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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(14)一、单选题1．如图，正方形的面积是2，，，分别是，，上的动点，的最小值为（）A．3B．C．2D．12．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝120°，AB＝4，AD＝2，点O为对称中心，点M从点A出发沿AB向点B运动，到点B停止运动，连接MO并延长交CD于点N，则四边形AMCN形状的变化依次为（）A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形→平行四边形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形C．平行四边形→矩形→菱形→正方形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形→平行四边形3．如图，，分别是，上的中点，是上的一点，且，若，，则的长为（）,A．1B．2C．3D．44．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为（ ）A．5B．2C．2D．45．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边AB，BC的长分别为6和8，若S△APC＝15，那么点P到对角线BD的长是（）A．B．C．D．6．如图，点P为正方形内一点，已知正方形的边长为2，且有，则的最小值为（）．A．1B．C．D．7．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上，且A（﹣3，0），B（2，b），则b的值为（ ）,A．3B．2C．﹣3D．﹣28．如图，已知正六边形的边长为1，分别以其对角线、为边作正方形，则两个阴影部分的面积差的值为（）A．0B．2C．1D．9．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（）A．12B．10C．8D．6二、解答题10．如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长AP交CD于F点，连接BP交EC于点M．（1）求证：四边形AECF为平行四边形；（1）若∠AEP＝60°，判断BPC的形状并说明理由；（3）若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求CPF的面积．11．阅读材料，并回答问题．,定义：如果一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，那么把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．（1）请你写出一个和谐四边形是；（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝100°，∠C＝70°，BD平分∠ABC，求证：BD是四边形ABCD的和谐线；（3）如图2，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，在平面内找一点D，使得以点A、B、C、D组成的四边形为和谐四边形，且满足AD为和谐线，AB＝BD，请画出草图，并直接写出∠ABD的度数．12．如图，已知四边形ABCD是正方形．（1）如图1，若E、F、G分别是AB、BC、CD边上的点，AF和EG交于点O．现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AO＝FO；③AF＝EG．从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题，完成下列填空并证明：你选择的条件是，结论是．（只要填写序号）．（2）如图2，点E、F分别在AD、AB上，BE⊥CF，垂足为点O，连接EF、EC，M、N分别是BF、CE的中点，MN分别交BE、CF于点G、H，求证：OG＝OH；（3）如图3，AB＝3cm，E为CD边上一点，∠DAE=30°，O为AE的中点，过点O的直线分别交AD、BC于点M、N，若MN＝AE，请直接写出AM的长．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．,（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若AB＝13，DE＝5，求四边形AODE的面积．14．如图，在中，，，垂足为，过点作，且，连接，交于点，连接．（1）求证：四边形为矩形；（2）若，求的长．15．如图，在中，．求作：线段，使得点在线段上，且．作法：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点，两点；②做直线，交于点；③连接．