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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(13)一、单选题1．如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝2．以上结论中，你认为正确的有（ ）个．A．1B．2C．3D．42．如图1，四边形是菱形，对角线相交于点O，P，Q两点同时从点O出发，以1厘米/秒的速度在菱形的对角线及边上运动．P，Q的运动路线：点P为，点Q为．设运动的时间为x秒，P，Q间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则菱形的面积为（）A．B．C．D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合．若DC＝5，则AF的长为（ ）,A．5B．C．D．4.5二、解答题4．如图，在含有60°角的5×6菱形网格中，我们把顶点都在格点上的多边形称为格点多边形，A，B均在格点上，按下面要求画出格点多边形．（1）在图1中画出一个等腰三角形ABC．（2）在图2中画出一个菱形APBQ．5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，BD平分∠ABC．过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若CE＝，四边形ABCD的面积为4，求DE的长．6．如图，在四边形中，，、分别是、的中点．,（1）求证：；（2）求证：．7．如图1，矩形ABCD中，点E，P，K分别在AB，AD，BC上，且DE⊥PK，DE＝PK．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）如图2，在（1）的条件下，△EFC是等腰直角三角形，∠CEF＝90°，FG⊥AD于点G．①求证：AG＝FG；②若点H为CF的中点，求的值．8．如图，在菱形中，点分别是边上的点，．,求证：（1）；（2）．9．如图，在矩形ABCD中，AO＝OC．（1）用尺规过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．（用基本作图，保留作图痕迹，不写作法、结论）（2）求证：四边形AFCE是菱形．10．如图，在平行四边形ABCD中，按下列步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，交AB于点N．交BC于点M；②再分别以点M和点N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于点G；③作射线BG交AD于F；④过点A作AE⊥BF交BF于点P，交BC于点E；⑤连接EF，PD．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝8，AD＝10，∠ABC＝60°，求△APD的面积．11．教材呈现：如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．,已知：如图①，在中，，是斜边上的中线．求证：．（1）请写出完整的证明过程．（2）结论应用：如图②，、是锐角的两条高，M、N分别是、的中点，判断与的位置关系，并证明你的结论．（3）在（2）的条件下，若，则的长为________．12．如图，四边形为矩形，G是对角线的中点．连接并延长至F，使，以、为邻边作，连接．（1）若四边形是菱形，判断四边形的形状，并证明你的结论．（2）在（1）条件下，连接，若，求的长．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）OE AE（填＜、＝、＞）；（2）求证：四边形OEFG是矩形；（3）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．14．如图，点B，C，D在同一条直线上，△BCF和△ACD都是等腰直角三角形，连接AB，DF，延长DF交AB于点E．,（1）如图1，若AD＝BD，DE是∠ADB的平分线，BC＝1，求CD的长度；（2）如图2，连接CE，求证：DE＝CE＋AE；（3）如图3，改变△BCF的大小，始终保持点在线段AC上（点F与点A，C不重合）．将ED绕点E顺时针旋转90°得到EP，取AD的中点O，连接OP．当AC＝2时，直接写出OP长度的最大值．15．如图，在平行四边形ABCD中，AD＞AB．（1）作∠BAD的平分线交BC于E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，要下结论）；（2）在AD边上截取AF＝AB，连接EF，若AB＝3，∠B＝60°，求四边形ABEF的面积．16．如图，AB∥CD，点E是CD的中点．（1）用尺规作∠BDC的平分线（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的情形下，设∠BDC的平分线交AB于点F，连接EF交BC于点H．若HB＝HC，猜想四边形BDEF是哪种特殊的平行四边形？并证明你的猜想．17．定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝ ；（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF,是准矩形；（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．18．如图，在矩形ABCD中，点E为线段BC上一点．（1）尺规作图：在矩形内部作∠ABF＝∠CDE，BF交边AD于点F（基本作图，保留作图痕迹，不写作法）．（2）在（1）的条件下，证明四边形FBED为平行四边形．19．在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段的两个端点都在格点上，请按下列要求作图，所作图形的顶点都在格点上．（1）在图1中画一个以为斜边的，且满足两直角边都是无理数．（2）在图2中画一个，且满足两条对角线互相垂直．20．如图，点E、F、G、H分别在矩形的边、、、（不包括端点），上运动，且满足，．