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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(24)一、单选题1．四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（）A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD2．如图，在中，AB=AC=6，∠B=45°，D是BC上一个动点，连接AD，以AD为边向右侧作等腰，其中AD=AE，∠ADE=45°，连接CE．在点D从点B向点C运动过程中，周长的最小值是（）A．B．C．D．3．如图，正方形的边长为2，以对角线为边做菱形，点、、在同一直线上，连接，有下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的有（）.A．1B．2C．3D．44．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为（）.,A．B．C．D．5．如图，矩形中，，，将其沿直线折叠，使点与点重合，展开后连接、，则的长为（）.A．B．C．D．6．如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边上的点处，已知，，则折痕的长为（）．A．B．C．D．7．直角三角形的两条直角边为3，4，则这个直角三角形斜边上的中线长为（）．A．5B．2.5C．3.5D．4.58．如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（ ）A．B．C．D．二、解答题9．如图，在长方形纸片中，，将纸片折叠压平，使点与点重合，折痕为．,（1）求证：．（2）求线段的长．10．定义：若一个三角形一边上的中线等于该边的长，则称这个三角形为“平等三角形”，这条中线称为该边上的“平等线”．如图1，已知△ABC中，D是BC上一点，连接AD，若AD平分BC，且AD=BC，则△ABC是“平等三角形”，AD是BC边上的“平等线”．（1）如图2，已知△ABC，AB=AC=，点D是BC的中点，BC=6，判断△ABC是否是“平等三角形”，并说明理由；（2）如图3，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，若△ABC是“平等三角形”，求BC的长．11．在如图所示的平面直角坐标系中，点A，B，C的位置如图所示．（1）请写出点A，B，C的坐标；（2）在坐标系内确定点D，使得四边形ABCD是正方形，并写出点D的坐标．12．如图，点是菱形对角的交点，，，连接.求证：.,13．现有长方形纸片ABCD，AB=6，BC=10，P为CD边上一点，沿AP折叠，设点D的对应点为点E，AE交BC于点F．（1）如图①，当点P与点C重合时，求的面积；（2）如图②，当点P为CD中点时，连接DE、CE，试说明：DE⊥CE；（3）如图③，当点E在长方形纸片外部时，EP交BC于点G，若EG=CG，试求DP的长．14．如图，在长方形ABCD中，点E在CD边上，将沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作交BE于点G．（1）判断的形状，证明你的结论；（2）若，，求的面积．15．在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=6cm，AB=8cm，有一动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以5cm/s的速度也从点C出发，向终点A运动，连结PQ，并且PQ⊥BC，以CP、CQ为邻边作平行四边形CQMP，设动点P的运动时间为t（s）（0＜t＜2）．,（1）BP=（用含t的代数式表示）；（2）当点M在∠B的平分线上时，求此时的t值；（3）当四边形BPQM是平行四边形时，求CM的值；（4）连结AM，直接写出当△AMQ是等腰三角形时t的值．16．如图，将一长方形纸片沿着折叠，已知交于点，过点作，交线段于点．（1）判断与是否相等，并说明理由．（2）①判断是否平分，并说明理由．②若，求的度数．17．如图，在四边形中，，，，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图．（1）在图1中，画一个以为边的直角三角形；（2）在图2中，画一个以为腰的等腰三角形，第三个顶点要求在上．,18．如图，在中，．将线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，E是边上的一动点，连接交于点F，连接．（1）求证：；（2）点H在边上（不含端点），且，连接交于点N．