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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(18)一、单选题1．如图，在中，，，，点D是边上一动点，连接，在上取一点E，使，连接，则的最小值为（ ）A．B．C．D．2．如图，在正六边形ABCDEF内作正方形BCGH，连接AH，则等于（）A．75°B．60°C．55°D．45°3．如图，中，，以为边作如图所示的等边，等边，等边，连结，则四边形的面积为（）A．B．C．D．14．如图，已知在菱形中，，以点为圆心，取大于的长为半径，分别作弧相交于两点，作直线交边于点（作图痕迹如图所示），连结，若,，则下列结论错误的是（）A．B．C．菱形的面积为D．5．如图，正方形的边长为，的平分线交于点E，若点P，Q分别是和上的动点．则的最小值是（）A．B．4C．D．6．如图，RtABC≌RtDCB，其中∠ABC=90°，AB=3，BC=4，O为BC中点，EF过点交AC、BD于点E、F，连接BE、CF，则下列结论错误（）A．四边形BECF为平行四边形B．当BF=3.5时，四边形BECF为矩形C．当BF=2.5时，四边形BECF为菱形D．四边形BECF不可能为正方形7．如图，菱形中，，的度数为（）A．B．C．D．8．下列命题中，（）①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等,②对角线相等的四边形是矩形A．①正确②正确B．①正确②错误C．①错误②正确D．①错误②错误二、解答题9．如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按要求画图．（1）在图1中画一个以为顶点的平行四边形（非矩形）；（2）在图2中过点C作，使点E在格点上；（3）在图3中作，使点F在格点上，且不在直线上．10．如图，在四边形ABCD中，，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝5，BD＝6，求CE的长．11．如图，在中，是边上一点，于点E，点F是线段上一点，连结．（1）若点F是线段的中点，试猜想线段与的大小关系，并加以证明．（2）在（1）的条件下，若，求两点间的距离．12．如图1，在菱形中，，，点为上一动点，在点的运动,过程中，始终保持，，连接，，与相交于点．（1）如图1，求证四边形为平行四边形；（2）当点运动到什么位置时，四边形为矩形？并说明理由；（3）如图2，延长到，使，连接，判断与的数量关系，并说明理由．13．在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差．（1）概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为_________；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为_____________；（2）性质探究：如图1，是的中线，，记中的勾股差为中的勾股差为；①求的值（用含的代数式表示）；②试说明与互为相反数；（3）性质应用：如图2，在四边形中，点与分别是与的中点，连接，若，且，求的值．14．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形．（1）证明平行四边形是菱形；,（2）若，连结，①求证：；②求的度数；（3）若，，，M是的中点，求的长．15．如图，中，，D是AC的中点，连接BD，过点C作CE//BD，过点B作BE//AC两直线相交于点E.（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求四边形的面积.16．如图，在菱形中，于点，于点．（1）求证：．（2）当时，求的度数．17．如图，在平行四边形中，点、分别是、的中点，连接、．,（1）探索四边形的形状，并说明理由；（2）连接，若平分，，，连接，求四边形的面积．18．（1）如①图：ABC的顶点都在方格纸的格点上．将ABC先向左平移2格，再向上平移3格．请在图中画出平移后的；如果每个小格子都是边长为1的正方形，则请你计算线段AC扫过的面积是．（2）如②图：ABC的顶点都在方格纸的格点上．在图中画出边BC边上的中线AD和AC边上的高BE；（3）如③图：画一个平行四边形MNPQ（要求各顶点在格点上，且四条边都不与网格线重合），使其面积等于ABC的面积．19．如图，在矩形中，请利用尺规作图：分别在边、上作点、，使四边形是菱形．（不写作法保留作图痕迹）20．如图，矩形中，点E为边上一点，把沿着折叠得到，点F落在边的上方，线段与边交于点G．,（1）求证：是等腰三角形（2）试写出线段，，三者之间的数量关系式（用同一个等式表示），并证明．21．如图，在矩形中，，．（1）用尺规在边上作出一点，使平分；（保留作图痕迹）（2）若，为边上一点，且，连结，求的长．22．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点与原点重合，点在轴正半轴上．