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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(8)一、单选题1．下列说法中，正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的矩形是正方形D．对角线互相垂直的四边形是菱形2．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（ ）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．梯形3．如图，在矩形中，，M为的中点，连接，E为的中点，连接、，若为直角，则的值为（）A．3B．C．D．4．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形中满足条件的是（）①平行四边形；②菱形；③任意四边形；④对角线互相垂直的四边形A．①③B．②③C．③④D．②④5．如图，点E在菱形ABCD的AB边上，点F在BC边的延长线上，连接CE，DF，对于下列条件：①BE=CF；②CE⊥AB，DF⊥BC；③CE=DF；④∠BCE=∠CDF，只选其中一个添加，不能确定△BCE≌△CDF的是（）A．①B．②C．③D．④6．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，则四边形BFDE的面积为（ ）,A．B．C．D．7．在矩形纸片中，．如图所示，折叠纸片，使点A落在边上的处，折痕为，当点在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动，若限定点P、Q分别在线段、边上移动，则点在边上可移动的最大距离为（）A．3B．4C．5D．6二、解答题8．如图，在长方形中，，，为边上的一点，，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接，，设点运动的时间为秒．（1）求的长；（2）若为直角三角形，求的值；（3）若点在的垂直平分线上，求的长．9．（1）如图①，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在RtABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将ABM绕点A逆时针旋转90°至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．,（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若CE=8，CF=6，BM=，求AG，MN的长度．10．在RtABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：AEF≌DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=6，AB=8，求菱形ADCF的面积．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，请利用尺规在AB边上求作一点D，使得CD＝AB．（要求：不写作法，保留作图痕迹）12．如图，在ABC中，D是BC边上的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，连接BF，CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形；（2）填空：①若AB＝5，则AC的长为 时，四边形BECF是菱形；②若AB＝5，BC＝6且四边形BECF是正方形，则AF的长为 ．,13．综合与实践：矩形的旋转问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．具体要求：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD和FFGH叠放在一起，这时对角线AC和EG互相重合．固定矩形ABCD，将矩形FFGH绕AC的中点O逆时针方向旋转，直到点E与点B重合时停止，在此过程中开展探究活动．操作发现：（1）雄鹰小组初步发现：在旋转过程中，当边AB与EF交于点M，边CD与GH交于点N，如图2、图3所示，则线段AM与CN始终存在的数量关系是 ．（2）雄鹰小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形QMRN时，如图3所示，四边形OMRN为菱形，请你证明这个结论．实践探究：（3）在图3中，随着矩形纸片EFGH的旋转，四边形QMRN的面积会发生变化，若矩形纸片的长为2+，宽为，请你帮助雄鹰小组探究当旋转角∠AOE为 度时，四边形QMRN的面积最大，最大面积是 ．14．如图，在中，AB=AC=6，BC=，AD平分∠BAC，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是矩形；（2）求BF的长．,15．问题提出（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD平分∠CAB交BC边于点D，点E为AC边上的一个动点，连接DE，则线段DE长的最小值为 ．问题探究（2）如图②，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AB边的中点，且∠EDF＝90°，∠EDF的两边分别交BC、AC于点E、F．