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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(10)一、单选题1．如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.42．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2的值为（ ）A．9B．18C．36D．483．如图，菱形中，对角线相交于点O，，E为的中点．则的长为（）A．4B．5C．6D．84．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD并延长至点E，使DE＝CD．连接AE，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF＝7，则AB的长为（ ）A．3.5B．7C．10D．145．如图，在矩形ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且BE＝2AE，DF＝2CF，G，H是对,角线AC的三等分点．若四边形EGFH的面积为2，则矩形ABCD的面积为（ ）A．36B．24C．18D．126．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，点G是AE中点且∠AOG＝30°，①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD，则下列结论正确的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个7．如图，一块边长为5的正方形钢板的一角被割去一个边长为1的小正方形．一条直线把这块钢板分为面积相等的两部分，则这样的直线有（）A．1条B．3条C．5条D．无数条8．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；②作直线，且恰好经过点，与交于点，连接，若，则的长为（）A．B．C．4D．9．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为（ ）,A．5B．C．3D．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝35°，AD是斜边BC上的中线，将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线段DF与AB相交于点E，则∠FAE等于（）A．105°B．75°C．40°D．20°11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC上，过D作DF⊥BC交BA的延长线于F，连接AD，CF，若∠CFE＝32°，∠ADB＝45°，则∠B的大小是（ ）A．32°B．64°C．77°D．87°二、填空题12．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，菱形的顶点在轴的正半轴上，则对角线的长为______．13．如图，在正方形ABCD中，点E为BC边上一点，且CE=2BE，点F为对角线BD上一点，且BF=2DF，连接AE交BD于点G，过点F作FH⊥AE于点H，若HG=2cm，则正方形ABCD的边长,为__________cm．14．如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为、、，且，，则______．15．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_____．16．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，点P在对角线BD上，且BP=BA，连接AP并延长，交DC的延长线于点Q，连接BQ，则BQ的长为_______．17．如图，在面积为36的四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于点P，则DP的长是_____,18．已知，如图，点E是长方形ABCD的边CD上一点，将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，若AD=10，AB=8，那么AE=______．19．在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、AD上，CD＝9，CE＝20，∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE，则线段AF的长为_____．20．如图，在中，高和交于点，且．①；②；③；④若于点，则．其中正确的有________．三、解答题21．如图，在菱形中，对角线、相交于点，，，与交于点．,（1）求证：四边形是矩形（2）若，，求菱形底边上的高．22．老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．