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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(15)一、单选题1．如图，正方形的边长为2，为边的中点，点在边上，点关于直线的对称点记为，连接，，．当点在边上移动使得四边形成为正方形时，的长为（）A．B．C．D．32．如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，四边形的周长为（）A．B．C．D．3．如图，矩形的两条对角线、相交于点，，．则矩形的面积为（）A．B．C．9D．184．将图1中两个三角形按图2所示的方式摆放，其中四边形为矩形，连接，，甲、乙两人有如下结论：甲：若四边形为正方形，则四边形必是正方形；乙：若四边形为正方形，则四边形必是正方形．下列判断正确的是（）,A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙都不正确D．甲、乙都正确5．如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9cm2和64cm2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（）A．8cm2B．8.5cm2C．9cm2D．9.5cm26．如图，ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确的是（ ）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④7．如图，平行四边形中，，点为边中点，，则的长为（）A．2B．3C．4D．58．如图，某花木场有一块四边形ABCD的空地，其各边的中点为E、F、G、H，测得对角线AC＝,11米，BD＝9米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（ ）A．20米B．11米C．10米D．9米9．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，作AF⊥BE于F，连接DF，若AB＝6，DF＝BC，则CE的长度为（）A．2B．C．3D．10．如图，，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．111．如图，在正方形中，点、分别在、上（不与端点重合），连接、相交于点，BF＝CE，则下列结论不正确的是（）A．B．,C．D．12．如图，在正方形中，点，分别在，上，且，点，分别为，的中点，为上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A．B．C．D．13．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1，BC1．若∠ACB＝30°，AB＝1，CC1＝x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B②当x＝1时，四边形ABC1D1是菱形③当x＝2时，△BDD1为等边三角形④s＝（x﹣2）2（0＜x＜2），其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个二、解答题14．如图，矩形的对角线，相交于点，过点作，过点作，与相交于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）连接、，若，，求的长．,15．定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．16．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为正方形，点A坐标为（0，3），点C坐标为（－3，0），线段DE∥x轴，点E在y轴上，点D的坐标为（4，5），若正方形OABC沿x轴左右运动，连接BE、AD，则在运动过程中，四边形ADEB周长的最小值是_____．17．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，M、N分别为对角线BD、AC的中点，连接MN，判定MN与AC的位置关系并证明．,18．点E、F分别在菱形的边、上，，作，交的延长线于点G，连接、．（1）如图1，求证：四边形是菱形；（2）如图2，当平分时，在不添加辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有的等腰三角形（不包括腰长等于的等腰三角形）19．如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上任意一点（可与，重合），连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，设．（1）求证：；（2）当时，求的长；（3）嘉淇同学在完成（1）后有个想法：“与也会存在全等的情况”，请判断嘉淇的想法是否正确，若正确，请直接写出与全等时的值；若不正确，请说明理由．20．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EFAB交PQ于F，连接BF．（1）求证：四边形BFEP为菱形；,（2）当点E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动；①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形BFEP的边长；②若限定P、Q分别在边BA、BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．三、填空题21．如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是__．22．