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第十八章第2节《特殊的平行四边形》提高训练卷(1)一、单选题1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线BD⊥AD，AB=10，AD=6，O为BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若AE=3.6，则四边形DEBF为矩形C．若AE=5，则四边形DEBF为菱形D．若AE=4.8，则四边形DEBF为正方形2．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（）A．1B．2C．D．3．如图，矩形ABCD中，AB：AD=2：1，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，当PB的最小值为3时，AD的值为（ ）A．2B．3C．4D．64．如图，把矩形沿对折，若则等于（）,A．B．C．D．5．如图，在正方形中，点，将对角线三等分，且，点在正方形的边上，则满足，则的点的个数是（）A．0B．4C．6D．8二、填空题6．如图，在矩形中，平分交于点E，交于点F，若，，则等于________．7．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E，H分别为AB，BC的中点，G，F分别为线段HD，CE的中点．若线段FG的长为2，则AB的长为_____．8．在正方形ABCD中，点E，F分别为BC和AB的中点，DE和FC交于点M，连接AM．若BC=5，则AM的长度为___．9．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，当点D与点D′关于AE对称时，DE的长为_____．,10．如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上一点，且AC＝EC，则∠DAE的度数为_________．11．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO，若=60o，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②EOB≌CMB；③DE=EF；④，⑤，其中正确的结论是_______（填正确的序号）12．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的边OA在x轴上，OC在y轴上，OA=1，OC=2，对角线AC的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D．若y轴上有一点P（不与点C重合），能使△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为____．,13．如图，四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，CF交AB于点E，G是CF上一点，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，则∠ACD的度数是______________．14．如图，在四边形ABCD中，DA＝DC，∠ABC＝∠ADC＝90°，S四边形ABCD＝12cm2，则BE＝_____cm．15．如图，先有一张矩形纸片，，，点，分别在矩形的边，上，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论：①；②四边形是菱形；③，重合时，；④的面积的取值范围是．其中正确的______；（把正确结论的序号都填上）．,三、解答题16．如图，四边形ABCD中，∠B=60°，AC=BC，点E在AB上，将CE绕点C顺时针旋转60°得CF，且点F在AD上．（1）求证：AF=BE；（2）若AE=DF，求证：四边形ABCD是菱形；（3）若BC=2，求四边形AFCE的面积．17．若一条直线把一个平面图形分成面积相等的两部分，那么这条直线叫做该平面图形的“和谐线”，其中“和谐线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“和谐线段”．问题探究：（1）如图①，在中，，画出经过点的的“和谐线段”；（2）如图②，在中，，，，请求出的两条“和谐线段”的长；问题解决：（3）如图③，四边形是某市规划中的商业区示意图，其中，，，，现计划在商业区内修一条笔直的单行道（小道的宽度不计，入口在上，出口在上，使得为四边形的“和谐线段”，在道路一侧区域规划为公园，为了美观要求是以,为腰的等腰三角形，请通过计算说明设计师的想法能否实现？若可以，请确定点的位置（即求的长）．18．（1）如图1，已知：在中，，直线l经过点A，直线l，直线l．垂足分别为点D、E．证明：．（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明：若不成立，请说明理由．（3）如图3，过的边、向外作正方形和正方形，，，，，探索与的面积之间有什么关系？并说明理由．19．如图，在中，，，为的中点．（1）写出点到的三个顶点，，的距离的关系（不要求证明）；（2）如果点，分别在线段，上移动，在移动过程中保持，请判断的形状，并证明你的结论．