若将矩形纸片折叠，使点落在边（含端点）上，落点记为，这时折痕与边或边（含端点）交于点，然后再展开铺平，则以、、为端点的称为矩形的“折痕三角形”．（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个折痕是一个______三角形；（2）如图，在矩形中，，，该矩形是否存在面积最大的“折痕”？若存在，请说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？三、填空题23．如图，在中，D在边上，且D关于、的对称点分别为E、F若，，，连接，则四边形面积的最大值是__________．,24．如图，菱形中，已知，则的度数为_______．25．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，那么我们把这条直线叫做这个平面图形的面积等分线．已知在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2，过点E的面积等分线与菱形的另一条边交于点F，那么线段EF的长为_____．26．如图，正方形ABCD的边长为2，M是BC的中点，N是AM上的动点，过点N作EF⊥AM分别交AB，CD于点E，F．（1）AM的长为_____；（2）EM+AF的最小值为_____．27．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB、BC的中点，连接EC、DF，点G、H分别是EC、DF的中点，连接GH，则GH的长度为___．,28．如图，正方形中，点E是边上一点，的垂直平分线分别交，，于点F，G，H，若，则的长为________．29．如图，已知在中，，，．为所在平面内的一个动点，且满足，为线段的中点，连结，则线段长的最大值为______．30．如图，正方形中，点、、分别是、、的中点，、交于，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有______,,【答案与解析】1．C【解析】根据∠DCE+∠ACE=90°，∠DCE=∠DAC，确定∠DAC+∠ACE=90°即∠AEC=90°，取AC的中点F，当B、E、F三点共线时，BE最小，根据勾股定理求解即可∵，∴∠DCE+∠ACE=90°，∵∠DCE=∠DAC，∴∠DAC+∠ACE=90°即∠AEC=90°，取AC的中点F，当B、E、F三点共线时，BE最小，∵，，，∴AC=4，∴AF=CF=EF=2，∴BF=∴BE=BF-EF=,故选C本题考查了勾股定理，直角三角形的判定，斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短原理，取AC的中点F，准确构造两点之间线段最短原理是解题的关键．2．A【解析】正六边形的每个内角为120°，正方形每个内角为90°，即可求∠HBA，根据BH＝BA即可求∠HAB的度数．解：正六边形的每个内角为，正方形每个内角为90°，∴∠ABC＝120°，∠HBC＝90°，∴∠HBA＝30°，又∵HB＝AB，,∴∠HAB＝＝75°，故选：A．本题考查了正多边形内角和等腰三角形性质，解题关键是依据多边形内角和公式，求出正方形、正六边形内角度数，熟练运用等腰三角形性质求底角．3．B【解析】过点作于，设与于，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可求，即可求解．解：如图，过点作于，设与于，，，，，以、、为边作如图所示的等边，等边，等边，，，，，，，，，，，，，在和中，,，，，同理可求，，四边形是菱形，，，，，四边形的面积，故选：B．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键．4．C【解析】由作法知，MN是线段AB的垂直平分线，根据菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理可作出判断．由作法知，MN是线段AB的垂直平分线∴BE=AE=2故选项B正确∵BE=AE，∠A=30゜∴∠EBA=∠A=30゜∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD∴∠ABD=∠ADB=(180゜−∠A)=75゜∴∠DBE=∠ABD−∠EBA=45゜故选项A正确设MN交AB于点F，如图,∵MN⊥AB，∠A=30゜∴EF=AE=1由勾股定理得：∴AD=AB=2AF=∴ED=AD−AE==−2故选项D正确如图，过点D作DG⊥AB于点G在Rt△ADG中，∠A=30゜，则∴从而选项C错误故选：C．本题考查了线段垂直平分线的作法、菱形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，关键是判断题中的作图是作线段AB的垂直平分线．5．