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高中数学人教A版选修2-2教案:2.3 数学归纳法(1)

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www.ks5u.com教学目标:1.理解数学归纳法的概念,掌握数学归纳法的证明步骤.2.通过数学归纳法的学习,体会用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明规律的途径.掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.教学重点:掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法.教学难点:能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.教学过程:一、预习1.问题:很多同学小时候都玩过这样的游戏,(教具摆设)就是一种码放砖头的游戏,码放时保证任意相邻的两块砖头,若前一块砖头倒下,则一定导致后一块砖头也倒下,这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下(这种游戏称为多米诺骨牌游戏).思考 这个游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?只要满足以下两个条件,所有的多米诺骨牌都能倒下:(1)__________________________________________________;(2)__________________________________________________.思考 你认为条件(2)的作用是什么? 思考 如果条件(1)不要,能不能保证全部的骨牌都倒下? 2.我们知道对于数列{an},已知a1=1,且(n=1,2,3…)通过对n=1,2,3,4,前4项的归纳,我们可以猜想出其通项公式为,但归纳推理得出的猜想不一定成立,必须通过严格的证明.要证明这个猜想,同学们自然就会从n=5开始一个个往下验证,当n较小时可以逐个验证,但当n较大时,逐个验证起来会很麻烦,特别是证明n,取所有正整数时,逐个验证是不可能的.能不能寻求一种方法,通过有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立.思考?你认为证明数学的通项公式是,这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?多米诺骨牌游戏原理通项公式的证明方法(1)第一块骨牌倒下.(1)当n=  时,猜想成立(2)若第k块倒下时,则相邻的第k+1块也倒下.(2)若当n= 时,猜想成立,即  ,则当n=  时,猜想也成立,即     .根据(1)和(2),可知不论有多少块骨牌,都能全部倒下.根据(1)和(2),可知对任意的正整数n,猜想都成立.证明:(1)                .(2)假设              ,3.小结.数学归纳法的定义:一般地,证明一个与正整数有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0时命题成立.(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立.,上述证明方法叫做数学归纳法.用框图表示为:若n=k(k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.验证n=n0时命题成立.命题对从n0从开始所有的正整数n都成立.归纳奠基归纳递推注 这两个步骤缺一不可,只完成步骤(1)而缺少步骤(2),就做出判断可能得出不正确的结论,因为单靠步骤(1),无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定.同样,只有步骤(2)而缺少步骤(1),也可能得出不正确的结论,缺少步骤(1)这个基础,假设就失去了成立的前提,步骤(2)也就没有意义了.二、课堂训练例1 证明等差数列通项公式an=a1+(n-1)d.例2 用数学归纳法证明:1+3+5+…+(2n-1)=.例3 用数学归纳法证明 12+22+32+…+n2=(n∈N*).练习:用数学归纳法证明:-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)=(-1)nn.三、巩固练习1.用数学归纳法证明:“”在验证n=1成立时,左边计算所得的结果是.2.已知:,则等于.3.用数学归纳法证明:1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)=.4.用数学归纳法证明:.四、小结,重点:两个步骤、一个结论;注意:奠基基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.五、作业课本P94第1,2,3题. 查看更多

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