理由如下：因为ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC又因为DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意义）所以∠DFA＝∠B（等量代换）又AD∥BC所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF和△EAB中所以△ADF≌△EAB（AAS）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．23．在平行四边形ABCD中，点P是AB上一点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于点E，连接BE.,（1）如图1，若∠EBC=∠EPA，EC平分∠DEB，证明：四边形ABCD为菱形．（2）如图2，对角线AC与BD交于点O，当P是AB的中点时，请直接写出与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）．24．如图，一梯子AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A到墙角C的距离AC＝8米，点P为梯子的中点，（1）若梯子的顶端A下滑2米，底端B恰好向外滑行2米，求梯子AB的长；（2）若梯子AB沿墙下滑，则在下滑的过程中，点P到墙角C的距离是否发生变化？并说明理由．25．如图，四边形OABC为矩形，其中O为原点，A、C两点分别在x轴和y轴上，B点的坐标是（4，6），将矩形沿直线DE折叠，使点C落在AB边上点F处，折痕分别交OC，BC于点E、D，且D点坐标是（，6）．（1）求F点的坐标；（2）如图2，P点在第二象限，且，求P点的坐标；（3）若M点为x轴上一动点，N点为直线DE上一动点，为以FN为底边的等腰直角三角形，求N点的坐标．26．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，使点B′落在矩形ABCD所在平面内，B′C和AD相交于点E，连结B′D．试解决下列问题：（1）在图1中，①B′D和AC的位置关系为_________；②将△AEC剪下后展开，得到的图形是_________．（2）若图1中的矩形变为平行四边形（AB≠BC），如图2所示，（1）中的结论①和结论②是否成立?若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；,27．如图，已知点E，F分别是□ABCD的边BC，AD上的点，且CE＝AF．（1）证明：△ABE≌△CDF；（2）若AE＝BE，∠BAC＝90°，求证：四边形AECF是菱形．28．已知，如图，把矩形纸片沿折叠后，点D与点B重合，点C落在点的位置上，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）当，时，求矩形的纸片的面积S．29．如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，延长DE至点F，使EF＝DE．连接AF．（1）求证：DE＝AB；（2）求证：AF∥BE；（3）当AC＝BC时，连接AE，求证：AE2+DE2＝AD2．,30．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画图：（1）在图①中画一个面积为18的正方形；（2）在图②中画一个面积为12的菱形，并直接写出所画菱形的周长．,,【答案与解析】1．D【解析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得AP最短时的长，然后即可求出PM最短时的长．解：连接AP，如图所示：∵∠BAC=90°，AB=6，AC=8，∴BC==10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF=AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM=AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP==4.8，∴AP最短时，AP=4.8，∴当PM最短时，PM=AP=2.4．故选：D．此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短；由直角三角形的面积求出AP是解决问题的关键．2．C【解析】作辅助线，构建四边形EFGH，证明它是菱形，利用对角线互相垂直和勾股定理列等式，再利用中位线性质等量代换可得结论．,解：连接EF、FG、GH、EH，设EG和FH交于点O，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，EF＝AC，FG＝BD，∴EF∥HG，同理EH∥FG，∴四边形EFGH为平行四边形，∵AC＝BD，∴EF＝FG，∴平行四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，EG＝2OG，FH＝2OH，∴EG2＋FH2＝（2OE）2＋（2OH）2＝4（OE2＋OH2）＝4EH2＝4×（BD）2＝62＝36；故选：C．