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高中人教A版选修1-1教案:3.1.1变化率问题、3.1.2 导数的概念

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资料简介

§3.1.1变化率问题§3.1.2导数的概念【学情分析】:本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次:1、借助气球膨胀率问题,了解变化率的含义;借助高台跳水问题,明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点,结合其他实例抽象出导数概念,使学生认识到导数就是瞬时变化率,了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难,所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨,以便顺利地使学生形成导数的概念。【教学目标】:知道了物体的运动规律,用极限来定义物体的瞬时速度,学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.【教学重点】:理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】:理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】:教学环节教学活动设计意图(1)引入变化率和瞬时速度1.瞬时速度定义:运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度.2.确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法:要确定物体在某一点A处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度.当位移足够小时,物体在这段时间内运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s=s(t),也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t0,0+Δt,现在问从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移、平均速度各是:位移为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)(Δt称时间增量)为导数概念的引入做铺垫平均速度根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t来表示,也就是说时间足够短时,平均速度就等于瞬时速度.现在是从t0到t0+Δt,这段时间是Δt.时间Δt足够短,就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时,平均速度就越接近于瞬时速度,用极限表示瞬时速度瞬时速度,所以当Δt→0时,平均速度的极限就是瞬时速度(2)例题讲解例1、物体自由落体的运动方程s=s(t)=gt2,其中位移单位m,时间单位s,g=9.8m/s2.求t=3这一时段的速度.解:取一小段时间[3,3+Δt],位置改变量Δs=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度g(6+Δt)瞬时速度为:由匀变速直线运动的速度公式得v=v0+at=gt=g·3=3g=29.4m/s例2、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),(1)当t=2,Δt=0.01时,求.(2)当t=2,Δt=0.001时,求.(3)求质点M在t=2时的瞬时速度.让学生进一步认识瞬时速度,为引入导数的概念做好铺垫.分析:Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,即平均速度,当Δt越小,求出的越接近某时刻的速度.解:∵=4t+2Δt∴(1)当t=2,Δt=0.01时,=4×2+2×0.01=8.02cm/s(2)当t=2,Δt=0.001时,=4×2+2×0.001=8.002cm/s,(3)v=(4t+2Δt)=4t=4×2=8cm/s(3)导数的概念设函数在处附近有定义,当自变量在处有增量时,则函数相应地有增量,如果时,与的比(也叫函数的平均变化率)有极限即无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数在处的导数,记作,即注意:(1)函数应在点的附近有定义,否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中,趋近于0可正、可负、但不为0,而可能为0(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率.要让学生理解导数概念例3、求y=x2在点x=1处的导数.分析:根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤,先求Δy,再求,最后求.解:Δy=(1+Δx)2-12=2Δx+(Δx)2,=2+Δx∴=(2+Δx)=2.∴y′|x=1=2.注意:(Δx)2括号别忘了写.学生自学教材P75例1(4)课堂小结(1)理解函数的概念。(2)求函数的导数的一般方法:①求函数的改变量.,②求平均变化率.③取极限,得导数=.补充题目:1.一直线运动的物体,从时间到时,物体的位移为,那么为()A.从时间到时,物体的平均速度;B.在时刻时该物体的瞬时速度;C.当时间为时物体的速度;D.从时间到时物体的平均速度2.一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s),求小球在t=5时的瞬时速度解:瞬时速度v=(10+Δt)=10m/s.∴瞬时速度v=2t=2×5=10m/s.3.质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时的瞬时速度.解:瞬时速度v==(8+2Δt)=8cm/s. 查看更多

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