20．如图，是矩形的一条对角线．,（1）作的垂直平分线，分别交，于点、．垂足为点（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）求证：．21．已知：如图1所示将一块等腰三角板BMN放置与正方形ABCD的重合，连接AN、CM，E是AN的中点，连接BE．（观察猜想）（1）CM与BE的数量关系是________；CM与BE的位置关系是________；（探究证明）（2）如图2所示，把三角板BMN绕点B逆时针旋转，其他条件不变，线段CM与BE的关系是否仍然成立，并说明理由；（拓展延伸）（3）若旋转角，且，求的值．22．如图，在菱形中，分别过点B作于点M，于点N，分别交于E、F两点．求证：．23．感知：如图①，已知正方形的边在正方形的边上，连结，易证．（不需要证明）,探究：将图①中正方形绕点按顺时针方向旋转，使点落在边上，如图②．连结，证明：．应用：如图③，正方形中，，点在的延长线上，，，．直接写出点与点的距离．24．已知正方形，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形．（1）若正方形的边长为10，点在边上．①当点为边的中点时，求作：正方形的内等边（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；②若是正方形的内等边三角形，连接，则线段长的最小值是_____，线段长的取值范围是______；,（2）和都是正方形的内等边三角形，当边的长最大时，画出和，点按逆时针方向排序，连接．找出图中与线段相等的所有线段（不添加字母），并给予证明．25．已知：如图，在四边形中，点在边的延长线上，平分、平分，交于点．（1）求证：；（2）若点为的中点，求证：四边形是矩形．26．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．27．如图，在一张长方形纸片ABCD中，点E，F分别是CD和AB的中点．将这张纸片按图示方式折叠后，D，G，H三点共线，且G是DH中点．,（1）∠DAH=__________；（2）若AB=20cm，EG=__________cm．28．在中，，于点，为上一点（不与，重合），（1）如图1，若，求证：平分；（2）如图2，若，过点作于点，交于．①求证：；②当时，与的数量关系是______．29．如图所示，把长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′，点A落在点A′处．（1）求证：EB′=BF；（2）若AE=3，AB=4，求BF的长．,30．如图，已知正方形的边长为3，菱形的三个顶点E、G、H分别在正方形的边、、上，，连接．（1）当时，求证：菱形为正方形；（2）设，请用x的代数式表示的面积；（3）当时，求的度数．,,【答案与解析】1．D【解析】根据平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理进行逐一判断即可得解．A．∵四边形ABCD是平行四边形∴∴∵O为BD的中点∴在与中∴∴∵∴四边形DEBF为平行四边形，故A选项正确；B．假设∵，，∴∴∴∵∴则当时，∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF为矩形，故B选项正确；C．∵，∴E是AB中点∵∴,∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF为菱形，故C选项正确；D．当时与时矛盾，则DE不垂直于AB，则四边形DEBF不为矩形，则也不可能为正方形，故D选项错误，故选：D．本题主要考查了平行四边形的性质及判定定理，以及特殊平行四边形的判定定理，熟练掌握相关性质及定理的几何证明方法是解决本题的关键．2．D【解析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．解：∵四边形AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又∵EC=AE，AB=AE+EB=3，∴EB=1，EC=2，∴Rt△BCE中，，故选：D．本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．3．B【解析】根据中位线定理可得出点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质和已知线段数量关系易证BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由等腰直角三角形的性质求解即可．如图：,当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1=DP1．当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2=DP2，∴P1P2∥CE且P1P2=CE，∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB∶AD=2∶1，E为AB的中点，∴△CBE，△ADE，△BCP1均为等腰直角三角形，CP1=BC，∴∠ADE=∠CDE=∠CP1B=45°，∠DEC=90°，∴∠DP2P1=90°，∴∠DP1P2=45°，∴∠P2P1B=90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角三角形BCP1中，CP1=BC，∴BP1=BC，又PB的最小值是3，∴AD=BC=3，故选B．