,（1）求证：四边形是平行四边形；（2）请探究四边形的周长一半与矩形一条对角线长的大小关系，并说明理由．三、填空题21．如图，正方形ABCD，边长为4，点E是CD边的中点，F在边BC上，沿AF对折△ABF，点B落在AE上的G点处，则________．22．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．当△ABP≌△ADN时，则BP的长为_____．23．在综合实践课上，小慧把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图①所示．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，连，在平移过程中：（1）四边形的形状始终是________．（2）的最小值为_______．,24．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠EDC＝114°，则∠ADE的度数为_____．25．在中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D为AB上一动点，连接CD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE的最小值为_____．26．如图，在中，，交于点E．若，则_________．27．如图，正方形ABCD中，O是AC的中点，E是AD上一点，连接BE，交AC于点H，作于点F，于点G，连接OF，则下列结论中，①；②OF平分；③,；④；⑤，正确的有_______．（填序号）28．如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则__________．29．如图，ABCD是一张长方形纸片，且AD＝2AB＝8，沿过点D的折痕将A角翻折，使得点A落在BC上（如图中的点A′）折痕交于点G，则BG＝______．30．如图，正方形是由四个全等的直角三角形围成的，若，，则的长为___．,【答案与解析】1．C【解析】先根据翻折的性质可得CF＝FH，∠HFE=∠CFE，可证△FEH是等腰三角形，可得HE=HF=FC，判断出四边形CFHE是平行四边形，再然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH＝∠ECH，然后求出只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，判断出②错误；过点F作FM⊥AD于M，点H与点A重合时，设BF＝x，表示出AF＝FC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得到BF的最小值，点G与点D重合时，CF=FM=MD＝CD，求出BF＝4，然后写出BF的取值范围，判断出③正确；求出ME，再利用勾股定理列式求解得到EF，判断出④正确．解：∵将纸片ABCD沿直线EF折叠，∴FC=FH，∠HFE=∠CFE，∵AD∥BC，∴∠HEF=∠EFC=∠HFE，HE∥FC，∴△HFE为等腰三角形，∴HE=HF=FC，∵EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴EH∥CF，且HE=FC，∴四边形CFHE是平行四边形，∵FC=FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；∵HC为菱形的对角线，∴∠BCH＝∠ECH，∠BCD=90°，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；过点F作FM⊥AD于M，,点H与点A重合时，BF最小，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，点H与点M重合，BF最大，CF=FM=DM＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；当点H与点A重合时，由③中BF=3，∴AF=AE=CF=EC=8-3=5，则ME＝5﹣3＝2，由勾股定理得，EF＝＝2，故④正确；综上所述，结论正确的有①③④共3个．故选：C．本题考查矩形折叠性质，等腰三角形的判定，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握矩形折叠性质，菱形的判定与性质，勾股定理是解题关键．2．A【解析】根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动；第二P在AD，Q在CB；第三两者在DB运动．在根据运动速度和各个过程的运动路程进行求解即可．解：根据图像可以知道整个过程分为三个过程：第一两者在AC上运动由图像可知，此过程运动时间为2s，运动完成P、Q两点相距cm∴cm,由菱形性质得：cm，⊥同理第三个过程运动完成时P、Q两点相距2cm∴cm∴cm故选A．本题主要考查了菱形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的相关性质．3．B【解析】根据折叠的性质和勾股定理定理即可得到结论．解：∵将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，∴BD＝DE，BC＝CE＝6，∠B＝∠CED，∵将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合，∴∠A＝∠DEF，AD＝DE，AF＝EF，∴∠FED+∠CED＝90°，∴AD＝DB，∴CD＝DA＝DB＝AB，∵DC＝5，∴AB＝10，∴AC＝＝＝8，∴CF＝8﹣AF，∴EF2+CE2＝CF2，∴AF2+62＝（8﹣AF）2，∴AF＝，故选：B．,本题考查了翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．4．（1）答案见详解；（2）答案见详解【解析】（1）根据等腰三角形的定义，画出图形即可．（2）根据菱形的判定画出图形即可．解：（1）如图，△ABC即为所求作．（2）如图，菱形APBQ即为所求作．本题考查作图，菱形的性质，等腰三角形以及线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（1）见详解；（2）．