∴BD=DE，∴点D在BE的垂直平分线上；（2）解：∵DE=AE，∴∠A=∠ADE，∵DB=DE．∴∠DBE=∠DEB=25°，∴∠A=∠ADE=∠ABE+∠DEB=50°，∴∠BEC=∠A+∠ABE=75°．本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．40．见解析；120°【解析】（1）根据直角三角形的性质得到BM＝AC，DM＝AC，根据等腰三角形的三线合一证明即可；（2）根据直角三角形的性质得到BM＝AM，DM＝AM，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．,（1）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AC，DM＝AC，∴BM＝DM，又N是BD的中点，∴MN⊥BD；（2）解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，∴BM＝AM，DM＝AM，∴∠ABM＝∠BAC＝58°，∠ADM＝∠DAC＝62°，∴∠DMB＝360°−58°×2−62°×2＝120°．本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．41．（1）3.6秒，周长是；（2）2秒，周长是【解析】（1）设时间是x秒，根据平行四边形的性质得，列式求出x的值，即可得到结果；（2）设时间是y秒，根据平行四边形的性质得，列式求出y的值，即可得到结果．解：（1）设x秒后，四边形ABQP为平行四边形，∵四边形ABQP为平行四边形，∴，即，解得，；（2）设y秒后，四边形PDCQ为平行四边形，∵四边形PDCQ为平行四边形，∴，即，解得，．本题考查平行四边形的性质，解题的关键是利用时间表示出线段长，再根据平行四边形的性质列式求出结果．42．(－37，1)【解析】先求出A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），再研究规律每四次变化回到相同的象限；一象限横坐标都为1，二象限纵坐标都为1，三象限横坐标都为-1，四象限纵坐标都为-1；相应变化的坐标一周差8；18÷4=4…2；四周差4×8=32，四周余2，A18在第二象限，横坐标为：-5-4×8,计算即可写出A18的坐标．正方形ABCD的顶点坐标分别为A(1，﹣1)，B(﹣1，﹣1)，C(﹣1，1)，D(1，1)．AB=1-（-1）=2，A1与B平行y轴，A1的横坐标为-1，纵坐标为：-1-2=-3，A1（-1，-3）CA1=1-（-3）=4，A2与C平行x轴，A2的纵坐标为1，横坐标为：-1-4=-5，A2（-5，1）DA2=1-（-5）=6，A3与D平行y轴，A3的横坐标为1，纵坐标为：1+6=7，A3（1,7）AA3=7-（-1）=8，A4与A平行x轴，A4的纵坐标为-1，横坐标为：1+8=9，A4（9，-1）A(1，﹣1)，A1（-1，-3），A2（-5，1），A3（1,7），A4（9，-1），A5（-1，-11，A6（-13，1），每四次变化回到相同的象限，第一象限横坐标都为1，第二象限纵坐标都为1，第三象限横坐标都为-1，第四象限纵坐标都为-1，相应变化的坐标一周差8，18÷4=4…2，A18在第二象限，4×8=32，四周差32，A18的横坐标为：-5-4×8=-37，A18（-37，1），故答案为：（-37，1）．本题考查正方形的渐开线点的规律探究问题，掌握渐开线呈周期性变化，每4次渐开线终点在相同象限，各象限都有一坐标不变，找到变化的坐标规律是解题关键．43．22【解析】如下图，过点D作DM⊥AN于点M，由题意可得∠BCN=37°，CN=50cm，在Rt△BCN中，利用∠BCN的正切函数即可计算出BN的长，由AN=AB+BN即可得到AN的长；再证△ADM是等腰直角三角形即可得到AM=MD=NC=50cm，即可由AB=AN-BN计算出AB的长．作DM⊥AB于M，如图所示，则由题意可知：∠BCN=37°，四边形MDCN是矩形，∴tan∠BCN=≈0.75，MD=CN=50cm，∴BN=CN•tan37°=50×0.75≈37.5（cm），∴AN=AB+BN=34+37.5=71.5cm，∵∠DAE=45°，∠BAE=90°，∴∠DAM=45°，∴△ADM是等腰直角三角形，,∴AM=DM=50cm，∴CD=MN=AN﹣AM=71.5﹣50≈22（cm）.答：根据图中的数据求CD的长约为22cm．．本题主要考查矩形的判定及性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定及性质，掌握矩形的性质及锐角三角函数的定义是解题的关键．44．10【解析】根据折叠的性质，可得∠C′BD与∠CBD的关系，根据矩形的性质，可得AD与BC的关系，根据平行线的性质，可得∠EDB与∠CBD的关系，根据勾股定理，可得AE的长，根据三角形面积的和差，可得答案．设AE＝x，ED＝8−x，由折叠，得∠C′BD＝∠CBD，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∴∠EDB＝∠EBD，∴ED＝BE＝8−x，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＋AB2＝BE2，∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，∴S△EBD＝S△ABD−S△ABE＝×AB×AD−×AB×AE＝×4×8−×4×3＝10．