请在答卷上将图形补充完整并解答：①判断与的位置关系，并证明你的结论；②若和的面积分别为a和b，求四边形的面积（用含a和b的代数式表示）．19．证明与应用（1）求证：在直角三角形中，如果一条直角边的关于斜边的一半，那么它所对的角等于30°．（2）如图，先把矩形对折，折痕为，点E在上，再把折叠，点A恰好和点N重合．请填空：①______；②______．,20．已知：如图，正方形的边长为1，动点、分别在边、对角线上（点与点、都不重合）且．（1）设，，求：与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；（2）求证：；（3）是否存在以线段、、的长为边的直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．21．如图，在矩形中，请用尺规作图在线段上找到点，使得（不写做法，保留作图痕迹）．22．如图，把长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个直角三角（全部用上）在下列方格内拼成下列符合要求的图形（互不重叠且没有空隙），并把你的拼法画在下列方格纸内（方格为lcmxlcm）（1）拼一个不是正方形的菱形；（2）拼一个不是正方形的矩形；,三、填空题23．已知：如图，点P是边长为2的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M是AB边的中点，且，则的最小值是_______．24．如图，正方形中，点是边异于点，的一点，的垂直平分线分别交、、于、、，连接、.下论：①；②；③；④，其中正确的结论有_____.25．如图，将矩形的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形，若，，那么线段与的比等于______.26．已知菱形两条对角线的长分别为和，则这个菱形的面积是______.,27．如图，已知边长为4的正方形在平面直角坐标系中，位于x轴上方，与x轴正半轴的夹角为，则B点坐标为______．28．如图，在矩形纸片中，．点、分别在边、上，沿直线将四边形翻折，点恰好与点重合．如果此时在原图中与的面积比是1：3，那么的值等于______．29．如图等腰和等腰，，，，连接，取其中点，连接，．若，则长为______．30．正方形的边长为，点为对角线上一个动点，，，垂足分别是，．当在上移动时，线段的最小值是______．,,【答案与解析】1．D【解析】由四边形ABCD的对角线互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，再添加AC=BD，可根据对角线相等的平行四边形是矩形证明四边形ABCD是矩形．∵四边形ABCD的对角线互相平分，∴四边形ABCD是平行四边形，A、AB=CD是平行四边形的性质，并不能得出四边形是矩形；B、AD=BC是平行四边形的性质，不能推出四边形是矩形；C、AB=BC时，四边形是菱形，而不是矩形；D、AC=BD时，由对角线相等的平行四边形是矩形．故选：D．本题主要考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形．2．B【解析】如图（见解析），先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得周长为，然后根据垂线段最短可求出AD的最小值，由此即可得．在中，，是等腰直角三角形，，在中，，是等腰直角三角形，，，，在和中，，,，，周长为，则当AD取得最小值时，的周长最小，由垂线段最短可知，当时，AD取得最小值，是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一），（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），周长的最小值为，故选：B．本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线、三角形全等的判定定理与性质、垂线段最短等知识点，正确找出两个全等三角形是解题关键．3．C【解析】由正方形ABCD可求出对角线BD的长，即可得出菱形的边BE的长，由平行线间的距离相等求出△BDE的高，即可求出S△BDE=2，在直角三角形中由边的关系求出∠DBE的度数，即可求出∠EBC，运用角的关键得出∠F=30°，∠BDF=150°，从而得出∠BDF=5∠F．解：∵正方形的边长为2，∴，∵四边形是菱形，∴．故①正确，∵，，,∴的高为的一半，即，∴，故②正确，作于点，∵，，，∴，∴，故③错误，∵，∴，∴，故④正确．∴结论正确的序号有①②④．故答案为：C．本题主要考查了正方形的性质及菱形的性质，解题的关键是熟练的运用正方形的性质及菱形的性质求角及边的关系．4．