所以线段即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵，，∴是的垂直平分线．（______）（填推理的依据）∴点是的中点．,∵，∴．（______）（填推理的依据）16．如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF交BC于E交AD于F，交AC于G，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若四边形AECF恰为正方形，且AB＝5，BC＝7，求平行四边形ABCD的面积．17．如图，在中，，为的中点，将沿直线翻折到．（1）试判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，求、两点之间的距离．18．如图，在的正方形网格中，、、、都是格点，点为与网格线的交点，用无刻度的直尺按下列要求作图：（1）过点作于；（2）过点作的垂线；（3）作．19．在平面直角坐标系中，A(0，a)，B(b，0)，D(c，0)，＋c2﹣4c＋4＝0，b,为最大的负整数，DE⊥x轴且∠BED＝∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．（1）求A，B，D的坐标；（2）在y轴上是否存在点G使得GF＋GE有最小值？如果存在，求出GF＋GE的最小值；如果不存在，请说明理由；（3）如图，过P(0，﹣1)作x轴的平行线，在平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM＝45°，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求的值．20．已知：如图，在菱形中，E，F分别在边，上，且，求证：．21．（1）如图1，在正方形中，的顶点E、F分别在、边上，高与正方形的边长相等，求的度数；（2）如图2，在中，．点M、N是边上的两点，且，点H为外一点，连结、、．若，,，探素、、的关系．（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长度是多少？22．已知和是等腰直角三角形，，F为的中点，连结．（1）如图①，当点D在上，点E在上，请判断线段的数量关系，并说明理由．（2）如图②，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转，请你判断此时（1）中的结论，是否仍然成立，并证明你的判断．三、填空题23．一张矩形纸片，已知，．小明按如图步骤折叠纸片，则四边形的面积为______．24．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝5，将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE＝GF；③DK＝HK；④当点F与点C重合时．其中正确的结论是____（填写序号）．,25．正方形ABCD的边长为4，M是AB的中点，N是BC的中点，AN和CM相交于点O，则四边形AOCD的面积是_____．26．如图，在正方形ABCD中，对角线为AC，在BC延长线上取一点F，有AC＝CF，AF与DC相交于点E，AB＝4，则CF＝_____，∠AEC＝_____．27．对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是________．28．如图，在中，，，，和分别是其外角和的角平分线，延长和相交于点E，则_____度，_____．,29．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为直角三角形，∠CED＝90°，∠DCE＝30°，若正方形的边长为2，则OE的长为__________．30．如图，矩形中，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，当________时，平分；连结，则的最小值为_______．,【答案与解析】1．B【解析】过点P作MN∥AD交AB于点M，交CD于点N，由正方形的性质可知：MN⊥AB，且PM≤PE、PN≤PF，可得到MN=AD≤PE+PF，再由正方形的面积为2得出结论．过点作交于点，交于点，如图所示：四边形为正方形，，（当时取等号），（当时取等号），，正方形的面积是2，．的最小值为．故选：．本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是找出EF=AD≤PE+PF．2．