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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(28)一、单选题1．顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形2．如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，若，，则的长为（）．A．5B．4C．3D．23．在四边形ABCD中，AB＝CD，∠DAC＋∠BCA＝180°，∠BAC＋∠ACD＝90°，且四边形ABCD的面积是18，则CD的长为()．A．4B．C．6D．4．如图，将长方形沿折叠，使点落在点处，交于点，若，则等于（）A．B．C．D．5．如图，平行四边形的对角线与相交于点O，添加一个条件不能使平行四边形,变为矩形的是（）A．B．C．D．6．正方形、正方形和正方形的位置如图所示，点G在线段上，正方形的边长为2，则的面积为（）A．4B．3C．2D．7．如果一个正方形的面积是，则它的对角线长为（ ）A．B．C．D．8．如图，中，的平分线交于点D，E、F分别是边、的中点，连接、，要使四边形成为菱形，还需要添加的条件是（）A．为直角B．C．D．9．下列命题中，真命题是（ ）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形D．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形二、解答题10．已知长方形纸片，点E在边上（不与A，B重合），点F、G在边上（不与,C，D重合），连接、．将对折，点B落在直线上的点处，得折痕；将对折，点A落在直线上的点处，得折痕．（1）如图1，若点F与点G重合，若，则______°，_____°；（2）如图2，若点G在点F的右侧，且，求的度数；（3）若，请用含的式子表示的大小．11．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求∠EAG的度数；（3）求BG的长．12．如图，为矩形的对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的长．13．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O．,（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高．14．将两张完全相同的矩形纸片，矩形纸片按如图方式放置，为重合的对角线，重叠部分为四边形．（1）试判断四边形为何种特殊的四边形，并说明理由；（2）若四边形的面积为15，，求的长．15．如图，矩形中，点E在边上，将沿折叠，点C落在边上的点F处，过点F作交于点G，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求四边形的面积．16．已知：已知：正方形的对角线相交于点是上一点，连接，过点A作，垂足为与相交于点F．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若点E为中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2,中四个三角形，使写出的每个三角形的面积等于正方形面积的．17．如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点与边的中点重合．旋转．（1）若经过点，交于点，求证：为的中点；（2）合作交流：受问题（1）的启发，将绕点旋转，使交于点，交于点，如图2，①求证：为的中点；②求的长．18．如图所示，为的边上一动点，过点的直，设分别交的平分线及其外角平分线于点．（1）求证：（2）当点在何处时，四边形是矩形？（3）在（2）的条件下，请在中添加条件，使四边形变为正方形，并说明你的理由．,19．在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，以斜边AB为边向Rt△AEB外作正方形ABCD，正方形ABCD的对角线交于点O（如图1）．（1）如图1，OM⊥EM并交EB延长线于点M，ON⊥AE，且交EA于点N，求证：EO平分∠AEB；（2）如图1，延长EA到P，使AP＝BE，连接OP，试猜想线段OE与OP是否相等，并证明；（3）如图2，过点C作CF⊥EB并交EB的延长线于点F，过点D作DH⊥EA并交EA的延长线于点H，CF和DH的反向延长线交于点G，求证：四边形EFGH为正方形．20．（1）如图1，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，E是BC上一点，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．则线段AB、DC、AD的长度满足的数量关系为___________；（2）如图2，将(1)中的条件“∠B=∠C=90°”改为“∠B+∠C=180°”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例；（3）将(1)中的条件“∠B=∠C=90°”改为“∠B=∠C=120°，BC=2”，其他条件不变，试探究线段AB、DC、AD之间的数量关系，并说明理由．21．如图，在⊿ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交BC于D，交AB于点E，F在DE上，并且AF＝CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B的大小满足什么条件时四边形ACEF是菱形？请证明你的结论．（3）四边形ACEF有可能是矩形吗？为什么？,22．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q沿BC从点B开始向点C以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6）．（1）当PB＝2厘米时，求点P移动多少秒？（2）t为何值时，△PBQ为等腰直角三角形？（3）求四边形PBQD的面积，并探究一个与计算结果有关的结论．23．