资料简介
<br />第二部分 专题六 <br />类型1 与全等三角形相关证明与计算 <br /> <br />1．(2016·梧州)如图，过⊙O上的两点A，B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C，D，连接CD，交⊙O于点E，F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点． <br /> <br />求证：(1)△ACO≌△BDO； <br />(2)CE＝DF. <br />证明：(1) AC，BD为⊙O的切线， <br />∴∠CAO＝∠DBO＝90°， <br />在△ACO和△BDO中， <br /> <br />∴△ACO≌△BDO(ASA)． <br />(2) △ACO≌△BDO，∴CO＝DO. <br /> OM⊥CD，∴MC＝DM，EM＝MF，∴CE＝DF. <br />2．(2018·北京)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD. <br /> <br />(1)求证：OP⊥CD； <br />(2)连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°， <br />OA＝2，求OP的长． <br />(1)证明：如答图，连接OC，OD.∴OC＝OD. <br /> <br /> PD，PC是⊙O的切线， <br />∴∠ODP＝∠OCP＝90°. <br />在Rt△ODP和Rt△OCP中， <br /> <br />∴Rt△ODP≌Rt△OCP(HL)， <br />∴∠DOP＝∠COP， <br /> OD＝OC，∴OP⊥CD. <br />(2)解： OA＝OD＝OC＝OB＝2， <br />∴∠ADO＝∠DAO＝50°，∠BCO＝∠CBO＝70°， <br />∴∠AOD＝80°，∠BOC＝40°， <br />∴∠COD＝60°. OD＝OC， <br />∴△COD是等边三角形， <br />由(1)知，∠DOP＝∠COP＝30°， <br />在Rt△ODP中，OP＝＝. <br />3．(2017·贺州)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于E，F，连接BD. <br /> <br />(1)求证：AF⊥EF； <br />(2)若AC＝6，CF＝2，求⊙O的半径． <br />(1)证明：如答图1，连接OD. <br /> <br /> EF是⊙O的切线，且点D在⊙O上， <br />∴OD⊥EF. OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO. <br /> AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC， <br />∴∠ADO＝∠DAC，∴AF∥OD，∴AF⊥EF. <br />(2)解：如答图2，过D作DG⊥AE于点G，连接CD. ∠BAD＝∠DAF，AF⊥EF， <br /> <br />∴BD＝CD，DG＝DF， <br />在Rt△ADF和Rt△ADG中， <br />∴Rt△ADF≌Rt△ADG(HL)， <br />同理可得Rt△CDF≌Rt△BDG， <br />∴BG＝CF＝2，AG＝AF＝AC＋CF＝6＋2＝8， <br />∴AB＝AG＋BG＝8＋2＝10， <br />∴⊙O的半径为AB＝5. <br />4．(2018·苏州)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E.延长DA交⊙O于点F，连接FC，FC与AB相交于点G，连接OC. <br /> <br />(1)求证：CD＝CE； <br />(2)若AE＝GE，求证：△CEO是等腰直角三角形． <br />证明：(1)连接AC. CD是⊙O的切线， <br />∴OC⊥CD. AD⊥CD，∴∠DCO＝∠D＝90°， <br />∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO. OC＝OA， <br />∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO. <br /> CE⊥AB，∴∠CEA＝90°， <br />在△CDA和△CEA中， <br />∴△CDA≌△CEA(AAS)，∴CD＝CE. <br />(2)连接BC. △CDA≌△CEA， <br />∴∠DCA＝∠ECA. CE⊥AG，AE＝EG， <br />∴CA＝CG，∴∠ECA＝∠ECG. <br /> AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， <br /> CE⊥AB，∴∠ACE＝∠B. ∠B＝∠F， <br />∴∠F＝∠ACE＝∠DCA＝∠ECG. <br /> ∠D＝90°，∴∠DCF＋∠F＝90°， <br />∴∠F＝∠DCA＝∠ACE＝∠ECG＝22.5°， <br />∴∠AOC＝2∠F＝45°， <br />∴△CEO是等腰直角三角形． <br /> <br /> <br />类型2 与相似三角形相关证明与计算 <br /> <br />1．(2018·玉林适应考试)如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，点C在OP上，且BC＝PC. <br /> <br />(1)求证：直线BC是⊙O的切线； <br />(2)若OA＝3，AB＝2，求BP的长． <br />(1)证明：如答图，连接OB. <br /> <br /> OA＝OB，∴∠A＝∠OBA. <br />又 BC＝ PC， <br />∴∠P＝∠CBP. OP⊥AD， <br />∴∠A＋∠P＝90°， <br />∴∠OBA＋∠CBP＝90°， <br />∴∠OBC＝180°－(∠OBA ＋∠CBP)＝90°. <br /> 点B在⊙O上，直线BC是⊙O的切线． <br />(2)解：如答图，连接DB. <br /> AD是⊙O的直径， <br />∴∠ABD ＝90°， <br />∴Rt△ABD∽Rt△AOP， <br />∴＝，即＝，解得AP＝9， <br />∴BP＝AP－BA＝9－2＝7. <br />2．(2018·贺州)如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB＝DE. <br /> <br />(1)求证：BD是⊙O的切线； <br />(2)若AB＝12，DB＝5，求△AOB的面积． <br /> (1)证明： OA＝OB，DB＝DE， <br />∴∠A＝∠OBA，∠DEB＝∠DBE. EC⊥OA，∠DEB＝∠AEC， <br />∴∠A＋∠DEB＝90°， <br />∴∠OBA＋∠DBE＝90°，∴∠OBD＝90°. <br /> OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线． <br />(2)解：过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，如答图． <br /> <br /> 点E是AB的中点，AB＝12， <br />∴AE＝EB＝6，OE⊥AB. <br />又 DE＝DB，DF⊥BE， <br />∴DE＝DB＝5， <br />∴EF＝BF＝3，∴DF＝＝4. <br /> ∠AEC＝∠DEF，∴∠A＝∠EDF. <br /> OE⊥AB，DF⊥AB，...
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