本题考查了中点四边形，运用了三角形中位线的性质，将三角形和四边形有机结合，把边的关系由三角形转化为四边形中，可以证明四边形为特殊的四边形；对于线段的平方和可以利用勾股定理来证明．3．B【解析】由菱形的性质，以及AC=6，BD=8，即可求得OA与OB的长，然后由勾股定理求得AB的长，又由点E是AB边的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求得答案．解：∵在菱形ABCD中，AC=12，BD=16，∴OA=，OB=，AC⊥BD，∴AB=，∵点E是AB边的中点，∴OE=．,故选：B．此题考查了菱形的性质、勾股定理以及直角三角形的性质．注意菱形的对角线互相平分且垂直．4．B【解析】利用“SAS”证△BCD≌△AED得∠CBD＝∠EAD，据此知BC∥EF，由BF∥CE可得四边形BCEF是平行四边形，据此知CE＝BF＝7，最后根据DE＝CD＝CE可得答案．解：∵D为AB边的中点，∴AD＝BD，在△BCD和△AED中，∵，∴△BCD≌△AED（SAS），∴∠CBD＝∠EAD，∴BC∥AE，即BC∥EF，又∵BF∥CE，∴四边形BCEF是平行四边形，∴CE＝BF＝7，∴CD＝CE＝3.5，∴AB＝2CD＝7，故选：B．本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定及性质．5．C【解析】如图，连接AF，CE，由矩形的性质可得S△ABC＝S△ADC＝S矩形ABCD，可求S△EGH＝S△GFH＝S矩形ABCD，即可求解．解：如图，连接AF，CE，,∵四边形ABCD是矩形，∴S△ABC＝S△ADC＝S矩形ABCD，∵BE＝2AE，DF＝2CF，∴S△AEC＝S△ABC＝S矩形ABCD，S△AFC＝S△ADC＝S矩形ABCD，∵G，H是对角线AC的三等分点，∴S△EGH＝S△GFH＝S矩形ABCD，∵四边形EGFH的面积为2，∴S△EGH+S△GFH＝2，∴S矩形ABCD＝2，∴S矩形ABCD＝18故选：C．本题考查了矩形的性质、三角形的面积公式，灵活运用矩形的性质是本题的关键．6．C【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，从而判断出是等边三角形，判断出③正确；设，根据等边三角形的性质表示出，利用勾股定理列式求出，从而得到，再求出，然后利用勾股定理列式求出，从而判断出①正确，②错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．解：，点是中点，，，，，是等边三角形，故③正确；,设，则，由勾股定理得，，为中点，，，在中，由勾股定理得，，四边形是矩形，，，故①正确；，，，故②错误；，，，故④正确；综上所述，结论正确是①③④，共3个．故选：C．本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，设出、，然后用表示出相关的边更容易理解．7．D【解析】先求出这个图形的面积，然后这条直线只要能把图形分割为面积为12的两块，即可得出答案．解：∵这个图形的面积=5×5-1×1=24，∴这条直线只要能把图形分割为面积为12的两块即可，如：可将图形分割为面积为12的梯形，以完整的一边5为高，那么在与高相邻的两条边上截取两个底（梯形的上底和下底），为此只要上底+下底的和为即可，故这样的直线有无数条．故选D．,本题考查了矩形的对称性．正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键．8．A【解析】根据作图，知AE是线段CD的垂直平分线，由DE=AD，得∠DAE=30°，∠D=60°，∠BAE=90°，根据勾股定理，得到AE=，在直角三角形BAE中，根据勾股定理，得到BE=．根据作图，知AE是线段CD的垂直平分线，∵四边形ABCD是菱形，∴DE=AD，∴∠DAE=30°，∠D=60°，∠BAE=90°，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，得AE==，在直角三角形BAE中，根据勾股定理，得BE==．故选A．本题考查了菱形的性质，勾股定理，30°角所对直角边是斜边一半的逆用，线段的垂直平分线，熟练掌握菱形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．9．C【解析】过E作EF⊥AC，垂足为F，利用AAS得到△AEF≌△BAC，利用全等三角形的对应边相等得到EF＝AC＝AF＝BC＝3，由FA+AC求出FC的长，在直角三角形CEF中，利用勾股定理即可求出EC的长．解：过E作EF⊥AC，交CA的延长线于F，∵四边形ABDE为正方形，∴∠BAE＝90°，AE＝AB，,∵∠EAF+∠AEF＝90°，∠EAF+∠BAC＝90°，∴∠AEF＝∠BAC，在△AEF和△BAC中，，∴△AEF≌△BAC（AAS），∴EF＝AC＝AF＝BC＝3，在Rt△ECF中，EF＝3，FC＝FA+AC＝3+3＝6，根据勾股定理得：CE＝．故选：C．此题考查了勾股定理，正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．10．D【解析】根据三角形内角和定理求出∠C=90°-∠B=55°．