本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．4．B【解析】根据矩形的对边平行，可得∠AEF+∠BFE=180°，继而求得∠BFE=68°，再利用折叠的性质和平角的定义求解即可．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEF+∠BFE=180°，,∵，∴∠BFE=68°，∴∠1=180°-2∠BFE=44°，故选B．本题考查了折叠问题，矩形的性质，平行线的性质，平角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．D【解析】由题知，根据对称性，作点F关于BC的对称点Q，连接QE交BC于M，当点P在点M时，PE+PF的值最小，结合勾股定理即可求解；依题：根据对称性，作点F关于BC的对称点Q，连接QE交BC于M，点E、F将对称轴AC三等份，且AC=18；∴EC=12，CF=6；∵点Q与点F关于BC对称∴CF=CQ=6，∠ACB=∠BCQ=45°；∴∠ACQ=90°∴；∴在线段BC上存在点M使得为的最小值，即为；当点P运动至点C时，，∴当点P在CM之间时，，故在CM上存在一个P点，使得；,当点P运动至点B时，由图可知，BE=BF，△BOE为直角三角形，OE=3，OB=9，∴∴；∴当点P在BM之间时，，故在BM上存在一个P点，使得；∴在线段BC上的存在两个点，使得；同理可得，在AB、CD、DA上也都存在两个点，使得；∴点P在正方形ABCD上运动时，共有8个点，使得；故选：D本题考查正方形的性质，重点应用正方形的对称性求解；难点在理解区域范围求解存在点．6．7【解析】利用勾股定理列式求出AF，根据矩形的四个角都是直角可得∠ADC=∠C=90°，然后求出四边形CDFE是矩形，再根据角平分线的定义可得∠ADE=∠CDE，再根据两直线平行，内错角相等可得∠ADC=∠CED，然后求出∠CDE=∠CED，根据等角对等边的性质可得CD=CE，然后根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDFE是正方形，根据正方形的四条边都相等求出DF，再根据AD=AF+DF代入数据进行计算即可得解．解：∵EF⊥AD，EF=3，AE=5，∴AF=，在矩形ABCD中，∠ADC=∠C=90°，又∵EF⊥AD，∴∠DFE=90°，∴四边形CDFE是矩形，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵矩形ABCD的对边AD∥BC，∴∠ADC=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CD=CE，,∴矩形CDFE是正方形，∵EF=3，∴DF=EF=3，∴AD=AF+DF=4+3=7．故答案为：7．本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线定义，平行线的性质以及正方形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键．7．8【解析】连接CD并延长，交AD于点M，连接EM，作AN⊥EM于N，先证明△DMG≌△HCG，得到,进而证明AE=AM，再根据FG为△CEM中位线求出EM，根据等腰三角形性质得到EN=EM=，∠AEN=30°，即可求出AE，进而求出AB即可．解：连接CG并延长，交AD于点M，连接EM，作AN⊥EM于N，∵四边形ABCD为菱形，∠B=60°，∴AD∥BC，AD=BC=AB∴∠EAM=120°，∠DMG=∠HCG，∵G为DH中点，∴DG=HG，∵∠MGD=∠CGH，∴△DMG≌△HCG，∴DM=HC，CG=MG,∵H为BC中点，∴,∴AM=，∵E为AB中点，∴AE=，∴AE=AM，,∵F为CE中点，G为CM中点，∴FG为△CEM中位线，∴,∵AE=AM，∠EAM=120°，AN⊥EM，∴EN=EM=，∠AEN=30°，∴AE=2AN=4，∴AB=2AE=8．故答案为：8本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，根据已知条件添加辅助线构造全等三角形，等腰三角形是解题关键．8．5【解析】延长CF和DA,相交于G点，通过证明△FBC≌△ECD证得∠EMC=90°，再通过证明△AFG≌△BFC可得点A为GD的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．分别延长CF和DA,相交于G点,∵正方形ABCD中,点E,F分别为BC和AB的中点,∴FB=EC,∠FBC=∠ECD=90°,BC=CD,∴△FBC≌△ECD(SAS).∴∠BFC=∠CED.∵∠BFC+∠BCF=90°,∴∠CED+∠BCF=90°,,∴∠EMC=90°,∴ED⊥CF.∵∠GAF=∠CBF,AF=BF,∠AFG=∠BFC,∴△AFG≌△BFC(ASA),∴AG=BC=AD,∴点A为GD的中点.∴在Rt△GMD中,AM=AD=BC=5.