B【解析】根据OM与OA的位置关系，数量关系，两个方面去判断如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AM∥NC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，∴△MAO≌△NCO，∴MO=NO，∴四边形ANCM是平行四边形，当∠AOM=90°时，,四边形ANCM是菱形，当∠AOM＞90°，且OA≠OM时，四边形ANCM是平行四边形，当∠AOM＞90°，且OA=OM时，四边形ANCM是矩形，当∠AOM＞90°，且OA≠OM时，四边形ANCM是平行四边形，∴选B．本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握对角线与四边形的形状之间的关系是解题的关键．3．A【解析】利用三角形中位线定理得到DE=BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF=AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=4．∵∠AFB=90°，D是AB的中点，∴DF=AB=3，,∴EF=DE-DF=4-3=1．故选A．本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．4．B【解析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的长．解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），,∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝，故选：B．本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．5．B【解析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．解：连接OP，作PE⊥AC，PF⊥BD于点E，F，∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD＝＝10，∴OA＝OD＝5，∴S△ACD＝S矩形ABCD＝24，∴S△AOD＝S△ACD＝12，∵S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝×5×PE+×5×PF＝（PE+PF）＝12，解得：PE+PF＝，∵S△APC＝AC•PE＝×10×PE＝15，∴PE＝3，∴PF＝﹣PE＝﹣3＝．故选：B．,此题考查了矩形的性质以及三角形面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．6．C【解析】取AD中点E，连接PE、BE，当P、E、B三点共线时，最小，求出BE、PE即可．解：取AD中点E，连接PE、BE，∵正方形的边长为2，∴PE=AE=1，，∵，当P、E、B三点共线时，最小，最小值为，故选：C．本题考查了正方形中线段最短问题，解题关键是确定点P的运动轨迹，明确BP长取值范围．7．C【解析】作BM⊥x轴于M．只要证明△DAO≌△ABM，推出OA＝BM，AM＝OD，由A（﹣3，0），B（2，b），推出OA＝3，可得b＝．解：作BM⊥x轴于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝90°，∴∠DAO+∠BAM＝90°，∠BAM+∠ABM＝90°，∴∠DAO＝∠ABM，,∵∠AOD＝∠AMB＝90°，在△DAO和△ABM中，，∴△DAO≌△ABM（AAS），∴BM＝OA，∵A（，0），B（2，b），∴BM＝OA＝3，∴b＝．故选：C．本题考查正方形的性质、坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题．8．C【解析】根据正多边形的性质结合勾股定理求解即可；∵六边形是正六边形，∴则AD是其对称轴，则EF∥AD∥BC，E、C关于AD对称，则，∵四边形ADPQ、四边形CEHG是正方形，∴，∴四边形MCND是矩形，∴，连接OB、OC，∴，∴，,∴，∵正六边形内角和为，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴；故答案选C．本题主要考查了正方形的性质，结合正多边形的内角和求解是解题的关键．9．C【解析】根据矩形的性质和三角形面积关系可证明S△DEM=S△BFM，即可求解．解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，∴S△DEM=S△DQM，S△QCM=S△MFC，S△AEM=S△APM，S△MPB=S△MFB，S△ABC=S△ADC，∴S△ABC-S△AMP-S△MCF=S△ADC-S△AEM-S△MQC，∴S四边形DEMQ=S四边形MPBF，∵DE=CF=2，∴S△DEM=S△MFB=×2×4=4，,∴S阴=4+4=8，故选：C．本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S四边形DEMQ=S四边形MPBF．10．