求四边形DECF的面积．问题解决（3）“全民全运，同心同行”中华人民共和国第十四届全国运动会将在陕西西安举行，市内某观光景区为迎接“十四运“准备在景区内设计修建一个全民健身区．如图③，△ABC为全民健身区的大致示意图，并将全民健身区分成△BED、△DFC和四边形AEDF三部分，其中在△BED和△DFC两区修建室外大型器材健身区，在四边形AEDF区域修建室内健身休闲区．根据设计要求：∠BAC＝60°，点D、点E、点F分别在边BC、边AB和边AC上，且DE＝DF，∠EDF＝120°，四边形AEDF的面积为200平方米，为了节约修建成本，全民健身区△ABC的面积是否存在最小值？若存在，请求出△ABC面积的最小值；若不存在，请说明理由．16．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上的一点，连接AE，以AE为一边，在AE的上方作正方形AEFG，连接DG．求证：AB＝CE+DG．17．如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD,的延长线分别交于点E、F．（1）求证：；（2）以A、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形？试证明你的结论．18．如图（1），中，、分别是高，、分别是线段、的中点．（1）求证：；（2）若，求的度数（用含的式子表示）．（3）如图（2），若将锐角变为钝角，直接写出与的数量关系．19．如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为，（1）求证：．（2）若，求的度数．（3）若，，求的面积．20．如图①，在平行四边形ABCD中，BC＝5，对角线AC，BD的长为x2﹣14x+48＝0的两根，且AC＜BD．,（1）请判断四边形ABCD为何特殊的平行四边形，说明你的理由；（2）在（1）成立的情况下，如图②，作AE⊥BC，试求BE的长．21．如图，在中，，点在对角线上，，于点，的延长线交于点．点在的延长线上，且，连接．（1）若，，求的长；（2）求证：．三、填空题22．正方形ABCD中，AC、BD交于O，∠EOF＝90o，已知AE＝6，CF＝8，则S△BEF为__________．23．如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠BED的度数是_____．24．如图1，有一个足够长的矩形纸片，、分别是、上的点，．,（1）将纸片含的部分沿折叠，称为第1次操作；如图2，则______；（2）继续将纸片含的部分沿折叠，称为第2次操作；如图3，则______；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第操作，则的最大值为______．25．若菱形的一个内角为60°，周长为16，则其面积为_____．26．如图，菱形ABCD的边长为4，∠A=45°，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，直线MN交AD于点E，连接CE，则CE的长为____________．27．如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是_____．28．如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AEBD于点E，若则______度．29．如图，矩形ABCD中，BC＝2AB，BC＝6，DE平分∠ADC交BC于点E，G为AB上一动点，H、F是AD边上的两动点（点F在点H的右边），连接GH、EF，若∠AGH＝∠FED＝α，将△AGH,沿GH翻折得到△A'GH，若GA'的延长线恰好经过点F，且GF的长度为5，连接CF、CA'，则△A'CF的面积S△A'CF＝_____．30．如图，在正方形ABCB1中，AB＝1，AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，做正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，做正方形A2B2C2B3；延长C2B3交直线l于点A3，…，依次规律，则A2021B2021＝_____．,,【答案与解析】1．C【解析】根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法求解．解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，错误；C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，错误；故选C．本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法是解题关键．2．B【解析】根据平行四边形、菱形、矩形、梯形的对角线的性质解答．解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选：B．此题考查平行四边形、菱形、矩形、梯形的对角线的性质，熟记各图形的性质是正确解题的关键．3．D【解析】连接AE，过点E作EF⊥AD，并延长，交BC于点H，由题意易得，，，则有，，然后可得，，所以有，，，然后问题可求解．