【解析】（1）由平行线的性质和角平分线得出∠ADB＝∠ABD，证出AD＝AB，由AB＝BC得出AD＝BC，即可得出结论；（2）由勾股定理得CD=，结合菱形的面积公式，列出关于DE的方程，即可求解．（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，,∵AB＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵DE⊥BC，CE＝，∴CD=，∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD=，∵四边形ABCD的面积为4，∴∙DE=4，即：，∴，∴DE=或DE=-（舍去），∴DE=．本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．6．（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可证得结论；（2）根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．证明：（1）如图，连接BM、DM，,∵，M是AC的中点，∴，，∴；（2）∵，点N是BD的中点，∴．本题考查了直角三角形与等腰三角形的性质，熟记性质并作出相应的辅助线是解题的关键．7．（1）见解析；（2）①见解析；②【解析】（1）如图1中，作KH⊥AD于H交DE于O，设DE交PK于J．证明△ADE≌△HKP（AAS），推出AD＝KH，想办法证明AD＝DC即可解决问题．（2）①如图2中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，进一步可得结论；②如图2﹣1中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得＝＝，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG，推出∠GDH＝45°即可解决问题．（1）证明：如图1中，作KH⊥AD于H交DE于O，设DE交PK于J．,∵PK⊥DE，KH⊥AD，∴∠KJO＝∠DHO＝90°，∵∠DOH＝∠JOK，∴∠JKO＝∠HDO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝∠ADC＝90°＝∠KHP，∵DE＝PK，∴△ADE≌△HKP（AAS），∴AD＝KH，∵∠KHD＝∠C＝∠CDH＝90°，∴四边形CDHK是矩形，∴CD＝KH，∴AD＝CD，∴四边形ABCD是正方形．（2）①解：如图2中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M．∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC,∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，②解：(方法一)如图2﹣1中，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴＝＝，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∵AG＝FG＝NC，又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH，∴DH＝GH＝HN，∴∠GDH＝45°，∴＝．(方法2)由题可知FG⊥AD,CD⊥AD,∴∠GFH=∠NCH∵H为中点,∴FH=CH,又∠GHF=∠NHC∴△GHF≌△NHC∴GH=NH，DH⊥GN由三线合一的性质得∠GDH＝45°，∴＝．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．8．（1）证明见详解；（2）证明见详解．【解析】（1）由菱形性质可得CD=BD，利用ASA可证即可；（2）由可得利用线段和差计算即可．证明：（1）在菱形中，CD=BD，在和中，，；（2），∴，∴．∴BF=CE．本题考查菱形的性质，三角形全等判定与性质，线段和差计算，掌握菱形的性质，三角形全等判定方法与性质，线段和差计算是解题关键．9．（1）图形见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线；（2）利用垂直平分线证得△AEO≌△CFO即可证得结论．如图，,（2）四边形AFCE是菱形证明∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO，又∵∠EOA=∠FOC，∴△AEO≌△△CFO，∴AE=CF，∴四边形AFCE是平行四边形，又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形．本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质，了解基本作图是解答本题的关键，难度中等．10．（1）见解析；（2）10【解析】（1）由作图知∠ABF＝∠EBF，再证明证明四边形ABEF是平行四边形，从而可得结论；（2）作PH⊥AD于H，分别求解AP＝＝4，PH＝，从而可得答案．（1）证明：由作图知∠ABF＝∠EBF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，,∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又AB＝BE，∴四边形ABEF是菱形；（2）解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC＝60°，AB＝8，∴AB＝AF＝8，∠ABF＝∠AFB＝30°，AP⊥BF，∴AP＝＝4，∴PH＝，∴S△ADP＝本题考查的是角平分线的尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，含的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）见解析；（2）垂直平分，见解析；（3）【解析】（1）取中点为E，连接．得出为中位线，再得到，因而垂直平分，即可求解．