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第一章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．已知cosA＝，则锐角A的度数为( )A．30°B．45°C．50°D．60°2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanB＝，BC＝2，则AC等于( )A．3B．4C．4D．63．在锐角三角形ABC中，若＋＝0，则∠C等于( )A．60°B．45°C．75°D．105°4．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )A.B.C.D．15．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tanB的值为( )A.B.C.D.13
6．为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上．有四名同学分别测量出以下4组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A，B两点之间距离的有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组7．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为( )A.B.C.D.13
8．如图所示，从热气球C处测得地面A，B两点的俯角分别为30°，45°，如果此时热气球的高度CD为100m，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是( )A．200mB．200mC．220mD．100(＋1)m9．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则( )A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S210．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形(用阴影表示)，点B1在y轴上，点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是( )A.B.C.D.二、填空题(每题3分，共24分)11．计算：cos245°＋tan30°·sin60°＝________．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝10，若△ABC的面积为，则∠A＝________度．13．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.13
14．已知锐角A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝________．15．如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′＝________.16．如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC＝3m，cos∠BAC＝，则墙高BC＝________.17．如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′＝________.18．如图，甲、乙两渔船同时从港口O出发外出捕鱼，乙沿南偏东30°方向以10nmile/h的速度航行，甲沿南偏西75°方向以10nmile/h的速度航行，当航行1h后，甲在A13
处发现自己的渔具掉在了乙船上，于是迅速改变航向和速度，仍以匀速沿南偏东60°方向追赶乙船，正好在B处追上．则甲船追赶乙船的速度为________nmile/h.三、解答题(19题12分，20题10分，21，22题每题14分，23题16分，共66分)19．计算：(1)sin60°－cos45°＋；(2)＋4cos60°·sin45°－.13
20．a，b，c是△ABC的三边，且满足等式b2＝c2－a2，5a－3c＝0，求sinA＋sinB的值．21．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形．(2)若AB＝13，DF＝14，tanA＝，求CF的长．13
22．为建设“宜居宜业宜游”山水园林城市，工作人员正在对某城市河段进行区域性景观打造．某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸岸边取一点A，再在河这边沿河边取两点B和C，在B处测得点A在北偏东30°方向上，在点C处测得点A在西北方向上，如图，量得BC长为200m，求该河段的宽度(结果保留根号)．13
23．某校教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，BC∥AD，斜坡AB长为22m，坡角∠BAD＝68°.为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．(1)求改造前坡顶与地面的距离(精确到0.1m)．(2)为了确保安全，学校计划改造时保持坡的根部A不动，坡顶B沿BC前进到F点处，问BF至少是多少？(精确到0.1m)(参考数据：sin68°≈0.9272，cos68°≈0.3746，tan68°≈2.4751，sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918)13
答案一、1.A2．A 点拨：由tanB＝知AC＝BC·tanB＝2×＝3.3．C 点拨：由题意，得sinA－＝0，－cosB＝0.所以sinA＝，cosB＝.所以∠A＝60°，∠B＝45°，所以∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－45°＝75°.4．B 5.C6．C 点拨：对于①，可由AB＝BC·tan∠ACB求出AB的长；对于②，由BC＝，BD＝，BD－BC＝CD，可求出AB的长；对于③，易知△DEF∽△DBA，则＝，可求出AB的长；对于④，无法求得AB的长，故有①②③共3组，故选C.7．D8．D 点拨：由题意可知，∠A＝30°，∠B＝45°，tanA＝，tanB＝，又CD＝100m，因此AB＝AD＋DB＝＋＝＋＝100＋100＝100(＋1)(m)．9．D 点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF，交FE的延长线于点N.在Rt△ABM中，∵sinB＝，∴AM＝3×sin50°，∴S1＝BC·AM＝×7×3×sin50°＝sin50°.在Rt△DEN中，∠DEN＝180°－130°＝50°.∵sin∠DEN＝，∴DN＝7×sin50°，∴S2＝EF·DN＝×3×7×sin50°＝sin50°，∴S1＝S2.故选D.10．D 点拨：连接A3C3，依题意知：D1E1＝，B2C2＝，B3E4＝，B3C3＝，A3C3＝，sin∠A3C3x＝sin(30°＋45°)＝sin75°＝，∴A3到x轴的距离是.13
二、11.1 点拨：cos245°＋tan30°·sin60°＝＋×＝1.12．60 点拨：∵BC＝10，∴S△ABC＝＝＝，则AC＝，∴tanA＝＝＝，∴∠A＝60°.13. 14.15. 点拨：如图，过A′作A′D⊥BC′于点D，设A′D＝x，则B′D＝x，BC＝2x，BD＝3x.∴tan∠A′BC′＝＝＝.16.m 点拨：由cos∠BAC＝＝，知＝，∴AB＝4m.在Rt△ABC中，BC＝＝＝(m)．17. 点拨：由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝＝＝.18．(10＋10) 点拨：如图，由题意可知，∠DOB＝30°，∠AOD＝75°，∠2＝90°－60°＝30°.∵∠3＝∠AOD＝75°，∴∠1＝90°－75°＝15°，故∠1＋∠2＝15°＋30°＝45°.过点O作OC⊥AB于点C，则∠AOC＝90°－∠1－∠2＝90°－45°＝45°.易知OA＝10nmile，∠OAB＝∠AOC＝45°，∴OC＝AC＝OA·sin45°＝10×＝10(nmile)．在Rt△OBC中，∠BOC＝∠AOD＋∠BOD－∠AOC＝75°＋30°－45°＝60°，∴BC＝OC·tan60°＝10nmile，∴AB＝AC＋BC＝(10＋10)nmile.∵OC＝10nmile，∠B＝30°，∴OB＝2OC＝2×10＝20(nmile)，乙船从O到B所用时间为20÷10＝2(h)．∵甲船从O到A所用时间为1h，∴甲船从A到B所用时间为2－1＝1(h)，故甲船追赶乙船的速度为(10＋10)nmile/h.13
三、19.解：(1)原式＝×－×＋2＝－1＋2＝.(2)原式＝－(＋)＋4××－＝－－＋－(2－)＝－2.20．解：由b2＝c2－a2，得a2＋b2＝c2，∴△ABC为直角三角形，∠C＝90°.∵5a－3c＝0，∴＝，即sinA＝.设a＝3k，则c＝5k，∴b＝＝4k.∴sinB＝＝，∴sinA＋sinB＝＋＝.21．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE.∴DE∥FC.∴四边形DECF是平行四边形．(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示．13
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.又∵tanA＝＝tan∠DCH＝，∴DH＝12，CH＝5.∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.∴DE＝＝15.∴CF＝DE＝15.22．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.根据题意，知∠ABC＝90°－30°＝60°，∠ACD＝45°，∴∠CAD＝45°.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD.∴BD＝BC－CD＝200－AD.在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，∴AD＝BD·tan∠ABD＝(200－AD)·tan60°＝(200－AD)．∴AD＋AD＝200.∴AD＝＝(300－100)(m)．故该河段的宽度为(300－100)m.13
23．解：(1)如图，过点B作BE⊥AD，E为垂足，则BE＝AB·sin68°＝22×sin68°≈20.4(m)．即改造前坡顶与地面的距离约为20.4m.(2)如图，过点F作FG⊥AD，G为垂足，连接FA.由题易得∠FAG＝50°，FG＝BE.∵AG＝≈≈17.12(m)，AE＝AB·cos68°＝22×cos68°≈8.24(m)，∴BF＝GE＝AG－AE≈8.9m，即BF至少是8.9m.13
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