首页 > 初中 > 数学 > 2022九年级数学下册第2章二次函数达标检测卷（北师大版）
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第二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中是二次函数的是( )A．y＝3x－1B．y＝3x2－1C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝2．对于二次函数y＝3(x－2)2＋1的图象，下列说法正确的是( )A．开口向下B．对称轴是直线x＝－2C．顶点坐标是(2，1)D．与x轴有两个交点3．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为( )A．y＝－2(x＋1)2－1B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋1D．y＝－2(x－1)2＋34．已知函数y＝x2＋2x－3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是( )A．－4B．0C．2D．35．若A，B，C为二次函数y＝x2＋4x－5的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y26．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象可能是( )10
7．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是( )A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－1或x＞38．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(m)与小球运动的时间t(s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )A．6sB．4sC．3sD．2s9．抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于A点，与x轴的正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b的值是( )A．－5B．4或－4C．4D．－410．如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，E，F，G，H分别为各边上的点，且AE＝BF＝CG＝DH，设小正方形EFGH的面积为y，AE为x，则y关于x的函数图象大致是( )二、填空题(每题3分，共24分)11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．10
12．如图所示，二次函数的图象与x轴相交于点(－1，0)和(3，0)，则它的对称轴是直线________．13．a，b，c是实数，点A(a＋1，b)，B(a＋2，c)在二次函数y＝x2－2ax＋3的图象上，则b，c的大小关系是b________c.14．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴的一个交点的坐标为(－1，0)，则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为________．15．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，y与x的部分对应值如下表：x…－10123…y…105212…则当y＜5时，x的取值范围是______________．16．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量减少10kg，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大．17．如图是一座抛物线型拱桥，当水面宽4m时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为________．18．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②a＋c＞b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc＞0.其中正确的结论是________(填写序号)．三、解答题(19题8分，20，21题每题10分，22，23题每题12分，24题14分，共66分)10
19．求下列函数的最大值或最小值．(1)y＝－x2＋2x－1； (2)y＝4x2－4x－6.20．已知抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1)．(1)求m的值；(2)求此抛物线的顶点坐标及对称轴；(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？21．已知抛物线y＝x2和直线y＝ax＋1.求证：不论a为何值时，抛物线与直线必有两个不同的交点．10
22．某产品每件的成本是120元，试销阶段，每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)的关系如下表：x/元130150165y/件705035(1)若日销售量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数，求y与x的函数关系式．(2)若每日获得的利润用P(元)表示，求P与x之间的函数关系式．(3)当每件产品的销售价为多少元时，才能使每日获得最大利润？最大利润为多少？23．如图所示，有一条双向公路隧道，其截面由抛物线和矩形ABCO组成，隧道最大高度为4.9m，AB＝10m，BC＝2.4m．现把隧道的截面放在直角坐标系中，若有一辆高为4m、宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道的右壁超过多少米才不至于碰到隧道顶部？(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为壁)24．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.10
(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．(2)P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为点Q.①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？请说明理由．10
答案一、1.B 2.C 3．D 【点拨】将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得到的抛物线为y＝－2(x－1)2＋3.故选D.4．B 【点拨】令y＝0，得到x2＋2x－3＝0，即(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1或x＝－3.由函数图象得当－3＜x＜1时，y＜0，则m的值可能是0.故选B.5．D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.B二、11.高；(0，15) 12.x＝1 13.＜14．x1＝－1，x2＝315．0＜x＜4 【点拨】由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x＝2.∵当x＝0时y＝5，∴当x＝4时，y＝5，又易知该函数图象开口向上，∴当y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4.16．70 【点拨】设销售单价为x元，月利润为y元，则y＝(x－40)·[500－10(x－50)]，即y＝－10(x－70)2＋9000，当x＝70时，y有最大值，即获得的月利润最大．17．2m 18.①④三、19.解：(1)∵y＝－x2＋2x－1＝－(x2－2x＋1)＝－(x－1)2.∴函数有最大值，最大值是0.(2)∵y＝4x2－4x－6＝4(x2－x＋)－7＝4(x－)2－7.∴函数有最小值，最小值是－7.20．解：(1)∵抛物线y＝(m－1)x2＋m2－2m－2的开口向下，且经过点(0，1)，∴解得m＝－1.(2)当m＝－1时，此抛物线的表达式为y＝－2x2＋1，故顶点坐标为(0，1)，对称轴为y轴．(3)当x＜0时，y随x的增大而增大．21．证明：由消去y，整理得x2－ax－1＝0，10
∴Δ＝(－a)2－4××(－1)＝a2＋1.∵不论a取何值，a2总是大于或等于0，∴a2＋1＞0，即方程有两个不等实根，∴不论a为何值，抛物线与直线必有两个不同的交点．22．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50分别代入得解得∴y与x的函数关系式为y＝－x＋200.(2)P＝(x－120)y＝(x－120)(－x＋200)＝－x2＋320x－24000(120≤x≤200)．(3)∵P＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得最大利润，最大利润为1600元．23．解：如图所示，由题意得抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，且过点O(0，0)和点C(10，0)，可求出抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x.用矩形DEFG表示汽车的截面，设BD＝m，延长DG交抛物线于H，且DG交x轴于M，则AD＝10－m，HM＝－(10－m)2＋10－m.∴HD＝－(10－m)2＋10－m＋2.4.由题意得－(10－m)2＋12.4－m＞4，化简得(m－2)(m－8)＜0，∴2＜m＜8.故汽车的右侧离隧道右壁超过2m才不至于碰到隧道顶部．24．解：(1)联立方程组10
解得∴B点坐标为(－1，1)．又C点为B点关于原点的对称点，∴C点坐标为(1，－1)．∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，∴A点坐标为(0，－1)．设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A，B，C三点的坐标分别代入，得解得∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.(2)①连接PQ.由题易知PQ与BC交于原点O.当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.联立方程组解得或∴P点坐标为(1－，1－)或(1＋，1＋)．②当t＝0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，过P作x轴的垂线，交直线BC于点E，易知S四边形PBQC＝2S△PBC＝2×BC·PD＝BC·PD.∵线段BC的长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．易知∠PED＝∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大．∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，∴P点坐标为(t，t2－t－1)，E点坐标为(t，－t)．∴PE＝－t－(t2－t－1)＝－t2＋1.10
∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．10
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