（2）连接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得EM=，再根据等腰三角形三线合一即可解答．（3）求出EM，FM，然后利用勾股定理列式计算即可得解．（1）证明：取中点为E，连接．,∵是斜边上的中线∴，又∵∴为中位线∴∵，∴∴垂直平分∴∴（2）垂直平分证明：连接∵、是锐角两条高∴，∴，∴在中，M为中点，在中，，∴，又∵N为中点，∴为中垂线．（3）由（2）知，为中垂线，,∴，∴∴在中，本题是三角形综合题，考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，熟记性质并作辅助线构造成等腰三角形是解题的关键.12．（1）菱形，见解析；（2）【解析】（1）证出GB=GC=GD=CF，由菱形的性质的CD=CF=DE，DE∥CG，则DE=GC，证出四边形CEDG是平行四边形，进而得出结论；（2）证出△CDG是等边三角形，得∠GCD=60°，证明△BGC≌△DCF，即可得DF．解：（1）四边形是菱形，理由如下：∵四边形为矩形，G是对角线的中点，∴，∵，∴，∵四边形是菱形，∴，，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形；（2）解：∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，∴，∴．,本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．13．（1）=；（2）见解析；（3）OE=5；BG=2．【解析】（1）由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质即可得出答案；（2）先证OE是三角形ABD的中位线，得到推出OE∥FG，再证四边形OEFG是平行四边形，然后由矩形的判定定理即可得到结论；（3）先由菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=5；再由菱形的性质得FG=OE=5，然后由勾股定理得到AF=3，于是得到结论．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E是AD的中点，∴OE=AD=AE，故答案为：=；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，∵E是AD的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴平行四边形OEFG是矩形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，,∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，∴OE=AE=AD=5；由（1）知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=，∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．14．（1）；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）根据等腰直角三角形的性质，求出，再判断出，即可得出结论；（2）先判断出，得出，进而判断出，得出，，即可得出结论；（3）先判断出，再判断出，进而求出．即可得出结论．（1）解：和都是等腰直角三角形，，，，，是的平分线，垂直平分，，，；（2）证明：如图2，过点作交于点，,和都是等腰直角三角形，，，；，，，，，，．在和中，，，，，．；（3）的最大值是．解：如图3，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，则．,由（2）知，，在中，点是斜边的中点，，，在和中，，，．，当且仅当、、三点共线时，取“”号，的最大值是．此题是几何变换综合题，主要等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形是解本题的关键．15．（1）图见解析；（2）．【解析】（1）由角平分线的作法即可作的平分线交于点，画出图形即可；（2）根据平行四边形的性质得是菱形，再由，，即可求四边形的面积．解：（1）如图，即为所求；,（2）在平行四边形中，，，由（1）知：平分，，，，，，，四边形是平行四边形，，是菱形，作于点，，，，四边形的面积为：．本题考查了平行四边形的性质和菱形的性质及判定、作图基本作图，熟练掌握平行四边形的性质和证明四边形四边形是菱形是解题关键．16．(1)画图见解析，(2)菱形，证明见解析．【解析】（1）根据题意作出图形即可；（2）根据三角形中位线的性质得到EH∥BD，推出四边形BDEF是平行四边形；根据平行线的性质和角平分线定义得到∠BFD＝∠BDF，求得BF＝BD，由菱形的判定定理即可得到结论．解：（1）如图所示；（2）四边形BDEF是菱形，理由：∵点E是CD的中点，∴CE＝DE，,∵CH＝BH，∴EH∥BD，∵AB∥CD，∴四边形BDEF是平行四边形；∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠EDF，∵BF平分∠BDC，∴∠BDF＝∠EDF，∴∠BFD＝∠BDF，∴BF＝BD，∴四边形BDEF是菱形．本题考查了基本作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的性质，菱形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．17．（1）2；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）利用勾股定理计算，再根据准矩形的特点求出即可；（2）先利用正方形的性质判断出△ABE≌△BCF，即可得证；（3）作DF⊥BC，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．解：（1）∵∠ABC=90°，AB=2，BC=4，∴AC=，∵四边形ABCD是准矩形，∴BD=AC=2．