D【解析】先根据矩形的判定得出AEPF是矩形，再根据矩形的性质得出EF，AP互相平分，且EF=AP，再根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，根据面积关系建立等式求出其解即可．解：如图，连接AP，,∵AB=3，AC=4，BC=5，∴∠EAF=90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF=AP，∴EF，AP的交点就是M点．∵当AP的值最小时，AM的值就最小，∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP•BC=AB•AC，∴AP•BC=AB•AC，∵AB=3，AC=4，BC=5，∴5AP=3×4，∴AP=，∴AM=．故选：D．本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．5．B【解析】在直角△ABC中，根据勾股定理得到：AC=5，由折叠性质可知：，设，进而得到BN．在直角△BCN中根据勾股定理求出CN．解：∵四边形是矩形，∴，，，由折叠性质可知：，设，则，中由勾股定理得：,，则，∴，解得：，∴.故选：B．本题考查的是图形翻折变换的性质，在解答此类问题时首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数6．D【解析】根据折叠可得，AD=AF，然后根据勾股定理求出BF，易得CF，再由勾股定理即可求得．根据折叠可得，AD=AF=10，DE=EF在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF=6∴CF=4在Rt△CEF中，EF2=CE2+CF2即EF2=（8－EF）2+42解得EF=5cm故选D本题考查勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．7．B【解析】根据勾股定理求出斜边，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求得．根据勾股定理得斜边=则这个直角三角形斜边上的中线长为2.5故选B本题考查直角三角形斜边中线和勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．,8．C【解析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得：．如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD∵，，，∴故：选C．本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．9．（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）根据矩形的性质可得：，，∠ABC＝∠DCB＝∠BAD＝∠ADC＝90°，根据翻折的性质和等量代换及角的和差可得:∠BAE＝∠GAF，AB＝AG，继而由全等三角形的判定可得△ABE≌△AGF，继而即可求证结论；（2）令，则DF＝18－x，根据矩形的性质和翻折的性质可得：AG＝12，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求得AF的值．（1）在长方形中，，，，由翻折性质可知，,又∵，，又∵，∴，，在和中故△ABE≌△AGF（ASA），．（2）令∵AD＝BC＝18，∴DF＝18－x又∵GF＝DF＝18－x，AG＝CD＝AB＝12，∴中，由勾股定理得，，故．本题主要考查矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学知识．10．（1）△ABC是平等三角形，理由见解析；（2）当△ABC是“平等三角形”时，BC长为或．【解析】（1）根据题意，先求出AD的长度，然后由平等三角形的定义，即可得到答案；（2）根据题意，分别作出三边的中线，然后分三种情况进行讨论分析，然后求出BC,的长度，即可得到答案．解：（1）△ABC是平等三角形理由：∵AB=BC=，D为BC中点∴AD⊥BC，BD=BC=3由勾股定理得：∴AD=BC∴△ABC是平等三角形；（2）若△ABC是平等三角形，则有三种情况①当BD为AC边上的平等线，即BD=AC=8时在Rt△CDB中，由勾股定理得②当AE为BC边上的平等线，即AE=BC时，设BC=x，则CE=x在Rt△ACE中，由勾股定理得即解得∴,③当CF为AB边上的中线∵∠ACB=90°，∴CF=AB∴CF不可能为AB边上的平等线综上所述，当△ABC是“平等三角形”时，BC长为或．