解：连接AE，过点E作EF⊥AD，并延长，交BC于点H，如图所示：∵四边形是矩形，，,∴，，，，∴，∴四边形是矩形，∵E为的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵M为的中点，∴，∴，∴，∴；故选D．本题主要考查矩形的性质及三角形中位线，熟练掌握矩形的性质及三角形中位线是解题的关键．4．D【解析】根据中点四边形为平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时则平行四边形为矩形，即可得到答案．解：顺次连接一个四边形的各边中点，得到的四边形是平行四边形，若四边形的对角线互相垂直，则所得平行四边形为矩形，则满足条件的是②④，故选：D．,此题考查中点四边形的判定，矩形的判定，熟记判定定理是解题的关键．5．C【解析】根据菱形的性质和全等三角形的判定定理逐一判断即可得到结论．解：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，AB//CD，∴∠B=∠DCF，①添加BE=CF，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（SAS），②添加CE⊥AB，DF⊥BC，则∠CEB=∠F=90°，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（AAS），③∵添加CE=DF，不能确定△BCE≌△CDF；④添加∠BCE=∠CDF，在△BCE和△CDF中，∴△BCE≌△CDF（ASA），故选：C．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键．6．A【解析】,根据矩形的性质和菱形的判定得出四边形BEDF是菱形，进而利用勾股定理和菱形的面积公式解答即可．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEO＝∠BFO，∠EDO＝∠FBO，∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，∴BO＝DO，EF⊥BD，∴△DEO≌△BFO（AAS），∴EO＝FO，∵BO＝DO，∴四边形BEDF是平行四边形，∵EF⊥BD，∴平行四边形BEDF是菱形，∴BE＝DE，∵AB＝5，AD＝12，∠A＝90°，∴BD＝13，设DE＝x，则AE＝12﹣x，在Rt△AEB中，AB2+AE2＝BE2，即52+（12﹣x）2＝x2，∴x，∴BE＝DE，在Rt△BEO中，OE，∴EF＝2EO，∴菱形BEDF的面积，故选：A．,此题考查矩形的性质、菱形的性质和判定以及勾股定理，关键是根据矩形的性质和菱形的判定和性质解答．7．B【解析】根据翻折的性质，①当P与B重合时，可得BA′与AP的关系，根据线段的和差，可得A′C，②当Q与D重合时，根据勾股定理，可得A′C，根据线段的和差，可得答案．解：①当P与B重合时，BA′＝BA＝6，CA′＝BC−BA′＝10−6＝4，②当Q与D重合时，由勾股定理，得CA′＝=＝8，CA′最大是8，CA′最小是4，点A′在BC边上可移动的最大距离为8−4＝4，故选：B．本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质，勾股定理，分类讨论是解题关键．8．（1）5；（2）7或；（3）【解析】（1）直接根据勾股定理求解即可；（2）分和两种情况进行讨论求解即可；（3）设，过点作于点，根据求解即可．解：（1）根据题意知：，∴，∴的长为5；（2）①当时，，，∴；②当时，过点作于点，易得，．在中，易得．在中，，∴，,解得：；综上，当为7s或s时，为直角三角形；（3）设．∵在的垂直平分线上，∴．过点作于点．易得．在中，，∴，解得：，∴的长为．本题考查矩形中的动点问题，灵活根据题意进行分类讨论，并熟练结合勾股定理求解是解题关键．9．（1）45°；（2），见解析；（3）AG=12，MN=5-【解析】（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．,解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．∴∠BAE=∠GAE．同理，∠GAF=∠DAF．∴∠EAF=∠BAD=45°．（2）连接NH∵∠BAM=∠DAH，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠HAN=∠DAH+∠DAN=45°．∴∠HAN=∠MAN．在△AMN与△AHN中，，∴△AMN≌△AHN（SAS）．∴MN=HN．∵∠BAD=90°，AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°．∴∠HDN=∠HDA+∠ADB=90°．∴NH2=ND2+DH2．∴MN2=ND2+DH2．（3）连接BD，交AE，AF于点M，N设AG=x，BE=x-8，DF=x-6在Rt△ECF中，EF=,则x-8+x-6=10，解得x=12，即AG=12，设MN=a，在Rt△ABD中，BD=，∴ND=由MN2=ND2+DH2则，解得：a=5即MN=5本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等．10．（1）见解析；（2）见解析；（3）24【解析】（1）根据AAS可以得到题目证明；（2）由（1）及已知条件可得四边形ADCF是平行四边形，再根据∠BAC=90°，D是BC的中点可得AD=DC，从而得到四边形ADCF是菱形；（3）连接DF，可以证得四边形ABDF是平行四边形，DF=AB=8，再根据菱形的面积公积可以得到答案．