首页 > 初中 > 数学 > 2022春湘教版九年级数学下学期期中测试卷
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期中测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．下列关于抛物线y＝(x＋2)2＋6的说法正确的是( )A．开口向下B．顶点坐标为(2，6)C．对称轴是直线x＝2D．与y轴的交点为(0，10)2．有下列结论：(1)三点确定一个圆；(2)平分弦的直径垂直于弦；(3)三角形的外心到三角形各边的距离相等．其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个3．已知二次函数y＝3(x－2)2＋5，则有( )A．当x＞－2时，y随x的增大而减小B．当x＞－2时，y随x的增大而增大C．当x＞2时，y随x的增大而减小D．当x＞2时，y随x的增大而增大4．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知，的度数分别为88°，32°，则∠P的度数为( )A．26°B．28°C．30°D．32°5．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO＝40°，则∠OCB的度数为( )A．40°B．50°C．65°D．75°6．已知A(－1，y1)、B(2，y2)、C(－3，y3)在函数y＝－5(x＋1)2＋3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )10
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B均在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，⊙A与x轴相切，⊙B与y轴相切．若点B的坐标为(1，6)，⊙A的半径是⊙B的半径的2倍，则点A的坐标为( )A．(2，2)B．(2，3)C．(3，2)D.8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是( )A．ac＞0B．当x＞0时，y随x的增大而减小C．2a－b＝0D．方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3二、填空题(每题4分，共32分)9．如图，∠AOB＝60°，则∠ACB等于________．10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为________．11．已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，r为半径画圆，使得点A在⊙C内，点B在⊙C外，则半径r的取值范围是________．12．若抛物线y＝3x2－6x＋a与x轴只有一个公共点，则a的值为________．13．已知扇形的弧长为8π，圆心角为60°，则它的半径为________．14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，自变量x与函数y的部分对应值如下表：10
x…－1012…y…0343…则当y>0时，x的取值范围是________．15．边长为5的正六边形内接于⊙M，则⊙M的面积是________．16．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，如图，墙长20m，当矩形的长、宽各取某个特定的值时，菜园的面积最大，这个最大面积是________m2.三、解答题(17，18题每题5分，其余每题9分，共64分)17．已知抛物线的顶点坐标是(2，1)，且该抛物线经过点(3，3)．求该抛物线的表达式．18．如图，⊙O的直径AB＝20，弦AC＝12，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．19．如图，二次函数y＝－x2＋x＋3的图象与x轴交于点A，B(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.(1)求点A，B，C的坐标；10
(2)求△ABC的面积．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，与边AC交于点E，连接OD，OE.(1)求证：CE＝BD；(2)若∠C＝55°，BC＝10，求扇形ODE的面积．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是(3，3)，点B的坐标是(4，0)，点C的坐标是(0，－1)．(1)以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，画出旋转后的图形△A′B′C；10
(2)在(1)的条件下，①求出点A经过的路径的长(结果保留π)；②写出点B′的坐标．22．某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元，市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(个)与销售单价x(元)有如下关系：y＝－x＋60(30≤x≤60)．设这种双肩包每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数表达式；(2)当这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于42元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？23．如图，已知△ABC是边长为4的等边三角形，点O在边AB上，⊙O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F，连接DF.(1)求证：直线EF是⊙O的切线；(2)当直线DF与⊙O相切时，求⊙O的半径．10
