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第24章达标检测卷一、选择题(每题4分,共40分)1.剪纸是我国最古老的民间艺术之一,被列入《人类非物质文化遗产代表作名录》.下列剪纸作品中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )2.已知⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为6,那么点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O内C.点P在⊙O上D.无法确定3.如图,AB是☉O的直径,∠AOC=110°,则∠D的度数是( )A.25°B.35°C.55°D.70°4.圆内接四边形ABCD中,若∠A∠B∠C=123,则∠D的度数是( )A.45°B.60°C.90°D.135°5.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,连接BC,BD,下列结论中不一定正确的是( )A.AE=BEB.=C.OE=DED.∠DBC=90°6.如图,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△EDC,若点A,D,E在同一条直线上,∠ACB=25°,则∠ADC的大小为( )14
A.60°B.65°C.70°D.75°7.如图,在⊙O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是( )A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC=BCD.∠BAC=30°8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AB=2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C,则点B经过的路径长为( )A.B.C.D.π9.现有一个圆心角为90°,半径为8cm的扇形纸片,用它恰好能围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计),则该圆锥底面圆的半径为( )A.4cmB.3cmC.2cmD.1cm10.如图,在△ABC中,AB=13,AC=5,BC=12,经过点C且与边AB相切的动圆O与CA,CB分别相交于点P,Q,则线段PQ长度的最小值是( )A.B.C.5D.无法确定二、填空题(每题5分,共20分)11.如图,在四边形ABCD中,∠DAB=∠CBA=90°,将CD绕点D逆时针旋转90°至DE14
,连接AE.若AD=6,BC=10,则△ADE的面积是________.12.如图所示,在一个圆的外切四边形ABCD中,AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为________.13.如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为________.14.如图,AB是⊙O的直径,P为AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,切点为C.连接AC,BC,作∠APC的平分线交AC于点D.下列结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)①△CPD∽△DPA;②若∠A=30°,则PC=BC;③若∠CPA=30°,则PB=OB;④无论点P在AB延长线上的位置如何变化,∠CDP为定值.三、解答题(15题8分,19,20题每题12分,21,22题每题14分,其余每题10分,共90分)15.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图,其中每个小正方形的边长均为1个单位长度.14
(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1;(2)画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A2B2C.16.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,连接AC.若∠A=22.5°,CD=8,求⊙O的半径.17.如图,AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到点C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.(1)求证:AB=AC;(2)若⊙O的半径为4,∠BAC=60°,求DE的长.14
18.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D在BC边上,⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.(1)求证:AC是⊙D的切线;(2)若CE=2,求⊙D的半径.19.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,点O在AB上,经过点A的⊙O与BC相切于点D,交AB于点E.(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若CD=1,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)14
20.如图是一拱形公路桥,圆弧形桥拱的水面跨度AB=80m,桥拱到水面的最大高度为20m.(1)求桥拱所在圆的半径.(2)现有一艘宽60m,顶部截面为长方形且高出水面9m的轮船要经过这座拱桥,这艘轮船能顺利通过吗?请说明理由.21.如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,点D在⊙O上,OD∥BC,过点D作DE⊥AB,垂足为E,连接CD,BD,CD交OE于点F.(1)求证:△DOE∽△ABC;(2)求证:∠ODF=∠BDE;14
(3)连接OC,设△DOE的面积为S1,四边形BCOD的面积为S2,若=,求sinA的值.22.如图,菱形ABCD的顶点A,B在x轴上,点A在点B的左侧,点D在y轴的正半轴上,∠BAD=60°,点A的坐标为(-2,0).(1)求线段AD所在直线的表达式.(2)动点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度,按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周,设运动时间为t秒.求t为何值时,以点P为圆心、以r=1为半径的圆与对角线AC相切?14