B【解析】,过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作D′P′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=32，∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=32，∴P′D′=4，即DQ+PQ的最小值为4，故选B．本题考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、作图与基本作图等知识点的应用，解此题的关键是根据轴对称的性质找出P'点，题型较好，难度较大．6．B【解析】证明△BOF≌△COE，得到BF=CE，由此判断A选项；利用勾股定理的逆定理判断B选项；利用直角三角形斜边中线的性质定理得到BE=CE，由此判断C选项；利用判断D选项．,证明：∵RtABC≌RtDCB，∴∠ACB=∠CBD，∴BD∥AC，∵O为BC中点，∴OB=OC，∵∠BOF=∠COE，∴△BOF≌△COE，∴BF=CE，∴四边形BECF为平行四边形，故A选项正确；∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴AC=5，∵BF=3.5,∴CE=BF=3.5，AE=1.5，∵，∴∠BEC不是直角，故四边形BECF不为矩形，故B选项错误；当BF=2.5时，则CE=BF=2.5，∴AE=2.5，∴AE=CE，∴，∴四边形BECF为菱形，故C选项正确；∵AB=3，BC=4，AC=5，∴，∴四边形BECF不可能为正方形，故D选项正确；故选：B．此题考查平行四边形的判定定理，菱形及矩形的判定定理，正方形的判定，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，熟记各判定定理是解题的关键．7．D【解析】根据菱形的性质可得CD//AB，∠BAC=∠BAD，根据平行线的性质可得∠BAD的度数，进而可得答案．,∵四边形ABCD是菱形，∴CD//AB，∠BAC=∠BAD，∵∠D=150°，∴∠BAD=180°-∠D=30°，∴∠BAC=15°，故选：D．本题考查菱形的性质及平行线的性质，菱形的对边平行，对角线平方对角；熟练掌握菱形的性质是解题关键．8．B【解析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形全等的判定定理判断①；根据矩形的判定定理判断②．解：①当两个等腰三角形的顶角对应相等时，它们的底角也对应相等，∴底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等，说法正确；②对角线相等的平行四边形是矩形，故本小题说法错误；故选：B．本题考查的是命题的真假判断，掌握全等三角形的判定定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、矩形的判定定理是解题的关键．9．（1）图见解析（2）图见解析（3）图见解析【解析】（1）根据网格的特点及平行四边形的性质即可作图求解；（2）根据网格的特点作一个矩形，利用矩形的特点即可得到；（3）根据网格的特点先作AB的垂直平分线，得到AG=BG，再延长BG至格点F即可求解．（1）如图，平行四边形ABCD为所求；（2）如图，E点为所求；（3）如图，F点为所求．,此题主要考查网格与作图，解题的关键是熟知平行四边形的性质、矩形的特点及垂直平分线的性质．10．（1）见解析；（2）．【解析】（1）先根据角平分线和平行线证明CD＝AD，从而可得CD＝AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，最后根据一组临边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）根据菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求得AO，从而求得AC，根据等面积法即可求得CE．（1）证明：∵AB//CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC为∠DAB的平分线，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∵AD＝AB，∴CD＝AB，∵AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，OB＝OD＝BD＝3，∴OA＝，∴AC＝2OA＝8，,∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×8×6＝24，∵CE⊥AB，∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝5CE＝24，∴CE＝．本题考查菱形的性质和判定、勾股定理．（1）中掌握菱形的判定定理，并能结合已知条件选择合适的定理证明是解题关键；（2）中掌握等面积法是解题关键．11．（1）EF=CF；（2）【解析】（1）根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，即可解答；（2）连接CE，由（1）求出EF=CF=3，再证明∠EFC=90°，利用勾股定理求出CE即可．