（1）见解析；（2）等边三角形，见解析；（3）【解析】（1）由折叠的性质得到BE＝PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE＝EB＝PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；（2）由（1）可知AP⊥BP，AE＝EB＝PE，可得∠AEP＝60°，∠APB＝90°，则△AEP为等边三角形，得出∠EAP＝60°，根据直角三角形的两锐角互余得出∠ABP＝30°，即可求得∠PBC＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出结论；（3）过P作PQ⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求出BM的长，根据BP＝2BM求出BP的长，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的长，根据AF﹣AP求出PF的长，由PQ与AD平行，得到三角形PQF与三角形ADF相似，由相似得比例求出PQ的长，再由FC＝AE＝3，求出三角形CPF面积即可．（1）证明：由折叠得到BE＝PE，EC⊥PB，∵E为AB的中点，∴AE＝EB＝PE，∴AP⊥BP，∴AF∥EC，∵AE∥FC，∴四边形AECF为平行四边形；（2）△BPC为等边三角形，理由：由（1）可知AP⊥BP，AE＝EB＝PE，∵∠AEP＝60°，∠APB＝90°，∴△AEP为等边三角形，∴AP＝PE，∠EAP＝60°，∴∠ABP＝30°，∵∠ABC＝90°，,∴∠PBC＝60°，由折叠得BC＝PC，∴△BPC为等边三角形；（3）过P作PQ⊥DC，交DC于点Q，在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝4，根据勾股定理得：EC＝5，∵S△EBC＝EB•BC＝EC•BM，∴BM＝，由折叠得：BP＝2BM＝，在Rt△ABP中，AB＝6，BP＝，根据勾股定理得：AP＝，∵四边形AECF为平行四边形，∴AF＝EC＝5，FC＝AE＝3，∴PF＝5﹣＝，∵PQ∥AD，∴，即，解得：PQ＝，则S△CPF＝FC•PQ＝×3×＝．此题属于四边形的综合题．考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．11．（1）菱形（或正方形）；（2）证明见解析；（3）画图见解析；60°；90º；150º．,【解析】（1）根据题意中关于和谐四边形的定义，直接写出答案即可．（2）根据AD∥BC，∠A＝100°，BD平分∠ABC，可得，，进而求得，根据等角对等边，可证BD是四边形ABCD的和谐线．（3）根据AD为和谐线，点D在之内，点A、B、C、D组成的凸四边形为和谐四边形，有三种情况，逐项分析画图，求出的度数即可．解：（1）一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，这个四边形叫做和谐四边形，符合这种条件的四边形是菱形或正方形．（2）∵AD∥BC，∠A＝100°，∴∠ABC＝80°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝40°，∵AD∥BC，∠C＝70°，∴∠ADC＝180°－70°＝110°，∴∠BDC＝110°－40°＝70°；BD将四边形ABCD分成△ABD和△CBD，∵∠ABD＝∠ADB，∴△ABD是等腰三角形，∵∠BDC＝∠BCD，∴△CBD是等腰三角形，∴BD是四边形ABCD的和谐线．（3）根据AD为和谐线，点D在之内，当AD为对角线，四边形ABCD有三种情况．第一种：AD＝AB＝AC＝BD，如图，以A为圆心，AB为半径画圆，以B为圆心，AB为半径画圆，点D位于线段BC下方两圆交点上，,∵AD＝AB，AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，第二种：AD不等于AB、BD、DC、AC，如图，以点B为圆心，AB为半径画圆，以点C为圆心，AC为半径画圆，两圆在BC下方的交点就是点D，则AB＝BD，AC＝DC，AB＝AC，∵四边形ABCD四条边都相等，且∠BAC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝90°；第三种：当AD只等于DC时，如图，以B为圆心，AB为半径画圆，点F为AC中点，AC的中垂线EF和圆相交，BC下方的交点即为D，过点B作BE⊥EF于点E，BD的中点为点N，连接NE，,此时，四边形BEFA为矩形(3个角是直角的四边形是矩形)，∵点F为AC中点，∴，∴，∵AC＝AB＝BD，∴，∵BD的中点为点N，△BDE是直角三角形，∴，，∴，∴△BNE是等边三角形，∠EBD＝60°，在直角△BDE中，∠BDE＝90°－∠EBD＝90°－60°＝30°，∵AB∥DF，∴∠ABD＝150°；综上，∠ABD＝60º；∠ABD＝90º；∠ABD＝150º．