如图，将一张边长为8的正方形纸片放在直角坐标系中，使得与轴重合，与轴重合，点为正方形边上的一点（不与点、点重合）．将正方形纸片折叠，使点落在处，点落在处，交于，折痕为．连接，．初步探究：（1）当时，点的坐标____；深入探究：（2）当点在边上移动时，与的度数总是相等，请说明理由．拓展应用：（3）当点在边上移动时，的周长是否发生变化？并证明你的结论．三、填空题24．动手操作：矩形纸片．如图，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕，当点在上移动时，折痕的端点也随之移动．若限定点分别在边上移动，则点在边上可移动的最大距离为_________．,25．下列叙述：①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等；②“相等的角是对顶角”是真命题；③等腰梯形是轴对称图形；④顺次连接矩形的各边中点一定构成正方形．其中正确的是_______（填写序号）．26．如图，菱形的边长为2，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N两点，直线交于点E，连接，则的长为______．27．在矩形中，点E是直线上一点，若，，，则的长为______．28．已知：矩形中，，点E为边上一点，若为等腰三角形，则顶角的度数为_____．29．如图，是半圆O的直径，四边形和都是正方形，其中在上，在半圆上．若，则正方形的面积与正方形的面积之和是_____________．,30．如图，有一张长方形纸片．先将长方形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的长为_____．31．如图所示，把大正方形纸片剪成五个部分，在分别距离大正方形的四个顶点5厘米处沿方向剪开，中间的部分正好是小正方形，那么小正方形的面积是__________平方厘米．32．如图，已知正方形ABCD的边长为5，l是过点A的任意一条直线，点M（在正方形内部或边上）是点D关于直线l的对称点．连接CM，则线段CM长度的最大值是______．33．如图，在坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC＝60°，OA＝1，先将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2019次，点B的落点依次为B1，B2，B3，…，则B2019的坐标为_____．34．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC,应满足的条件是_____．35．如图，在菱形ABCD中，已知AB＝8，AC＝10，那么菱形ABCD的面积为____．36．如图，将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使B落在DC边上的F点处．若△AFD的周长为7，△ECF的周长为2，则矩形ABCD的周长为________．37．如图，四边形中，，，连接、，是边延长线上任意一点，连接、．有以下结论：①；②；③；④．其中正确的是________．（填序号）38．如图，为正方形，为、的交点，为直角三角形，，，若，则正方形的面积为______．39．直角三角形斜边长为，那么这个三角形的重心到斜边中点的距离为____．,40．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE＝BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：①AH＝DF；②∠AEF＝45°；③AH＝DE；④S四边形EFHG＝S△DEF+S△AGH，其中正确的结论有_____．（填正确的序号）,,【答案与解析】1．C【解析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出EF，HG，FG，EH是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．解：如图所示，因为E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，因为E、F分别是AB、BC的中点，所以EF=AC，且EF∥AC同理可得HG=AC，且HG∥AC，FG=BD，且FG∥BD，EH=BD，且EH∥BD，∴EF∥HG，HE∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD，因此有EF=FG=GH=HE，所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形．故选：C此题考查三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形的中位线定理及菱形的判定．2．B【解析】根据直角三角形的性质求出AB，求出DE，根据勾股定理计算，得到答案．∵∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，,∴AB=2CE=10，∴AE=AB=5，∵AD=2，∴DE=AE-AD=3，在Rt△CDE中，CD=．故选：B．本题考查了直角三角形的性质、勾股定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．C【解析】如图，延长BC至点E，使CE=AD，连接AE，利用SAS可证明△ACD≌△CAE，可得S△ACD=S△CAE，∠EAC=∠ACD，CD=AE，进而可得出△BAE是等腰直角三角形，可得S四边形ABCD=CD2，最后根据S四边形ABCD=18即可求出CD的长．如图，延长BC至点E，使CE=AD，连接AE，∵∠DAC＋∠BCA＝180°，∠ACE+∠BCA=180°，∴∠DAC=∠ACE，在△ACD和△CAE中，，∴△ACD≌△CAE，∴S△ACD=S△CAE，∠EAC=∠ACD，CD=AE，∵∠BAC＋∠ACD＝90°，∴∠BAC+EAC=90°，∵AB=CD，∴△BAE是等腰直角三角形，∴S四边形ABCD=S△BAE=AB·AE=CD2，∵S四边形ABCD=18，∴CD2=18，解得：CD=6，（负值舍去）,故选：C．