解：（1）EF=CF，理由如下，∵∠ACB=90°，DE⊥AB，则在Rt△AED和Rt△ACD中，∵点F是线段AD的中点，∴EF=AD，CF=AD，∴EF=CF；（2）连接CE，如图，由（1）得EF=AF=CF=AD=3，∴∠FEA=∠FAE，∠FCA=∠FAC，∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×45°=90°，∴CE=．本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是证明∠EFC=90°．12．（1）见解析；（2）的垂直平分线上，理由见解析；（3），理由见解析,【解析】（1）菱形的性质可得，，根据平移的性质可得，，继而可证得四边形为平行四边形；（2）通过证得，再结合四边形为平行四边形，即可得证；（3）连接，根据四边形为平行四边形及，可得是△的中位线，继而得到，根据菱形的轴对称可得，继而可得．解：（1）证明：由菱形的性质可得，，由平移可得，，；∴，，∴四边形为平行四边形；（2）当点运动到的垂直平分线上时，四边形为矩形．∵菱形中，，∴，，∵，∴，即，又∵四边形为平行四边形，∴四边形为矩形；（3）如图，连接，由（1）得四边形为平行四边形，∴，又∵，∴是的中位线，∴，,由菱形的轴对称可得，即，∴．本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握相关判定与性质．13．（1）两直角边的平方和与斜边平方的差；4；（2）①求；②见解析；（3）=【解析】（1）根据定义，得直角的勾股差等于两直角边的平方和与斜边平方的差；根据定义底角的勾股差等于腰的平方+底边的平方-另一腰的平方=底边的平方==4；（2）①根据勾股差的定义，得；②证明m+n=0即可；（3）根据勾股差的定义，直角三角形斜边上的中线的性质，（2）中的性质计算即可（1）根据定义，得直角的勾股差等于两直角边的平方和与斜边平方的差；根据定义底角的勾股差等于腰的平方+底边的平方-另一腰的平方=底边的平方==4，故答案为：两直角边的平方和与斜边平方的差，4；（2）①根据勾股差的定义，得；②如图1，过点C作CM⊥AB，垂足为M，在直角三角形ACM、直角三角形BCM、直角三角形CMD中，根据勾股定理，得,，∴=，∵AD=BD=c，∴AM=AD-MD，BM=BD+MD=AD+MD，∴=，∴=，,∴==，∴m+n====0，∴m与n互为相反数；（3）如图2,∵，∴设DF=3m，AB=4m，∵点与分别是与的中点，∴设CF=BF=DF=3m，BE=AE=2m，∵点与分别是与的中点，根据（2）的结论，得=0，=0，∴，，∵CD=AD，∴，∴=，∴=，∴，∴，∴=．本题考查了新定义问题，直角三角形的性质，勾股定理，相反数的性质，探究性质的应用，灵活运用探究中的性质和新定义是解题的关键．,14．（1）见解析；（2）①见解析；②60°；（3）【解析】（1）平行四边形的性质可得ADBC，ABCD，再根据平行线的性质证明∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边可得CE＝CF，再有条件四边形ECFG是平行四边形，可得四边形ECFG为菱形，即可解决问题；（2）先判断出∠BEG＝120°＝∠DCG，再判断出AB＝BE，进而得出BE＝CD，即可判断出△BEG≌△DCG（SAS），再判断出∠CGE＝60°，进而得出△BDG是等边三角形，即可得出结论；（3）首先证明四边形ECFG为正方形，再证明△BME≌△DMC可得DM＝BM，∠DMC＝∠BME，再根据∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°可得到△BDM是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，ABCD，∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，又∵四边形ECFG是平行四边形，∴四边形ECFG为菱形；（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABDC，AB＝DC，ADBC，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120°由（1）知，四边形CEGF是菱形，∴CE＝GE，∠BCG＝∠BCF＝60°，∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°，∵EG∥DF，∴∠BEG＝120°＝∠DCG，∵AE是∠BAD的平分线，,∴∠DAE＝∠BAE，∵ADBC，∴∠DAE＝∠AEB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE，∴BE＝CD，∴△DGC≌△BGE（SAS）；②∵△DGC≌△BGE，∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC，∴∠BGD＝∠CGE，∵CG＝GE＝CE，∴△CEG是等边三角形，∴∠CGE＝60°，∴∠BGD＝60°，∵BG＝DG，∴△BDG是等边三角形，∴∠BDG＝60°；（3）如图，连接BM，MC，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形，又由（1）可知四边形ECFG为菱形，∠ECF＝90°，∴四边形ECFG为正方形．