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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(25)一、单选题1．若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（ ）A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形2．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，则菱形的周长等于（ ）A．40B．C．24D．203．如图，平行四边形的对角线与相交于点，添加一个条件不能使平行四边形变为矩形的是（）A．B．C．D．4．如图，平行四边形的对角线相交于点下列结论正确的是（）A．B．C．D．是轴对称图形5．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为若，则的度数为（）．,A．B．C．D．6．小林在测量如图所示的四边形ABCD时，测得该四边形的面积为32cm2，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，他马上得到AC的长度为（）A．4cmB．8cmC．10cmD．8cm7．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角相等B．对角线互相垂直C．对角线相等D．对边平行8．如图，在中，，、分别是斜边上的高和中线，那么下列结论中错误的是（）．A．B．C．D．二、解答题9．如图，在平面直角坐标系中，，过点A的直线交于点D，交y轴与点G，的面积为面积的．（1）求点D的坐标；（2）过点C作，交交于F，垂足为E．求证：；,（3）若，在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．10．在正方形中，对角线、交于点，以为斜边作直角三角形，连接．（1）如图所示，易证：；（2）当点的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段、、之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明．11．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，．（1）求证：四边形是矩形．（2）若，，，求证：平分．12．已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．(1)求证：△ABD≌△ACF；,(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．13．如图1，像这样，由和组合成的封闭图形，我们称之为K型GHMNQ．在平面直角坐标系中，，，点C，D，E分别在线段AB，AO，BO上运动，且ADCEB为K型．（1）如图2，若点D运动到点O时，过点O作，交CE的延长线为F，连接BF，求证：；（2）如图3，若C是AB的中点，当为等腰三角形时，请直接写出AD的长．14．如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且点E、F不与点B、C、D重合．（1）证明：不论点E、F在边BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在边BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出四边形AECF的面积；如果变化，请说明理由．15．（方法引领）如图1，点E、F分别是正方形ABCD的BC、CD边上的动点，连接AE、AF和EF，∠EAF=45°．若BE=2，DF=3，求EF的长．聪聪同学的思路是：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，证明△AEF≌△AE’F从而得到EF=E’F．请你帮助聪聪同学完成解题过程．（灵活应用）如图3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D、E在边AB上，且∠DCE=45°．若AD=2，BE=3，求DE的长．,（拓展提升）如图4，△ABC中∠BAC=45°，AD⊥BC于点D．若CD=2，BD=3，请直接写出△ABC的面积．16．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE＝1，DE＝2，AE＝4．（1）求证：∠ADC＝90°；（2）求DF的长．17．如图ABC中，AD是高，CE为中线，DC=BE，DG⊥CE于G点，求证：（1）G为CE的中点．（2）∠B=2∠BCE．18．如图，矩形ABCD对角线AC，BD相交于O，OE⊥BC，垂足为E．,（1）求证：．（2）若点F是OD的中点，连接EF交OC于点G，连接AF．①求证：GE＝GF．②若AF＝EF，求证：四边形ABCD是正方形．19．如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AB上，且BE=2，四边形EFGH为菱形，且点F，H分别在边BC，AD上．（1）当点F的位置如图1所示，请用尺规作出菱形EFGH．（保留作图痕迹，不写作法）（2）若菱形EFGH为正方形，求四边形EFGH的面积．20．已知△ABC如图所示，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，四边形BEFD是菱形．