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第二十八章达标测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．4cos45°的值为( )A．2B．2C．2D．42．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinB的值为( )A.B.C.D.(第2题) (第3题) (第4题) (第6题)3．如图，A，B，C三点在正方形网格的格点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为( )A.B.C.D.4．西周时期，丞相周公旦在河南设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC高为a.已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC约为26.5°，则立柱底部与圭表的冬至线的距离(即BC的长)约为( )A．asin26.5°B.C.D．acos26.5°5．若锐角α满足cosα<且tanα<，则α的范围是( )A．30°<α<45°B．45°<α<60°C．60°<α<90°D．30°<α<60°6．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，若AC＝6，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，则BD等于( )A．2B．3C．3D．27．【教材P77练习T2变式】如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10m，坝高12m，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( )A．26mB．28mC．30mD．46m10
(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)8．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2mB．2mC．(2－2)mD．(2－2)m9．如图，在距离铁轨200m的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上；10s后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这一时段动车的平均速度是( )A．20(＋1)m/sB．20(－1)m/sC．200m/sD．300m/s10．如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上的一点，则cos∠OBC的值为( )A.B．2C.D.二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，若点A的坐标为(1，)，则∠1＝________.(第11题) (第12题) (第13题) (第14题)12．如图，P(12，a)在反比例函数y＝的图象上，PH⊥x轴于H，则sin∠POH的值为________．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，若sin∠CAM＝，则tanB＝________．14．如图，等腰三角形ABC的周长是36cm，底边为10cm，则底角的余弦值是________．15．【教材P75例4改编】如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90m，那么该建筑物的高度BC约为________m(精确到1m，参考数据：≈1.73)．10
(第15题) (第16题) (第17题)16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是________．17．如图，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA＝，则下列结论中正确的有________(填序号)．①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝2cm.18．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝6，AC＝2，则BC＝________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．计算：(1)－23＋－2sin30°＋(2023－π)0； (2)sin245°－cos60°－＋2sin260°·tan60°.20．【教材P84复习题T1变式】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a＝3b，求∠B的正弦值、余弦值和正切值．10
21．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．22．如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinA＝，求AD的长．10
23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？24．在某飞机场的地面上，有一东西方向长为1千米的飞机跑道MN(如图)，在跑道MN的正西方向14.5千米处有一观察站A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A的北偏西30°，且与点A相距15千米的B处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A的北偏东60°，且与点A相距5千米的C处．(1)该飞机航行的速度是多少千米/时(结果保留根号)?10
(2)如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN上？请说明理由．10
答案一、1.B 2.A 3.B 4.B 5.B 6.A7．D 8.B 9.A 10.D二、11.60° 12. 13. 14.15．20816. 点拨：由翻折变换的性质可知∠AFE＝∠D＝90°，AF＝AD＝5，∴∠EFC＋∠AFB＝90°.∵∠B＝90°，∴∠BAF＋∠AFB＝90°.∴∠EFC＝∠BAF.∵cos∠BAF＝＝，∴cos∠EFC＝.17．①②③18．4或2 点拨：分两种情况：(1)如图①，过点A作AD⊥BC于点D.∵∠B＝30°，AB＝6，∴AD＝AB＝3，BD＝AB·cos30°＝6×＝3.在Rt△ACD中，∵AD＝3，AC＝2，∴DC＝＝＝.∴BC＝BD＋DC＝3＋＝4.(2)如图②，同理可得AD＝AB＝3，BD＝AB·cos30°＝6×＝3，DC＝＝＝，∴BC＝BD－DC＝3－＝2.综上所述，BC的长为4或2.10
三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝()2－－＋2×()2×＝.20．解：由2a＝3b，可得＝.设a＝3k(k＞0)，则b＝2k，由勾股定理，得c＝＝＝k，∴sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝.21．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝＝2.∴EF＝AC＝2.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sinE＝.∴AF＝AC－FC＝2－.22．解：(1)在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，∴∠E＝30°，BE＝AB·tanA＝6×tan60°＝6.在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝4，∠E＝30°，∴CE＝＝＝8.∴BC＝BE－CE＝6－8.(2)∵sinA＝＝，∴可设BE＝4x(x＞0)，则AE＝5x.由勾股定理可得AB＝3x，∴3x＝6，解得x＝2.∴BE＝8，AE＝10.∴tanE＝＝＝＝，10
解得DE＝.∴AD＝AE－DE＝10－＝.23．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝xm，小明的行走速度是am/s.∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝xm.∴AC＝xm.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝＝＝2x(m)．∵小军的行走速度为m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴＝，解得a＝1.答：小明的行走速度是1m/s.24．解：(1)由题意得∠BAC＝90°，∴BC＝＝10(千米)．∴飞机航行的速度为10×60＝600(千米/时)．(2)能．理由如下：如图，过点C作CE⊥直线MN于点E，设直线BC交直线MN于点F.在Rt△ABC中，AC＝5千米，BC＝10千米，∴sin∠ABC＝＝＝.∴∠ABC＝30°.∴∠BCA＝60°.又∴∠CAE＝30°，∴∠ACE＝60°，10
AE＝AC·cos∠CAE＝千米．∴∠FCE＝60°.∴∠CFE＝30°.∴AC＝FC.∴AF＝2AE＝15千米．∵AM＝14.5千米，AN＝AM＋MN＝14.5＋1＝15.5(千米)，∴AM<AF<AN.∴飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道MN上．10
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