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，∵E是AD的中点，,∴AE=DE，在△AFE和△DBE中，∴△AFE≌△DBE(AAS)；(2)证明：由(1)知，△AFE≌△DBE，则AF=DB.∵AD为BC边上的中线∴DB=DC，∴AF=CD∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC=90∘，D是BC的中点，∴AD=DC=BC，∴四边形ADCF是菱形；(3)连接DF，∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB=8，∵四边形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF=AC▪DF=×6×8=24．本题考查菱形与三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、菱形的判定及性质、菱形面积的计算是解题关键．11．见详解【解析】作线段AB的垂直平分线EF交AB于D，连接CD，线段CD即为所求作．解：如图，线段CD即为所求作．,本题考查作图——复杂作图，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．（1）见解析；（2）①5，②1【解析】（1）由已知各件，据AAS很容易证得：△BDE≌△CDF；（2）①当EF⊥BC时，平行四边形BECF为菱形，据此得出AB＝AC；②根据正方形的性质得BC＝EF，根据D是BC中点得出BD与DF的长度，再由勾股定理求出AD，进而得出结果．解：（1）∵D是BC边的中点，∴BD＝CD，∵CF∥BE，∴∠CFD＝∠BED，在△CFD和△BED中，，∴△CFD≌△BED（AAS），∴CF＝BE，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）①当AC＝5时，四边形BECF是菱形；理由如下：∵AB＝5，∴AB＝AC，∵D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴EF⊥BC，∵四边形BECF为平行四边形，∴四边形BECF是菱形．故答案为5；,②∵四边形BEFC是正方形，∴EF＝BC＝6，EF⊥BC，∵点D是BC的中点，∴BD＝CD＝DF＝DE＝3，∴AD＝，∴AF＝AD﹣DF＝4﹣3＝1，故答案为1．本题主要考查了菱形的判定、正方形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握菱形的判定方法或等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．13．（1）AM=CN，证明见解析；（2）见解析；（3）45°或135°，2【解析】（1）结论：AM=CN．先证明△AOK≌△AOJ（ASA），推出OK=OJ，AK=CJ，∠AOK=∠AJO，再证明△EKM≌△GJN（ASA）即可解决问题；（2）过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．首先证明四边形QMRN是平行四边形，再证明QM=QN即可；（3）如图3-2中，连接BD，在DC上取一点J，使得DJ=AD=，则AJ=2，利用三角形的外角性质求出∠BOC的度数，结合图象即可解决问题．解：（1）结论：AM=CN．理由：如图2中，设AB交EG于K，CD交EG于J．∵四边形ABCD是矩形，四边形EFGH是矩形，∴AB∥CD，EF∥EG，OA=OC=OE=OG，,∴∠MEK=∠JGN，∠OAK=∠OCJ，∵∠AOK=∠COJ，∴△AOK≌△COJ（ASA），∴OK=OJ，AK=CJ，∠AKO=∠CJO，∴EK=JG，∵∠EKM=∠AKO，∠GJN=∠CJO，∴∠EKM=∠GJN，∴△EKM≌△GJN（ASA），∴KM=JN，∴AM=AN；（2）证明：过点Q作QK⊥EF，QL⊥CD，垂足分别为点K，L．由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH，∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG，∴四边形QMRN为平行四边形，∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°，∴QK=QL，又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，∴∠KMQ=∠LNQ，∴△QKM≌△QLN（AAS），∴MQ=NQ，∴四边形QMRN为菱形；,（3）如图3-2中，连接BD，在DC上取一点J，使得DJ=AD=，则AJ=2，∵CD=2+，∴CJ=AJ=2，∴∠JCA=∠JAC，∵∠AJD=45°=∠JCA+∠JAC，∴∠ACJ=22.5°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=22.5°，∴∠BOC=45°，观察图象可知，当点F与点C重合或点G与点D重合时，四边形QMRN的面积最大，最大值=2，∴∠AOE=45°或135°时，四边形QMRN面积最大为2．故答案为：45°或135°，2．本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．14．（1）见解析；（2）【解析】（1）首先利用全等三角形的判定方法得出△BDE≌△FAE，进而得出AF=BD，于是可得到AF=CD，据此可证明ADCF是平行四边形，再证明∠ADC=90°进而得出答案；（2）先在中求出AD，即CF，然后在中求出BF．