（1）请你在图中作出符合题意的菱形BEFD；（要求尺规作图，并保留作图痕迹）（2）证明你所画的四边形BEFD是菱形．21．如图，中，，是的中点，、分别是、边上的点，且,．（1）求证：．（2）若为的中点，且，求的长．22．如图，一架25米长的梯子，斜靠在竖直的墙上，梯子底端到墙底端的距离为7米．（1）若梯子的顶端沿墙面下滑4米，那么底端将向外移动多少米？请写出解题过程．（2）在梯子滑动过程中，上是否存在点，它到墙底端的距离保持不变？若存在，请求出的长；如果不存在，请说明理由．23．如图，正方形的对角线交于点，点、分别在、上（），且，、的延长线交于点，、的延长线交于点，连接．（1）求证：．（2）若正方形的边长为4，为的中点，求的长．三、填空题24．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝5，点E是射线CD上的一个动点，把△BCE沿BE折叠，点C的对应点为F．若点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则线段CE＝,___________．25．长相等的两个正方形、如图摆放，正方形的边、在坐标轴上，交线段于点，的延长线交线段于点，连，已知长为，，，在直线上找点，使以、、为顶点的三角形是等腰三角形，点的坐标为___________．26．如图，菱形ABCD的边长为6，，对角线BD上有两个动点E、F（点E在点F的左侧），若，则的最小值为________．27．七年级某班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．小明同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝10cm，宽AB＝8cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，则EC的长度为___________________．,28．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角钱OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3……以此类推，则正方形OB2020B2021C2021的顶点B2021的坐标是________．29．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，若∠DHO=20°，则∠HDB的度数是________．30．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为___________．,,【答案与解析】1．A【解析】根据顺次连接四边形各边中点，所得的图形是平行四边形；顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得的图形是菱形；顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得的图形是矩形；顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点，所得的图形是正方形；即可选出答案．解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，∵AC＝BD，∴EH＝FG＝FG＝EF，∴四边形EFGH是菱形．故选：A．本题主要考查中点四边形、三角形中位线定理、菱形的判定，牢记中点四边形的结论，会应用三角形中位线定理对中点四边形进行推导是解题的关键．2．D【解析】根据菱形的性质可求得BO、AO的长，AC⊥BD，根据勾股定理可求出AB，进而可得答案．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，，，AC⊥BD，则在Rt△ABO中，根据勾股定理得：，∴菱形ABCD的周长=4×5=20．故选：D．本题考查了菱形的性质和勾股定理，属于基础题目，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．3．C,【解析】据矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可．解：A、AC=BD时，可得到平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、DA⊥AB时，∠BAD=90°，平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、AB=BC时，可判断平行四边形ABCD是菱形而不一定是矩形，故选项C选项符合题意；D、∠OAB=∠OBA时，OA=OB，∴AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；故选：C．此题考查的是平行四边形的性质、矩形的判定以及等腰三角形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解答此题的关键．4．A【解析】根据平行四边形的定义和性质解题．解：由平行四边形的性质可知△AOB≌△COD，∴A正确；AC=BD是矩形的性质，不是一般平行四边形的性质，∴B不正确；AC⊥BD是菱形的性质，∴C不正确；ABCD是轴对称图形是矩形或菱形的性质，∴D不正确；故选A．本题考查平行四边形的应用，熟练掌握平行四边形的性质和定义是解题关键．5．B【解析】根据折叠的性质和平行线的性质，可以得到和的度数，然后即可得到的度数．解：由折叠的性质可得，，，，，，，，,．故选：B．本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．