资料简介
第二讲 圆锥曲线的概念及性质 <br />一、选择题 <br />1.(2010·安徽)双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为( ) <br />A.B.C.D.(,0) <br />解析: 原方程可化为-=1,a2=1, <br />b2=,c2=a2+b2=, <br />∴右焦点为. <br />答案:C <br />2.(2010·天津)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个 <br />焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为( ) <br />A.-=1B.-=1 <br />C.-=1D.-=1 <br />解析: 渐近线方程是y=x,∴=.① <br /> 双曲线的一个焦点在y2=24x的准线上, <br />∴c=6.② <br />又c2=a2+b2,③ <br />由①②③知,a2=9,b2=27, <br />此双曲线方程为-=1. <br />答案:B <br /> <br /> <br /> <br />4.(2010·辽宁)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l, <br />A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=( ) <br />A.4B.8C.8D.16 <br />解析:解法一:AF直线方程为: <br />y=-(x-2), <br />当x=-2时,y=4,∴A(-2,4). <br />当y=4时代入y2=8x中,x=6, <br />∴P(6,4), <br />∴|PF|=|PA|=6-(-2)=8.故选B. <br /> <br />解法二: PA⊥l,∴PA∥x轴. <br />又 ∠AFO=60°,∴∠FAP=60°, <br />又由抛物线定义知PA=PF, <br />∴△PAF为等边三角形. <br /> <br />又在Rt△AFF′中,FF′=4, <br />∴FA=8,∴PA=8.故选B. <br />答案:B <br />5.高8m和4m的两根旗杆笔直竖在水平地面上,且相距10m,则地面上观察两旗杆 <br />顶端仰角相等的点的轨迹为( ) <br />A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 <br />解析:如图1,假设AB、CD分别为高4m、8m的旗杆,P点为地面上观察两旗杆 <br />顶端仰角相等的点,由于∠BPA=∠DPC,则Rt△ABP∽Rt△CDP,=,从而 <br />PC=2PA.在平面APC上,以AC为x轴,AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图 <br />2),则A(-5,0),C(5,0),设P(x,y),得=2 <br />化简得x2+y2+x+25=0,显然,P点的轨迹为圆. <br /> <br />答案:A <br />二、填空题 <br /> <br />解析:由题知,垂足的轨迹为以焦距为直径的圆,则c<b⇒c2<b2=a2-c2⇒e2<,又 <br />e∈(0,1),所以e∈. <br />答案: <br />7.(2010·浙江)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在 <br />抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为________. <br />解析:F,则B, <br />∴2p×=1,解得p=. <br />∴B,因此B到该抛物线的准线的距离为+=. <br />答案: <br /> <br />8.(2010·北京)已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同, <br />那么双曲线的焦点坐标为________;渐近线方程为________. <br />解析: 椭圆+=1的焦点为(±4,0),∴双曲线的焦点坐标为(±4,0), <br />∴c=4,=2,c2=a2+b2, <br />∴a=2,b2=12, <br />∴双曲线方程为-=1, <br />∴渐近线方程为y=±x=±x, <br />即x±y=0. <br />答案:(±4,0) x±y=0 <br /> <br />即xD=,由椭圆的第二定义得|FD|=e=a-.又由|BF|=2|FD|,得a= <br />2a-,整理得a2=3c2, <br />即e2=,解得e=. <br />答案: <br />三、解答题 <br />10.已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和, <br />过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程. <br /> <br />解:解法一:设椭圆的标准方程是+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),两个焦点 <br />分别为F1、F2,则由题意,知2a=|PF1|+|PF2|=2,∴a=.在方程+=1 <br />中,令x=±c,得|y|=.在方程+=1中,令y=±c,得|x|=.依题意知=, <br />∴b2=.即椭圆的方程为+=1或+=1. <br />解法二:设椭圆的两个焦点分别为F1、F2, <br />则|PF1|=,|PF2|=. <br />由椭圆的定义,知2a=|PF1|+|PF2|=2,即a=. <br />由|PF1|>|PF2|知,PF2垂直于长轴. <br />故在Rt△PF2F1中,4c2=|PF1|2-|PF2|2=, <br />∴c2=,于是b2=a2-c2=. <br />又所求的椭圆的焦点可以在x轴上,也可以在y轴上,故所求的椭圆方程为+ <br />=1或+=1. <br />11.(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到 <br />y轴距离的差都是1. <br />(1)求曲线C的方程; <br />(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线, <br />都有·<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由. <br />解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,那么点P(x,y)满足-x=1(x>0), <br />化简得y2=4x(x>0)....
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