由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD=BD=CD，利用等腰三角形的性质求出∠BAD=∠B=35°，∠DAC=∠C=55°，再根据折叠的性质得出∠DAF=∠DAC=55°，然后计算∠FAE即可．解：解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=35°，∴∠C=90°-∠B=55°．∵AD是斜边BC上的中线，∴AD=BD=CD，∴∠BAD=∠B=35°，∠DAC=∠C=55°，∵将△ACD沿AD对折，使点C落在点F处，∴∠DAF=∠DAC=55°，∴∠FAE=∠DAF-∠BAD=20°．故选：D本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理．11．C,【解析】取CF的中点T，连接DT，AT．证明∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，进而证明CT＝TF，得到∠AFC＝45°，∠BFD＝13°，最后求出∠B＝77°．解：如图，取CF的中点T，连接DT，AT．∵∠BAC＝90°，FD⊥BC，∴∠CAF＝∠CDF＝90°，∴AT＝DT＝CF，∴TD＝TC＝TA，∴∠TDA＝∠TAD，∠TDC＝∠TCD，∵∠ADB＝45°，∴∠ADT+∠TDC＝135°，∴∠ATC＝360°﹣2×135°＝90°，∴AT⊥CF，∵CT＝TF，∴AC＝AF，∴∠AFC＝45°，∴∠BFD＝45°﹣32°＝13°，∵∠BDF＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BFD＝77°．故选：C本题考查了直角三角形斜边上的直线等于斜边一半、等腰三角形的性质、三角形的角的计算等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．12．【解析】根据勾股定理可得AB=2，由菱形的性质得出∠DBE=30°，连接BD，作DE⊥BC于E，则∠DEB=90°，，由直角三角形的性质得出即可．,解：∵，，∴，∴，∴∠OAB=30°，∠OBA=60°，∵四边形ABCD是菱形，∴，连接BD，作DE⊥BC于E，如图所示：则∠DEB=90°，，∵∠DEB=90°，∴．故答案为：．本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识．熟练掌握菱形的性质，求出∠OBA=60°是解题的关键．13．【解析】如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA．得到FI∥CD，设BE=EI=IC=a，CE=FI=2a，AB=3a，由勾股定理得到FE=FC=FA=，推出HE==，根据正方形的性质得到BG平分∠ABC，由三角形角平分线定理得到，求得，于是得到结论．解：如图，过F作FI⊥BC于I，连接FE，FA，设BE=a，,∵CE=2BE，∴CE=2a，AB=BC=3a．根据题意可知FI∥CD，∴，∴BE=EI=IC=a．∴，即，∴．在中，，即，∴FE=FC=FA=，∴H为AE的中点，在中，，∴HE==，∵四边形ABCD是正方形，∴BG平分∠ABC，∴,∴，∴，∴正方形边长为．故答案为．本题考查了正方形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理以及平行线分线段成比例等知识，难度较大，正确的作出辅助线是解题的关键．14．17【解析】根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到+=，代入计算即可．∵中，∠ACB=90°，∴，∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、，∴、、，,∴+=，∵，，∴5+12=17，故答案为：17．本题考查了勾股定理，正方形的性质，代数式的值，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键．15．【解析】根据正方形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小．解：在正方形中，，，，在和中，，，，在和中，，，，，，,，，取的中点，连接、，则，在中，，根据三角形的三边关系，，当、、三点共线时，的长度最小，最小值．故答案为：．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点．16．．【解析】根据矩形的性质可得BD=13，再根据BP=BA可得DQ=DP=8，所以得CQ=3，在Rt△BCQ中，根据勾股定理即可得BQ的长．解：∵矩形ABCD中，AB=5，AD=12，∠BAD=∠BCD=90°，∴∵BP=BA=5，∴PD=BD-BP=8，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=∠DPQ，∵AB∥CD，∴∠BAP=∠DQP，∴∠DPQ=∠DQP，,∴DQ=DP=8，∴CQ=DQ-CD=DQ-AB=8-5=3，∴在Rt△BCQ中，根据勾股定理，得故答案为：．本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．17．