答案一、1.D 2.A 3.B 4.C5.C 点拨:由垂径定理可得选项A,B是正确的;由直径所对的圆周角是直角可得选项D是正确的.6.C 7.D 8.B9.C 点拨:设该圆锥底面圆的半径为rcm,则=2πr,解得r=2.10.B 点拨:设AB与⊙O相切于点D,连接OC,OD,CD,则OD⊥AB,易知∠ACB=90°,所以PQ为⊙O的直径,PQ=OC+OD≥CD,当CD过点O时,PQ=CD,此时PQ有最小值,且CD⊥AB,所以CD==.所以线段PQ长度的最小值是.二、11.1212.52 13.3或414.②③④ 点拨:如图,连接OC.由AB为⊙O的直径知∠ACB=90°.因为PC为⊙O的切线,所以∠PCO=90°,所以∠PCB=∠OCA=∠A.若∠A=30°,则∠CBA=60°,易得∠CPB=30°,所以∠CPB=∠A,所以PC=AC=BC,故②正确.若∠CPA=30°,则∠COP=60°,又因为OC=OB,所以△BOC为等边三角形,所以BC=OB,∠CBO=60°,所以∠PCB=30°,所以PB=BC,所以PB=OB,故③正确.因为PD为∠APC的平分线,所以∠DPA=∠APC.所以∠CDP=∠DPA+∠A=(∠APC+∠BOC)=45°,即∠CDP=45°为定值,故④正确.在△CPD和△DPA中,∠CPD=∠DPA,而∠CDP>∠A,∠PCD>∠A,所以△CPD与△DPA不相似,故①错误.三、15.解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求.(2)如图所示,△A2B2C即为所求.14
16.解:如图,连接OC.∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,CD=8,∴CE=DE=CD=4.∵∠A=22.5°.∴∠COE=2∠A=45°.∴△COE为等腰直角三角形.∴OC=CE=4,即⊙O的半径为4.17.(1)证明:如图,连接AD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵DC=BD,∴AB=AC.(2)解:由(1)知AB=AC,∵∠BAC=60°,∴△ABC是等边三角形.14
∴∠C=∠B=60°.∵∠ADB=90°,∴∠BAD=30°.在Rt△BAD中,∠BAD=30°,AB=8,∴BD=4.∴DC=4.又∵DE⊥AC,∴DE=DC·sinC=4·sin60°=4×=2.18.(1)证明:如图,连接AD,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵AD=BD,∴∠BAD=∠B=30°.∴∠ADC=60°.∴∠DAC=180°-60°-30°=90°.∴DA⊥AC.又AD是⊙D的半径,∴AC是⊙D的切线.(2)解:如图,连接AE,∵AD=DE,∠ADE=60°,∴△ADE是等边三角形.∴AE=DE,∠AED=60°.∴∠EAC=∠AED-∠C=30°.∴∠EAC=∠C.∴AE=CE=2.∴DE=2,即⊙D的半径为2.19.(1)证明:如图,连接OD.∵BC与⊙O相切于点D,∴OD⊥BC.14
∵∠C=90°,∴OD∥AC.∴∠ODA=∠CAD.∵OD=OA,∴∠ODA=∠BAD,∴∠BAD=∠CAD.∴AD平分∠BAC.(2)解:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,∴∠B=∠BAC=45°.∵BC与⊙O相切于点D,∴∠ODB=90°,∴∠BOD=45°.∴OD=BD.设BD=x,则OD=OA=x,OB=x.∴BC=AC=x+1.∵AC2+BC2=AB2,∴2(x+1)2=(x+x)2.∴x=(负值舍去).∴BD=OD=.∴图中阴影部分的面积=S△BOD-S扇形DOE=××-=1-.20.解:(1)如图,设点E是桥拱所在圆的圆心.14
过点E作EF⊥AB于点F,延长EF交于点C,连接AE,则CF=20m.由垂径定理知AF=FB=AB=40m.设半径是rm,由勾股定理得AE2=AF2+EF2=AF2+(CE-CF)2,即r2=402+(r-20)2.解得r=50.∴桥拱所在圆的半径为50m.(2)这艘轮船能顺利通过.理由:如图,假设MN=60m,且MN∥AB,连接EM,设EC与MN的交点为D,则DE⊥MN,∴DM=30m,∴DE===40(m).∵EF=EC-CF=50-20=30(m),∴DF=DE-EF=40-30=10(m).∵10m>9m,∴这艘轮船能顺利通过.21.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.∵DE⊥AB,∴∠DEO=90°.∴∠DEO=∠ACB.∵OD∥BC,∴∠DOE=∠ABC,∴△DOE∽△ABC.(2)证明:∵△DOE∽△ABC,∴∠ODE=∠A.∵∠A与∠BDC都是所对的圆周角,∴∠A=∠BDC,∴∠ODE=∠BDC,∴∠ODF=∠BDE.14
(3)解:∵△DOE∽△ABC,∴==,即S△ABC=4S△DOE=4S1.∵OA=OB,∴S△BOC=S△ABC,即S△BOC=2S1.∵=,S2=S△BOC+S△DOE+S△DBE=2S1+S1+S△DBE,∴S△DBE=S1.∴BE=OE,即OE=OB=OD.∴sinA=sin∠ODE==.22.解:(1)∵∠BAD=60°,∠AOD=90°,∴∠ADO=30°.∵点A的坐标为(-2,0),∴AO=2.∴AD=4.∴OD==2.∴点D的坐标为(0,2).设线段AD所在直线的表达式为y=kx+b,则解得∴线段AD所在直线的表达式为y=x+2.(2)∵四边形ABCD是菱形,AD=4,∠BAD=60°,∴DC=CB=BA=AD=4,∠DCB=∠BAD=60°,∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°,如图.14
①当点P在P1的位置且⊙P1与AC相切时,易得AP1=2r=2,∴t1=2.②当点P在P2的位置且⊙P2与AC相切时,易得CP2=2r=2,∴AD+DP2=6,∴t2=6.③当点P在P3的位置且⊙P3与AC相切时,易得CP3=2r=2,∴AD+DC+CP3=10,∴t3=10.④当点P在P4的位置且⊙P4与AC相切时,易得AP4=2r=2,∴AD+DC+CB+BP4=14,∴t4=14.∴当t=2,6,10或14时,以点P为圆心、以r=1为半径的圆与对角线AC相切.14
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