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第二十七章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列各组线段中，成比例线段的是( )A．1，2，3，4B．1，2，2，4C．3，5，9，13D．4，6，7，82．如图，可以判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( )A．∠A＝∠B′＝∠C′B.＝且∠A＝∠C′C.＝且∠A＝∠A′D．以上条件都不对3．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，BC＝12，则DE的长是( )A．3B．4C．5D．64．如图，在平面直角坐标系中，有点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD，则点C的坐标为( )A．(2，1)B．(3，2)C．(3，3)D．(3，1)13
5．下列说法：①位似图形都相似；②位似图形都是平移后再放大(或缩小)得到的；③直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1:2；④两个相似多边形的面积比为4:9，则周长比为16:81.其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图，为估算某河的宽度(河两岸平行)，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上，若测得BE＝20m，CE＝10m，CD＝20m，则河的宽度AB等于( )A．60mB．50mC．40mD．30m7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是( )A．(6，0)B．(6，3)C．(6，5)D．(4，2)8．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E在BC上，AF平分∠DAE，EF⊥AE，则CF等于( )A.B．1C.D．2 9．如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE:EC＝2:3，连接AE，BE，BD，且13
AE，BD交于点F，则S△DEF:S△EBF:S△ABF＝( )A．2:5:25B．4:9:25C．2:3:5D．4:10:2510．如图，在△ABC中，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题(每题3分，共30分)11．比例尺为1∶4000000的地图上，两城市间的图上距离为3cm，则这两城市间的实际距离为________km.12．已知△ABC∽△A′B′C′，且其相似比是3:4，△ABC的周长是27cm，则△A′B′C′的周长是________cm.13．如果＝，那么＝________.14．如图，在▱ABCD中，E在DC上，若DE:EC＝1:2，则BFBE＝________.13
15．如图，点D，E分别在AB，AC上，且∠ABC＝∠AED.若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为________．16．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标为________．17．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是________．18．如图，身高为1.7m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A，E，C′在一条直线上．已知河BD的宽度为12m，BE＝3m，则树CD的高度为________．19．如图，将边长为6cm的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH13
，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是________cm.20．如图，A，B，C，D依次为一直线上四个点，BC＝2，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y关于x的函数解析式为________．三、解答题(第21～25题每题8分，第26，27题每题10分，共60分)21．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．13
22．如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，AD:BD＝1:3.(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若DE＝2，求BC的长．23．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(2，3)，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍得△A′B′C′.(1)在图中第一象限内画出符合要求的△A′B′C′(不要求写画法)；(2)计算△A′B′C′的面积．13
24．如图，明珠大厦的顶部建有一直径为16m的“明珠”，它的西面45m处有一高16m的小型建筑CD，人站在CD的西面附近无法看到“明珠”的外貌，如果向西走到点F处，可以开始看到“明珠”的顶端B；若想看到“明珠”的全貌，必须向西至少再走12m．求大厦主体建筑的高度AE(不含顶部“明珠”部分的高度)．25．如图，在△ABC中，AB＝10cm，BC＝20cm，点P从点A开始沿AB边以2cm/s的速度向点B移动，点Q从点B开始沿BC边以4cm/s的速度向点C移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，问经过多久，△PBQ与△ABC相似？26．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，点D为上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于点P.13