6【解析】作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，则四边形BEDP为矩形，再利用等角的余角相等得到∠ADP=∠CDE，则可利用“AAS”证明△ADP≌△CDE，得到DP=DE，S△ADP=S△CDE，所以四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，根据正方形的面积公式得到DP2=36，易得DP=6．如图，作DE⊥BC，交BC延长线于E，∵DP⊥AB，ABC=90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE=90°，即∠CDE+∠PDC=90°，∵∠ADC=90°，即∠ADP+∠PDC=90°，∴∠ADP=∠CDE，在△ADP和△CDE中，∴△ADP≌△CDE，∴DP=DE，S△ADP=S△CDE，∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD=S正方形BEDP，∴DP2=36，∴DP=6．,故答案为6．本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了正方形和矩形的性质．本题的关键的作辅助线构造两个全等的三角形．18．【解析】根据矩形的性质，折叠的性质，勾股定理即可得到结论．解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=10，CD=AB=8，∠B=∠C=∠D=90°，∵将△ADE沿着AE对折，点D恰好折叠到边BC上的F点，∴AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，∴，∴CF=4，∵EF=DE=8-CE，∴(8-CE)2=42+CE2，∴CE=3，∴EF=5，∴，故答案为：．本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．19．【解析】设BF与CE的交点为G，取CE的中点H，连接BH，设∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE＝2a，由矩形的性质及直角三角形的斜边中线性质得出BH＝CH＝EH＝10，∠HBC＝∠HCB＝a，再判定EF∥BH、△EFG和△BGH均为等腰三角形，最后由勾股定理求得AF即可．解：设BF与CE的交点为G，取CE的中点H，连接BH，如图所示：,设∠EFB＝2∠AFE＝2∠BCE＝2α，则∠AFB＝3α，在矩形ABCD中有AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴△BCE为直角三角形，∵点H为斜边CE的中点，CE＝20，∴BH＝CH＝EH＝10，∴∠HBC＝∠HCB＝α，∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠FBC＝3α，∴∠GHB＝3α﹣α＝2α＝∠EFB，∴EF∥BH，∴∠FEG＝∠GHB＝∠HBC+∠HCB＝2α＝∠EFB＝∠GBH，∴△EFG和△BGH均为等腰三角形，∴BF＝EH＝10，在矩形ABCD中，AB＝CD＝9，由勾股定理得：AF＝，＝，＝．故答案为：．本题考查了矩形的性质、直角三角形的斜边中线性质、等腰三角形的判定与性质及勾股定理等知识点，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．20．①②④【解析】由，又和是高，，BE⊥AC，，,，即可判断①；由，可求，可证是等腰直角三角形，可证，可得，，可证，可证即可判断②；连结CH，由，可知所在直线是对称轴，可得，在△AHC中，即，由即可判断③；④作于，如图所示：则，，可证，可得，，利用线段和差计算可判断④．解：①，又和是高，，BE⊥AC，，，，①正确；②，，是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，，BE⊥AC，，，②正确；③连结CH,所在直线是对称轴，在△AHC中即，③错误；④作于，如图所示：则，，，，，，，，，在和中，，，，，，,，，，，，，，④正确．故答案为：①②④．本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，轴对称性质，矩形的判定和性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键．21．（1）证明见解析；（2）菱形ABCD底边上的高为9.6．【解析】（1）由菱形的性质可证明∠BOA=90°，然后再证明四边形AEBO为平行四边形，从而可证明四边形AEBO是矩形；（2）根据勾股定理和等面积法解答即可．解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD∴四边形AEBO是平行四边形．又∵菱形ABCD对角线交于点O，∴AC⊥BD，即∠AOB=90°．∴四边形AEBO是矩形；（2）∵四边形AEBO是矩形，∴，∵菱形ABCD对角线交于点O，∴AC⊥BD，BD=2OB，OA=OC=8，BC=AB=10，∴，∴BD=12，设菱形底边上的高为h，则，即，解得，即菱形底边上的高为9.6．,本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键．22．