B【解析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题．解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；∵∠BAD=∠BCD=90°∴四边形AMCN为矩形，∠MAN=90°；∵∠BAD=90°，∴∠BAM=∠DAN；在△ABM与△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM=AN，△ABM与△ADN的面积相等，∴四边形AMCN为正方形，∴四边形ABCD的面积=正方形AMCN的面积；由勾股定理得：AC2=AM2+MC2，而四边形ABCD的面积为32cm2；∴2×32=AC2，可得；AC=8，故答案为：8．本题主要考查了全等三角形的判定及其性质、正方形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形和正方形．7．C,【解析】首先总结出矩形的各个性质，然后总结出菱形的性质，最后比较可得矩形具有菱形不具有的性质．解：矩形的对角线相等，对边平行且相等，对角也相等，菱形的对角相等，对角线互相垂直平分，对边平行且相等，于是可得矩形具有菱形不具有的性质是对角线相等，故选：C．本题主要考查矩形的性质和菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握矩形的性质，此题难度不大．8．D【解析】根据余角的性质和直角三角形斜边中线的性质可得，AM=BM=CM，然后根据等腰三角形的性质和角的代换即可判断A、B、C三项，由题意得不出，进而可判断选项D，于是可得答案．解：在中，∵，、分别是斜边上的高和中线，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，AM=BM=CM，∴，∠MCB=∠B，故选项A正确；∴，故选项C正确；∴，故选项B正确；而由题意得不出，故选项D错误；故选：D．本题考查了直角三角形的性质和等腰三角形的性质，属于基本题目，熟练掌握上述知识是解题的关键．9．（1）；（2）证明见详解；（3）若，在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，此时点的坐标为：、或【解析】（1）与是同底三角形，由面积之比即为对应高的比即可求得点的纵坐标，再由等腰直角三角形的性质、线段的和差可求得点的横坐标，即可得解；（2）利用角边角定理判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）分“当、，即为等腰直角三角形时、当、,，即为等腰直角三角形时、当、，即为等腰直角三角形时”三种情况进行讨论，分别利用角角边定理证得“、、”，再根据全等三角形的性质、线段的和差即可求得答案．解：（1）过点作，如图：∵的面积为面积的∴∴∵∴∵，∴在中，∴在中，∴∴∴点的坐标为：．（2）过点作，交交于，垂足为，如图：,∴∵∴∴在和中，∴∴．（3）①当、，即为等腰直角三角形时，过点作于，过点作于，如图：∴∵∴四边形是矩形∴∴,∵∴∴∴在和中，∴∴，∴四边形是正方形∴∵∴，即∴∵∴∴∴∴∴∴点的坐标是；②当、，即为等腰直角三角形时，过点作于，如图：,∴∴∵∴∴∴在和中，∴∴，∴∴点的坐标是；③当、，即为等腰直角三角形时，过点作于，如图：∴∴∴∴∴∴在和中，,∴∴，∴∴点的坐标是．∴综上所述，若，在第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，此时点的坐标为：、或．本题考查了坐标与图形的性质的应用、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式、全等三角形的判定和性质、线段的和差、直角三角形两锐角互余、同角的余角相等、矩形正方形的判定和性质等，渗透了分类讨论的数学思想，有一定的难度．10．（1）见解析；（2）第二幅图：，第三幅图：【解析】（1）在CP上截取CE=BP，连接OE，记OB与CP交于点F，根据正方形的性质证明，得到是等腰直角三角形，所以有，从而证得；（2）第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在BP上截取BE=CP，连接OE，记OC与BP交于点F，证明，得到是等腰直角三角形，可以证得；第三幅图的结论是，证明方法一样是构造三角形全等，由可以证出结论．解：（1）如图，在CP上截取CE=BP，连接OE，记OB与CP交于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，，∵，,∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴；（2）第二幅图：，第三幅图：，证明第二幅图的结论：如图，在BP上截取BE=CP，连接OE，记OC与BP交于点F，同（1）中证明的过程证明，同理是等腰直角三角形，∴，∴；,第三幅图的证明过程是：如图，延长PB至点E，使BE=CP，证明，得到是等腰直角三角形，∴，∵，∴．本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角形的方法．11．（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）由题意可证四边形是平行四边形，于点，根据矩形的判定定理推出即可．（2）根据勾股定理可得AD=5，结合已知条件可知AD=DF=5，根据等腰三角形性质可得，再根据可得，通过等量转换可证平分．证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴，即，∵，∴四边形是平行四边形，∵于点，∴，∴四边形是矩形．