∵∠BAF＝∠DAF，∴BE＝AB＝DC，∵M为EF中点，∴∠CEM＝∠ECM＝45°，∴∠BEM＝∠DCM＝135°，,在△BME和△DMC中，∵，∴△BME≌△DMC（SAS），∴MB＝MD，∠DMC＝∠BME．∴∠BMD＝∠BME＋∠EMD＝∠DMC＋∠EMD＝90°，∴△BMD是等腰直角三角形．∵AB＝8，AD＝14，∴BD＝，∴DM＝．此题主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质、正方形的性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．15．（1）见解析；（2）．【解析】（1）根据两组对边平行和直角三角形斜边中线等于斜边一半即可证出（2）连接DE交BC于F，先根据直角三角形性质和菱形性质先求出，根据已知边长，求出，进而求出四边形面积．（1）证明：过点C作CE//BD，过点B作BE//AC四边形BECD是平行四边形在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，D是AC中点∴BD=DC四边形是菱形；（2）连接DE交BC于F，四边形是菱形；∴,．本题考察了直角三角相关性质和菱形判定和性质等知识点，准确记住相关的判定和性质是解题关键．16．（1）见解析；（2）70°．【解析】（1）首先根据菱形的性质得到AB=AD，∠B=∠D，再利用AAS证明△ABE≌△ADF，于是得到BE=DF；（2）首先根据菱形的性质以及垂直等知识求出∠B和∠D的度数，即可求出∠EAF的度数．（1）证明：∵AE⊥BC，AF⊥DC，∴∠AEB=∠AFD=90°．∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D，在△ABE和△ADF，∵，∴△ABE≌△ADF(AAS)，∴BE=DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=110°，,∴∠B=∠D=70°，∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，∴∠BAE=∠DAF=20°，∴∠EAF=110°-∠BAE-∠DAF=70°．本题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是掌握菱形的四边相等，邻角互补等知识，此题难度不大．17．（1）四边形是平行四边形，理由见详解；（2）24【解析】（1）由平行四边形的判定和性质定理，即可得到结论；（2）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形，进而即可求解．解：（1）四边形是平行四边形，理由如下：∵在平行四边形中，点、分别是、的中点，∴AF=AD=BC=CE，AF∥CE，∴四边形是平行四边形；（2）∵在平行四边形中，点、分别是、的中点，∴AF=AD=BC=BE，AF∥BE，∴四边形是平行四边形，∵平分，∴∠ABF=∠EBF，又∵∠EBF=∠AFB，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∴四边形是菱形，∴AE⊥BF，∵四边形是平行四边形，∴CF=AE=6，∴四边形的面积=本题主要考查平行四边形的判定和性质定理，菱形的判定和性质定理，掌握菱形的面积等于对角线的乘积的一半，是解题的关键．18．（1）图见详解，26；（2）图见详解；（3）图见详解．,【解析】（1）根据平移方式可直接进行作图，然后由题意及图可进行求解面积；（2）根据三角形中线及高线可直接进行作图；（3）由（2）可进行作图．解：（1）由题意可得如图所示：连接、，由图可得四边形为矩形，且为线段AC扫过的图形，∴，∴，故答案为26；（2）由题意可得如图所示：（3）由（2）中所作中线可得如图所示：,本题主要考查三角形的中线与高线、平移、勾股定理及矩形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握三角形的中线与高线、平移、勾股定理及矩形的判定、平行四边形的性质是解题的关键．19．见解析【解析】作线段BD的垂直平分线，与指定二直线相交的交点就是所求解：如图，四边形即为所求的菱形．本题考查了菱形的判定定理，线段的垂直平分线的作图，熟练掌握菱形的判定，并能准确进行线段的垂直平分线的作图是解题的关键．20．（1）证明见解析；（2）GD=GF+EC，证明见解析．【解析】（1）根据矩形性质、折叠性质及等角对等边可以得到证明；（2）根据折叠性质及（1）可得AG+GD=FG+GA+EC，从而得到GD=GF+EC．解：(1)证明:在矩形ABCD中，有:AD∥BC且AD=BC.∴∠DAE=∠BEA.