小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了；线段为作BH⊥AE于点H，证明见详解；【解析】根据小杰的证明方法，可以发现，在证明两个三角形全等时，出现了问题，然后说出出错的原因即可，然后添加合适的辅助线段，说明与△ADF全等的三角形成立的理由即可解答本题；小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，作BH⊥AE于H，则△ADF≌△BAH；∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAB=90°，∴∠HAB+∠FAD=90°，∵DF⊥AE，BH⊥AE，∴∠DFA=∠AHB=90°，∴∠HAB+∠HBA=90°，∴∠FAD=∠HBA，在△ADF和△BAH中∴△ADF≌△BAH(AAS)；本题考查正方形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答；23．（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明可得结合平行四边形可得结论；,（2）由平行四边形的两条对角线把平行四边形的面积四等分，再结合三角形的中线的性质可得答案．证明：（1）平行四边形ABCD，平分平行四边形ABCD是菱形．（2）平行四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，为的中点，与△ADP面积相等的三角形（其中不含以AD为边的三角形）有：本题考查的是平行四边形的性质，菱形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．24．（1）梯子AB的长为10米；（2）在下滑的过程中，点P到墙角C的距离不发生变化．【解析】（1）设BC＝x米，根据勾股定理得出方程，解方程求出BC，再由勾股定理求出AB即可；（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出CP＝AB＝5米；即可得出结论．解：（1）设BC＝x米，,根据题意得：82+x2＝62+（x+2）2，解得：x＝6，∴AB＝＝10（米）；答：梯子AB的长为10米；（2）点P到墙角C的距离不发生变化；理由如下：∵在Rt△ABC中，P为AB的中点，∴CP＝AB；答：在下滑的过程中，点P到墙角C的距离不发生变化．本题考查了勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握勾股定理，由勾股定理求出梯子AB的长是解决问题的关键．25．（1）F（4，4）；（2）P（﹣，3）；（3）（﹣，）或（﹣9，﹣17）．【解析】（1）根据翻折的性质，利用勾股定理即可得解；（2）作如图，根据翻折的性质得到，利用勾股定理建立方程解得E点坐标，再根据点在坐标系下的平移规律即可得解；（3）解出，设（m,2m+1），以FN为对角线作正方形如图3所示，将M、的纵坐标分别用m的代数式表示出来，分类为M或落在x轴上时计算即可．解：（1）由题：，，，，，，，，（4，4）；（2）由（1）F（4，4），根据翻折性质，且，是矩形，作如图2，,设E（0，n），则，，解得，（0，1），在矩形中，，：横坐标减4，纵坐标减3，：（，6-3）为（，3），（，3）；（3）为以FN为底边的等腰直角三角形，以FN为对角线构造正方形如图3所示，D（，6），（0，1），设，解得，设（m，2m+1），（4，4），则根据中点坐标公式：（，），由图，，，，，当M落在x轴上时：，解得，则（，）；当落在x轴上时：，解得，则（-9，-17），综上为（，）或（-9，-17）．,本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，一次函数的应用，勾股定理，坐标的平移变换，解题的关键在于学会利用参数解决问题，属于压轴题．26．（1）①平行；②菱形（2）成立，证明见解析；【解析】（1）①由平行线的性质和折叠的性质可得∠DAC=∠ACE，证得ED=，可得∠=∠ACE=∠DAC，可得AC//B'D；②由折叠的性质和菱形的定义可求解；（2）证明∠ADB'=∠DAC，可证得结论①，证明△AEC是等腰三角形，可得出结论②；（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B=∠ADC=90°，∴∠DAC=∠ACB，∵将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折，∴∠AB'C=∠B=90°，∠ACB=∠ACE，BC=CB'，∴∠DAC=∠ACE，∴AE=EC，∵AD=BC，∴CB'=AD，∴ED=EB'，∴∠EDB'=∠EB'D，∵∠AEC=∠DEB'，∴∠ADB'=∠DAC，∴B'D∥AC，,②∵将△AEC剪下后展开，AE=EC∴展开图形是四边相等的四边形，∴展开图形是菱形，故答案为：B'D∥AC；菱形；（2）结论①，②都成立若选择①，证明如下：同（1）可得∠DAC=∠ACE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∵将△ABC沿AC翻折至△AB'C，∴B'C=BC，∴B'C=AD，∴B'E=DE，∴∠CB'D=∠ADB'，∵∠AEC=∠B'ED，∠ACB'=∠CAD，∴∠ADB'=∠DAC，∴B'D∥AC；若选择②，证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵将△ABC沿AC翻折至△AB'C，∴∠ACB'=∠ACB，∴∠DAC=∠ACB'，∴AE=CE，∴△AEC是等腰三角形；∴将△AEC剪下后展开，得到的图形四边相等；∴将△AEC剪下后展开，得到的图形是菱形；本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，菱形的判定，灵活运用这些性质进行推理是解本题的关键；27．