本题考查了根据平行线判定与性质证明，根据等角对等边证明等腰三角形，用尺规作图法画等腰三角形，直角三角形斜边上的中线，借助尺规作图法展开空间想象是解题关键．12．（1）①；③（2）证明见详解（3）AM=2；【解析】（1）根据三角形全等条件先找出GH=AD=AB，∠GHE=∠B=90°和∠AFB=∠AEG，即可求证；（2）取EF中点Q，连接QN，QM，，结合（1）找出条件BE=CF，利用中位线性质证明即可；（3）过M作MK⊥BC，结合（1）同理可证△MNK△AED，利用AB=3，∠DAE=30°和直角三角形中30°角所对边为斜边一般即可求解．（1）①；③证明：过点G作GH⊥AB于H，由题意知GH=AD=AB，∠GHE=∠B=90°，有∠BAF+∠AFB=90°，∵AF⊥GE，∴∠AOE=90°，∴∠BAF+∠AEG=90°，∴∠AFB=∠AEG，,∴△AFB△GEH（ASA），∴AF=EG；（2）证明：取EF中点Q，连接QN，QM，∴由（1）知当BE⊥CF时BE=CF，∴NQ=MQ，∠QNM=∠QMN，∵∠QMN=∠OGH，∠QNM=∠OHG，∴∠OGH=∠OHG，∴OG＝OH；（3）AM=2，过M作MK⊥BC，由（1）同理可证△MNK△AED，∴AE⊥MN，∠AOM=90°，∵AB=3，∠DAE=30°，∴AD=3，设DE=x，AE=2x，,则根据勾股定理可得：，，∵O为AE中点，∴，同理可得：AM=2．此题利用正方形考查三角形全等的判定定理，涉及到中位线的性质及应用和含30°角的直角三角形的三边的关系，有一定难度．13．（1）证明见详解；（2）四边形AODE的面积为．【解析】（1）先证四边形AODE为平行四边形，根据菱形的性质得出AC⊥BD，由矩形的判定定理得出四边形AODE是矩形；（2）由矩形的性质得OA=DE=5，由勾股定理求出OB的长，得出OD的长，由矩形面积公式即可得出答案．（1）证明：，，四边形AODE是平行四边形，在菱形ABCD中，，，四边形AODE是矩形；（2）解：四边形AODE是矩形，，四边形ABCD是菱形，，，，，,四边形AODE的面积．本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．14．（1）见解析；（2）2【解析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，由得到∠ADC=90°，实现解题目标；（2）由四边形ADCE是矩形，得到AD=CE=4，根据，得到∠EAF=∠BDF，∠AEF=∠DBF，且，得到△AEF≌△DBF，得到AF=DF==2．（1）∵，，∴BD=DC，∠ADC=90°，∵，且，∴，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）由（1）知四边形ADCE是矩形，∴AD=CE=4，∠EAF=∠BDF=90°，∵，∴∠AEF=∠DBF，∵，∴△AEF≌△DBF，∴AF=DF==2．本题考查了矩形的判定和性质，平行线的性质，三角形的全等，熟练掌握矩形判定和性质，根据平行线性质灵活证明三角形的全等是解题的关键．15．（1）作图见解析；（2）线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半．,【解析】（1）根据要求作出图形即可．（2）根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质证明即可．解：（1）补全图形如下图所示；（2）证明：∵，，∴是的垂直平分线．（_线段的垂直平分线的性质____）∴点是的中点．∵，∴．（___直角三角形斜边中线等于斜边的一半___）故答案是：线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半．本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．16．(1)证明见解析，(2)28或21．【解析】(1)由折叠的性质，易证AE＝AF，即可证得AF＝CF＝CE＝AE，即可得四边形AFCE为菱形．(2)设AE=x，根据勾股定理列出方程，解方程即可求面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，由折叠的性质，可得：∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，AF＝CF，∴∠AEF＝∠AFE，∴AF＝AE，∴AF＝CF＝CE＝AE，∴四边形AFCE为菱形．,(2)设AE=x，则BE=7-x，，解得，，，平行四边形ABCD的面积为：4×7=28或3×7=21．本题考查了折叠的性质、菱形的判定、正方形的性质和勾股定理，解题关键是熟练运用相应的知识准确进行推理，正确进行计算．17．（1）菱形，理由见解析；（2）【解析】（1）根据直角三角形的性质可得，再利用翻折性质可得，，则，即可证明结论；（2）先利用勾股定理求出AB，再由菱形性质可得OA，则可运用勾股定理求得DE，此题得解．