本题考查四边形综合题、全等三角形的判定、四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造等腰直角三角形解决问题，属于中等题．4．C【解析】根据折叠的性质得到∠=，由长方形的性质得到AD∥BC，即可得到∠2=∠=2∠1=.由折叠可知：∠=，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠2=∠=2∠1=，故选：C.此题考查折叠的性质，长方形的对边平行的性质，平行线的性质：两直线平行内错角相等.5．D【解析】据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，A、AC=BD时，平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；B、DA⊥AB时，∠BAD=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；C、∠OAB=∠OBA时，OA=OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故该选项不符合题意；D、OB=OD时，平行四边形ABCD仍然是平行四边形，故该选项符合题意；,故选：D．本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键．6．A【解析】连DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，再根据正方形BEFG的边长为2，可求出S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE，再由SDEK=S正方形GBEF，即可求出答案．解：连接DB，GE，FK，则DB∥GE∥FK，在梯形GDBE中，S△DGE=S△GEB（同底等高的两三角形面积相等），同理S△GKE=S△GFE．∴SDEK=S△DGE+S△GKE=S△GEB+S△GEF=S正方形GBEF=2×2=4．故选：A．此题主要考查正方形的性质，三角形和正方形面积公式以及梯形的性质，结合图形巧妙转化解决问题．7．A【解析】根据正方形的面积求得边长为，再利用勾股定理即可求得对角线的长．∵正方形的面积为，∴正方形的边长为，,根据勾股定理，对角线=，故选：A．本题考查了正方形的性质，正确运用勾股定理是解题的关键．8．B【解析】根据菱形的定义及判定求解．解：若∠B=∠C，则AB=AC，又∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴AD⊥BC，∴△ABD、△ACD是直角三角形，∵E、F分别是边AB、AC的中点，∴DE=AE=DF=AF，∴四边形AEDF是菱形；又当∠A为直角或AB=BC或AC=BC时，四边形AEDF不一定是菱形，故选B．本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的定义及判定是解题关键．9．C【解析】根据矩形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据三角形中位线性质和平行四边形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断．解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；B、对角线互相垂直的平行边形是菱形，所以B选项错误；C、顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形，所以C选项正确；D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误．故选：C．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10．（1），；（2）100°；（3）若点G在点F的右侧，∠FEG=2α-180°，若点G在点F的左侧，∠FEG=180°-2α．,【解析】（1）根据折叠的性质和角平分线的定义，平角的定义，角的和差定义计算即可．（2）根据∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG，求出∠NEF+∠MEG即可解决问题．（3）分两种情形分别求解即可．解：（1）∵折叠∴EN平分∠AEF，EM平分∠BEF，∠BEB'=120°，（2）∵EN平分∠AEF，EM平分∠BEG∵∠AEB=180°，∠FEG=20°∴∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG=80°+20°=100°（3）若点G在点F的右侧时，由（2）可知∵∠MEN=∠NEF+∠FEG+∠MEG∴∴∠FEG=2α-180°，若点G在点F的左侧时，∵∠MEN=∠NEF-∠FEG+∠MEG∴∴∠FEG=180°-2α．本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．,11．（1）见解析；（2）45°；（3）BG＝2．【解析】（1）利用翻折变换对应边关系得出AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，利用HL定理得出△ABG≌△AFG即可；（2）由（1）可得∠FAG＝∠BAF，由折叠的性质可得∠EAF＝∠DAF，继而可得∠EAG＝∠BAD＝45°；（3）首先设BG＝x，则可得CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，然后利用勾股定理GE2＝CG2＋CE2，得方程：（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解此方程即可求得答案．（1）证明；在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC＝CD，∠D＝∠B＝∠BCD＝90°，∵将△ADE沿AE对折至△AFE，∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，又∵AG＝AG，在Rt△ABG和Rt△AFG中，，∴△ABG≌△AFG（HL）；（2）∵△ABG≌△AFG，∴∠BAG＝∠FAG，∴∠FAG＝∠BAF，由折叠的性质可得：∠EAF＝∠DAE，∴∠EAF＝∠DAF，∴∠EAG＝∠EAF＋∠FAG＝（∠DAF＋∠BAF）＝∠DAB＝×90°＝45°；（3）∵E是CD的中点，∴DE＝CE＝CD＝×6＝3，设BG＝x，则CG＝6﹣x，GE＝EF＋FG＝x＋3，∵GE2＝CG2＋CE2∴（x＋3）2＝（6﹣x）2＋32，解得：x＝2，,∴BG＝2．