（2）∵于点，在中，，，∴，,∴AD=DF，∴，∵，∴（两直线平行内错角相等），∴，∴平分．本题重点考查了利用平行四边形的性质证明角平分线，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，运用等腰三角形的判定与性质得出是解题关键．12．(1)证明见解析；(2)【解析】（1）由题意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，则有∠DAB＝∠FAC，进而可证AB＝AC，然后问题可证；（2）由（1）可得△ABD≌△ACF，则有∠ABD＝∠ACF，进而可得∠ACF＝135°，然后根据正方形的性质可求解．(1)证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠FAC，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABD≌△ACF(SAS)；(2)解：由(1)知△ABD≌△ACF，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝135°，由(1)知∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，∵正方形ADEF边长为，,∴DF＝4，∴OC＝DF＝×4＝2．本题主要考查正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．13．（1）见解析；（2）3或6或【解析】（1）先判断出∠OCF＝45°，进而得出OC＝OF，即可得出结论；（2）分三种情况利用等腰三角形的性质即可得出结论．解：（1）如图1，，，∴∴，ADCEB为K型，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴．（2）由（1）知，∠DCE＝45°，∵△CDE是等腰三角形，从以下三种情况进行讨论：①当CD＝ED时，∠CED＝∠DCE＝45°，∴∠CDE＝90°．此时，点D是OA中点，点E和点O重合，即：AD＝OA＝3．,②当CE＝DE时，∠CDE＝∠DCE＝45°，∴∠CED＝90°．此时点E是OB中点，点D和O重合，即：AD＝AO＝6．③当CD＝CE时，∠CDE＝∠CED＝（180°−∠DCE）＝67.5°，如图，过点C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，∵∠AOB＝90°，∴CM∥OB，CN∥OA．∵点C是AB中点，∴CM＝OB，CN＝OA，∴CM＝CN，易知，四边形OMCN是正方形，∴OM＝ON，在Rt△CMD和Rt△CNE中，∵CD＝CE，CM＝CN，∴Rt△CMD≌Rt△CNE（HL）．∴∠DCM＝∠ECN．∵∠MCN＝90°，∠DCE＝45°，∴∠DCM＝∠ECN＝22.5°．∴∠CDM＝67.5°，∵∠ACM＝∠ABO＝45°，∴∠ACD＝∠ACM＋∠DCM＝67.5°．,∴∠ACD＝∠CDM．∴AD＝AC 在Rt△AOB中，OA＝OB＝6，∴AB＝，∠ABO＝45°．∵点C是AB中点，∴AC＝．∴AD＝AC＝．即：满足条件的AD的长为：3或6或．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定条件等知识，掌握全等三角形的判定方法和利用分类讨论的方法是解本题的关键．14．（1）见解析；（2）成立，，理由见解析．【解析】（1）如图，先证出∠1=∠3，AB=AC，再证出△ABC、△ACD为等边三角形，得∠ABC=∠4=60°，进而证出△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF；（2）根据△ABE≌△ACF可得，根据，计算出，即可解题.（1）证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，∴∠1+∠EAC=60°，∵△AEF为正三角形，∴∠3+∠EAC=60°，∴∠1=∠3，∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD为等边三角形，∴∠4=60°，AC=AB，∴在△ABE和△ACF中，,，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE=CF；（2）四边形AECF的面积不变，理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，则，∴，是定值，作AH⊥BC于H点，∵△ABC为等边三角形，∴BC=AB=4，BH=AB=×4=2，∴AH=∴=BC·AH=×4×2=4．【考点】本题考查菱形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，三角形全等的判定，以及面积的计算，本题应用ASA判断△ABE和△ACF全等以及正确的做辅助线是解题关键．15．方法引领：EF=5，过程见解析；灵活应用：DE=；拓展提升：【解析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE′，根据旋转的性质，判定△AEF≌△AE′F（SAS），得出EF=E′F，进而得到E′F=E′D+DF=BE+DF=5，即EF=5；（2）△ACD绕点C逆时针旋转90°，得△BCF，连接EF，判定△DCE≌△FCE（SAS），得出DE=EF，最后在△BEF中，根据勾股定理求得EF的长，即可得出结论；（3）△ABD绕点A逆时针旋转90°，得△AFQ，延长FQ，BC，交于点E，连接CQ，判定△BAC≌△QAC（SAS），得到BC=CQ=BD+CD=5，再设AD=x，在Rt△CQE中，运用勾股定理列出关于x,的方程，求得x的值，最后根据△ABC的面积=×BC×AD，进行计算即可．