本题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线，掌握上述基本性质定理是解题的关键．9．或【解析】连接ED′，AD′，延长MD′交DC于点P．根据题意设MD′＝ND′＝BM＝x，则AM＝AB-BM＝7-x，AD＝AD′＝5，在中，利用勾股定理可求出x=3或4，即MD′的长，分类讨论①当MD′=3时，设ED′＝a，则AM＝7-3＝4，D′P＝5-3＝2，EP＝4-a，在Rt△EPD′中利用勾股定理可求出a的值，即DE的长；②当MD′=4时，同理即可求出DE的长．解：如图，连接ED′，AD′，延长MD′交DC于点P，∵正方形MBND′的顶点M，N分别在矩形的边AB，BC上，点E为DC上一个动点，点D与点D′关于AE对称，∴设MD′＝ND′＝BM＝x，∴AM＝AB﹣BM＝7﹣x，∵AE为对称轴，∴AD＝AD′＝5，在中，，即，解得，,即MD′＝3或4．在Rt△EPD′中，设ED′＝a，①当MD′＝3时，AM＝7﹣3＝4，D′P＝5﹣3＝2，EP＝4﹣a，∴，即，解得a＝，即DE＝．②当MD′＝4时，AM＝7﹣4＝3，D′P＝5﹣4＝1，EP＝3﹣a，同理，，解得a＝，即DE＝．综上所述：DE的长为：或．故答案为：或．本题考查图形对称的性质，矩形的性质以及勾股定理．根据对称并利用勾股定理求出MD′的长度是解答本题的关键．10．22.5°【解析】由四边形ABCD是一个正方形，根据正方形的性质，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根据等边对等角，可得∠E=∠CAE，继而根据等腰三角形的性质和三角形的内角和求得∠EAC的度数，进一步即可求得∠DAE的度数．解：∵四边形是正方形，∴，∴，又∵，∴，则．故答案为：22.5°此题考查了正方形的性质以及等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．11．①③⑤【解析】,只要证明BO=BC，OF=FO，即可解决问题，故①正确；可以证明，故②错误；只要证明△DEF是等边三角形即可得到结果，故③正确；只要证明，，即可得到结果，故④错误；证明，，即可得到结论，故⑤正确．四边形是矩形，，，，，是等边三角形，，，，，垂直平分，故①正确；，，，，，，，，，，，，，故②错误；，，四边形是平行四边形，，，,是等边三角形，，故③正确；易知，，，，，故④错误；由前序正确结论可知，，，∵，，，∴，，∴，故⑤正确；故答案为：①③⑤．本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，准确分析判断是解题的关键．12．，或【解析】设AE=m，根据勾股定理求出m的值，得到点E（1，），设点P坐标为（0，y），根据勾股定理列出方程，即可得到答案．∵对角线AC的垂直平分线交AB于点E，∴AE=CE，∵OA=1，OC=2，∴AB=OC=2，BC=OA=1，∴设AE=m，则BE=2-m，CE=m，∴在Rt∆BCE中，BE2+BC2=CE2，即：（2-m）2+12=m2，解得：m=，,∴E（1，），设点P坐标为（0，y），∵△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，当AP=AE，则(1-0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，当EP=AE，则(1-0)2+(-y)2=(1-1)2+(0-)2，解得：y=，∴点P的坐标为，，，故答案是：，，．本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出方程，是解题的关键．13．30°【解析】根据矩形的性质得到AD∥BC，∠DCB＝90°，根据平行线的性质得到∠F＝∠ECB＝20°，根据三角形的外角的性质得到∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，于是得到结论．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠DCB＝90°，∴∠F＝∠ECB∵∠ECB＝20°，∴∠F＝∠ECB＝20°，∵∠GAF＝∠F，∴∠GAF＝∠F＝20°，∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F＝40°，∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝60°，∴∠ACD＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30°．本题考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．14．,【解析】过点D作DF垂直BC,垂足为F，根据AAS得到，证得，因此得到四边形DEBF为正方形，根据正方形面积即可求得边长．过点D作DF垂直BC,垂足为F，如下图所示∵，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形DEBF为矩形，∴∠EDF＝90°，∵，∴在与中，∴∴，∴四边形DEBF为正方形∵S四边形ABCD＝12cm2，即S正方形DEBF=12cm2，∴BE=cm，故答案为．本题考查了三角形全等的性质和判定，矩形、正方形的判定和性质，重点是根据题意作出辅助线．