如图，点为正方形的边的延长线上一点，以为边在的另一侧作正方形，连接，若，，则的面积为______．23．如图，在菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝3．若过点E的直线l，将该菱形的面积平分，且与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为_____．24．如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若AB＝10，AD＝6，则CE的长为_____．,25．如图平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BD＝2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论：①FE＝GE；②AE＝GF；③AE⊥GF；④FE⊥GE；⑤∠ADB＝2∠CBE；⑥GF平分∠AGE，其中正确的有_____．26．如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的周长是_____．27．在矩形中，，点P在矩形的条边上，，则线段的长为________．28．如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__．29．已知中，，，，直线交于且将平分为面积相同的两部分，线段长为______．30．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝_____．,【答案与解析】1．A【解析】先求出BD、BB'的长，最后利用线段的和差关系求解即可．解：如图，连接，连接，四边形是正方形，，平分，为边的中点，，四边形是正方形，，平分，点，点，点三点共线，，故选：．本题涉及到动点问题，考查了对称点、正方形的判定与性质、勾股定理等内容，要求学生能理解正方形的性质并能正确运用它们解决问题，本题蕴含了数形结合的思想方法．2．A【解析】连接CE，由已知结合方程可得AE=CE=5，DE=3，由勾股定理得到AC后即可得到OC，再由勾股定理和OC、CE的值可以求得OE，从而得到问题解答．解：连接，,四边形是矩形，，，，，，，，，设，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，，在中，由勾股定理得：，，由勾股定理得：，四边形的周长为，故选：．本题考查矩形的应用，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题关键．3．B【解析】先根据矩形的性质和说明△AOB为等边三角形，可得AB=OA,即AC=2AB,然后再运用勾股定理求得,最后求矩形的面积即可．解：四边形是矩形，，，，，是等边三角形，，，．，，解得，,矩形的面积为：．故选：．本题主要考查了矩形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，利用矩形的性质和已知条件说明△AOB为等边三角形成为解答本题的关键．4．B【解析】先设AB=BC=CD=AD=x，接着求出AQ和AP的值，根据勾股定理求出PQ的值，即可判断甲；求证△QMP和△PQA全等得出QD=AP，同理QD=AP=MC=BN，即可判断乙.若ABCD是正方形可设AB=BC=CD=AD=x∴AQ=4-x，AP=3+x∴PQ2=AQ2+AP2∴即x取不同值PQ不同，而QM=5，不一定为正方形；若PQMN为正方形，则MQ=PQ=MN=PN且∠QMD+∠MQD=∠QAP=∠AQP+∠QPA=90°在△QMD和△PQA中∠QMD=∠AQP，MQ=PQ，∠MQD=∠QPA∴△QMP≌△PQA（ASA）∴QD=AP同理QD=AP=MC=BN∴AB=CD则四边形ABCD是正方形本题关键在于熟练运用勾股定理和全等三角形的判定与性质进行求解.5．B【解析】先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可．解：如图，连接FH，∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，∴，,∴，∴，∴和同底等高，∴，∵菱形ABCD面积为9cm2，△BCF的面积为4cm2，∴（cm2），∴（cm2）．故选：B．本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法．6．C【解析】延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，根据角分线与垂线，三角形全等判定与性质，三角形中位线定理和矩形的判定和性质解答即可．解：延长CE交AB于G，延长BD交AC延长线于H，∵AE平分∠GAC，BD⊥AE，∴∠BAD=∠HAD，∠ADB=∠ADH=90°在△ADB和△ADH中，∴△ADB≌△ADH（ASA）∴BD=HD，∵F为BC的中点，∴BF＝CF，BD＝HD，，,∴DF∥CH，即DF∥AC，故①正确，∵AE平分∠GAC，CE⊥AE，∴∠GAE=∠CAE，∠AEG=∠AEC=90°在△AGE和△ACE中，∴△AGE≌△ACE（ASA）∴GE=CE，∴DF＝CH，∵GE＝CE，BF＝CF，∴EF＝BG，∵GB＝AB﹣AG＝AH﹣AC＝CH，即GB＝CH，∴GB＝CH，即EF＝DF，故②正确，∴AB﹣AC＝AB﹣AG＝BG，过G作GI⊥BH于I，∵∠GED＝∠EDI＝∠GID＝90°，∴四边形GIDE是矩形，∴GI＝ED，∴BG＞GI＝ED，∴AB﹣AC＞DE，故③错误；∵EF∥BG，DF∥HC，∴∠FED＝∠BAD，∠FDE＝∠HAD，∴∠FED+∠FDE＝∠BAD+∠HAD＝∠BAC，∵∠FED+∠FDE+∠EFD＝180°，,∴∠BAC+∠EFD＝180°，故④正确；故选：C．本题考查角平分线，垂线，三角形全等判定与性质，三角形中位线，矩形判定，直角三角形中斜边大于直角边，三角形内角和，掌握角平分线，垂线，三角形全等判定与性质，三角形中位线，矩形判定，直角三角形中斜边大于直角边，三角形内角和是解题关键．