故答案为：10．,本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．45．22.5°；【解析】由正方形的性质得到BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，根据BE＝BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC＝∠BCE＝67.5°，根据∠DCE＝∠BCD−∠BCE即可求出答案．解：∵正方形ABCD，∴BC＝CD，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BE＝BC，∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，∴∠DCE＝∠BCD−∠BCE＝90°−67.5°＝22.5°，故答案为：22.5°．本题主要考查对正方形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出∠DCE的度数是解此题的关键．46．8【解析】由翻折的性质得到AF=AD=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可解决问题；∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=90°，∵△AEF是由△ADE翻折，∴AF=AD=10，在Rt△ABF中，∵AF=10，AB=6，∴，故答案为：8．本题考查长方形的性质、勾股定理、翻折不变性等知识，利用翻折不变性是解决问题的关键．47．【解析】根据题目中的条件，可以先证明△BAE和△ADF全等，然后即可得到∠ABE=∠DAF，从而可以证明△BGF是直角三角形，再根据点H为BF的中点，可知GH是BF,的一半，然后根据勾股定理可以求得BF的长，从而可以得到GH的长．解：∵四边形是正方形，∴，，在和中，，∴，∴．∵，∴，∴，∴．∵点为的中点，∴，又∵，，，∴，∴，∴．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．48．【解析】根据点的坐标求出四边形的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．解：，，，，，，，，绕四边形一周的细线长度为，余7，,细线另一端在绕四边形第202圈的第7个单位长度的位置，即即细线另一端所在位置的点在处的位置，，细线另一端所在位置的点的坐标为，故答案是：．本题主要考查了点的坐标以及矩形的性质的运用，解决问题的关键是根据坐标求得四边形的周长并进行计算．解题时注意：矩形的对边相等．49．【解析】连接AA1，得到直线l，先证明四边形A1B1CD为平行四边形，得到B1C=A1D，由此可得A1C+B1C=A1C+A1D，作D点关于的对称点D′，D′D交l于H点，连接CD′，得D′H=DH，则A1C+B1C的最小值为CD′，由四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，BD为对角线，在Rt△DAH中，求出DH的长，再得到到△CDD′为等腰三角形，过D作DM⊥CD′交CD′于M点，再求出CD′，即可求解.连接，得到直线，∵沿运动得到，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，此时、为动点，在上运动，两定一动为将军饮马问题，作点关于的对称点，交于点，连接，得，,则，∵四边形为菱形，，为对角线，∴，，，∵，∴，在中，，，，，在中，，即为等腰三角形，过作交于点，∵为等腰三角形，，∴平分，，在中，，，∴，,∴A1C+B1C=.故答案为：.这题考查了平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，和最短路径问题，解题的关键是理清题意，灵活运用平行四边形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形等知识求出最小值．此题较难．50．5【解析】首先根据勾股定理计算直角三角形的斜边，再根据直角三角形的性质进行计算．解：如下图所示，假设Rt△ABC符合题意，其中BC=6cm，AC=8cm，∠C=90°，点D为AB的中点．由勾股定理可得：=10（cm）又∵点D为AB的中点∴CD==5（cm）故答案为：5．本题考查了勾股定理以及直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．51．63【解析】如图，延长BE到K．利用翻折不变性求出∠KEF即可解决问题．如图，延长BE到K．,由翻折可知：∠FEK＝∠GEF，∵∠BEG＝54°，∴∠KEG＝126°，∴∠GEF＝63°，故答案为：63．本题考查翻折变换，矩形的矩形，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．52．