故答案为：2；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，,∴∠EBF+∠EBC=90°，∵BE⊥CF，∴∠EBC+∠BCF=90°，∴∠EBF=∠BCF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE=CF，∴四边形BCEF是准矩形；（3）作DF⊥BC，垂足为F，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，∴∠BCA＝30°，∴AC=4，BC=2，∵AC=BD，AC=DC，∴BD=CD=4，∴BF=CF=BC=，∴DF=，∴S准矩形ABCD=S△DCF+S梯形ABFD===．本题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，三角形面积公式，正确运用准矩形的定义是解本题的关键．,18．（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）如图所示，以DE为半径，以B为圆心画圆，交AD于点F，点F即为所求点；（2）利用矩形的性质和全等三角形的判定可得△ABF≌△CDE，根据矩形的性质和全等三角形的性质可得DF平行且等于BE，继而即可求证结论．（1）如图所示，以DE为半径，以B为圆心画圆，交AD于点F，点F即为所求点；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∠A＝∠C＝90°，又∠ABF＝∠CDE，∴△ABF≌△CDE（ASA），∴AF＝CE，∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE，又DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形．本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定和性质、平行四边形判定，解题的关键是熟练掌握所学知识．19．（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】（1），即找出点C，使即可．（2）根据（1）的直角三角形，将其直角边延长至原来的二倍即可．解：（1）画法不唯一，如图1或图2等．,（2）画法不唯一，如图3或图4等．本题考查复杂作图，利用勾股定理、菱形与正方形的性质作图是解答本题的关键．20．（1）证明见解析；（2）四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度，理由见解析．【解析】（1）由已知易证得，故有EH=GF；同理可证得，则，从而可得所证的结论；（2）作G关于的对称点，连接、，可得的长度就是的最小值，再根据平行四边形的判定与性质可得，然后结合三角形的三边关系定理即可得．（1）∵四边形是矩形，．∴在与中，，，同理证得，则．∴四边形是平行四边形；（2）四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度．,理由：如图，作G关于的对称点，连接、、．则由对称的性质知：，∴∵∥，∴四边形是平行四边形∴∵∴∴的长度就是的最小值∵EF+FG是四边形周长的一半∴四边形的周长一半大于或等于矩形一条对角线长度．本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理是解决本题的关键．21．【解析】由△ABF≌△AGF，得出AB＝AG＝4，由勾股定理得出AE＝2，得出GE=2，设CF=x，则BF=4-x，由Rt△GFE和Rt△FCE利用勾股定理列出方程可求出CF=．解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD=BC＝4，∠B＝∠D=∠C＝90°，∵E是边CD的中点，∴DECD＝2，∴由折叠的性质可知，△ABF≌△AGF，∴∠ABF＝∠AGF=90°，AB＝AG＝4，BF=FG∴GE=2,设CF=x，则BF=FG=4-x，在Rt△GEF中，在Rt△CEF中，∴解得故答案为：．本题考查了翻折变换的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和正方形的性质，翻折变换三角形全等是解题的关键．22．【解析】在上取一点使得，设，列出方程即可解决问题．解：∵时，将沿直线AP翻折；∴∴，在上取一点使得，设，∴，∵，∴，∴，，,∴，∴，∴，故答案为：.本题考查翻折问题、全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．23．平行四边形【解析】（1）根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论；（2）作点C关于DD′的对称点，连接，，当共线时，==有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解．（1）∵纸片沿剪痕的方向平移得到，∴，，∴四边形是平行四边形，故答案是：平行四边形；（2）∵四边形是平行四边形，∴，∴=，作点C关于DD′的对称点，连接，，当共线时，==有最小值，此时的最小值=，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵C关于DD′的对称点，∴，，∴是等腰直角三角形，且共线，,∴在直角中，，∴的最小值=．故答案是：．本题主要考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点C关于DD′的对称点，是解题的关键．24．16.5°【解析】根据AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，得到AE=ED=DC，得到等腰三角形AED，等腰三角形EDC，利用等腰三角形的性质计算即可．∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴AE=EF=DE，∵AE=EF=DC，∴AE=ED=DC，∴△AED，△EDC是等腰三角形，∴∠ADE=∠DAE，∠DEC=∠DCE，∵∠EDC＝114°，∴∠DEC=∠DCE==33°，∵∠DEC=∠ADE+∠DAE=2∠ADE，∴∠ADE==16.5°，,故答案为：16.5°．