,15．②③④【解析】先判断出四边形CMPN是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN=NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ=CD，得Rt△CMQ≌△CMD，进而得∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN=x，表示出AN=NC=8-x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值即可．解：如图1，∵PM∥CN，∴∠PMN=∠MNC，∵∠MNC=∠PNM，∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN，∵NC=NP，∴PM=CN，∵MP∥CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN=NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP=∠MCP，∴∠MQC=∠D=90°，∵CP=CP，若CQ=CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），∴∠DCM=∠QCM=∠BCP=30°，这个不一定成立，故①错误；,点P与点A重合时，如图2所示：设BN=x，则AN=NC=8-x，在Rt△ABN中，AB2+BN2=AN2，即42+x2=（8-x）2，解得x=3，∴CN=8-3=5，，∴CQ=AC=2，∴，∴MN=2QN=2．故③正确；当MN过点D时，如图3所示：此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S=S菱形CMPN=×4×4=4，当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S=×5×4=5，∴4≤S≤5，故④正确．故答案为：②③④．此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．,16．（1）见解析；（2）见解析；（3）四边形AFCE的面积=3．【解析】（1）由题意可得△BCE≌△ACF，从而得到AF=BE；（2）首先证明四边形ABCD是平行四边形，再由AB=BC得到四边形ABCD是菱形；（3）由图可知，四边形AFCE的面积=△ABC的面积,根据△ABC的边长及形状即可得到解答．(1)证明:∵AC=BC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC,∠ACB=60°.∵∠ECF=60°,∴∠ACB=∠ECF,∴∠ECB=∠ACF.在△BCE和△ACF中,∴△BCE≌△ACF(SAS),∴AF=BE.(2)证明:由(1)得∠FAC=∠EBC=∠ACB=60°,∴AF∥BC.∵AF=BE,AE=DF,∴AD=AB.∴AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC,∴▱ABCD是菱形.(3)∵△BCE≌△ACF,∴四边形AFCE的面积=△AFC的面积+△ACE的面积=△BEC的面积+△ACE的面积=△ABC的面积,∵△ABC是一个等边三角形且BC=2,∴四边形AFCE的面积=×2×2×=3.,本题考查四边形的综合应用，熟练掌握菱形的判定、三角形全等的判定及性质、等边三角形面积的求法是解题关键．17．（1）答案见解析；（2），；（3）．【解析】（1）作底边BC上的中线AD，则线段AD即为经过点A的的“和谐线段”．（2）分别作边AB和边BC上的中线CE、AF．则线段CE和AF都为的“和谐线段”．再利用勾股定理求出线段CE和AF的长即可．（3）作DE⊥BC于E，AF⊥DE于F，根据题意易求出，又可知为等边三角形．作于H，设CM=x，则，根据“和谐线段”定义即可列出关于x的一元二次方程，解出x，最后判断x是否符合题意即可．（1）如图，取BC的中点D，连接AD，则线段AD即为经过点A的的“和谐线段”．（2）分别取AB和BC中点E、F，连接CE、AF，则线段CE和AF都为的“和谐线段”．∵E、F分别为AB和BC中点，∴，，∵，∴，．故的两条“和谐线段”CE和AF的长分别为和．（3）如图，作DE⊥BC于E，AF⊥DE于F．,∵，，∴∵在中，CD＝10，∴CE＝5，．∵四边形ABEF是矩形，∴AB＝EF＝2，∴，∵∠DAB＝120°，∠BAF＝90°，∴∠DAF＝30°，∴，∴∴∵∴为等边三角形．如图，作于H，设CM=x，则，根据题意可知，即，解得（舍）．,∴∴，，∴存在M点，此时．此题考查四边形综合题，三角形中线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．综合性较强，较难．解题的关键是理解“和谐线段”的含义．18．