7．C【解析】先根据中点利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到AE等于BC的一半，再根据平行四边形的性质得到BC=AD，即可得出AE的长度．，点为边中点，，四边形为平行四边形，，，故选：．本题考查平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．看到中点想到在直角三角形中的作用是关键．8．A【解析】根据三角形中位线定理分别求出EF、FG、GH、HE，根据四边形的周长公式计算即可．解：∵E、F、G、H分别为四边形ABCD各边的中点，∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的中位线，∴EF＝AC＝（米），FG＝BD＝（米），HG＝AC＝（米），HE＝BD＝（米），∴四边形EFGH总长度＝EF+FG+GH+HE＝20（米），故选：A．本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．9．C【解析】,过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，先根据矩形的性质和已知条件得DA=DF，根据等腰三角形的性质得H是AF的中点，再证明GH为△ABF的中位线，进而证明四边形BEDG是平行四边形，求得DE，便可得CE的长度．解：过D作DH⊥AF于点H，延长DH与AB相交于点G，∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC，∵DF=BC，∴DA=DF，∴AH=FH，∵AF⊥BE，∴DG∥BE，∴GH为△ABF的中位线，∴AG=BG=AB=3，∵矩形ABCD中，AB=DC=6，AB∥DC，∴四边形BEDG为平行四边形，∴DE=BG=3，∴CE=CD-DE=6-3=3．故选：C．本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，关键是作出辅助线，证明GH为△ABF的中位线．10．A【解析】根据矩形的判定定理证明四边形ABDC是矩形，依据矩形的性质逐项判断即可．解：∵，，∴AB∥CD，∵，,∴四边形ABDC是平行四边形，∵，∴四边形ABDC是矩形，∴∠BAC=90°，∴，AD=BC，AB=CD，AC=BD，故正确结论有4个，故选：A．本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件进行推理证明．11．B【解析】根据正方形及全等三角形的判定与性质找到各角边的关系即可．解：∵ABCD是正方形∴∠ABF＝∠C＝90°，AB＝BC∵BF＝CE∴△ABF≌△BCE∴AF＝BE，（故A正确）；∠BAF＝∠CBE，∠AFB＝∠BEC（故B错误）；∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠CBE+∠ABE＝90°，∴∠DAF＝∠ABE（故C正确）；∵∠BAF＝∠CBE，∠BAF+∠AFB＝90°∴∠CBE+∠AFB＝90°，∴∠BGF＝90°，∴AG⊥BE（故D正确）所以不正确的是B，故选B．此题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理证明．12．D【解析】连接EC，当点E、P、C在同一直线时，由对称可得等腰△BPC，所以BP=PC．最小值是EC，依据△BEC≌△ADF可得AF=EC，即最小值是AF．,如图，连接EC．由对称性可知，等腰△BPC∴BP=PC∴=PC+EP∴当点E、P、C在同一直线时，的值最小∵正方形ABCD∴AD=BC，∠D=∠ABC∵∴△BEC≌△ADF∴AF=EC∴=PC+EP=EC=AF故选：D本题考查了最短路线问题、正方形的性质、三角形全等的判定，解决本题的关键是正方形的点B的对称点为点C．13．C【解析】根据平移前后两图形全等得到∠DAC=∠,根据平移的性质得到C1C=A1A，根据矩形的性质得到A1D=BC，再根据SAS证明两三角形全等．①正确；根据30°的直角三角形的性质可得△ABC1是等边三角形，再由平移的性质得出四边形ABC1D1是菱形．②正确；根据当x＝2时，点C1与点A重合，根据平移的性质,CC1=DD1=2,矩形的对角线相等，BD=AC，证明BD＝DD1，∠BDD1＝60°得出△BDD1为等边三角形．③正确；利用含30°的直角三角的性质得出AC1，再根据三角形的面积公式计算即可判定④错误；解：∵AC＝A1C1，∴AA1＝CC1∵BC＝D1A1，∠AA1D1＝∠BCC1，,∴△A1AD1≌△CC1B，故①正确，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，AB＝1，∴AC＝A1C1＝2，当x＝1时，AC1＝CC1＝1，∴AC1＝AB，∵∠BAC＝60°，∴△ABC1是等边三角形，同法可证：△AD1C1是等边三角形，∴AB＝BC1＝AC1＝AD1＝C1D1，∴四边形ABC1D1是菱形，故②正确，当x＝2时，BD＝AC＝2，DD1＝2，∠BDD1＝60°，∴△BDD1是等边三角形，故③正确，当0＜x＜2时，S＝•（2﹣x）•（2﹣x）＝（2﹣x）2，故④错误．故选：C．本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质、菱形的判定、平移变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．14．（1）见解析；（2）【解析】（1）先根据已知证得四边形OBFC是平行四边形，再根据矩形对角线的性质得到四边形OBFC是菱形；（2）连接FO并延长交AD于H，交BC于K，然后可以求得FH的值，再由tan∠OFD的值求得HD及BC的值，最后由勾股定理得到AC的值．解：（1），，四边形是平行四边形，矩形，，四边形是菱形．