本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三线合一定理，直角三角形斜边上的中线以及平等三角形的定义，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题，注意运用数形结合的思想解题．11．（1）；（2）描点见解析，．【解析】（1）根据坐标与图形的性质解答即可；（2）根据全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定方法解答即可；解：（1）A（0，2），B（﹣1，﹣1），C（2，﹣2）；（2）描出点D位置如图，D（3，1）．本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定方法，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．12．证明见解析.【解析】,通过证明四边形OCEB是矩形来推知OE=DC，由菱形的四条边相等得到OE=AB．证明：∵，，∴四边形是平行四边形，∵四边形是菱形，∴，，∴四边形是矩形，∴，∴．本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．13．（1）20.4；（2）见解析；（3）【解析】（1）根据折叠性质和平行线性质可得AF=CF，设CF=AF=x，则BF=10﹣x，根据勾股定理和三角形的面积公式即可求解；（2）连接PE，由折叠性质和中点定义证得DP=PC=PE，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可解答；（3）可设DP=x，则PE=x，PC=6﹣x，证明△FEG≌△PCG，可得EF=PC=6﹣x，FG=PG，则CF=PE=x，进而可求得AF=4+x，BF=10﹣x，利用勾股定理即可求解．解：（1）如图①，由折叠性质得：∠DAC=∠EAC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC=10，CD=AB=6，∴∠DAC=∠ACB，∴∠EAC=∠ACB，∴AF=CF，设CF=x，则AF=x，BF=10﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：x2=62+(10﹣x)2，解得：x=6.8，∴△AFC的面积为·CF·AB=×6.8×6=20.4；（2）如图②，连接PE，由折叠性质得：DP=PE,∵P是CD的中点，,∴DP=PC，∴DP=PC=PE，∴∠PDE=∠PED，∠PEC=∠PCE，∵∠PDE+∠PED+∠PEC+∠PCE=180°，∴∠PED+∠PEC=90°即∠DEC=90°，∴DE⊥CE；（3）如图③，由折叠性质得：DP=PE，AE=AD=10，设DP=x，则PE=x，PC=6﹣x，∵∠E=∠C=90°，EG=CG，∠FGE=∠PGC，∴△FEG≌△PCG(ASA)，∴EF=PC=6﹣x，FG=PG，∴CF=PE=x，∴AF==AE﹣EF=10﹣（6﹣x）=4+x，BF=BC﹣CF=10﹣x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：62+（10﹣x）2=(4+x)2，解得：x=，∴DP=．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理、解一元一次方程、三角形的面积公式、三角形的内角和定理等知识，涉及知识点比较多，综合性强，解答的关键是理解题意，认真分析，找寻相关知识点的联系，进而推理、探究和计算．14．（1）等腰三角形，见解析；（2）【解析】（1）根据折叠，导角关系，利用等边对等角证明FG=FE，得到三角形为等腰三角形；,（2）根据折叠计算边长，设DE=x，然后利用勾股定理列方程得到DE,然后计算面积．解：（1）是等腰三角形．证明：由折叠可知，，，是等腰三角形（2）由折叠可知，在中，，在中，设，则，解这个方程，得．本题考查翻折变化，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用方程的思想解答．15．（1）BF=6-3t；（2）；（3）；（4）t=或或【解析】（1）运用线段和差直接用t表示出BP即可；（2）如图1，连接BM，过EM、DM作ME⊥AB，MD⊥BC,先说明EM=MD,然后再用t表示出EM,和MD,最后列方程求出t即可；（3）先说明四边形BPQM是平行四边形是矩形，即M在AB上，然后求出BM的长，最后运用勾股定理解答即可；（4）先用t分别表示出AM、QM、AQ,分AM=QM、AM=AQ、AQ=QM三种情况分别解答即可．