（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）相等，理由见解析【解析】（1）由题意可得∠BDA=∠CEA=90°，∠BAD+∠CAE=90°，可证明△ADB≌△CEA（AAS），可得DA=CE，AE=BD，可得DE=BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE=180°-α，且∠DBA+∠BAD=180°-α，可得∠DBA=∠CAE，结合条件可证明△ADB≌△CEA（AAS），同（1）可得出结论；（3）过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，证明△EMI≌△GNI（AAS），得到S△AEG=S△AEM+S△AGN，再证明△ABH≌△EAM，△AHC≌△GNA，从而得到S△ABH=S△EAM，S△AHC=S△GNA，即可证明结论．解：（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA=∠CEA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAE=90°，∵∠BAD+∠ABD=90°，∴∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，,∴DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立：DE=BD+CE．证明如下：∵∠BDA=∠BAC=α，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，∴∠DBA=∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE=BD，AD=CE，∴DE=AE+AD=BD+CE；（3）如图，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N，∴∠EMI=GNI=90°，由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN，∴EM=GN，在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴S△EMI=S△GNI，∴S△AEG=S△AEM+S△AGN，∵∠BAE=90°，则∠BAH+∠EAM=90°，,而∠ABH+∠BAH=90°，∴∠ABH=∠EAM，又∵∠AHB=∠AME，AE=AB，∴△ABH≌△EAM（AAS），同理：△AHC≌△GNA，∴S△ABH=S△EAM，S△AHC=S△GNA，∴S△ABC=S△ABH+S△AHC=S△EAM+S△GNA=S△AEG．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．（1）；（2）等腰直角三角形，见解析【解析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质推出即可；（2）根据等腰三角形性质求出∠B＝∠C＝45°＝∠BAO＝∠CAO，根据SAS证△BOM≌△AON，推出OM＝ON，∠AON＝∠BOM，求出∠MON＝90°，根据等腰直角三角形的判定推出即可．解：（1）点到的三个顶点，，的距离的关系是．（2）的形状是等腰直角三角形．证明如下：在中，，，为的中点，，平分，，，，，．在和中，，，，，，．，，即，是等腰直角三形．本题考查了直角三角形斜边上中线，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，等腰直角三角形性质等知识点的应用，考查了学生运用定理进行推理的能力．,20．（1）作图见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）分别以B、D为圆心，以大于BD一半的长为半径上下画弧，上下各有一个交点，这两点的连线即为所求；（2）先通过矩形的性质得到有关条件证明，得到OE=OF，再利用垂直平分线的判定得到BD是EF的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质即可求解．（1）解：如图所示：即为所求；（2）证明：连接BE，四边形为矩形，，．垂直平分线段，，．在和中，，，，又，BD垂直平分EF，．本题综合考查了如何作线段的垂直平分线、矩形的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、三角形全等的性质和判定等内容，要求学生熟记作图步骤，灵活运用线段垂直平分线的性质和判定进行线段关系的转化，考查了学生分析推理的能力．,21．（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）【解析】（1）【观察猜想】根据正方形ABCD，得到AB=CB，由等腰三角形BMN，得到BM=BN，可证明Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，又根据E是AN的中点，即可证明CM=2BE，根据等边对等角得到∠ABE=∠BCM，∠ABE+∠BMC=90∘即可证明CM⊥BE．（2）【探究证明】延长BE至F使EF=BE，连接AF，先证明△AEF≌△NEB，再证明△FAB≌MBC，得到CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，得到∠ABF+∠FBC=90°，进而求得∠BCM+∠EBC=90°，即可证明EB⊥CM；（3）[拓展延伸]由a=45°得到∠ABE=15°，由前面可得∠BMC=30°，过C作CG⊥MB于G，设CG为m，则BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，最后求得的值．