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2012年高考数学二轮复习同步练习： <br />专题2函数、导数及其应用 <br /> <br />1．(2011·北京海淀)已知函数f(x)＝(ax－1)ex，a∈R. <br />(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值； <br />(2)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围． <br />[解析] (1)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex， <br />所以当a＝1时，f ′(x)＝xex， <br />令f ′(x)＝0，则x＝0， <br />所以f(x)，f ′(x)的变化情况如下表： <br /> <br />所以x＝0时，f(x)取得极小值f(0)＝－1. <br />(2)因为f ′(x)＝(ax＋a－1)ex，函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，所以f ′(x)≥0，对x∈(0,1)恒成立． <br />又ex>0，所以只要ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立即可， <br />解法一：设g(x)＝ax＋a－1，则要使ax＋a－1≥0对x∈(0,1)恒成立，只要，即成立，解得a≥1. <br />解法二：因为x>0，所以只要a≥对x∈(0,1)恒成立， <br />因为函数g(x)＝在(0,1)上单调递减， <br />所以只要a≥g(0)＝＝1. <br />2．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“ <br /> <br />优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x人，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－)万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？ <br />[解析] 设重组后，该企业年利润为y万元，依题意得 <br />y＝(2000－x)(3.5＋1－)－0.5x <br />＝－5(x＋)＋9000.81， <br />∴y＝－5(x＋)＋9000.81，(0<x≤100且x∈N)， <br />y＝－5(x＋)＋9000.81 <br />≤－5×2＋9000.81＝8820.81， <br />∴当且仅当x＝，即x＝18时取等号，此时y取得最大值． <br />即为使企业年利润最大，应安排18人待岗． <br />3．(2011·皖南八校)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z. <br />(1)若b>2a，且f(sinx)(x∈R)的最大值为2，最小值为－4，试求函数f(x)的最小值； <br />(2)若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2＋1)恒成立，且存在x0使得f(x0)<2(x＋1)成立，求c的值． <br />[解析] (1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像开口向上，对称轴方程为x＝－. <br /> <br /> b>2a，且a∈N*，b∈N，∴－<－1. <br /> sinx∈[－1,1]，∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c在[－1,1]上为增函数． <br />于是f(sinx)的最大值为f(1)＝a＋b＋c＝2， <br />最小值为f(－1)＝a－b＋c＝－4， <br />由此可得b＝3. b>2a，且a∈N*， <br />∴a＝1，从而c＝－2. <br />∴f(x)＝x2＋3x－2＝(x＋)2－. <br />即f(x)的最小值为－. <br />(2)令x＝1，代入4x≤f(x)≤2(x2＋1)得 <br />f(1)＝4，即a＋b＋c＝4.从而b－4＝－a－c. <br />又由f(x)≥4x，得ax2＋(b－4)x＋c≥0. <br /> a>0，故Δ＝(b－4)2－4ac≤0. <br />即(－a－c)2－4ac≤0，(a－c)2≤0.从而a＝c. <br /> b≥0，∴a＋c≤4,2c≤4. <br />又a＝c∈N*，∴c＝1或c＝2. <br />当c＝2时，b＝0，f(x)＝2x2＋2.此时x0不满足f(x0)<2(x＋1)．故c＝2不符合题意，舍去． <br />所以c＝1，经检验c＝1满足题意． <br />4．(2011·安徽理，16)设f(x)＝，其中a为正实数． <br />(1)当a＝时，求f(x)的极值点； <br />(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围． <br /> <br />[解析] 对f(x)求导得f′(x)＝ex. <br />(1)当a＝时，若f′(x)＝0，则4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝. <br />结合①，可知 <br /> <br />所以，x1＝是极小值点，x2＝是极大值点． <br />(2)若f(x)为R上的单调函数，则f′(x)在R上不变号，结合①与条件a>0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，由此Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并结合a>0，知0<a≤1. <br />5．(2011·大纲全国卷文，21)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋(3－6a)x－12a－4(a∈R)． <br />(1)证明：曲线y＝f(x)在x＝0处的切线过点(2,2)； <br />(2)若f(x)在x＝x0处取得最小值，x0∈(1,3)，求a的取值范围． <br />[解析] (1)f′(x)＝3x2＋6ax＋3－6a <br />由f(0)＝12a－4，f′(0)＝3－6a得曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y＝(3－6a)x＋12a－4，由此知曲线y＝f(x)在x＝0处的切线经过点(2,2)． <br />(2)由f′(x)＝0，得x2＋2ax＋1－2a＝0 <br />(ⅰ)当－－1≤a≤－1时，f(x)没有极小值．...
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