此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，注意折叠中的对应关系、注意掌握方程思想的应用是解此题的关键．12．（1）证明见解析；（2）【解析】（1）根据四边形是矩形，得；再根据折叠的性质，得到，，从而推导得，即可完成证明；（2）根据勾股定理，计算得；设，则，，再根据勾股定理计算，即可得到答案．（1）∵四边形是矩形∴，∴由折叠的性质可得：，又∵∴∴∴四边形是平行四边形（2）∵，，，∴由图形折叠可得：∴设，则，∵∴，即是直角三角形∴由勾股定理得：,解得：∴．本题考查了平行四边形、矩形、轴对称、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、矩形、轴对称、勾股定理的性质，从而完成求解．13．（1）见解析；（2）【解析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，求出DF即可．解：（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B=60°，CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=∠BDC=60°，∴∠CDF=30°，又∵CD=BC=6，∴CF=3，∴在Rt△CDF中，DF==．,本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．14．（1）菱形，理由见解析；（2）9【解析】（1）证明△DAB≌△DEB，得出∠ABD=∠EBD，证出四边形DHBG是平行四边形，再根据平行线的性质结合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角对等边可得出DH=BH，由此即可证出□DHBG是菱形；（2）根据菱形的面积和AD求出BH，得到DH，利用勾股定理求出AH，即可得到AB．解：（1）四边形DHBG是菱形．理由如下：∵四边形ABCD、FBED是完全相同的矩形，∴∠A=∠E=90°，AD=ED，AB=EB．在△DAB和△DEB中，，∴△DAB≌△DEB（SAS），∴∠ABD=∠EBD．∵AB∥CD，DF∥BE∴四边形DHBG是平行四边形，∠HDB=∠EBD，∴∠HDB=∠HBD，∴DH=BH，∴四边形DHBG是菱形．（2）∵四边形DHBG的面积为15，AD=3，∴HB=15÷3=5，∴DH=HB=5，,∴AH==4，∴AB=BH+AH=9．本题考查了菱形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出DH=BH；（2）利用勾股定理求出AH长．15．（1）见解析；（2）【解析】（1）根据题意和翻折的性质，可以得到△BCE≌△BFE，再根据全等三角形的性质和菱形的判定方法即可证明结论成立；（2）根据题意和勾股定理，可以求得AF的长，进而求得CE和DF的值，从而可以得到四边形CEFG的面积．（1）证明：由题意可得，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是平行四边形，又∵，∴四边形是菱形；（2）∵矩形中，，，，∴，，∴，∴，设，则，，∵，∴，解得，，∴，,∴四边形的面积是：．本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．16．（1）证明见解析；（2）．【解析】(1)由ASA证明△ABF≌△BCE，即可得出结论；(2)由点E为OC中点，OB=OC，△ABF≌△BCE这些条件可得出，即得出最终结果．（1）证明：∵四边形为正方形，，，，又(ASA)．（2），点E为中点，OB=OC，△ABF≌△BCE点F为OB的中点为同高等底的两个三角形，为同高等底的两个三角形又，=．本题考查了正方形的综合题，同时涉及全等三角形的证明，充分掌握正方形的性质，有效解读题目条件同时运用空间想象能力是解题的关键．17．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②【解析】,（１）首先根据直角三角形斜边中线的性质及等腰三角形的性质得出，然后证明，则，从而有，则，进而可得出，最后利用等腰三角形三线合一即可得出结论；（2）①首先证明，则，然后利用直角三角形两锐角互余及等角对等边得出，，从而有，则结论可证；②首先利用勾股定理求出AB的长度，然后利用垂直平分线的性质得出，设，则，，最后在中利用勾股定理即可求解．（1）∵，是的中点，∴，∴．在和中，∴．∴．∴．∴．∴．又∵，∴是的中点．（2）①在和中，∴．∵，，∴，，∴，∴，∴，,∵，，∴，∴，∴，∴点为的中点．（3）在中，，∵是中点，∴，连接．∵垂直平分，∴．设，则，，由勾股定理得：，解得，∴．本题主要考查全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握这些性质及定理是解题的关键．18．（1）证明见解析；（2）当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形，理由见解析；（3），理由见解析．【解析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠OEC=∠OCE，证出EO=CO，同理得出FO=CO，即可得出EO=FO；（2）由对角线互相平分证明四边形CEAF是平行四边形，再由对角线相等即可得出结论；（3）由已知和（2）得到的结论，点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB,为直角时，则推出四边形AECF是矩形且对角线垂直，所以四边形AECF是正方形．