解：（1）∵PC=3t，BP=BC-PC∴BP=6-3t；（2）如图1，连接BM，过EM、DM作ME⊥AB，MD⊥BC,∵当点M在∠B的平分线上时∴EM=MD∵PQ⊥BC∴四边形EBPQ为矩形,四边形MDPQ为矩形∴BE=MD=PQ，MQ=DP∵平行四边形CQMP∴MQ=PC=3t,即DP=PC=3t∴BD=6-6t，即EM=6-6t∵CQ=5t∴PQ=，即MD=4t∵EM=MD∴6-6t=4t，解得；（3）如图2，连接CM,∵四边形BPQM是平行四边形，PQ⊥BC∴四边形BPQM是矩形，∴BM=QP,MQ=BP∵∠B=90°∴M在AB上∵平行四边形CQMP，∴MQ=PC=3t∴BP=PC=3t∴BC=BP+PC=6t，即t=1∴PC=3t=3，CQ=5t=5∴QP=,即BM=4∵∠B=90°∴CM=；（4）延长QM交AB于E,过M作MD⊥BC∵BC=6cm，AB=8cm，∴AB=,∵CQ=5t，∴AQ=10-5t，∵PC=3t∴QP=∵∠B=90°，PQ⊥BC，∠EQP=90°,MD⊥BC,∴四边形BEQP是矩形,四边形MQPD是矩形∴BE=QP=4t，MQ=DP=3t，ME=MD∴AE=8-4t,EM=6-6t∴AM=∵AQ=10-5t，MQ=3t，△AMQ是等腰三角形∴①AM=QM，即=3t，解得t=或t=2（舍）；②AM=AQ，即=10-5t，解得t=或t=0（舍）；③MQ=AQ，即3t=10-5t，解得t=.综上，当△AMQ是等腰三角形时，t=或或．本题考查了平行线四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形等知识，灵活应用矩形的判定和性质和分类讨论思想是解答本题的关键．16．（1）∠CGH＝∠DFE，理由见解析；（2）①GH平分∠AGE，理由见解析；②∠HGE＝64°．【解析】（1）根据平行线的性质得到∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE，于是得到∠CGH＝∠DFE；（2）①根据平行线的性质得到和角平分线的定义即可得到结论；②由折叠的性质得到∠EFG＝∠1，根据平行线的性质和平角的定义即可得到结论．（1）∠CGH＝∠DFE，理由：∵CG∥DF，GH∥EF，∴∠AGC＝∠AFD，∠AGH＝∠AFE，∵∠CGH＝∠AGC＋∠AGH，∠DFE＝∠DFA＋∠AFE，∴∠CGH＝∠DFE；,（2）①GH平分∠AGE；理由如下：如图：延长DF∵GH∥EF，∴∠AGH＝∠AFE，∠HGE＝∠GEF，∵CE∥DF，∴∠1＝∠GEF，∵∠1＝∠GFE，∴∠GFE＝∠GEF，∴∠AGH＝∠EGH，∴GH平分∠AGE；②∵将一长方形纸片ABCD沿着EF折叠，∴∠EFG＝∠1，∵∠DFG＝52°，∴∠EFG＝64°，∵GH∥EF，∴∠AGH＝∠AFE＝64°，∵∠EGF＝∠DFG＝52°，∴∠HGE＝64°．本题考查了平行线的性质，折叠的性质，正确的识别图形是解题的关键．17．（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）连接AD、BC相交于点O，即为所求；（2）连接AD交BE于F，连接CF，得到四边形BFCD为菱形，则为所求.（1）连接AD、BC相交于点O，即为所求；,（2）连接AD交BE于F，连接CF，得到四边形BFCD即为菱形，所以CF=CD，所以为等腰三角形.本题考查作图-复杂作图、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.18．（1）证明见解析；（2）①，证明见解析；②．【解析】（1）证明△FAD≌△FAB（SAS）即可解决问题；（2）①首先证明四边形ABCD是正方形，再证明∠BAH=∠CBF即可解决问题；②设设，，再根据△ABH≌△DCE，△BCF≌△DCF，得出，进而求解．（1）证明：如图1中，∵，∴，∵线段绕点A逆时针旋转90°得到线段，∴，∴．∵，∴，∴．,（2）①解：结论：．理由：如图2中，连接．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形．∵，∴四边形是矩形．∵，∴四边形是正方形．∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．②如图2，△ABH≌△DCE，△BCF≌△DCF，设，，则，∴=(x+y+b)+b=x+y+2b，,，即a+x=x+y+2b，∴y=a-2b．本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判断和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．19．（1）；（2）①120°；②．【解析】（1）画出图形，写出已知，求证，取AB中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上中线性质得出AC＝AD＝CD，得出等边三角形ACD，求出∠A，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据矩形的性质得到∠C＝90°，AB＝CD，由折叠的性质得到BN＝AB＝CD，根据含30°直角三角形的性质即可得到结论．