（1）∵E是AD的中点，,∴AE=ED，∵AF∥BC，∴∠ADB=∠DAF，∠DBE=∠AFE，∴△BDE≌△FAE，∴AF=BD，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴BD=CD，∴AF=CD，又∵AF∥CD，∴ADCF是平行四边形，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴∠ADC=90°，∴平行四边形ADCF是矩形．（2）CF=AD=∴BF=本题考查了平行四边形的判定及矩形的判定的知识，解题的关键是牢记几个判定定理，难度不大．15．（1）DE的最小值是；（2）四边形DECF的面积是；（3）存在；△ABC的最小面积为．【解析】（1）由等腰直角三角形的性质和勾股定理，先求出AD的长度，然后当DE⊥AC时，线段DE取到最小值，根据面积的方法进行解题，即可求出答案；（2）作DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，连接CD．先证明四边形DNCM是矩形，△DNF≌△DME，则S四边形DECF=S四边形DNCM，然后求出面积即可；（3）作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．先证明△DME≌△DNF，然后设AD=2m，则DM=DN=m，AM=AN=，求出m的值，得到AD=，当AD是△ABC的高时，△ABC的面积最小，然后求出最小面积即可．解：（1）∵AB＝AC＝5，∴△ABC是等腰三角形，∵AD平分∠CAB交BC边于点D，,∴AD⊥BC，BD=CD=，由勾股定理，则，∴，由题意，当DE⊥AC时，线段DE取到最小值，如图∵∴，∴，∴DE的最小值是．（2）如图，作DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，连接CD．∵∠DNC=∠DMC=∠MCN=90°，∴四边形DNCM是矩形，∴∠NDM=90°，∵∠NDM=∠EDF，∴∠NDF=∠MDE，∵∠DNE=DME=90°，在等腰直角△ABC中，点D为AB边的中点，∴CD是∠ACB的角平分线，∴DM=DN，,∴△DNF≌△DME（ASA），∴S四边形DECF=S四边形DNCM，∵DM∥AC，点D是AB边的中点，∴，∴S四边形DECF=S四边形DNCM=．（3）存在．如图，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．∵∠DMA=∠DNA=90°，∠MAN=60°，∴∠MDN=∠EDF=120°，∴∠EDM=∠FDN，∵DE=DF，∠DME=∠DNF=90°，∴△DME≌△DNF（AAS），∴DM=DN，S四边形AEDF=S四边形AMDN=，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴AD平分∠MAN，∴∠DAM=∠DAN=30°，设AD=2m，则DM=DN=m，AM=AN=，∴，∴m2=200，∵m＞0，∴m=，∴AD=，∵△ABC中，AD是角平分线，∠BAC=60°，AD是定值，∴当AD是△ABC的高时，△ABC的面积最小，∴，,∴BC=2BD=．∴△ABC的最小面积为：．本题属于四边形综合题，考查了四边形的面积，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．16．答案见详解【解析】由正方形的性质可得三角形全等的条件，利用“SAS“得△ABE≌△ADG，从而可利用全等三角形的性质得出BE＝DG，然后等量代换即可得出结论．证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，∴△ABE≌△ADG（SAS）；∴BE＝DG．∵AB＝BC＝CE+EB＝CE+DG，即AB＝CE+DG．本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．17．（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）由矩形的性质：OB=OD，AE∥CF证得，根据AAS可证明△BOE≌△DOF；（2）根据得BE=DF，根据四边形ABCD是矩形得AB=CD，AE//CF，从而进一步可证明四边形AECF是平行四边形．解：（1）证明：∵四边形是矩形∴，∴又∴；（2）证明：∵，∴BE=DF,∵四边形是矩形，∴，∴，∴∴四边形AECF是平行四边形本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质和平行四边形的判定．解答此题的关键是熟知矩形、全等三角形的判定与性质定理和平行四边形判定．18．（1）证明见解析；（2）∠DME=180°-2α；（3）∠DME=2∠BAC-180°．【解析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知DM=ME，再根据N为DE的中点，利用垂直平分线的判定定理即可证明；（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A和∠BMD+∠CME，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；（3）根据三角形的内角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根据等腰三角形两底角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠BME+∠CMD，然后根据平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．