（2）连接并延长交于，交于，,菱形，，矩形，，，四边形是矩形，，，是中点，是中点，，，，，，，∴．本题考查矩形及菱形的应用，熟练掌握矩形及菱形的判定与性质是解题关键．15．（1）证明见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形；证明见解析；（3）AB最小值为．【解析】延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．结合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．从而得证；（2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠HBC+∠HCB=90°，根据三个中点知EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，据此得∠BGF=∠C，EFD=∠HBD，EF=GF．由,∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案；（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2然后结合（2）可知AB＝EF≥2可得答案．解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°．∴∠BAE=∠DAG．∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即∠EBD+∠BDG=90°，∴∠BHD=90°．∴BE⊥DG．又∵BE=DG，∴四边形BEGD是“等垂四边形”；（2）△EFG是等腰直角三角形．理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，∴AB⊥CD，AB=CD，,∴∠HBC+∠HCB=90°∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，∴EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，∴∠BGF=∠C，∠EFD=∠HBD，EF=GF，∴∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°．∴△EFG是等腰直角三角形；（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，则EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2，由（2）可知AB＝EF≥2，∴AB最小值为．本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．16．．【解析】过点A作，作点M与点N关于直线AB对称，连接MN、AM、MD交AB于H，证明四边形ABEN为平行四边形，当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，取最小值，进而进行求解即可．如图所示：过点A作，作点M与点N关于直线AB对称，,连接MN、AM、MD交AB于H，∵，且点D坐标为，∴点E坐标为，，∴四边形ABED周长=AB+BE+ED+AD=BE+AD+7，∵，，∴，，∴四边形ABEN为平行四边形，∴，∵M，N关于AB对称，∴，∴，当正方形OABC沿轴左右运动，当点A与H重合时，取最小值，四边形ADFE周长最小值为，∵四边形ABEN为平行四边形，∴∵，点E坐标为，∴点N坐标为，∵直线AB解析式为，点N，点M关于AB对称，∴点M坐标为，∴，∴四边形ADEB周长=，∴四边形ADEB周长的最小值为．本题主要考查了正方形平移问题，正确画出辅助线，读懂题意是解题的关键．17．MN⊥AC，见解析【解析】连接AM，CM，根据直角三角形斜边上中线的性质得出AM＝，CM＝BD，求出AM＝,CM，再根据等腰三角形的性质得出即可．解：MN⊥AC，证明：连接AM，CM，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，M为BD的中点，∴AM＝，CM＝，∴AM＝CM，∵N为AC的中点，∴MN⊥AC．本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②等腰三角形底边上的中线垂直于底边．18．（1）证明见解析；（2）△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．【解析】（1）由已知可得△ABE≌△ADF，所以可得AE=AF,∠BAE=∠DAF,∠EAG=∠FAG,根据FG//AE可得∠EAG=∠FGA,从而得到FG=AF=AE，所以可得四边形AEGF是平行四边形并进而得到其为菱形；（2）由（1）可得△AEG、△AFG为等腰三角形，又由已知得∠DAC=2∠FAC=2∠FGA=∠DCA=∠FGA+∠CFG，所以可得∠FGA=∠CFG，从而得到△CEG、△CFG也是等腰三角形．（1）证明：∵ABCD为菱形，∴AB=AD,∠B=∠D，∠BAC=∠DAC，∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF,∠BAE=∠DAF,∴∠EAG=∠FAG,∵FG//AE，∴∠EAG=∠FGA,,∴∠FAG=∠FGA,∴FG=AF=AE，∵FG//AE，∴四边形AEGF是平行四边形，又AE=AF，∴四边形AEGF是菱形；（2）由（1）及菱形的性质可得△AEG、△AFG是等腰三角形，∴∠FAC=∠FGA，由已知∠DAC=2∠FAC，∴∠DAC=2∠FGA，又AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵∠DCA=∠FGA+∠CFG，∴2∠FGA=∠FGA+∠CFG，∴∠FGA=∠CFG，∴△CFG是等腰三角形，同理可得△CEG也是等腰三角形，∴符合要求的等腰三角形为△AEG、△AFG、△CEG、△CFG．