（1）证明：∵，∴∠OEC=∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠OCE，∴∠OEC=∠OCE，∴EO=CO，同理：FO=CO，∴EO=FO；（2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；理由如下：由（1）得：EO=FO，又∵O是AC的中点，∴AO=CO，∴四边形CEAF是平行四边形，∵EO=FO=CO，∴EO=FO=AO=CO，∴EF=AC，∴四边形CEAF是矩形；（3）解：当点O运动到AC的中点时，且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．理由如下：∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，∠ACB=90°，，∴AC⊥EF，∴四边形AECF是正方形．本题考查的平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，矩形的判定，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键．19．（1）见解析；（2）OE＝OP，理由见解析；（3）见解析．【解析】（1）根据正方形的性质得到∠BOA=90°，OB=OA，根据矩形的性质、等角的余角相等得到,∠BOM=∠AON，利用AAS定理证明△BOM≌△AON，根据全等三角形的性质得到OM=ON，根据角平分线的判定定理证明结论；（2）证明△OBE≌△OAP，根据全等三角形的性质证明结论；（3）根据矩形的判定定理得到四边形EFGH为矩形，证明△ABE≌△ADH，得到BE=AH，AE=DH，根据正方形的判定定理证明即可．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOA＝90°，OB＝OA，∴∠BON+∠AON＝90°，∵∠AEB＝90°，OM⊥EM，ON⊥AE，∴四边形MENO为矩形，∴∠MON＝90°，∴∠BON+∠BOM＝90°，∴∠BOM＝∠AON，在△BOM和△AON中，，∴△BOM≌△AON（AAS），∴OM＝ON，∵OM⊥EM，ON⊥AE，∴EO平分∠AEB；（2）解：OE＝OP，理由如下：由（1）可知，△BOM≌△AON，∴∠OBM＝∠OAN，∴∠OBE＝∠OAP，在△OBE和△OAP中，，∴△OBE≌△OAP（SAS），∴OE＝OP；,（3）证明：∵CF⊥EB，DH⊥EA，∴∠F＝∠H＝∠AEB＝90°，∴四边形EFGH为矩形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠EAB+∠DAH＝90°，∠EAB+∠ABE＝90°，∠ADH+∠DAH＝90°，∴∠EAB＝∠HDA，∠ABE＝∠DAH．在△ABE与△ADH中，，∴△ABE≌△ADH（AAS），∴BE＝AH，AE＝DH，同理可得：△ABE≌△BCF，△ADH≌△DCG，△DCG≌△CBF，∴BE＝CF，AE＝BF，AH＝DG，DH＝CG，DG＝CF，CG＝BF，∴CG+FC＝BF+BE＝AE+AH＝DH+DG，∴FG＝EF＝EH＝HG，∴四边形EFGH为正方形．本题考查的是正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．20．（1）AD=AB+CD；（2）成立，理由见解析；（3）AD=AB+CD+1，理由见解析【解析】（1）在AD上截取AF=AB，连接EF，证明△AEF≌△AEB（SAS），得出∠AFE=∠B=90°，证明△DEF≌△DEC（AAS），得出FD=CD，即可得出结论；（2）在AD上截取AF=AB，连接EF，证明△AEF≌△AEB（SAS），得出∠AFE=∠B，再根据∠B+∠C=180°，∠AFE+∠DFE=180°，得出，证明△DEF≌△DEC（AAS），得出FD=CD，即可得出结论；（3）在AD上截取AF=AB，连接EF，DG=DC，连接GE，证明△AEF≌△AEB（SAS），再证明△EDC≌△EDG，从而得出△EFG为等边三角形，即可得出结论；（1）在AD上截取AF=AB，连接EF，如图所示：,∵AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA，∴∠BAE=∠FAE，∠CDE=∠FDE，在△AEF和△AEB中，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B=90°，∴∠DFE=90°，在△DEF和△DEC中，∴△DEF≌△DEC（AAS），∴FD=CD，∵AD=AF+FD，∴AD=AB+CD故答案为：AD=AB+CD；（2）成立，理由如下：在AD上截取AF=AB，连接EF，如图所示：,∵AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA，∴∠BAE=∠FAE，∠CDE=∠FDE，在△AEF和△AEB中，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∵∠B+∠C=180°，∠AFE+∠DFE=180°，∴∠DFE=∠C，在△DEF和△DEC中，∴△DEF≌△DEC（AAS），∴FD=CD，∵AD=AF+FD，∴AD=AB+CD；（3）AD=AB+CD+1，理由如下：在AD上截取AF=AB，连接EF，DG=DC，连接GE如图所示：,∵AE、DE分别平分∠DAB、∠CDA，∴∠BAE=∠FAE，∠CDE=∠FDE，在△AEF和△AEB中，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B=120°，BE=EF∴∠EFG=60°，在△DEG和△DEC中，∴△DEG≌△DEC，∴EC=EG，∠EGD=∠C=120°，∴∠FGE=60°，∴∠FEG=60°，∴△EFG为等边三角形∴EF=FG=GE∴BE=EC∵BC=2∴FG=1∵AD=AF+FG+DG，∴AD=AB+CD+1；,本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．21．（1）见解析；（2）∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，证明见解析；（3）四边形ACEF不可能是矩形，理由见解析【解析】（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质得EB=EC．