解：（1）如图（1）∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴，∴DM=ME又∵N为DE中点，∴DN=NE，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM=ME=BM=MC，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠MEC，∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），=360°-2（∠ABC+∠ACB），=360°-2（180°-∠A），=2∠A，,∴∠DME=180°-2∠A=180°-2α；（3）∠DME=2∠BAC-180°，理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，由（2）得DM=ME=BM=MC，∴∠ABC=∠BDM，∠ACB=∠MEC，∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2（180°-∠BAC）=360°-2∠BAC，∴∠DME=180°-（360°-2∠BAC）=2∠BAC-180°．本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，整体思想的利用是解题的关键．19．（1）见解析；（2）54°；（3）【解析】（1）根据翻折变换的性质，结合平行线的性质证明，即可利用等腰三角形的判定得出结论；（2）根据四边形是长方形，可得，则可求出及（1）中所得结论即可求解；（3）根据折叠性质及勾股定理列出关于线段AE的方程，求解后则可得出，即可求出的面积．解：（1）∵，∴．由折叠性质得：，∴．∴．（2）∵四边形是长方形，∴．∵，∴．∵，∴．（3）由折叠性质可得：．,设，则，由勾股定理得：，解得：．即．∴．∴．此题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定与性质、勾股定理等几何知识点来解题．20．（1）菱形，理由见解析；（2）1.4【解析】（1）解方程求得AC和BD，进而求得BO＝4，CO＝3，根据AB＝5，BO＝4，CO＝3，根据勾股定理的逆定理可判断出∠BOC＝90°，从而判断平行四边形ABCD为菱形；（2）根据菱形的面积公式求得AE，然后根据勾股定理得到BE．解：（1）平行四边形ABCD为菱形，理由如下：解方程x2﹣14x+48＝0得x1＝6，x2＝8，∵AC＜BD，∴AC＝6，BD＝8，∴BO＝4，CO＝3，∵32+42＝52，∴BO2+CO2＝BC2，∴∠BOC＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，且AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形：（2）∵四边形ABCD为菱形：∴AE•BC＝BD，,∴5AE＝，∴AE＝，∴BE＝＝＝1.4．故BE的长为1.4．本题考查了解一元二次方程，平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、菱形的判定和性质，菱形的面积，熟练掌握性质定理是解题的关键．21．（1）5；（2）见解析【解析】（1）依据，，可得是等腰直角三角形，结合求出，再根据勾股定理，即可求解的长；（2）连接GE，过A作，交BG于P，连接PE，利用正方形的判定方法可证得四边形是正方形，即可得到，，进而得出，依据，，即可得到．（1）解：∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∵，∴．（2）如图，连接GE，过A作，交BG于P，连接PE，,∵，，∴，∴BG是AE的垂直平分线，∴，∵，∴是等腰直角三角形，即，是等腰直角三角形，即，∴，∵，∴四边形是正方形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴．本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，掌握特殊四边形的判定与性质并能灵活运用所学知识是解题的关键．22．24【解析】结合正方形的性质可证得△AOE≌△BOF，则有AE=BF=6，即可得到AB=BC=14，从而可求出EB=8，由此可求出△BEF的面积．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，OA=OB，∠ABC=∠AOB=90°，∠BAC=∠CBD=45°．,∵∠EOF=90°，∴∠AOE=∠BOF=90°-∠EOB．在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE=BF=6，∴BC=BF+FC=6+8=14，∴AB=BC=14，∴BE=AB-AE=14-6=8，∴S△BEF，故答案为24．本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证到△AOE≌△BOF是解决本题的关键．23．