解：（1）∵，为的中点，∴，由翻折性质得：，，∴，∴四边形是菱形；（2）连接DE与AB相交于点O，∵，，，∴，∵四边形是菱形，∴，，，∵，，∴，在中，由勾股定理得：,∴．即、两点之间的距离为8．此题主要考查了菱形的判定与性质，掌握菱形的判定方法及性质是解题的关键．18．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）连接RH，交DE于M，连接AM即可；（2）作正方形BPQA，连接CN，则CN即为所求；（3）连接CD，过点E作EF//CD，交格线于点F，连接CF即可．解：（1）如图，AM即为所作；（2）如图，CN即为的垂线；（3）如图，即为所作．此题考查了几何作图，熟练掌握矩形的性质和正方形的判定与性质是解答此题的关键．19．（1）A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2）存在，最小值为；（3）1．【解析】（1）由非负数的性质可求得a、c的值，可求得A、B、D的坐标；（2）由条件可证明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE的解析式，可求得F点坐标；如图1，作点F关于y轴的对称点F'(﹣3，0)，连接EF'，交AO于G，则GF＋GE最小值为EF'，由勾股定理可求解；（3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点H，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI＝QH，可证明△IGE≌△QHE，可证得∠IEM＝∠MEQ＝45°，可证明△EIM≌△EQM，可得到IM＝MQ，再结合条件可求得AI＝PQ，可求得答案．解：（1）∵＋c2﹣4c＋4＝0，∴＋（c﹣2）2＝0，∴a＝3，c＝2，,∵b为最大的负整数，∴b＝﹣1，∴A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)；（2）∵A(0，3)，B(﹣1，0)，D(2，0)，∴OB＝1，OD＝2，OA＝3，∴AO＝BD，在△ABO和△BED中，，∴△ABO≌△BED（AAS），∴DE＝BO＝1，∴E(2，1)，设直线AE解析式为y＝kx＋b，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y＝﹣x＋3，令y＝0，可解得x＝3，∴F(3，0)，如图1，作点F关于y轴的对称点F'(﹣3，0)，连接EF'，交AO于G，则GF＋GE最小值为EF'，∴EF'＝＝＝，∴GF＋GE的最小值为；,（3）过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G、H，在GA上截取GI＝QH，如图2，∵E(2，1)，P(﹣1，0)，∴GE＝GP＝EH＝PH＝2，∴四边形GEHP为正方形，∴∠IGE＝∠EHQ＝90°，在Rt△IGE和Rt△QHE中，∴△IGE≌△QHE（SAS），∴IE＝EQ，∠1＝∠2，∵∠QEM＝45°，∴∠2＋∠3＝45°，∴∠1＋∠3＝45°，∴∠IEM＝∠QEM，在△EIM和△EQM中，，∴△EIM≌△EQM（SAS），∴IM＝MQ，∴AM﹣MQ＝AM﹣IM＝AI，由（2）可知OA＝OF＝3，∠AOF＝90°，∴∠A＝∠AEG＝45°，∴PH＝GE＝GA＝IG＋AI，,∴AI＝GA﹣IG＝PH﹣QH＝PQ，∴＝1．本题是三角形综合题，涉及知识点有非负数的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，正方形的判定和性质等知识，熟悉相关性质是解题的关键．20．证明见解析【解析】由四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又因为CE=CF，所以CB-CE=CD-CF，即DF=BE．可证△ADF≌△ABE，所以AE=AF．证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB=CD=CB，∠B=∠D．又∵CE=CF，∴CB-CE=CD-CF，即DF=BE．∴△ABE≌△ADF(SAS)．∴AE=AF．此题主要是利用菱形的性质求证全等三角形，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．21．（1）；（2），理由见详解；（3）【解析】（1）由题意易得，则有，同理可得，然后问题可求解；（2）由题意易得，则有，进而可证，，然后可得，，则，最后根据勾股定理可求解；（3）由（2）得，，由题意易得BD=12，设，则有，然后根据勾股定理可求解．解：（1）∵四边形是正方形，∴，∵，∴，,∴（HL），∴，同理可得，∵，∴，∴；（2），理由如下：∵，∴，∵，，∴，∵，∴（SAS），∴，∴，∵，∴，∵AN=AN，∴（SAS），∴，∴在Rt△HDN中，，∴；（3）由（2）得，，，∵，∴，∵，∴设，则有，∴，解得：，,∴．