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高中人教A版选修1-1教案:2.3.2抛物线的几何性质 第二课时

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§2.3.2抛物线的几何性质(2)【学情分析】:由于学生具备了曲线与方程的部分知识,掌握了研究解析几何的基本方法,因而利用已有椭圆与双曲线的知识,引导学生独立发现、归纳知识,指导学生在实践和创新意识上下工夫,训练基本技能。【教学目标】:(1)知识与技能:熟练掌握抛物线的范围,对称性,顶点,准线,离心率等几何性质;掌握直线与抛物线位置关系等相关概念及公式。(2)过程与方法:重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养;启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考。(3)情感、态度与价值观:培养严谨务实,实事求是的个性品质和数学交流合作能力,以及勇于探索,勇于创新的求知意识,激发学生学习数学的兴趣与热情。【教学重点】:抛物线的几何性质及其运用。【教学难点】:抛物线几何性质的运用。【课前准备】:Powerpoint或投影片【教学过程设计】:教学环节教学活动设计意图一、复习引入曲线抛 物 线方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图 形焦点F(p/2,0)F(-p/2,0)F(0,p/2)F(0,-p/2)范围x≥0x≤0y≥0y≤0对称轴x轴x轴y轴y轴顶点O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)离心率e=1e=1e=1e=1准线x=-p/2x=p/2y=-p/2y=p/2渐近线无无无无回顾抛物线的几何性质:将基本公式用填空的形式巩固。二、知识准备设圆锥曲线C∶f(x,y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则弦长|AB|为:或,二、例题讲解例1.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求这个正三角形的边长.分析:观察图,正三角形及抛物线都是轴对称图形,如果能证明x轴是它们公共的对称轴,则容易求出三角形边长.解:如图,设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上,且坐标分别为、,则,又|OA|=|OB|,所以即∵ ,∴ .由此可得,即线段AB关于x轴对称.因为x轴垂直于AB,且∠AOx=30°,所以所以,例2.过抛物线y=的焦点作倾斜角为α的直线l与抛物线交于A、B两点,且|AB|=8,求倾斜角α.解:抛物线标准方程为x2=-4y,则焦点F(0,-1)⑴当α=90°时,则直线l:x=0(不合题意,舍去)⑵当α≠90°时,设k=tanα,则直线l:y+1=kx;即y=kx-1.与x2=-4y联立,消去y得:x2+4kx-4=0则x1+x2=-4k;x1x2=-4;∴=∴==4(1+k2)=8∴k=±1∴α=45°或135°圆锥曲线的弦长求法二、例题讲解例3.已知抛物线方程为,直线过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3,求p的值.,解:设与抛物线交于由弦长公式|AB|===3则有由从而由于p>0,解得圆锥曲线的中点弦问题三、巩固练习1.若正三角形一顶点在原点,另外两点在抛物线y2=4x上,求此正三角形的边长。(答案:边长为8)2.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,求正三角形外接圆的方程分析:依题意可知圆心在轴上,且过原点,故可设圆的方程为:,又∵圆过点,∴所求圆的方程为3.已知抛物线,过点(4,1)引一弦,使它恰在这点被平分,则此弦所在直线方程为解析:设直线与抛物线交点为则,4.已知直线与抛物线相交于、,两点,若,(为原点)且,求抛物线的方程(答案:)5.顶点在坐标原点,焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为,求抛物线的方程(答案:或)四、课后练习1.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.解:如图,由抛物线的标准方程可知,抛物线焦点的坐标为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1① 与y2=4x②联立,解得:将x1、x2的值代入方程①中,得即A、B的坐标分别为、2.已知抛物线与直线相交于、两点,以弦长为直径的圆恰好过原点,求此抛物线的方程(答案:)3.已知的三个顶点是圆与抛物线的交点,且的垂心恰好是抛物线的焦点,求抛物线的方程(答案:)4.已知直角的直角顶点为原点,、在抛物线上,(1)分别求、两点的横坐标之积,纵坐标之积;(2)直线,是否经过一个定点,若经过,求出该定点坐标,若不经过,说明理由;(3)求点在线段上的射影的轨迹方程答案:(1);;(2)直线过定点(3)点的轨迹方程为5.已知直角的直角顶点为原点,、在抛物线上,原点在直线上的射影为,求抛物线的方程(答案:)练习与测试:1.顶点在原点,焦点在y轴上,且过点P(4,2)的抛物线方程是(   )(A)x2=8y(B)x2=4y(C)x2=2y(D)2.抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点坐标是(A)(2,4)(B)(2,±4)(C)(1,)(D)(1,±)3.直线过抛物线的焦点,并且与轴垂直,若被抛物线截得的线段长为4,则()A.4B.2C.D.4.抛物线顶点在原点,以坐标轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长等于8,则抛物线方程为    5.抛物线y2=-6x,以此抛物线的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是  6.以双曲线的右准线为准线,以坐标原点O为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB,求△OAB的面积.7.已知抛物线与直线相交于A、B两点,①求证;;②当的面积等于时,求的值.测试题答案:,1.A2.D3.A4.x2=±8y5.6.7.解析(证明):设;,由A,N,B共线,又--------------------------------------------------------------③②由得 查看更多

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