（1）见解析；（2）见解析【解析】,（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，且∠B=∠D，再由CE=AF，可得BE=DF，即可利用SAS定理判定△ABE≌△CDF；（2）首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据AE=BE，可得∠ABE=∠BAE，由∠BAC=90°可根据等角的余角相等可得∠ACE=∠EAC，进而得到AE=EC，由一组邻边相等的平行四边形是菱形证出结论．(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，且∠B=∠D，∵CE=AF，∴BE=DF，∵在△ABE和△CDF中，,∴△ABE=△CDF；(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC,∵CE=AF∴四边形AECF是平行四边形，∵AE=BE，∵∠ABE=∠BAE∵∠BAC=90°∴∠ABE+∠ACE=90°，∠BAE+∠EAC=90°∴∠ACE=∠EAC，AE=CE，∴平行四边形AECF是菱形．此题主要考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质以及菱形的判定，关键是掌握①平行四边形的性质：平行四边形的对边相等，对角线互相平分，②菱形的判定定理：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形等．28．（1）证明见解析；（2）．,【解析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，求出∠1=∠2，根据折叠得出∠BEF=∠2，得到∠1=∠BEF，推出BE=BF，推出BF=DF=BE=DE，根据菱形的判定即可得解；（2）求出∠3和∠ABE，解直角三角形求出BE和AB，求出AD，即可求出矩形的面积．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠1=∠2，∵EF为折痕，∴BF=DF，BE=DE，∠BEF=∠2，∴∠BEF=∠1，∴BE=BF，∴BF=DF=BE=DE，∴四边形BEDF是菱形；（2）解：由（1）知∠2=∠BEF=∠1=60°，∴∠3=180°-60°-60°=60°，∵AE=2，∠A=90°，∴∠ABE=30°，∴BE=2AE=4，由勾股定理得：AB=，∵四边形ABCD是矩形，沿EF折叠B和D重合，∴DE=BE=4，∴AD=BC=2+4=6，AB=CD=，∴矩形ABCD的面积S=．本题考查了矩形和直角三角形的性质，菱形的判定，折叠的性质的应用，熟练掌握矩形和折叠的性质及菱形的判定是解题关键．29．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【解析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEC，利用AAS定理证明△ABC≌△DEC，根据全等三角形的性质证明结论；（2）根据三角形中位线定理证明即可；,（3）根据直角三角形的判定定理得到△BAE是直角三角形，根据勾股定理证明．证明：（1）∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴DE＝AB；（2）∵DC＝AC，DE＝EF，∴CE是△DAF的中位线，∴AF∥BE；（3）∵△ABC≌△DEC，∴BC＝CE，∵AC＝BC，∴AC＝BC＝CE，∴△BAE是直角三角形，∴AB2+AE2＝BE2，∵AB＝DE，AD＝2AC＝2BC＝BE，∴AE2+DE2＝AD2．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中位线、直角三角形的判定、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质，证明△BAE是直角三角形是解答的关键．30．（1）作图见解析；（2）作图见解析【解析】（1）根据正方形的面积可得边长为，在格点中应用勾股定理作图即可；,（2）利用菱形的性质和面积可得菱形两条对角线长分别为4和6，画出图形，利用勾股定理即可求出边长．解：（1）如图，正方形ABCD即为所求．（2）如图，菱形EFGH即为所求,菱形的边长为，∴菱形的周长为．．本题考查勾股定理的应用、菱形的性质，掌握网格图中勾股定理的应用是解题的关键．
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