∵△ABE沿着AE折叠得到△AEF.∴∠AEB=∠AEG.∴∠GAE=∠GEA.∴GA=GE.∴△AGE是等腰三角形.(2)GD=GF+EC.证明:根据折叠的性质:BE=EF.∵GE=GA、AG+GD=BE+EC.∴AG+GD=EF+EC.∵EF=FG+GE=FG+GA.∴AG+GD=FG+GA+EC.∴GD=GF+EC.本题考查矩形的折叠问题，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质是解题关键．,21．（1）图形见详解；（2）EP=．【解析】（1）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于E，连结AE，BE，则BE平分∠AEC；（2）由，∠D=90°，AE=AB=2，可得DE=，由EC=CD-DE=2-1=1，可得，BC=BP+PC=3PC=，可求PC=，在Rt△CEP中，由勾股定理EP=．（1）以点A为圆心，AB长为半径画弧，交CD于E，连结AE，BE，则BE平分∠AEC，∵四边形ABCD为矩形，∴CD∥AB，∴∠CEB=∠ABE，又∵作法，AE=AB，∴∠AEB=∠ABE，∴∠AEB=∠CEB，∴BE平分∠AEC，（2）∵，∠D=90°，，AE=AB=2，∴DE=，∴EC=CD-DE=2-1=1，,∵，BC=BP+PC=3PC=，∴PC=，在Rt△CEP中，EP=．本题考查尺规作角平分线，等腰三角形性质，矩形的性质，勾股定理，掌握尺规作角平分线，等腰三角形性质，矩形的性质，勾股定理是解题关键．22．（1）等腰三角形；（2）E（4-，2）或（0，2）．理由见详解．【解析】（1）根据折叠性质，有BF=EF，可得△BEF为等腰三角形；（2）存在当点F与点C重合时，△BEF面积最大，由FE=BC=4，CD=AB=2，在Rt△DEF中，由勾股定理DE=，AE=4-ED=4-，S△BFE最大=，E（4-，2）．（1）根据折叠性质，有BF=EF，∴△BEF为等腰三角形，由“折痕三角形”的定义可知，矩形的任意一个折痕是一个_等腰三角形；故答案为：等腰三角形；,（2）存在当点F在CD上时，△BEF面积最大，∵FE=BC=4，CD=AB=2，在Rt△DEF中，由勾股定理DE=，∴AE=4-ED=4-，S△BEF=，BF越大，△BEF的面积越大，S△BFE最大=，∴E（4-，2），当点E与点A重合时，此时F在CD中点，S△BFE=SABCD=4，面积也为最大值，此时点E（0,2）所以点E（4-，2）或（0，2）．本题考查折叠变换问题，等腰三角形判定，勾股定理，三角形面积，掌握折叠变换问题，等腰三角形判定，勾股定理，三角形面积是解题关键．,23．【解析】如图，作于，交的延长线于．由翻折的性质可知：，，，，，推出五边形的面积，因为，推出的面积最小时，四边形的面积最大，求出的面积的最小值即可解决问题．解：如图，作于，交的延长线于．，，，，设，，，，，，，由翻折的性质可知：，，，，，五边形的面积，，的面积最小时，四边形的面积最大，，，的值最小时，的面积最小，,当与重合时，，的面积最小，最小值，四边形的面积的最大值．故答案为．本题考查轴对称，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．24．35°【解析】根据菱形的性质，得DC∥AB，∠DAC=∠BAC，根据平行线的性质，得到∠D+∠DAB=180°，从而求得∠DAB，求解即可∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∠DAC=∠BAC，∴∠D+∠DAB=180°，∵∠D=110°，∴∠DAB=70°，∴∠BAC=35°，故答案为：35°．本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．25．【解析】过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，可得BG=3，，由题意可得，FH=FC-HC=2-1=1，进而根据勾股定理可得EF的长．,解：如图，过点A和点E作AG⊥BC，EH⊥BC于点G和H，即得矩形AGHE，∴GH＝AE＝2，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴BG＝3，，∴HC＝BC-BG-GH＝6-3-2＝1，∵EF平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点，∴FC＝AE＝2，∴FH＝FC-HC＝2-1＝1，在中，根据勾股定理，得，故答案为：．本题考查菱形的性质，含角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质以及勾股定理．作出辅助线是解答本题的关键．26．【解析】（1）由正方形的边长为2，结合线段中点性质得到，利用勾股定理解题得AM的长即可；（2）过点F作于点，先证明，由全等三角形对应边相等的性质得到，将沿方向平移至，连接，当三点共线时，此时EM+AF的值最小，最后根据勾股定理解题即可．