（1）解：已知：在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝AB，求证：∠B＝30°，证明：取AB中点D，连接CD，∵△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝AD＝BD，∵AC＝AB，∴AC＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠B＝180°−90°−60°＝30°；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD，∵把△AEB折叠，点A恰好和点N重合，∴BN＝AB＝CD，∵CN＝CD，∴CN＝BN，,∴∠CBN＝30°，∴∠ABE＝∠EBN＝30°，∵DE∥BC，∴∠BED＝180°−∠CBE＝120°；∵∠BNE＝90°，∴∠BEN＝60°，∴∠DEN＝60°，∵∠D＝90°，∴∠DNE＝30°，∴BE＝2EN，EN＝2DE，∴BE＝4DE，∴CN＝DN＝DE，∴BC＝CN＝3DE，∴ED：EB：BC＝1：4：3，故答案为：120°，1：4：3．本题考查了翻折变换（折叠问题），直角三角形斜边上中线性质，等边三角形性质和判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力．20．（1），的取值范围是；（2）证明见解析；（3）当时，存在以、、的长为边的直角三角形．【解析】（1）根据已知条件得出，，在中，利用计算即可；（2）延长交于，易证矩形AHGD，再证明即可得解；（3）分别讨论若CF为斜边即AE为斜边的情况即可；解：（1）过作于，,则，∵正方形中，是对角线，∴，∵，，∴，∵正方形的边长为1，∴，在中，，∴，的取值范围是；（2）延长交于，∵，∴矩形，∴，∵，∴，∴，,又∵，，∴，∵，∴（SAS），∴；（3）∵，∴，∴若存在以，，的长为边的直角三角形，则不可能为斜边，①若为斜边，则，，（负值舍去），②若为斜边，则，解得：，∵，∴舍去，综上所述当时，存在以、、的长为边的直角三角形．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，准确分析计算是解题的关键．21．图见解析【解析】根据矩形的性质和含30°角的直角三角形性质，只需作∠ABD的平分线，交线段AD于P即可解答．解：如图，作∠ABD的平分线，交线段AD于P，则点P就是所求作的点，,理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵∠ABD=60°，∴∠ADB=30°，∵BP平分∠ABD，∴∠ABP=∠DBP=30°，∴BP=2AP，∠DBP=∠ADB，∴PD=BP=2AP，∴AD=3AP．本题考查了基本尺规作图-作角平分线，涉及矩形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、含30°角的直角三角形的性质，属于复杂的作图题，将复杂的作图转化为作角平分线是解答的关键．22．见解析【解析】（1）根据菱形的性质解答即可；（2）根据矩形的性质解答即可．如图所示：（1）（2）,【点晴】本题考查了菱形和矩形的性质，掌握相关知识是解题的关键．23．【解析】根据菱形对角线互相垂直且平分的性质，得到点B的对称点为点D，再由两点之间线段最短解得的最小值，再根据题意判定是等边三角形，结合三线合一及勾股定理解题．如图，连接BD交AC于点O，连接DM交点AC于点P，连接BP，在菱形ABCD中，且OB=OD即点B关于AC的对称点是点D，此时值的最小,AB=AD，，是等边三角形，点M是AB边的中点，．本题考查菱形的性质、两点之间线段最短、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．,24．①②④【解析】作FG⊥AB于G，根据三角形的全等得出△ABM≌△FGE，进而得出EF=AM，再利用矩形的性质可得出AE=DF+BM；再利用等腰直角三角形的性质以及全等三角形的性质，判断出线段之间的关系即可得出正确答案．如图，作于，则，∵，，∴∠BAE+∠AEF=90°，∠GFE+∠AEF=90°，∴，在和中，∴，∴，故①正确；由①可得：，，∴；故②正确；如图，过作，，∵，,∴是等腰直角三角形，∴BQ=QK，∵BK2=BQ2+QK2，∴，故③错误；∵平分，∴，又∵的垂直平分线交于，∴，在和中，∴，∴，又∵，∴，即，故④正确；故答案为：①②④．