由等边对等角得∠3=∠4，由等角的余角相等得∠1=∠2．可得AE=CE．由已知AF=CE，得△ACE和△EFA都是等腰三角形．易得AC∥FE，则∠1=∠5．得出∠AEC=∠EAF，可得AF∥CE．即可得四边形ACEF是平行四边形．（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．（3）当四边形ACEF是矩形时，有∠2=90°，而∠2与∠3互余．∠3≠0°，可知∠2≠90°．继而得到四边形ACEF不可能是矩形．（1）证明：∵ED是BC的垂直平分线，∴EB=EC．∴∠3=∠4．∵∠ACB=90°，∴∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，∴∠1=∠2．∴AE=CE．又∵AF=CE，∴△ACE和△EFA都是等腰三角形．∴AF=AE，∴∠F=∠5，∵FD⊥BC，AC⊥BC，∴AC∥FE．∴∠1=∠5．∴∠1=∠2=∠F=∠5，∴∠AEC=∠EAF．∴AF∥CE．∵AF＝CE，AF∥CE∴四边形ACEF是平行四边形．,（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠1=∠2=60°．∴△EAC为等边三角形，∴AC=EC．∴平行四边形ACEF是菱形．（3）解：四边形ACEF不可能是矩形．理由如下：由（1）可知，∠3=∠4．∠2与∠4互余，∴∠2与∠3互余，∠3≠0°，∴∠2≠90°．∴四边形ACEF不可能是矩形．本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的判定，菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．22．（1）4；（2）2；（3）36，不论P、Q怎样运动总有四边形PBQD的面积等于长方形ABCD面积的一半．【解析】（1）由AB、PB的长可求得AP的长，则可求得t的值；（2）根据等腰直角三角形的性质可求得PB=BQ，则可得到关于t的方程，可求得t的值；（3）可用t分别表示出S△APD、S△QCD，再利用面积的和差可求得四边形PBQD的面积，则可求得结论．（1）∵PB=2cm，AB=6cm，∴AP=AB-PB=6-2=4cm，4÷1=4s，即点P移动4秒；（2）∵△PBQ为等腰直角三角形，∴PB=BQ，即6-t=2t，解得t=2，∴当t的值为2秒时，△PBQ为等腰直角三角形；（3）由题意可知AP=t，AB=6，BQ=2t，BC=12，,∴PB=6-t，QC=12-2t，CD=6，AD=12，∴S△APD=AP•AD=t×12=6t，S△QCD=QC•CD=(12-2t)×6=36-6t，∴S四边形PBQD=S矩形ABCD-S△APD-S△QCD=72-6t-（36-6t）=36，结论：不论P、Q怎样运动总有四边形PBQD的面积等于长方形ABCD面积的一半．本题为四边形的综合应用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、方程思想及转化思想．用t表示出相应线段的长度，化动为静是解决这类运动型问题的一般思想．23．（1）(0，5)；（2）见解析；（3）不变化，见解析【解析】（1）设：OE=PE=a，则AE=8-a，AP=4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，即可求解；（2）∠EOP=∠EPO，而∠EPH=∠EOC=90°，故∠EPH-∠EPO=∠EOC-∠EOP，即∠POC=∠OPH，又因为AB//OC，故∠APO=∠POC，即可求解；（3）过O作OQ⊥PH，垂足为Q．证明△AOP≌△QOP、△OCH≌△OQH，即可求解．解：（1）设：OE=PE=a，则AE=8-a，AP=4，在Rt△AEP中，由勾股定理得：PE2=AE2+AP2，即a2=(8-a)2+16，解得：a=5，故点E(0，5)，故答案为：(0，5)；（2）证明：∵PE=OE，∴∠EOP=∠EPO．又∵∠EPH=∠EOC=90°，∴∠EPH-∠EPO=∠EOC-∠EOP，即∠POC=∠OPH．又∵AB//OC，∴∠APO=∠POC，∴∠APO=∠OPH；（3）不变化，解：如图，过O作OQ⊥PH，垂足为Q．,由（2）知∠APO=∠OPH，在△AOP和△QOP中，，∴△AOP≌△QOP（AAS），∴AP=QP，AO=OQ．又∵AO=OC，∴OC=OQ．在Rt△OCH和Rt△OQH中，∴△OCH≌△OQH（HL），∴CH=QH．∴△PBH的周长=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16，∴△PBH的周长不发生变化．此题主要考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、以及勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．24．2【解析】利用矩形的性质、翻折的性质分别求出当点P与点D重合时，的最大值，和当点Q与点B重合时，的最小值即可得．四边形ABCD是矩形，，，,由题意，有以下两个极端位置：（1）如图1，当点P与点D重合时，取得最大值，由翻折的性质得：；（2）如图2，点Q与点B重合时，取得最小值，由翻折的性质得：，在中，，；则点在边上可移动的最大距离为，故答案为：2．．本题考查了矩形的性质、翻折的性质等知识点，依据题意，正确求出的最大值与最小值是解题关键．25．③【解析】利用垂直的定义和分类讨论的方法可对①进行判断；根据对顶角的性质可对②进行判断；根据等腰梯形的性质可对③进行判断；根据三角形中位线的性质、矩形的性质和菱形的判定方法可对④进行判断．解：一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等或互补，故①错误；对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，故②错误；等腰梯形是轴对称图形，故③正确；顺次连接矩形的各边中点一定构成菱形，故④错误；故答案为：③．本题考查垂直的定义、对顶角的性质、轴对称的定义、矩形和菱形的判定与性质，熟练掌握各定义和性质是解题的关键．26．【解析】,如图，连接EB．证明△AEB是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE，EB，EC即可．