解：（1）四边形是正方形，且边长为，是的中点，,故答案为：；（2）过点F作于点，则将沿方向平移至，连接，则当三点共线时，此时，故答案为：．本题考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．27．2【解析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4,，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，在△PDH与△CFH中，，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝2，∴AP＝AD﹣PD＝2，∴，∵点G，H分别是EC，PC的中点，∴GH＝EP＝2．故答案为：2．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．28．【解析】,连结AG，过G作GP⊥AB于P，GQ⊥BC于Q，过F作FM⊥CD于M，由BD是正方形ABCD的对角线，点G在BD上，BG平分∠ABC，可得GP=GQ，可证四边形GPBQ为正方形，由FH是AE的垂直平分线，可得GA=GE，可证Rt△AGP≌Rt△EGQ（HL），可得∠AGP=∠EGQ，可证△AGE为等腰直角三角形，在Rt△AGE中，由勾股定理AE，可证四边形FMCB为矩形，可证△ABE≌△FMH（ASA），可得AE=FH=．解：连结AG，过G作GP⊥AB于P，GQ⊥BC于Q，过F作FM⊥CD于M，∵BD是正方形ABCD的对角线，点G在BD上，BG平分∠ABC，∴GP=GQ，又∠GPB=∠PBQ=∠GQB=90°，∴四边形GPBQ为正方形，又∵FH是AE的垂直平分线，∴GA=GE，在Rt△AGP和Rt△EGQ中，，∴Rt△AGP≌Rt△EGQ（HL），∴∠AGP=∠EGQ，∴∠AGE=∠AGP+∠PGE=∠EGQ+∠PGE=∠PGQ=90°，∴△AGE为等腰直角三角形，在Rt△AGE中，AE=，∵FM⊥CD，∴∠FMC=∠MCB=∠CBF=90°，∴四边形FMCB为矩形，∴FM=BC=AB，∵FH⊥AE，∴∠BAE+∠AFH=∠AFH+∠HFM=90°，∴∠BAE=∠HFM，在△ABE和△FMH中，,，△ABE≌△FMH（ASA），∴AE=FH=．故答案为：．本题考查正方形性质与判定，线段垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，矩形判定与性质，掌握正方形性质与判定，线段垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，矩形判定与性质，利用辅助线准确画出图形是解题关键．29．【解析】取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM，根据三角形斜边上的中线性质得出，再根据三角形中位线性质得出,然后根据勾股定理及角形斜边上的中线性质得出，最后根据两点之间线段最短即可得出答案．解：取BC的中点O，连接OA、OD，取AO中点M，连接CM、EM在Rt△CDB中，O为斜边BC的中点在△AOD中，AE=DE，AM=OM,在Rt△ACO中，AC=OC=2在△CME中，即CE最大值为．故答案为：．本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握性质定理和添加合适的辅助线是解题的关键．30．①②③【解析】①连接AH，由四边形ABCD是正方形与点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，易证得△BCE≌△CDF与△ADH≌△DCF，根据全等三角形的性质，证得CE⊥DF与AH⊥DF②根据垂直平分线的性质，即可证得AG=AD③由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得HG=AD，根据等腰三角形的性质，即可得．∠CHG=∠DAG．则问题得解．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=90°，∵点E、F、H分别是AB、BC、CD的中点，∴BE=CF，在△BCE与ACDF中，∴△BCE≌△CDF(SAS)，∴∠ECB=∠CDF，,∵∠BCE＋∠ECD=90°，∴∠ECD+∠CDF=90°，∴∠CGD=90°，∴CE⊥DF，故①正确;在Rt△CGD中，H是CD边的中点，∴HG=CD=AD，故④正确;连接AH，同理可得:AH⊥DF，∵HG=HD=CD，∴DK=GK，∴AH垂直平分DG，∴AG=AD，故②正确;∴∠DAG=2∠DAH，同理:△ADH≌△DCF，∴∠DAH=∠CDF，∵GH=DH，∴∠HDG=ZHGD，∴∠GHC=∠HDG+∠HGD=2∠CDF，∴∠CHG=∠DAG故③正确故答案为：①②③本题考查正方形的性质、全等三角形、等腰三角形的性质、直角三角形的性质。是一道综合性的题目、灵活使用所学的正方形、三角形的知识是难点也是重点．
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