【解析】由题意知∠3=180°-2∠1=45°，∠4=180°-2∠2=30°，BE=KE，KF=FC，作KM⊥BC，设KM=x，知EM=x，MF=x，根据EF的长求得x=1，再进一步求解可得．解：由题意，得：∠3=180°-2∠1=45°，∠4=180°-2∠2=30°，BE=KE、KF=FC，如图，过点K作KM⊥BC于点M，设KM=x，则EM=x，MF=x，∴x+x=+1，解得：x=1，∴EK=、KF=2，∴BC=BE+EF+FC=EK+EF+KF=3++，,∴BC的长为3++，故答案为：3++．本题主要考查翻折变换，解题的关键是掌握翻折变换的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．53．12【解析】（1）如图1中，求出的面积，证明的面积的面积即可．（2）如图2中，连接，，在中，因为点是的中点，可设，同理，，，，证明，推出，根据．可得结论．解：（1）如图1中，过点作于，交于．四边形是矩形，，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，，，，，，，，，，，故答案为：12．（2）如图2中，连接，，,在中，点是的中点，可设，同理，，，，，，，，．本题考查矩形的性质、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．54．【解析】首先连接BE，与AC交于G，作EF⊥AB于F，由A(0，0)，B(8，0)，C(8，4)，易求得AB，BC的长，由勾股定理即可求得AC的长，然后由直角三角形的性质，求得BG的长，继而可得BE的长，又由:AE2-AF2=BE2-BF2，求的AF，即可求得答案.过E作轴于点M，过E作于F，连接交于点G，如下图．由对称性可知，，，由题意可知，∵，∴是等腰三角形，，,∴，∵，，，∴，，∵四边形是矩形，，∴，，∵，，，∴∵，，，，∴，∵，，∴，∵，，，，∴，解得：，∵，，，∴，∵，，∴E点坐标为．,故答案为：．此题考查了矩形的性质，折叠的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.55．【解析】如图，过点B作，并交于点M，根据平行线性质，得四边形为矩形，从而得到；再根据矩形性质，通过证明，得；再根据三角形边角关系性质，得当点P和点C重合时，取最小值；通过三角形面积计算公式，计算得，从而完成求解如图，过点B作，并交于点M根据题意得：，∴，，∴四边形为矩形，∴∴∵长方形∴，，∴∴∵∴∴∴,∵∴当点P和点C重合时，取最小值，即取最小值∴∴∴，即最小值为故答案为：．本题考查了矩形、平行线、垂线、全等三角形、三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、平行线、全等三角形、三角形的性质，从而完成求解．56．【解析】根据题意得到，通过勾股定理逆定理可推出△ABC为直角三角形，运用直角三角形斜边的中线是斜边的一半可求出最终结果．如图，△ABC中，AC=2，BC=1，AB=，，△ABC为直角三角形，又D为斜边AB边上的中点，=故答案为：．本题考查了勾股定理逆定理的运用，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．57．2.3．【解析】,利用直角三角形的性质可得CM=AB，从而可得答案．解：∵公路AC与BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，∵M是AB中点，∴CM＝AB＝×4.6＝2.3km，故答案为：2.3．本题考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．58．2【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．∵AB=AC，AB=4，∴AC=4．在△ABC中，CD是高线，∴∠ADC=90°，又∵E是AC的中点，∴DE=AC=2．故答案为：2．本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．也考查了三角形的高．59．3cm【解析】由折叠的性质得到三角形CDG与三角形FDG全等，利用全等三角形对应边相等得到FD＝CD，FG＝CG，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BD的长，设FG＝x，表示出BG与BF，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到FG的长．解：由折叠的性质得：△CDG≌△FDG，∴FD＝CD＝AB＝6cm，FG＝CG，在Rt△BCD中，BC＝8cm，CD＝AB＝6cm，根据勾股定理得：BD＝＝10cm，在Rt△BGF中，设FG＝CG＝x，,则有BG＝BC﹣CG＝（8﹣x）cm，BF＝BD﹣DF＝10﹣6＝4cm，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42，整理得：﹣16x+64＝16，即16x＝48，解得：x＝3，则FG＝3cm，故答案为：3cm．此题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
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