如图，连接EB．由作图可知，MN垂直平分线段AB，∴EA=EB，∴∠A=∠EBA=45°，∴∠AEB=90°，∵AB=2，∴EA=EB=，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=90°，∴EC=故答案为：本题主要考查菱形的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练掌握上述三个性质，是解题的关键．27．或【解析】分两种情况，画出图形，证出CE=AE，由勾股定理求出CD即可．解：分两种情况：①当CD＜BC时，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，,∴∠ADC=90°，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ACE，∴∠DAC=∠ACE，∴CE=AE=AD=DE=4-1=3，∴；②当CD＞BC时，如图2所示：同①得：CE=AE=AD+DE=4+1=5，∴；故答案为：或．本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明CE=AE是解题的关键．28．或【解析】根据题意，为等腰三角形，可分为两种情况进行分析：①当AE=DE时；②当AD=DE时；分别求出顶角的度数即可．解：根据题意，∵为等腰三角形，则可分为两种情况；①当AE=DE时，如图：,∵在矩形中，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，AD=BC，∵AE=DE，∴△ABE≌△DCE，∴BE=CE，∵，∴AB=BE=CE=CD，∴∠AEB=∠DEC=45°，∴∠AED=90°；②当AD=DE时，如图：在矩形ABCD中，有∠B=∠C=90°，AB=CD，∵，AD=DE，∴，∵△CDE是直角三角形，∴∠DEC=30°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC=30°；综合上述，顶角的度数为或．故答案为：或．本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，30度直角三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，注意运用分类讨论和数形结合的思想．29．25【解析】连接ON，OF，则x2+（x+DO）2=25，y2+（y-DO）2=25，整理可得x2+y2=25，即可求正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和．解：连接ON，OF,设CN=x，EF=y，则x2+（x+DO）2=25，①y2+（y-DO）2=25，②①-②化简得（x+y）（x+DO-y）=0，因为x+y＞0，所以x+DO-y=0，即y=DO+x，代入②，得∴x2+y2=25，故答案为25．本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形各边长相等、各内角为直角的性质，本题中化简求得x2+y2=25，是解题的关键．30．【解析】根据折叠的性质得到（图1），进而可得，继而可得（图3中），△ABG是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出AG即可．解：由折叠的性质可知，，，，图3中，由操作可得，，，，，由勾股定理得，，故答案为：．本题主要考查了翻折变换、矩形的性质和勾股定理．翻折对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解题关键是得出△ABG是等腰直角三角形．31．50【解析】,先判断出△ECP是等腰直角三角形，进而求出PE，再判断出四边形PEGH是矩形，进而求出GH，即可得出结论．解：如图，∵四边形EFGH是正方形，∴∠G=90°，过点P作PE∥FH交BC于E，∴∠PEC=∠HFC=45°，∴∠CPE=90°-∠PEC=45°，∴CE=CP=5，∴PE=PC=，∵∠DPQ=45°，∴∠EPQ=180°-∠CPE-∠DPQ=90°，∵阴影部分是正方形，∴∠PHG=∠EGH=90°，∴四边形EPHG为矩形，∴GH=PE=，∴S阴影=GH2=（）2=50，故答案为：50．此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，求出PE是解本题的关键．32．【解析】连接，．求出，，根据即可解决问题．,解：如图，连接，．四边形是正方形，，，，，关于直线对称，，，的最大值为．故答案为：．本题考查了正方形的性质，轴对称变换、线段和最值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．33．（1346，0）【解析】连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2019＝336×6＋3，因此点B3向右平移1344（即336×4）即可到达点B2019，根据点B3的坐标就可求出点B2019的坐标．解：连接AC，如图所示．∵四边形OABC是菱形，∴OA＝AB＝BC＝OC．∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB．∴AC＝OA．∵OA＝1，∴AC＝1．,画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示．由图可知：每翻转6次，图形向右平移4．∵2019＝336×6＋3，∴点B3向右平移1344（即336×4）到点B2019．∵B3的坐标为（2，0），∴B2019的坐标为（2＋1344，0），∴B2019的坐标为（1346，0）．故答案为：（1346，0）．本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．34．且【解析】根据条件先判定四边形为平行四边形，再由可判定其为菱形，最后由可得其为正方形．解：满足的条件应为：且．理由：∵，，，分别是边、、、的中点∴在中，为的中位线∴且同理且则且∴四边形为平行四边形又∵∴∴四边形为菱形∵，∴,∵∴∴∴菱形是正方形．