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专题二 函数与导数第 2 讲 函数与方程及函数的应用 <br />真题试做 <br />1．(2012·湖南高考，文 9)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π 的偶函数，f′(x)是 f(x) <br />的导函数．当 x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当 x∈(0，π)且 x≠π <br />2时，(x－π <br />2 )f′(x)＞0，则函数 y＝f(x)－sin x <br />在[－2π，2π]上的零点个数为( )． <br />A．2 B．4 C．5 D．8 <br />2．(2012·浙江高考，文 10)设 a＞0，b＞0，e 是自然对数的底数，( )． <br />A．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＞b <br />B．若 ea＋2a＝eb＋3b，则 a＜b <br />C．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＞b <br />D．若 ea－2a＝eb－3b，则 a＜b <br />3．(2012·山东高考，文 15)若函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为 4，最小值 <br />为 m，且函数 g(x)＝(1－4m) x在[0，＋∞)上是增函数，则 a＝__________. <br />4．(2012·课标全国高考，文 16)设函数 f(x)＝ x＋12＋sin x <br />x2＋1 的最大值为 M，最小值为 m， <br />则 M＋m＝__________. <br />5．(2012·陕西高考，文 21)设函数 f(x)＝xn＋bx＋c(n∈N＋，b，c∈R)． <br />(1)设 n≥2，b＝1，c＝－1，证明：f(x)在区间(1 <br />2，1 )内存在唯一零点； <br />(2)设 n 为偶数， |f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，求 b＋3c 的最小值和最大值； <br />(3)设 n＝2，若对任意 x1，x2∈[－1,1]，有|f(x1)－f(x2)|≤4，求 b 的取值范围． <br />6．(2012·江苏高考，17)如图，建立平面直角坐标系 xOy，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地 <br />平面，单位长度为 1 千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 y＝kx－ 1 <br />20(1＋ <br />k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中 k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． <br />(1)求炮的最大射程； <br />(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不 <br />超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． <br />考向分析 <br />通过分析近三年的高考试题可以看到对函数与方程的考查主要体现在以下几个方面：一、 <br />结合函数与方程的关系，求函数的零点；二、结合根的存在性定理或函数的图象，对函数是 <br />否存在零点(方程是否存在实根)进行判断；三、利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或 <br />范围．对函数的实际应用问题的考查，题目大多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活， <br />而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和课标中所要求掌握的 <br />概念、公式、法则、定理等基础知识和方法． <br />热点例析 <br />热点一 确定函数的零点 <br />【例 1】设函数 f(x)＝1 <br />3x－ln x(x＞0)，则 y＝f(x)( )． <br />A．在区间[1 <br />e，1 ]，(1，e)内均有零点 <br />B．在区间[1 <br />e，1 ]，(1，e)内均无零点 <br />C．在区间[1 <br />e，1 ]内有零点，在区间(1，e)内无零点 <br />D．在区间[1 <br />e，1 ]内无零点，在区间(1，e)内有零点 <br />规律方法 确定函数零点的常用方法： <br />(1)解方程判定法，方程易解时用此法； <br />(2)利用零点存在的判定定理； <br />(3)利用数形结合，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同时多以数形结合法求解． <br />变式训练 1 方程|x|＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )． <br />A．没有根 <br />B．有且仅有一个根 <br />C．有且仅有两个根 <br />D．有无穷多个根 <br />热点二 函数零点的应用 <br />【例 2】(1)m 为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4， <br />①有且仅有一个零点？ <br />②有两个零点且均比－1 大？ <br />(2)若函数 F(x)＝|4x－x2|＋a 有 4 个零点，求实数 a 的取值范围． <br />规律方法 解决由函数零点(方程根)的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用 <br />函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解，再者，对于存在零点求 <br />参数范围问题，可通过分离参数，从而转化为求函数值域问题． <br />变式训练 2 已知函数 f(x)＝Error!若关于 x 的方程 f(x)＝k 有两个不同的实根，则实数 k <br />的取值范围是__________． <br />热点三 函数的实际应用 <br />【例 3】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆 <br />柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π <br />3 立方米，且 l≥2r.假设该容器的 <br />建造费用仅与其表面积有关．已知圆...
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