解:【观察猜想】(1)CM=2BE；CM⊥BE；如图1所示图1∵正方形ABCD，∴AB=CB，∵等腰三角形BMN，∴BM=BN，∴Rt△BAN≌Rt△BCM（HL)，∴∠BAN=∠BCM，又∵E是AN的中点，∴BE=AE=NE=AN，∴CM=2BE，∵BE=AE，∴∠BAN=∠ABE，,∴∠ABE=∠BCM，∴∠ABE+∠BMC=∠BCM+∠BMC=90∘∴∠BPM=90∘∴CM⊥BE．【探究证明】(2)CM=2BE，CM⊥BE仍然成立．如图2所示，延长BE至F使EF=BE，连接AF，∵AE=EN，∠AEF=∠NEB，EF=BE，∴△AEF≌△NEB∴AF=BN，∠F=∠EBN，∴AF//BN，AF=BM，∴∠FAB+∠ABN=180°，∵∠MBN=∠ABC=90°，∴∠NBC+∠ABN=90°，∴∠NBA+∠FAD=90°，∴∠CBN=∠FAD∴∠FAB=∠MBC，∵AB=BC，∴△FAB≌MBC，∴CM=BF=2BE，∠BCM=∠ABF，∵∠ABF+∠FBC=90°∴∠BCM+∠EBC=90°，∴EB⊥CM；[拓展延伸](3)由a=45°得∠MBA=∠ABN=45°，,∵∠NBE=2∠ABE，∴∠ABE=15°，由前面可得∠MCB=∠ABE=15°，∠MBC=135°，∴∠BMC=180°-15°-135°=30°，如图3所示，过C作CG⊥MB于G，图3设CG为m则BC=m，MG=m，所以MB=BN=m-m，∴．本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用以上性质解决问题．22．答案见解析；【解析】根据菱形的四条边都相等可得AB＝BC，对角相等可得∠BAM＝∠BCN，对角线平分一组对角线可得∠BAE＝∠DAE＝∠DCA＝∠BCF，再根据等角的余角相等求出∠ABE＝∠CBF，然后利用“角边角”证明△ABE和△CBF全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵四边形是菱形，∴，∴，又∵，∴，∴．,在和中，，∴，∴．本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．23．探究：见解析；应用：点与点的距离为．【解析】探究：利用SAS证明△ADE≌△CDG，即可证明AE=CG；应用：利用SAS证明△ADE≌△CDF（SAS），得到AE=CF；在Rt△ABE中，利用勾股定理即可求解．探究：在正方形ABCD和正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°，∴∠ADE=∠CDG=90°-∠CDE；在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE=CG；应用：连接CF，如图，∵AD=DC，DE=DF，∠ADC=∠EDF=90°，,∴∠ADE=∠CDF=90°-∠CDE；在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE=CF；在Rt△ABE中，AB=AD=3，BE=1，∴CF=AE=，∴点与点的距离为．本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．24．（1）①见详解；②5，5≤DF≤10；（2）见详解【解析】（1）①通过作AD的中垂线，确定点E，再以点A，点E为圆心，AE长为半径画弧，两弧交于点F，连接EF，AF，即△AEF是内等边三角形；②由题意可得点F在与AD成60°的直线AF上移动，则当BF⊥AF时，BF有最小值，当DF⊥AF时，DF有最小值，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，即可求解；（2）根据题意画出图形，分别证明Rt△ADM≌Rt△ABN，△ADM≌△APN，进而即可求解．解：（1）①如图所示，△AEF是内等边三角形；,②∵△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°，∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，∴当BF⊥AF时，BF有最小值，此时，∵∠FAB＝∠DAB−∠EAF＝30°，∴BF＝AB＝5，∴BF的最小值为5，当DF⊥AF时，DF有最小值，此时，∠ADF＝30°，∴AF＝AD＝5，DF=，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，∴线段DF长的取值范围为5≤DF≤10，故答案为：5，5≤DF≤10；（2）和如图所示：∵是等边三角形，∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，∵边AM的长最大，∴点M在DC上，点N在BC上，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL），∴BN=DM，,∵和是等边三角形，∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60°，∴∠DAM=∠PAN，∴△ADM≌△APN（SAS），∴DM=PN，∴NP=DM=BN，即：与线段相等的线段有BN，DM．