故答案是：且本题考查了中点四边形的性质、三角形中位线的性质、平行四边形的判定、菱形的判定、正方形的判定、平行线的判定与性质等，解题的关键是能利用中位线的性质得到且．35．【解析】根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA=AC=5，在Rt△AOB中，BO=，则BD=2BO=，故=AC×BD=．故答案为：．本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是掌握菱形对角线互相垂直且平分，及菱形的面积等于对角线乘积的一半．36．9【解析】根据图形折叠的性质可知AB=AF，BE=EF，再由△AFD的周长为7，△ECF的周长为2，得出AD+BC+AB+CD=9，即可得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，由折叠的性质得：AF=AB，EF=BE，∵△AFD的周长为7，△ECF的周长为2，∴AD+DF+AF=7，CF+CE+EF=2，,∴AD+DF+AB+CF+CE+BE=9，∴AD+BC+AB+CD=9，故答案为：9．本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及三角形周长；熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质是解题的关键．37．①②③④．【解析】由，结合四边形的内角和定理可判断①正确；如图，取的中点连接证明可得：再证明：利用可判断②正确；由利用垂线段最短可判断③正确；如图，作点关于的对称点可得延长过作交的延长线于再证明，可得再证明：利用三角形三边关系可判断④正确．解：，故①正确；如图，取的中点连接,故②正确；由垂线段最短可得：，故③正确；如图，作点关于的对称点则延长过作交的延长线于在与中，由②可得：同②理可得：,由三角形三边的关系可得：＞，故④正确；综上：正确的有：①②③④．故答案为：①②③④．本题考查的是三角形三边之间的关系，四边形的内角和定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，掌握以上知识是解题的关键．38．16．【解析】过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE，交ED延长线于N，根据正方形的性质和AAS证明△COM≌△DON，再利用勾股定理进行解答，即可得到答案．解：过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE，如图：∵，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON=90°，∵∠COD=90°，∴∠COM+∠MOD=∠MOD+∠DON=90°，,∴∠COM=∠DON，∵OC=OD，∠CMO=∠DNO=90°，∴△COM≌△DON，∴OM=ON，∴四边形OMEN是正方形；设，则，∵，，∴，∴，∵，∴；，∵，∴，解得：，∴；故答案为：16．此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是掌握所学的知识进行分析，再由勾股定理进行解题．39．【解析】根据重心是三角形三边中线的交点，且重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，即可求出答案．如图所示，作，三边中线的交点为，取、的中点、，连接、、、．,，分别是，的中点，，，，分别是，的中点，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，直角三角形斜边长为，斜边上的中线长为，即，三角形的重心到斜边中点的距离．故答案为：．本题考查了三角形重心的性质以及直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半，明确重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为是解题的关键．40．①②③．【解析】先判断出∠DAE＝∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE＝∠DCE＝，∠ABH＝∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到①正确；根据三角形的外角求出∠AEF＝，得出②正确；结合①②可得DF＝DE，根据AH＝DF即可得③正确；连接HE，判断出S△EFH≠S△EFD得出④错误．∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABE＝∠ADE＝∠CDE＝，AB＝BC，,∵BE＝BC，∴AB＝BE，∵BG⊥AE，∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH＝∠DBH＝，在Rt△ABH中，，∵∠AGH＝，∴∠DAE＝∠ABH＝，在△ADE和△CDE中，，∴△ADE≌△CDE（SAS），∴∠DAE＝∠DCE＝，∴∠ABH＝∠DCF，在Rt△ABH和Rt△DCF中，，∴Rt△ABH≌Rt△DCF（ASA），∴AH＝DF，∠CFD＝∠AHB＝，∵∠CFD＝∠EAF+∠AEF，∴＝+∠AEF，∴∠AEF＝，故①②正确；∵∠FDE＝，∠DFE＝∠FAE+∠AEF＝＝，∴∠DEF＝，∴DF＝DE，∵AH＝DF，∴AH＝DE，故③正确；如图，连接HE，,∵BH是AE垂直平分线，∴AG＝EG，∴S△AGH＝S△HEG，∵AH＝HE，∴∠AHG＝∠EHG＝，∴∠DHE＝，∵∠ADE＝，∴∠DEH＝，∠DHE＝∠HDE＝，∴EH＝ED，∴△DEH是等腰直角三角形，∵EF不垂直DH，∴FH≠FD，∴S△EFH≠S△EFD，∴S四边形EFHG＝S△HEG+S△EFH＝S△AHG+S△EFH≠S△DEF+S△AGH，故④错误，∴正确的是①②③，故答案为：①②③．本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及三角形的内角和与外角和的应用，推断△ADE≌△CDE和作出辅助线是本题的关键，综合性较强．
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