24．如图①，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(1，0)，B(－3，0)两点，且与y轴交于点C.(1)求b，c的值；(2)在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若不存在，请说明理由；(3)如图②，点E为线段BC上一个动点(不与B，C重合)，经过B，E，O三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．10
答案一、1.D 2.A 3.D 4.B 5.C 6.C7．C 点拨：将点B的坐标代入反比例函数的表达式得k＝6，则反比例函数的表达式是y＝.∵点B的坐标为(1，6)，⊙B与y轴相切，∴⊙B的半径是1，∴⊙A的半径是2，把y＝2代入y＝，得x＝3，则点A的坐标是(3，2)．8．D 点拨：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得：抛物线开口向下，则a＜0，抛物线与y轴的交点在y轴正半轴，则c＞0，∴ac＜0，选项A错误；由函数图象可得：当0＜x＜1时，y随x的增大而增大；当x＞1时，y随x的增大而减小，故选项B错误；∵对称轴为直线x＝1，∴－＝1，即2a＋b＝0，选项C错误；由图象可得抛物线与x轴的一个交点为(3，0)，又对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两根是x1＝－1，x2＝3，选项D正确．二、9.30° 10.110° 11.3＜r＜4 12.313．24 14.－1＜x＜3 15.25π 16.三、17.解：∵抛物线的顶点坐标是(2，1)，∴设该抛物线的表达式为y＝a(x－2)2＋1，又抛物线经过点(3，3)．∴3＝a(3－2)2＋1，解得a＝2，∴该抛物线的表达式是y＝2(x－2)2＋1.18．解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∴BC＝＝16.∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∴∠DBA＝∠DAB＝45°.在Rt△ABD中，sin45°＝，∴AD＝×AB＝10.∴AD＝BD＝10.19．解：(1)∵二次函数y＝－x2＋x＋3＝－(x－4)(x＋1)，10
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x1＝4，x2＝－1，即点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为(0，3)．(2)由(1)得，AB＝5，OC＝3，∴△ABC的面积＝＝＝.20．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴＝，∴＝，∴CE＝BD.(2)解：∵∠C＝55°，∴∠B＝∠C＝55°.∵OB＝OD，OC＝OE，∴∠B＝∠ODB＝55°，∠C＝∠OEC＝55°，∴∠BOD＝∠EOC＝70°，∴∠DOE＝40°，∴S扇形ODE＝＝.21．解：(1)如图所示，△A′B′C即为所求．(2)①如图，∵AC＝＝5，∠ACA′＝90°，∴点A经过的路径的长为＝.②由图知点B′的坐标为(－1，3)．22．解：(1)由题意得w＝(x－30)·y＝(x－30)(－x＋60)＝－x2＋30x＋60x－1800＝－x2＋90x－1800，即w与x之间的函数表达式为w＝－x2＋90x－1800.(2)w＝－x2＋90x－1800＝－(x－45)2＋225，－1＜0，∴当x＝45时，w取得最大值，最大值是225.即当这种双肩包销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．(3)当w＝200时，－x2＋90x－1800＝200，解得x1＝40，x2＝50(不符合题意，舍去)．答：销售单价应定为40元．23．(1)证明：连接OE，则OB＝OE.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠C＝60°.10
∴△OBE是等边三角形．∴∠OEB＝∠C＝60°.∴OE∥AC.∵EF⊥AC，∴EF⊥OE.又OE是⊙O的半径，∴直线EF是⊙O的切线．(2)解：∵DF是⊙O的切线，∴∠ADF＝90°.设⊙O的半径为r，则BE＝r，EC＝4－r，AD＝4－2r.在Rt△ADF中，∵∠A＝60°，∴∠AFD＝30°.∴AF＝2AD＝8－4r.∴FC＝4－(8－4r)＝4r－4.在Rt△CEF中，∵∠C＝60°，∴∠CEF＝30°.∴EC＝2FC.∴4－r＝2(4r－4)，解得r＝.∴⊙O的半径是.24．解：(1)把A(1，0)，B(－3，0)的坐标代入y＝－x2＋bx＋c，得解得(2)存在．作PD∥y轴交BC于D，设直线BC的表达式为y＝mx＋n.由(1)易知C(0，3)．把点B(－3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y＝mx＋n，得解得故直线BC的表达式为y＝x＋3，设点P的坐标为(x，－x2－2x＋3)(－3＜x＜0)，则点D的坐标为(x，x＋3)，∴PD＝－x2－2x＋3－(x＋3)＝－x2－3x，∴S△BPC＝S△PBD＋S△CPD＝×3×(－x2－3x)＝－x2－x＝－＋，当x＝－时，△BPC的面积最大，此时S△BPC＝，把x＝－代入y＝－x2－2x＋3，得y＝，∴点P的坐标为.(3)∵OB＝OC＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∵BF⊥BE，∴∠FBO＝45°，∴∠OEF＝∠OBF＝45°，∠OFE＝∠OBE＝45°，∴△OEF为等腰直角三角形，∴OE＝OF，∠EOF＝90°，∴S△OEF＝OE·OF＝OE2，∴当OE最小时，△OEF的面积取得最小值．10
∵点E在线段BC上，∴当OE⊥BC时，OE最小，此时点E是BC的中点，∴E.10
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