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形．25．（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由角平分线的定义及平行线的性质可证得，，得，，即可得出结论；（2）先证得四边形是平行四边形，再利用角平分线的定义可求得，则可证得四边形为矩形．证明：（1）∵平分、平分∴，∵∥，∴，∴，∴，，∴．（2）∵点为的中点，∴，又，∴四边形是平行四边形∵平分、平分，∴，∴∵，∴∵四边形是平行四边形，,∴平行四边形是矩形．本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．26．（1）见解析（2）14．【解析】（1）根据菱形的性质可得对角线互相垂直，再根据已知条件即可得四边形AODE是矩形；（2）由（1）知，四边形AODE是矩形，由四边形AODE的面积为12，可得AO•OD=12，根据勾股定理可得，进而可得四边形AODE的周长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=90°，∵EA⊥AO，DO⊥AO，∴∠EAO=∠DOA=90°，∴四边形AODE是矩形；(2)由(1)知,四边形AODE是矩形，∴∠AED=90°，∵AD=5，∵四边形AODE的面积为12，∴AO×OD=12，在Rt△AOD中，根据勾股定理得，，∴=25+24=49．∴AO+OD=7∴四边形AODE的周长为14本题考查的是矩形的判定与性质，平行四边形的判定和性质,勾股定理的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，注意:菱形的对角线互相平分且垂直．27．（1）60°；（2）【解析】（1）由翻折得，∠GAH=∠BAH，∠AGH=∠ABH=90°，再根据等腰三角形的性质得,∠DAG=∠HAG，进一步可得∠DAH=60°，（2）根据AG=AB=20，∠DAG=30°，由直角三角形的性质求出AD，FG，从而可得结论．解：（1）由翻折的性质可得：，∠GAH=∠BAH，∠AGH=∠ABH=90°∵D，G，H三点共线，且G是DH中点，AG⊥DH∴∠DAG=∠HAG∴∠DAG=∠HAG=∠BAH又∠DAG+∠HAG+∠BAH=90°∴∠DAG=∠HAG=∠BAH=30°∴∠DAH=∠DAG+∠HAG=60°；（2）∵点E、F分别为CD、AB的中点，∴EF//AD，∵AG=AB=20，∠DAG=30°∴AD==EF又∴EG=EF-FG=-=cm此题主要考查了翻折的性质，等腰三角形的性质直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握树敌太多一口价解答此题的关键．28．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②【解析】（1）根据直角三角形两锐角互余的性质，得；再根据等腰三角形性质，得；结合三角形外角性质，推导得，即可完成证明；（2）①根据等腰三角形三线合一和直角三角形斜边中线的性质，得；再通过证明，得，从而完成证明；②根据（2）①的结论，得；根据等腰三角形三线合一性质，得，即可得到答案．（1）∵，于点∴，,∴又∵，∴，∵，，∴，即平分；（2）①∵，且，∴为等腰直角三角形∵，∴，在和中，∵，∴，即在和中，∵∴∴，∵，，∴；②根据（2）①的结论：∴∵∴∴故答案为：．本题考查了等腰三角形、直角三角形、角平分线、全等三角形的性质；解题的关键是熟练掌握等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线、全等三角形、直角三角形两锐角互余的性质，从而完成求解．29．（1）见解析（2）5【解析】,（1）由折叠可得BF=B'F，∠B'FE=∠EFB，由AD∥BC可得∠DEF=∠EFB，则∠B'EF=∠B'FE，即结论可得；（2）由折叠可得AE=A'E=3，AB=A'B'=4，根据勾股定理可得B'E的长，即可起BF的长．解：（1）∵折叠∴∠B'FE=∠EFB，BF=B'F∵AD∥BC∴∠B'EF=∠BFE∴∠B'EF=∠B'FE∴B'E=B'F∴BF=B'E（2）∵折叠∴AE=A'E=3，AB=A'B'=4，∠A=∠A'=90°∴根据勾股定理可得B'E=5∵B'E=BF∴BF=5本题考查了折叠问题，等腰三角形的性质，关键是熟练运用性质解决问题．30．（1）见解析；（2）；（3）60°【解析】（1）先求出，再判断出，得出，进而判断出，即可得出结论；（2）先判断出，进而判断出．得出，即可得出结论；（3）利用勾股定理依次求出，，，进而判断出，即可得出结论．解：（1）在正方形中，，．又，在和中，,，，，，．，．所以菱形是正方形；（2）如图1，过点作交所在直线于，联结．，．，．，在和中，，．．．即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值1，；（3）如图2，当时，在中，，根据勾股定理得，；，,在中，根据勾股定理得，，过点作于，在中，根据勾股定理得，，，为等边三角形．．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形．
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