解（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得△ADE′，则AE=AE′，∠BAE=∠DAE′，∠ADE′=90°=∠ADF，∴E′、D、F在同一直线上，∵正方形ABCD中，∠EAF=45°，∴∠BAE=∠DAF=45°=∠DAE′+∠DAF=∠E′AF∴∠EAF=∠E′AF又∵AF=AF∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF=E′F，∴E′F=E′D+DF=BE+DF=5，∴EF=5（2）如图3，△ACD绕点C逆时针旋转90°，得△BCF，连接EF，∴CD=CF，BF=AD=2，∠DCF=90°，∠CBF=∠A=45°，∵∠DCE=45°，∠ACB=90°，∴∠FCE=45°，在△DCE和△FCE中∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=FE，在△BEF中，∵∠EBC=45°，∠CBF=45°,∴∠EBF=90°，∴EF=，,∴DE=；（3）△ABC的面积为15，理由：如图4，△ABD绕点A逆时针旋转90°，得△AFQ，延长FQ，BC，交于点E，连接CQ，由旋转可得，△ABD≌△AQF，∴AB=AQ，∠BAD=∠FAQ，BD=QF=3，∠F=∠ADC=∠DAF=90°=∠E，∵∠BAC=45°，∴∠BAD+∠DAC=45°，∴∠FAQ+∠DAC=45°，又∵∠DAF=90°∴∠CAQ=45°，∴∠BAC+∠CAQ在△BAC和△QAC中∴△BAC≌△QAC（SAS）∴BC=CQ=BD+CD=5，设AD=x，则QE=x-3，CE=x-2在Rt△CQE中，CE2+QE2=CQ2∴(x-2)2+(x-3)2=52解得x1=6，x2=-1（舍去），∴AD=6，∴△ABC的面积=×BC×AD=．本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理以及正方形、等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行计算求解．解题时注意方程思想的运用．16．（1）见解析；（2）DF＝．【解析】（1）利用勾股定理的逆定理，证明△ADC是直角三角形，即可得出∠ADC是直角；（2）根据三角形的中线的定义以及直角三角形的性质解答即可．,（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED＝∠CED＝90°，在Rt△ADE中，∠AED＝90°，∴AD2＝AE2+DE2＝42+22＝20，同理：CD2＝5，∴AD2+CD2＝25，∵AC＝AE+CE＝4+1＝5，∴AC2＝25，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC＝90°；（2）∵AD是△ABC的中线，∠ADC＝90°，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC＝5，在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∵点F是边AB的中点，∴DF＝．本题考查了直角三角形的性质与判定，熟记勾股定理与逆定理是解答本题的关键．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）证是的中点，即，可证它们所在的三角形全等，即连接，证；（2）由（1）知：是等腰三角形，则，根据三角形外角的性质可得．证明：（1）连接，，是的中点，,是斜边上的中线，即；；又，，，是的中点．（2）由（1）知：；，；．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，作出辅助线是解题的关键．18．（1）证明见解析；（2）①证明见解析，②证明见解析．【解析】（1）根据矩形的性质证出OC=OB，再根据等腰三角形三线合一得到E为BC的中点，即可证明．（2）①取OC中点H，连接FH，EH，证明四边形OEHF是平行四边形即可得到GE＝GF．②连接FC，根据条件得出FC=AF，从而得到OF⊥AC，即可证明四边形ABCD是正方形．（1）证：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OC=AC，OB=BD．∴OC=OB.∵OE⊥BC∴E为BC的中点.∴OE=CD．(2)①取OC中点H，连接FH，EH,∵F为OD中点，∴FH∥CD，且FH=CD.由（1）知OE=CD，OE∥CD，∴OE∥FH，OE=FH，∴四边形OEHF是平行四边形.∴GE＝GF．②证：连接FC，作FM∥CD交BC于M点∵四边形ABCD是矩形∴∠BCD=90°∴∠FMB=∠BCD=90°∵FM∥CD∴∵F为OD中点，∴∴M为EC中点．∴FC=EF.∵AF=EF∴AF=FC∵O为AC中点，∴OF⊥AC.即BD⊥AC四边形ABCD是正方形．,此题主要考查了矩形及等腰三角形的性质以及平行四边形、正方形的判定，理解题意并作出辅助线是解题的关键．19．（1）作图见解析；(2)【解析】（1）以E为圆心EF为半径作弧交AD于H，以F为圆心EF为半径作弧，以H为圆心EF为半径作弧，两弧交于点G，顺次连接得到菱形EFGH；（2）证明△BEF≌△AHE，得到BF=AE=4，然后根据勾股定理计算出，即可求出四边形EFGH的面积．