(1)若PC＝PF，求证：AB⊥DE；(2)点D在的什么位置时，才能使AD2＝DE·DF，为什么？27．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.(1)当α＝0°和α＝180°时，求的值．(2)试判断当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情况给出证明．(3)当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，求线段BD的长．13
答案一、1.B 2.C 3.B 4.A 5.B6．C 点拨：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，∴△ABE∽△DCE.∴＝，即＝.∴AB＝40m.7．B8．C 点拨：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝5，∠D＝∠B＝∠C＝90°.∵AF平分∠DAE，EF⊥AE，∴∠DAF＝∠FAE，∠AEF＝∠D＝90°.又∵AF＝AF，∴△ADF≌△AEF，∴AE＝AD＝5.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝＝3，∴EC＝5－3＝2.∵∠BAE＋∠AEB＝90°，∠AEB＋∠FEC＝90°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴＝，∴＝，∴CF＝.故选C.9．D10．D 点拨：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠G＝90°＝∠ACB，∴∠AFG＋∠FAG＝90°.∴∠DAC＝∠AFG.在△FGA和△ACD中，∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC＝FG，①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB·FG＝S四边形CBFG，②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，③正确；易知∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ，∴AD·FE＝AD2＝FQ·AC，④正确．二、11.12012．36 点拨：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比是3:4，∴△ABC与△A′B′C′的周长比是3:4.又∵△ABC的周长是27cm，∴△A′B′C′的周长是27×＝36(cm)．13. 点拨：由题意可设x＝2a，y＝5a(a≠0)，则＝＝＝.14．3:513
15．10 点拨：∵∠ABC＝∠AED，∠BAC＝∠EAD，∴△AED∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝10.16．(，)17．2518．5.1m19．12 点拨：由折叠的性质，得DF＝EF，设EF＝xcm，则AF＝(6－x)cm.∵点E是AB的中点，∴AE＝BE＝×6＝3(cm)．在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE2＋AF2＝EF2，即32＋(6－x)2＝x2，解得x＝，∴AF＝6－＝(cm)．∵∠FEG＝∠D＝90°，∴∠AEF＋∠BEG＝90°.∵∠AEF＋∠AFE＝90°，∴∠AFE＝∠BEG.又∵∠A＝∠B＝90°，∴△AEF∽△BGE，∴＝＝，即＝＝，解得BG＝4cm，EG＝5cm，∴△EBG的周长是3＋4＋5＝12(cm)．20．y＝(x＞0)三、21.解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴∠H＝∠D＝95°.∴∠α＝360°－95°－118°－67°＝80°.∵四边形ABCD∽四边形EFGH，∴＝.即＝.解得x＝14.22．(1)证明：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC.(2)解：∵△ADE∽△ABC，∴＝.∵AD:BD＝1:3，∴AD:AB＝1:4，∴＝.又DE＝2，∴BC＝4DE＝8.23．解：(1)如图．(2)S△A′B′C′＝4×4－×2×2－×2×4－×2×4＝6.13
24．解：设AE＝hm，∵CD∥AB，∴△FAB∽△FCD，∴＝，即＝，∴AF＝m.同理易证△AGE∽△CGD，∴＝，即＝，∴AG＝m.又∵AG－AF＝12m，∴－＝12.整理得h2－16h－960＝0，∴h＝40或h＝－24(不合题意，舍去)．∴大厦主体建筑的高度AE为40m.25．解：设经过ts，△PBQ与△ABC相似．则AP＝2tcm，BQ＝4tcm，BP＝(10－2t)cm.当△PBQ∽△ABC时，有＝，即＝，解得t＝2.5.当△QBP∽△ABC时，有＝，即＝，解得t＝1.综上所述，经过2.5s或1s，△PBQ与△ABC相似．26．(1)证明：如图，连接OC.∵PC＝PF，∴∠PCF＝∠PFC＝∠AFH.13
又∵PC是⊙O的切线，∴∠PCF＋∠ACO＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO.∴∠AFH＋∠CAO＝90°.∴∠FHA＝90°.∴AB⊥DE.(2)解：点D在的中点时，AD2＝DE·DF.理由：如图，连接AE，∵点D是的中点，∴＝，∴∠CAD＝∠AED.又∵∠FDA＝∠ADE，∴△ADF∽△EDA，∴＝，∴AD2＝DE·DF.27．解：(1)当α＝0°时，∵BC＝2AB＝8，∴AB＝4.∵点D，E分别是边BC，AC的中点，∴BD＝4，AE＝EC＝AC.∵∠B＝90°，∴AC＝＝4，∴AE＝CE＝2，∴＝＝.当α＝180°时，如图①，易得AC＝4，CE＝2，CD＝4，∴＝＝＝.13
(2)无变化．证明：在题图①中，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴＝，∠EDC＝∠B＝90°.在题图②中，∵△EDC在旋转过程中形状大小不变，∴＝仍然成立．又∵∠ACE＝∠BCD＝α，∴△ACE∽△BCD，∴＝.在Rt△ABC中，AC＝＝＝4.∴＝＝，∴＝，∴的大小不变．(3)当△EDC在BC上方，且A，D，E三点共线时，四边形ABCD为矩形，如图②，∴BD＝AC＝4；当△EDC在BC下方，且A，E，D三点共线时，△ADC为直角三角形，如图③，由勾股定理可得AD＝＝8.又易知DE＝2，∴AE＝6.∵＝，∴BD＝.综上，BD的长为4或.13
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