高考数学第二轮复习数列典型例题

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高考数学第二轮复习数列典型例题

2023-08-12 18:42:01
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资料简介

‎1 已知数列的前n项和满足：（a为常数，且）． ‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求a的值；‎ ‎（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，设，数列的前n项和为Tn 求证：．‎ 解：（Ⅰ）∴ 当时， ，即是等比数列． ∴； ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，若为等比数列，‎ ‎ 则有而 故，解得， ‎ 再将代入得成立， ‎ 所以． ‎ ‎（III）证明：由（Ⅱ）知，所以 ， ‎ 由得 所以， ‎ 从而 ．‎ 即． ‎ ‎2 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的通项公式。‎ 解：（I），，，因为，，成等比数列，‎ 所以，解得或．‎ 当时，，不符合题意舍去，故． ‎ ‎（II）当时，由于，， ‎ ，所以。‎ 又，，故．当n=1时，上式也成立，所以 ‎3 已知数列中， ‎（1）求证：数列与都是等比数列；（2）求数列前的和；‎ ‎（3）若数列前的和为，不等式对恒成立，求的最大值。‎ 解：（1），∴ ‎ ‎∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；‎ 数列是以为首项，为公比的等比数列。 ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） 当且仅当时取等号，所以，即，∴的最大值为－48‎ ‎4 已知等差数列的公差大于0,且是方程的两根,数列的前n项的和为，且.‎ ‎ （1）求数列，的通项公式；‎ ‎ （2）记,求证：.‎ 解：（Ⅰ） a3，a5是方程的两根，且数列的公差d>0，‎ ‎∴a3=5，a5=9，公差 ‎∴ ‎ 又当n=1时，有b1=S1=1－ 当 ‎∴数列{bn}是等比数列， ‎∴ ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ‎ ‎∴ ‎∴ ‎ ‎5 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．‎ ‎ （1）求数列的通项公式．‎ ‎ （2）若，求数列的前项和．‎ ‎ （3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，，求的通项公式.‎ 解：（1）点都在函数的图像上，,‎ 当时， 当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为 ‎ ‎ （2）由求导可得 过点的切线的斜率为，.‎ .‎ ①‎ 由①×4，得 ②‎ ‎①-②得： ‎ ‎ （3）,.‎ 又，其中是中的最小数，.‎ 是公差是4的倍数，.‎ 又，,解得ｍ＝27.‎ 所以，‎ 设等差数列的公差为，则 ，所以的通项公式为 ‎6 已知是数列的前项和，，且，其中. ‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)求 .‎ 解：① ‎　　　　　 ‎ 又也满足上式，（）‎ 数列是公比为2，首项为的等比数列 ‎ ‎ ‎② ‎② ‎　 ‎　　 ‎ ‎7 函数对任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝.‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）数列的通项公式。‎ ‎ （3）令试比较Tn与Sn的大小。‎ 解：（1）令 令 ‎（2） 又，两式相加 是等差数列 ‎（3） ‎8、已知数列中，其前n项和为满足．‎ ‎（1）试求数列的通项公式．‎ ‎（2）令是数列的前n项和，证明：．‎ ‎（3）证明:对任意的，均存在，使得（2）中的成立．‎ 解：（1）由得 ，，即 又， 故数列的通项公式为． ‎ ‎（2） ‎ ‎（3）证明：由（2）可知 若,则得,化简得 ， 当，即 ‎ 当，即 ，取即可,‎ 综上可知,对任意的均存在使得时（2）中的成立 ‎9 已知数列{an}的前n项和为Sn，并且满足a1＝2,nan＋1＝Sn＋n(n＋1).‎ ‎ （1）求数列；‎ ‎ （2）设 解：（1） ‎ ‎ （2） ‎ ‎10 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象顶点坐标是(，－)，且f(3)＝2‎ ‎ （1）求y＝f(x)的表达式，并求出f(1),f(2)的值；‎ ‎ （2）数列，若对任意的实数，其中是定义在实数集R上的一个函数，求数列的通项公式；‎ 解：（1） ‎ ‎ （2）令 ‎11 已知数列{an}满足a1＝5,a2＝5,an＋1＝an＋6an－1(n≥2且n∈N*)‎ ‎ （1）求出所有使数列值，并说明理由；‎ ‎ （2）求数列的通项公式；‎ ‎ ... 查看更多