解：（1）如图四边形EFGH就是所求作的图形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AEH+∠AHE=90°，如图，四边形EFGH为正方形，∴EF=GH，∠HEF=90°，∴∠AEH+∠BEF=90°，∴∠BEF=∠AHE，∴△BEF≌△AHE，.∴BF=AE，∵AE=AB-BE=6-2=4，∴BF=4，,在Rt△BEF中，∴，∴四边形EFGH的面积为20．本题是四边形的综合题，主要考查菱形、矩形和正方形的性质，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键．20．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）作△ABC的角平分线BF，作线段BF的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接DF，EF，四边形BEFD即为所求；（2）根据角平分线的性质得出∠ABF=∠CBF，再根据线段垂直平分线的性质得出∠CBF=∠DFB，∠ABF=∠EFB，最后根据菱形的判定解答即可．解：（1）如图，BEFD就是符合题意的菱形．（2）证明：由（1）可知，BF是∠ABC的角平分线∴∠ABF=∠CBF∵DE是线段BF的垂直平分线∴DB=DF，EB=EF∴∠DBF=∠DFB，∠EBF=∠EFB∴∠CBF=∠DFB，∠ABF=∠EFB∴DF∥BC，EF∥AB∴四边形BEFD是平行四边形又∵DB=DF∴四边形BEFD是菱形．,本题考查了平行四边形的判定及菱形的判定，线段垂直平分线的性质，复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．21．（1）证明见解析；（2）5.【解析】（1）由等腰三角形判断△BDM≌△CEM（SAS）即可解题（2）连接AM，利用等腰三角形的性质得到，利用直角三角形中线的性质，D为AB的中点，求出即可解题．（1）∵，∴，∵是的中点，∴，在和中，，∴，∴．（2）连接，∵且为中点，∴．∴．∵，，∴，即．∵为中点，∴为中点．∵在中，，∴．∵且，∴．,∴．本题考查了全等三角形判定、等腰三角形性质和直角三角形中线性质，关键在于熟练运用性质与定理证明.22．（1）8米；（2）存在，【解析】（1）在直角三角形ABO中，已知AB，BO根据勾股定理即可求AO的长度，根据AO=AA1+OA1即可求得OA1的长度，在直角三角形A1B1O中，已知AB=A1B1，OA1即可求得OB1的长度，根据BB1=OB1-OB，即可求得BB2的长度；（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可．解：如图，在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：AO==24（米）；∵AO=AA1+OA1∴OA1=24米-4米=20米，∵在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，∴由勾股定理得：OB1==15米，,∴BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米．（2）AB的中点P到O的距离始终不变，【点评】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，本题中求OB1的长度是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由正方形的性质和垂直的性质得到，根据ASA证明得到，根据全等三角形的性质即可求证；（2）过点作于点，根据等腰直角三角形的性质得到，根据为的中点得到HM=4，根据勾股定理求得OM的长，然后根据等腰直角三角形的边角关系即可求得MN．（1）∵四边形是正方形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）如图，过点作于点，∵正方形的边长为4，∴，∵为的中点，,∴，则，∴．本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的边角关系，重点是掌握等腰直角三角形的边角关系，是常用考点．24．或．【解析】分两种情形求解：如图当点E在线段CD上时，MN是线段AB的中垂线，先求解设EF=CE=x．在Rt△EFN中，根据，构建方程即可解决问题．当点E在CD的延长线上时，画出图形，同法可求的长．解：当点E在线段CD上时，如图，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x．在Rt△BFM中，∵∠BMF=90°，BM=3，BF=BC=5，∴∵MN=BC=5，∴，在Rt△EFN中，∵，∴∴．当点E在CD的延长线上时，,如图，MN是线段AB的中垂线，设EF=CE=x．在Rt△BFM中，∵∠BMF=90°，BM=3，BF=BC=5，∴∵MN=BC=5，∴，在Rt△EFN中，∵，∴∴．综上所述，CE的长为或．故答案为：或．本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，垂直平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键．25．或．【解析】在中，由，，根据勾股定理求出OG的长，先求出点G坐标，根据题意，分两种情况：如图1，当点M在y轴的负半轴上时；如图2，当点M在GP延长线上时，作GH⊥AB于点H，通过全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出点M为所求的点，再结合点A、点G的坐标即可求出点M的坐标．解：∵在中，，，∴,∴G点坐标为．如图1，延长GE交轴于点M，∵△AOG≌△ADG，,∴，又∵，，∴，∵，∴,在△AOG和△MOG中，∴，∴AG＝MG，∴△AGM为等腰三角形，∵点A坐标为，∴点M坐标为．