45°【解析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，可求∠BEA＝15°，即可求解．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝∠AED＝60°，∴∠BAE＝150°，AB＝AE，∴∠AEB＝15°，∴∠BED＝45°，故答案为：45°．本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．24．132°108°6【解析】（1）根据折叠的性质解答；,（2）根据折叠的性质解答．解：（1）如图，由折叠的性质可得：∠1=∠FEG=24°，∵AE∥BF，CF∥ED，∴∠1=∠EFG=24°，∠CFE=180°-∠FEG=156°，∴∠CFG=∠CFE-∠EFG=132°，故答案为132°；（2）由图3，根据折叠的性质及（1）可得：∠CFG=132°，∠EFG=24°，∴∠CFE=∠CFG-∠EFG=132°-24°=108°；由上可知，第n次操作后相应的角度为156°-n×24°，∴由156°-n×24°≥0可得：n≤6.5，∴n的最大值为6，故答案为108°；6．本题考查矩形与折叠的综合应用，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题关键．25．【解析】根据菱形的周长先求出边长AB，然后判断出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出高，再利用菱形的面积公式计算即可得解．解：如图，∵菱形的周长为16，∴边长AB＝BC＝16÷4＝4，∵一个内角∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，过点A作AE⊥BC于点E，则，,根据勾股定理，，所以，菱形的面积为4×2＝．故答案为：．本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定，求出菱形边上的高是解题的关键．26．2【解析】连接BE，由垂直平分线的性质和等腰直角三角形的性质，得，再得∠EBC=90°，利用勾股定理即可求出CE的长度．解：连接BE，如图：由题意可知，MN垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠AEB=90°，在等腰直角三角形ABE中，AB=4，由∴∵四边形ABCD为菱形，∴，∴∠EBC=∠AEB=90°，在Rt△BCE中，由勾股定理得：,故答案为：本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到∠EBC=∠AEB=90°．27．8．【解析】连接BD交AC于点O，则可证得OE=OF，OD=OB，可证四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，可证得四边形BEDF为菱形；根据勾股定理计算DE的长，可得结论．解：如图，连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，∵AE=CF=2，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形，∴DE=DF=BE=BF，∵AC=BD=8，OE=OF==2，由勾股定理得：，∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2=8，故答案为：8．本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是解题的关键．28．120,【解析】由AEBD，得，由四边形是矩形可得，从而可判断是等边三角形，根据三角形外角的性质可得结论．解：∵四边形是矩形∴∵AEBD，∴，∴是等边三角形，∴∴故答案为：120．此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，熟练掌握蜀道难突然发觉解答此题的关键．29．【解析】由翻折得∠，，通过证明△，△△△全等，分别求出，，依据三角形面积公式求解即可．解：在矩形ABCD中，ED平分∠ADC∴∠EDC=45°∵∠DCE=90°∴∠DEC=45°∴△ECD是等腰直角三角形∴EC=DC∵BC=2AB=2DC∴E为BC中点∴∵△翻折到△∴△∴∠,∴∵∠∠∴△∴△△△全等，∴∠∴∴∴∴∠∴∠，∴∴．此题主要考查了折叠的性质，勾股定理以及三角形面积，证明是解答此题的关键．30．（）2021【解析】根据含30度的直角三角形三边的关系得到A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，再利用四边形A1B1C1B2为正方形得到A1B2＝A1B1＝，接着计算出A2B2＝（）2，然后根据的指数变化规律得到A2018A2019的长度．解：∵四边形ABCB1为正方形，∴AB1＝AB＝1，∵A1C∥AB，∴∠B1A1A＝30°，,∴A1B1＝AB1＝，AA1＝2AB1＝2，∵四边形A1B1C1B2为正方形，∴A1B2＝A1B1＝，∵A2C1∥A1B1，∴∠B2A2A1＝30°，∴A2B2＝A1B2＝×＝（）2，……∴A2021B2021＝（）2021，故答案为：（）2021．本题考查了规律型——图形的变化类：探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．也考查了正方形的性质．
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