本题考查菱形的应用，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．19．（1）见解析；（2）；（3）正确；．【解析】（1）由旋转可知∠MAN=90°，然后得到，进而用SAS证明；（2）根据正方形的性质得到，由（1）中可得到，然后得到∠MDN=90°，则△MDN为直角三角形，然后利用勾股定理计算MN的长度即可；（3）由（2）可知△MDN为直角三角形，∠MDN=90°，所以要使得与存在全等的情况，即AM⊥BD时，此时结合（1）和（2）易证得≌，此时BM=BD．（1）证明：∵，∴，在和中，,，∴．（2）∵是正方形的对角线，且，∴，，∴，由得：，，∴，∴在中，．（3）正确；∵，∴BM=ND，由（2）可得∠MDN=90°，当AM⊥BD时，∵四边形ABCD是正方形，∴BM=AM=DM，∴BM=DM=ND=AM，在和中∴≌（SAS）∴BM=BD=3，即故嘉淇的想法正确，此时．本题主要考查全等三角形的判定和性质，结合勾股定理和正方形的性质，得到对应的边角数量关系是解题的关键．20．（1）见解析；（2）①；②,【解析】（1）由折叠的性质得出PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，由平行线的性质得出∠BPF＝∠EFP，证出∠EPF＝∠EFP，得出EP＝EF，因此BP＝BF＝EF＝EP，即可得出结论；（2）①由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在RtAPE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EFAB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形；（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在RtCDE中，DE＝＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；在RtAPE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，∴EP2＝12+（3﹣EP）2，解得：EP＝cm，∴菱形BFEP的边长为cm；②当点Q与点C重合时，如图2：点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；,当点P与点A重合时，如图3所示：点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．21．【解析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．解：如图：当点与点重合时，点在处，，当点与点重合时，点在处，，且．当点在上除点、的位置处时，有．由中位线定理可知：且．,点的运动轨迹是线段，当时，取得最小值．矩形中，，，为的中点，、、为等腰直角三角形，．，．．．，即，的最小值为的长．在等腰直角中，，的最小值是．故答案是：．本题考查了线段的最值问题以及矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．22．30【解析】延长GB交CD与点H，通过证明△ABE≌△CBH，得到，利用勾股定理可求得，得到，进而得到．解：如图，延长GB交CD与点H，,∵四边形ABCD是正方形，∴BA=BC，∠BCH=∠BAE=90°，∵四边形BEFG是正方形，∴∠EBG=90°，BE=BG，∴∠ABE+∠GBC=180°，又∵∠HBC+∠GBC=180°，∴∠ABE=∠HBC，∴△ABE≌△CBH，∴BH=BE，，∵BE=BG，∴BH=BG，∴，在Rt△ABE中，，∵，∴，故答案为：30．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题．23．【解析】根据全等图形的面积相等，在BC上截取CF=AE=3，连接EF，则EF即为所求，过点A作AH⊥BC，垂足为H，过点E作EG⊥BC，垂足为G，求得AH，FG，即可求得EF的长．根据全等图形的面积相等，在BC上截取CF=AE=3，连接EF，则EF即为所求，过点A作AH⊥BC，垂足为H，∵菱形ABCD中，AB＝8，∠B＝60°，∴∠BAH＝30°，BH=4，AH==；过点E作EG⊥BC，垂足为G，∵四边形ABCD是菱形，,∴AD∥BC，∵AH⊥BC，EG⊥BC，∴AH=EG，AE=HG=3，∴AH=EG=，AE=HG，∵BH=4，BF=5，HG=3，∴FG=BH+HG-BF=4+3-5=2，∴EF==．故答案为：．本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练构造平行线间的距离，构造直角三角形是解题的关键．24．【解析】根据折叠的性质可以得到EF＝BE，AF＝AB＝10，根据勾股定理可得DF＝8，求的CF＝2，再在Rt△CEF中，根据勾股定理建立方程即可求解．解：∵将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处，AB＝10，∴EF＝BE，AF＝AB＝10，在矩形ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝6，在Rt△ADF中，DF＝＝8，∴CF＝2，在Rt△CEF中，EF2＝CE2+CF2，设CE=x，∴（6﹣CE）2＝CE2+22，即（6﹣x）2＝x2+22，解得x＝，,则CE＝．故答案为：．本题考查矩形的性质，折叠轴对称性质，勾股定理，掌握矩形的性质，折叠轴对称性质，勾股定理，利用勾股定理建构方程是解题关键．25．