如图2，延长GP与AB的延长线交于点M，作GH⊥AB于点H．,在Rt△AOG和Rt△ADG中，∴△AOG≌△ADG（HL）．∴∵∠1=∠2∴∠AGO=∠PGC∴∵，∴，∴；∴，∴为等边三角形，∴GH垂直平分线AM．∵，，∴，∴点M坐标为．综上可得点M坐标为或．故答案为：或．,本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等边三角形判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质确定点M的位置．26．【解析】作AM⊥AC，连接CM交BD于F，根据菱形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．如图，连接AC，作AM⊥AC，使得AM＝EF＝2，连接CM交BD于F，∵AC，BD是菱形ABCD的对角线，∴BD⊥AC，∵AM⊥AC，∴AM∥BD，∴AM∥EF，∵AM＝EF，AM∥EF，∴四边形AEFM是平行四边形，∴AE＝FM，∴AE＋CF＝FM＋FC＝CM，根据两点之间线段最短可知，此时AE＋FC最短，∵四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠ABC＝60°∴BC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝6，在Rt△CAM中，CM＝∴AE＋CF的最小值为．故答案为：．本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决，属于中考填空题中的压轴题．27．3cm,【解析】根据矩形的性质和翻折的性质可得AF＝AD＝10cm，EF＝DE，设EC＝xcm，则DE＝（8－x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理可得BF的长，继而求得CF的长，在Rt△EFC中，由勾股定理可得关于x的一元二次方程，解方程即可．解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝10cm，AB＝8cm∴∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，根据翻折的性质可得AF＝AD＝10cm，EF＝DE，设EC＝xcm，则EF＝DE＝（8－x）cm，在Rt△ABF中，由勾股定理可得:BFBF，∴CF＝BC－BF＝10－6＝4cm，在Rt△EFC中，由勾股定理可得：即．解得:即：EC=3cm故答案为：3cm本题主要考查矩形的性质、翻折的性质、勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出．28．（-21011，-21011）【解析】首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2021的坐标．解：∵正方形OA1B1C1的边长为2，∴OB1=2，点B1的坐标为（2，2）∴OB2=2×=4∴B2（0，4），同理可知B3（-4，4），B4（-8，0），B5（-8，-8），B6（0，-16），B7（16，-16），B8（32，0），B9（32，32），B10（0，64）．由规律可以发现，点B1在第一象限角平分线上、B2在y轴正半轴上、B3在第二象限角平分线上、,B4在x轴负半轴上、B5在第三象限角平分线上、B6在y轴负半轴上、B7在第四象限角平分线上、B8在x轴正半轴上、B9在第一象限角平分线上、B10在y轴正半轴上，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，∵2021÷8=252⋯⋯5，∴B2021和B5都在第三象限角平分线上，且OB2021=2×=2×21010×=21011×∴点B2021到x轴和y轴的距离都为21011×÷=21011．∴B2021（-21011，-21011）故答案为：（-21011，-21011）．此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．29．20°【解析】根据菱形的性质得出OB=OD，根据直角三角形斜边的一半等于斜边的一半，得出OH=OD，即可得出∠HDB=∠DHO=20°．解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，∵DH⊥AB于点H，∴OH=BD=OD，∴∠HDB=∠DHO=20°．故答案为：20°．【解析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质．注意证得△OBH是等腰三角形是关键．30．【解析】证得∠CAF=∠FCA，则AF=CF，设AF=x，则在Rt△BCF中，根据勾股定理求x，于是得到AF=AB－BF，即可得到结果．∵四边形ABCD是矩形，,∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝1，DC∥AB，∴∠DCA＝∠CAF，由折叠得：∠DCA＝∠D′CA，∴∠CAF＝∠FCA，∴AF＝CF，设AF＝x＝FC，则BF＝2﹣x，在Rt△BCF中，由勾股定理得：（2﹣x）2+12＝x2，解得：x＝，．故答案为：．本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠得性质等知识，求出阴影三角形的底AF是关键，同时注意以AF为底，对应的高为BC．
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