本题主要考查勾股定理、正方形的性质及等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、正方形的性质及等腰直角三角形的性质是解题的关键．22．（1）DF=CF，理由见解析；（2）成立，证明见解析【解析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF；（2）延长DF交BC于点G，先证明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为∠ABC=90°，所以DF=CF．解：（1）∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，∴DF=BE，CF=BE，∴DF=CF；（2）成立，证明：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G．∵∠ADE=∠ACB=90°，∴DE∥BC．∴∠DEF=∠GBF，∠EDF=∠BGF．∵F为BE中点，∴EF=BF．∴△DEF≌△GBF．∴DE=GB，DF=GF．∴CF=DG=DF．本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．,23．【解析】根据折叠的性质，得到，是△的中位线，且=1，根据梯形的面积公式计算即可．解：∵，，∴根据折叠的性质，得到，∴是△的中位线，∴=1，∴四边形的面积为．故答案为：本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的中位线定理，准确理解折叠的性质，矩形的性质是解题的关键．24．①②④【解析】由折叠的性质可得四边形EBFG是菱形从而判断①②正确;由角平分线定理和直角三角形即可判断KHKM=KD，由此推出③错误；根据F、C重合时的性质,可得DE=1,进而用勾股定理求出EF推出④正确．解：连接BE,由折叠可知BO=GO，∵EG//BF，∴∠EGO=∠FBO，在△EOG和△FOB中，，∴△EOG≌△FOB(AAS)，∴EG=BF，∴四边形EBFG是平行四边形，由折叠可知BE=EG，则四边形EBFG为菱形，,故EF⊥BG，GE=GF，∴①②正确；∵四边形EBFG为菱形，过K作kM⊥FG于M，∴KG平分∠DGH，KD⊥EG，∴KD=KM，在Rt△KMH中，KH为斜边，∴KHKM=KD，∴③错误；当点F与点C重合时，BE=BF=BC=5，AB=3，在Rt△ABE中，由勾股定理AE=，∴ED=AD-AE=5-4=1，在Rt△EDC中，由勾股定理EF=，∴④正确．综合，正确的为①②④．故答案为：①②④．本题考查矩形的性质，菱形的判断，折叠的性质，勾股定理，掌握矩形的性质，菱形的判断，折叠的性质，勾股定理，关键在于结合图形对线段和角度进行转换．25．【解析】通过多次全等可找到△OBM≌△OBN，即△OBM和△OBN面积相等，然后由M是AB的中点，可知△OAM和△OBM面积相等，从而可得到△OAB的面积为△ABN面积的，求出△OAB的面积，同理得到△OCB的面积，最后用正方形面积减去△OAB和△OCB的面积即可得到答案．,解：如图，连接OB，∵正方形ABCD中，M是AB的中点，N是BC的中点，正方形边长为4，∴，在△ABN和△CBM中，∴△ABN≌△CBM，∴∠OAM=∠OCN，在△OAM和△OCN中，∴△OAM≌△OCN，∴OM=ON，在△OBM和△OBN中，∴△OBM≌△OBN，∴△OBM和△OBN面积相等，由M是AB的中点，可知△OAM和△OBM面积相等，∴△OAB的面积为△ABN面积的，，∴，,同理，∴，故答案为：．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积问题，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．26．112.5°【解析】由四边形ABCD是正方形，根据正方形的性质可得AB=BC=4，∠B=90°，再由由勾股定理求得AC=，由CF=AC即可得CF=；根据正方形的性质可得∠BCD=∠D=90°，即可得∠ACB=45°，∠DCF=90°；根据等腰三角形的性质可得∠F=∠CAF，由三角形外角的性质可得∠F+∠CAF=∠ACB=45°，即可求得∠F=22.5°，再由三角形外角的性质即可求得∠AEC=112.5°．∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠B=90°，由勾股定理得：AC=，∵CF=AC，∴CF=．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠D=90°，∴∠ACB=∠DCB=×90°=45°，∠DCF=90°，∵AC=CF，∴∠F=∠CAF，∵∠F+∠CAF=∠ACB=45°，∴∠F=×45°=22.5°，∴∠AEC=∠F+∠DCF=22.5°+90°=112.5°．故答案为：，112.5°．本题考查了正方形性质、三角形的外角性质及勾股定理的应用，主要考查学生灵活运用正方形性质进行推理和计算的能力，难度不大．