①③⑤⑥【解析】根据平行四边形的性质可得证明△BOC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得BE⊥AC，根据直角三角形斜边中线定理得GE＝AB，由三角形中位线得EF＝CD，进而得到EG＝EF，可判断①；证明四边形AGEF是菱形可判断②③⑥；④易证BE⊥AE，四边形BEFG是平行四边形，由EG＝EF，要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，可判断④；根据平行线的性质和等腰三角形的性质可判断⑤．解：①∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD＝BC，DO＝BO＝BD，∵BD＝2AD，∴AD＝DO，BC＝BO，∴△BOC是等腰三角形，∵E是CO中点，∴EB⊥CO，∴∠BEA＝90°，∵G为AB中点，∴EG＝AB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF＝CD，∴EG＝EF，故①正确；②连接AF，,Rt△AEB中，G是AB的中点，∴EG＝AB＝AG，∵EG＝EF，∴AG＝EF，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF//CD，∵AB//CD，∴AG//EF，∴四边形AGEF是菱形，∴AE⊥FG，GF平分∠AGE，故②错误，③⑥正确；③∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF//DC，∵DC//AB，∴EF//AB，∴∠EFG＝∠AGF，∵EF＝EG，∴∠EFG＝∠EGF，∴∠EGF＝∠AGF，∴GF平分∠AGE，故③正确；④由①知：BE⊥AE，由②、③得：EF//AB，EF＝CD＝AB＝BG，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EG＝EF，∴要使EF⊥GE，则∠EFG＝∠EBA＝∠EAB＝45°，,没有条件AE＝BE，或∠BAC＝45°，故④错误；⑤∵AD//BC，∴∠ADB＝∠CBD＝2∠CBE，∴故⑤正确；本题正确的有：①③⑤⑥．故答案为：①③⑤⑥．此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．26．16+4【解析】先由四边形ABCD是矩形，得出∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．再解Rt△ADE，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE＝DE＝2，那么AD＝2．利用同角的余角相等得出∠BEC＝∠ADE＝30°，再解Rt△BEC，得到BE＝6，那么AB＝AE+BE＝8，然后根据矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）即可求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．在Rt△ADE中，∵∠A＝90°，∠ADE＝30°，DE＝4，∴AE＝DE＝2，AD＝．∵DE⊥CE，∠A＝90°，∴∠BEC＝∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°．在Rt△BEC中，∵∠B＝90°，∠BEC＝30°，BC＝AD＝2，∴BE＝，∴AB＝AE+BE＝2+6＝8，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2（8+2）＝16+4．故答案为：16+4．本题考查了矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质，余角的性质，求出AB与AD,的长是解题的关键．27．或【解析】确定P点的大致位置再利用勾股定理计算即可．矩形中∵，∴P在BC或者CD上当P在BC上时,当P在CD上时∴CP=1∴综上所述BP的长为或故答案为或本题主要考查勾股定理，确定P点位置并画出图形是解题的关键．,28．【解析】作DE⊥AB于E点，连接BD，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出DE的长，进而得出结论．如图，作DE⊥AB于E点，连接BD，∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴∠DAB=60°，则△ABD为等边三角形，∴∠MAE=30°，∴AM=2ME，∵MD=MB，∴MA+MB+MD=2ME+2MD=2DE，根据垂线段最短，此时DE最短，即MA+MB+MD最小，∵菱形的边长为6，∴AB=6，AE=3，∴，∴，∴MA+MB+MD最小值为，故答案为：．本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，掌握菱形的性质，将多条线段转化是解题关键．29．5【解析】在中，根据勾股定理求得AB=10，再由直线交于且将平分为面积相同的两部分，可得线段CD为斜边上的中线，即可得．在中，，，，,∴，∵直线交于且将平分为面积相同的两部分，∴线段CD为斜边上的中线，∴．故答案为：5．本题考查了勾股定理、三角形中线的性质及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的性质，熟练运用相关知识是解决问题的关键．30．18°【解析】根据四边形ABFG是矩形，得到∠GAB=90°，根据五边形ABCDE是正五边形，得到∠EAB=108°，利用∠EAG＝∠EAB-∠GAB计算即可．∵四边形ABFG是矩形，∴∠GAB=90°，∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠EAB=108°，∴∠EAG＝∠EAB-∠GAB=108°-90°=18°,故答案为:18°．本题考查了矩形的性质,正五边形的内角和定理，熟练掌握正五边形和矩形的内角和是解题的关键．
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