本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理和外角的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．25．4.8．【解析】过C作CF⊥AB于点F，利用勾股定理建立方程便可求得CF，当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，证此时DE＝CF．解：∵四边形ADCE是平行四边形，∴OA＝OC，DE＝2OD，∴当OD⊥AB时，DO的值最小，即DE的值最小，过C作CF⊥AB于点F，则∠CFD＝∠EDF＝90°，∵平行四边形ADCE中，AD∥CE，即AB∥CE，∴∠ECF＝90°，∴四边形DFCE是矩形，∴DE＝CF，∵AB＝AC＝5，BC＝6，设BF＝x，则AF＝5﹣x，∵BC2﹣BF2＝CF2＝AC2﹣AF2，即62﹣x2＝52﹣（5﹣x）2，解得，x＝3.6，∴BF＝3.6，∴CF＝，,∴DE的最小值为4.8．故答案为4.8．本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理的逆定理、垂线段最短等知识；构造直角形求出CF是解题的关键．26．22°【解析】根据平行四边形的性质得到∠BAC=∠ACD，求出∠DAB，设F为CE中点，连接DF，根据直角三角形的性质得到DF=EF=CF，结合CE=2BC，得到∠DAF=∠DFA，设∠BAC=x，得到∠DAF=2x，根据∠DAB的度数求出x即可．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠ACD，∠DAB=180°-∠B=66°，设F为CE中点，连接DF，∵DE⊥DC，∴DF=EF=CF，∴∠ACD=∠FDC,∵CE=2BC，∴AD=BC=CE=DF，∴∠DAF=∠DFA，设∠BAC=x，则∠ACD=∠FDC=x，∴∠DAF=∠DFA=2x，则∠DAB=∠DAF+∠BAC，即2x+x=66°，解得：x=22°，即∠BAC=22°，,故答案为：22°．本题考查了平行四边形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，解题的关键是找出CE中点F，推出AD=DF．27．①②④⑤【解析】证明△AGB≌△BFC可证得AG=BF，BG=CF，进而可判断①正确，③错误；连接OG、OB，证明△OBF≌△OAG可证得∠FOG=∠BOA=90°，OF=OG，进而可证得②和④正确；过O作OM⊥GF于M，则有FM=GM=OM，由和以及勾股定理可证明⑤正确．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，即∠FBC+∠ABG=90°，∵AG⊥BE，CF⊥BE，∴∠AGB=∠CFB=90°，即∠FBC+∠BCF=90°，∴∠ABG=∠BCF，∴△AGB≌△BFC（AAS），∴BG=FC，AG=BF，故①正确；∴CF﹣BF=BG﹣BF=GF≠EF，故③错误；连接OG、OB，∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OA，∠BOA=90°，又∠AGB=90°，∠AHG=∠BHO，∴∠OBF=∠OAG，又BF=AG，∴△OBF≌△OAG（SAS），∴∠BOF=∠AOG，OF=OG，∴∠GOF=∠AOG+∠HOF=∠BOF+∠HOF=∠AOB=90°，∴△GOF为等腰直角三角形，∴，∠OFG=45°，,∴故④正确；∵∠GFC=∠BFC=90°，∴∠CFO=∠OFG=45°，∴OF平分，故②正确；过O作OM⊥GF于M，则FM=GM=OM，，∵=，==∴==，故⑤正确，综上，正确的结论为①②④⑤，故答案为：①②④⑤．本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的灵活运用，添加辅助线构造△OBF≌△OAG证明△GOF为等腰直角三角形证明是解答的关键．28．45°【解析】根据题意可证是等腰直角三角形，，根据等腰三角形三线合一可得，根据同角的余角相等可得，根据直角三角形斜边中线性质可证是等腰三角形，进而求出其外角的度数．解：∵垂直平分，，∴，是等腰直角三角形；∵，，∴（等腰三角形底边上的高也是顶角的角平分线），,∵在直角和直角中，和都和互余，∴，∵（三线合一），∴点F是BC中点，EF是直角的中线，∴，∴，∴（等边对等角），∴．故答案为：．本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键．29．【解析】利用折叠的性质，30°角所对直角边的性质，计算即可．根据折叠的性质，得=8，∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=4，在直角三角形中，=，∴∠=30°，∵根据折叠的性质，四边形ABCD是矩形，∴∠90°，∴∠=60°，∴∠=30°，∴，在直角三角形中，，∵=8-，∴BG==，故答案为：．本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，30°角的性质，熟练掌握折叠性质，矩形的性质，30°角的性质是解题的关键．,30．【解析】由全等三角形的性质可得AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE，可得EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE＋∠BAE＝90°，可证四边形EGFH是正方形，即可求EF的长．解：∵正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的，∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE＋∠BAE＝90°，∴四边形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°∴四边形EGFH是正方形∴EF＝EG＝故答案为：本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGFH是正方形是本题的关键．
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