此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，以及线段垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等是解决问题的关键．25．【解析】先根据图形翻折的性质可得到四边形EFGH是矩形，再根据折叠的性质，得到对应线段相等，再由勾股定理及直角三角形的面积公式即可解答．解：如图，,将折起与重合.所以.同理将折起与重合，所以，所以，是的中点.同理可得是的中点，连结，；∵∠AEH=∠MEH，∠BEF=∠MEF，又∠AEH+∠MEH+∠BEF+∠MEF=180°，∴∠MEH+∠MEF=90°，∴∠HEF=90°，同理可证：∠EFG=∠FGH=∠EHG=90°，∴四边形是矩形；又是矩形的一条对角线.所以，.在矩形中，，，，则，∴，在中，∴，∵点是中点，∴，,∴，故线段与的比等于．本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠以后的图形与原图形全等．26．【解析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．解：由已知得，菱形面积=cm2．故答案为20cm2．本题主要考查了菱形的面积的计算公式．27．【解析】过B点作轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得，最后根据线段的数量关系可求解．解：过B点作轴于点E，与x轴正半轴的夹角为，，在中，，，，，，，，,，在中，，，，，，在第二象限，．故答案为．本题主要考查正方形的性质及点的坐标，熟练掌握正方形的性质及求一个点的坐标是解题的关键．28．【解析】由折叠的性质可得：∠AMN=∠CMN，由四边形ABCD是矩形，可得∠AMN=∠CNM，则可证得∠CNM=∠CMN，继而可得CM=CN；过点M作MH⊥BC于点H，由△CDM的面积与△MNC的面积比为1：3，易得NC=3MD=3HC，然后设DM=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案．解：由折叠的性质可得：∠EMN=∠DMN，即∠EMN=∠EMA+∠AMN，∠DMN=∠DMC+∠CMN，∵∠EMA=∠DMC∴∠AMN=∠CMN，,∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AMN=∠CNM，∴∠CNM=∠CMN，∴CM=CN，如图，过点M作MH⊥BC于点H，则四边形MHCD是矩形，∴HC=DM，MH=DC，∵△CDM的面积与△CMN的面积比为1：3，∴，∴NC=3MD=3HC，∴NH=2HC，设DM=x，则HC=x，NH=2x，∴CM=CN=3x，在Rt△CDM中，DC=，∴HM=2，在Rt△MNH中，MN=，∴=2．故答案为：2．此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．29．,【解析】由图可知A，C，E在同一直线上，B，C，D在同一直线上，由于等腰和等腰，可知△ABE和△BDE是直角三角形，又因为P是BE的中点，PA=BE，PD=BE，从而得出PD=PA=5，易证∠APD=90°，再根据勾股定理即可求出AD的长．解：连接AD，∵等腰和等腰，∴∠BAC=∠CDE=90°，∠ACB=∠DCE=45°，∴∠CBE+∠CEB=∠ACB=45°，在中∵P是BE的中点，∴PA=BE，同理可证：PD=BE，∴PD=PA=5．∵∠APB=∠PAE+∠AEP，∠DPE=∠PBD+∠BDP，∴∠APB+∠DPE=∠PAE+∠AEP+∠PBD+∠BDP=2（∠CBE+∠CEB）=90°，∴∠APD=90°，∴=．故答案为．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．30．1【解析】由题意可知，四边形PEBF是矩形，将EF转化为BP，当BP⊥AC时，BP取最小值，即：P是对角线AC、BD的交点时，EF最小，再根据正方形的性质进行求解即可．连接BP,∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∵PE⊥AB，PF⊥BC，∴四边形PEBF是矩形，∴EF＝BP，当BP⊥AC时，BP最小，此时，P是对角线AC、BD的交点，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠PBC＝45°，BP＝CP，∴在Rt△BPC中，，即：，解得：BP＝1，∴EF＝1，故填：1．本题考查矩形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等，涉及到垂线段最短，综合性较强，“数形结合”是关键．
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