,27．【解析】由的面积为m可得的高为，然后再分三角形的高取最小值和最大值两种情况求解即可．解：∵的面积为m∴边BC上的高为如图：当高取最小值时，为等边三角形，A与M或N或MN上一重合重合，如图：过A作AD⊥BC，垂足为D∵等边三角形ABC,BC=4∴∠ABC=60°,BC=4，∠BAD=30°∴BD=2,∴AD==2∴，即m=4；如图：当高取最大值时，菱形为正方形，∴A在中点，∴，即m=8,∴．故填：．本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、等边三角形的性质以及勾股定理，考查知识点较多，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．28．45°6【解析】根据角平分线的定义和三角形外角的性质和三角形内角和定理，即可求得∠D，过点D作DH⊥AC于点H，过点D作DM⊥BG于点M，过点D作DN⊥BG于点N，先证明RtRt，可得AH=AM，同理：CH=CN，设CN=x，则AM=5-x，根据正方形的性质，列出方程，即可求解．解：∵和分别是其外角和的角平分线，∴∠DCA=∠FCA，∠DAC=∠GAC，又∵∠FCA=∠CAB+90°，∠GAC=∠ACB+90°，∴∠DCA+∠DAC=(∠FCA+∠GAC)=(∠CAB+90°+∠ACB+90°)=×270°=135°，∴∠D=180°-(∠DCA+∠DAC)=180°-135°=45°．过点D作DH⊥AC于点H，过点D作DM⊥BG于点M，过点D作DN⊥BG于点N，则四边形DMBN是矩形，,∵和分别是其外角和的角平分线，∴DN=DH，DM=DH，即：DN=DH=DM，∴四边形DMBN是正方形，在Rt和Rt中，∵，∴RtRt（HL），∴AH=AM，同理：CH=CN，∵在中，，，，∴AC=，∴AM+CN=AC=5，设CN=x，则AM=5-x，∴4+x=3+5-x，解得：x=2，∴AM=5-2=3，DM=BN=4+2=6，在Rt和Rt中，∵，∴RtRt，∴BE=DM=6．故答案是：45°，6．,本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．29．．【解析】过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，由直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=1，再利用勾股定理列式求出CE，由正方形的性质可得DN=，进一步可得结论．解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，∵∠CED=90°，∴四边形OMEN是矩形，∴∠MON=90°，∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，∴∠COM=∠DON，∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OD，在△COM和△DON中，∴△COM≌△DON（AAS），∴OM=ON，∴四边形OMEN是正方形，∴ME=NE，∵∠CED=90°，∠DCE=30°，,∴DE=CD=1，CE=，∵NE=ME，∴1+DN=-CM，∴DN=∴NE=DN+DE=+1=∵OE=故答案为：．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．30．2【解析】答题空1：ED平分∠FEC时，证出CDE是等腰直角三角形，得出DE=CD=2，求出AE=AD-DE=2即可；答题空2：过F作FH⊥ED，利用正方形的性质和全等三角形的判定得出EFH≌EDC，进而利用勾股定理解答即可．解：答题空1∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=2，AD=BC=4，∠D=90°，∵四边形CEFG是正方形，∴∠FEC=90°，∵ED平分∠FEC，∴∠CED=45°，∴CDE是等腰直角三角形，∴DE=CD=2，∴AE=AD-DE=2，即当AE=2时，ED平分∠FEC；故答案为：2；,答题空2过F作FH⊥ED垂足为H，如图所示：∵四边形CEFG是正方形，∴EF=EC，∠FEC=∠FED+∠DEC=90°，∵FH⊥ED，∴∠FHE=∠D=90°，∠FED+∠EFH=90°，∴∠DEC=∠EFH，且EF=EC，在EFH和EDC中，∴EFH≌EDC（AAS），∴EH=DC=2，FH=ED，∴由勾股定理得：AF===，∴当AE=1时，AF的最小值为；故答案为：．本题考查正方形的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理解三角形等知识；关键是利用正方形的性质和全等三角形的判定得出△EFH≌△EDC．
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