首页 > 高中 > 数学 > 高中人教A版必修5系列教案：2.3等差数列前N项和
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等差数列的前n项和(人教A版必修5第二章第三节)一、内容和内容解析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（5）》（人教A版）中第二章第三节“等差数列的前n项和”（第一课时）．是数列的基本概念和等差数列知识的延续，也是后续学习积分、极限等知识的基础，起着承上启下的重要作用。本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和及该求和公式的应用,该数学模型在实际生活中有着广泛的应用。通过等差数列前n项和公式的探究，让学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的研究问题的方法，体现“授之于鱼，不如授之于渔”的教学价值；通过介绍高斯求和的故事，向学生渗透人文价值与情感教育价值；通过求和公式的选用、变用与拓展来体现数学课堂的方法价值、应用价值、类比价值；这些价值的渗透有利于提升学生的数学素养。二、目标和目标解析知识与技能目标:理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；过程与方法目标学生在教师的引导下，经历从特殊到一般、再从一般到特殊的过程中，探究得到等差数列前n项和公式，进一步体会特殊与一般、化归与转化、函数与方程（组）等重要数学思想；学生在理解和运用公式的过程中，运算求解能力、分析问题及解决问题的能力得到进一步提高，创新意识与应用意识得到发展。情感态度价值观学生通过对高斯成长经历的了解，体会他的奉献精神和治学态度，借鉴他的思维方式，培养严谨、细致、勇于探索、敢于创新的良好学习态度。基于以上教学目标的分析，确立本节课的教学重点是：探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决求和问题三、教学问题诊断分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；但是高斯算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．因为首尾配对法还需要分奇数、偶数两种情况讨论，偶数的情况学生相对较为熟悉，也更容易掌握；奇数的情况时，学生对配对后的项数及剩下的中间项较容易产生错误。为了帮助学生扫清该障碍，避免分类讨论而引入倒序相加法，可以设计以下两个环节。其一是借助几何图形的直观性，在原来的图形旁边再放置一个倒置的图形，让学生再来观察图形的特征，从形的角度获得倒序相加法的思路，该方法形象、直观，学生易于接受。其二是从形到数启发学生，提出如下问题“我们知道，当项数为偶数时可以直接凑成整数对，那么对于任意的正整数项数n而言，如何能让它转化为偶数呢？”，给出充裕的时间交流、讨论后，师生共同探究分析得出结论：“任何一个正整数的偶数倍一定是偶数，且2倍是最简单的方法”，教师因势利导再问“如何才能刚好凑对呢？”，学生自然而然的想到把另外一组和的顺序倒置再相加，而进一步理解倒序相加法的原理，该方法体现了数学的本质及数学的严谨。两个环节相辅相成，从数形两个方面很好的诠释了倒序相加法，既直观又严谨。在公式应用环节中，项数的确定是学生学习中的又一障碍，如求和1+3+5+7+…+2n-3=?.学生很容易直接把项数n代入公式而出现错误，这是由于前一节课通项公式an=a1+（n－1）应用不熟练造成的，所以教师一方面要加强通项公式中已知a1、an求项数n的相关训练，另一方面要提醒学生注意审题，养成良好的学习习惯。,基于以上教学问题诊断的分析，确立本节课教学难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．四、教学支持条件分析为了更好的进行本节课的教学，给师生提供一个和谐、愉快、高效的课堂氛围，需要以下教学条件的支持1、多媒体探究教室一间，有多功能桌椅，一套完整的多媒体播放系统（含师生对讲系统，抽号系统等）。2、教师事先准备好的自制V型粉笔架一个和粉笔若干。3、多媒体课件。五、教学过程设计（一）以境激情,提出问题有一种新型的放置粉笔的装置，它具有取放粉笔方便、快捷的优点——V型粉笔架（教师把事先制作好的道具给学生演示）最底层装1支，倒数第二层装2支，以此类推每往上一层粉笔增加一支，一共装了14层；另一种是普通的盒装粉笔装置，一盒50支，共有2盒；请问：哪一种装置的粉笔数多？【设计意图】创设生活化问题情境，一方面激发学生学习新知的兴趣与积极性，另一方面充分体现数学在实际生活中的广泛应用。大部分学生采用直接相加或者借助计算器来完成，少数学生可能会想到用高斯的算法来处理，教师趁机引导：直接计算是一种方法，但是数字大的时候计算量很大，运算效率低下，为了提高运算效率，我们经常会借助巧算，借此引出高斯求和的故事[知识链接]（教师幻灯投影、图文并茂）高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋（50＋51）＝101×50＝5050.师生共同分析高斯算法的巧妙之处：把不同数的求和问题转化成相同数的求和问题教师借此渗透人文价值教育：高斯与阿基米德、牛顿并列为数学史上最伟大的三大数学家，他的数学业绩几乎遍布整个数学王国，被誉为“数学王子”。此外，高斯还是优秀的天文学家，物理家，高斯埋头苦干，精益求精，探索专研的品质堪为世人之楷模。他对数论，代数，复变函数，超几何级数，统计学，微分学，概率论都有不同程度的贡献。因此，数学领域内有许多的术语都冠以高斯的名字，如“高斯曲线”，“高斯质数”等。近代数学史学家贝尔对高斯的成就评价道：“在数学的世界里，高斯处处留方。”[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下由浅入深、由具体到抽象的几个问题．（二）启发引导,探索发现问题1、如果V型粉笔架有25层，请问：一共有多少支粉笔？把学生分成若干小组，进行小组合作、交流讨论学习，思考成熟的小组举手示意并派代表展示本小组的成果，其它学生则一起分享。,[学情预设]受高斯算法的启示，学生可能会出现以下的解法预设1、1+2+3+4+…+25=0+1+2+3+4+…+25=（0+25）+（1+24）+（2+23）+…+（12+13）=25×13=325预设2、1+2+3+4+…+25=（1+2+3+4+…+25+26）-26=（1+26）+（2+25）+（3+24）+…+（13+14）-26=27×13-26=325预设3、1+2+3+4+…+25=（1+25）+（2+24）+（3+23）+…+（12+14）+13=26×12+13=325师：以上方法都很好，只是表现的形式略有区别，其实质是一样的，都采用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．【设计意图】这是求奇数项和的问题，若简单地模仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．问题2：如果V型粉笔架有n层（n∈N*），请问：一共有多少支粉笔？教师给学生足够的时间交流、讨论，让学生大胆说出自己的想法，[学情预设]学生通过激烈的讨论交流后，得出结论：要对项数n进行分类讨论，即n为奇数时不刚好配对，n为偶数时刚好配对。教师进而提出问题：“有没有其它方法可以避免分类讨论呢？”．【设计意图】从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一高斯算法的改进．启发1：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．请同学们认真观察每一层的粉笔数量有何特征及粉笔的层数，能否把的表达式写出来呢？【设计意图】借助几何图形的直观性，能启迪思路，让复杂问题简单化、抽象问题具体化，揭示研究对象间的性质与关系，并为倒序相加法的出现提供了一个直观的模型．通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：∵1+ 2+ 3+…（n－1）+nn+（n－1）+（n－2）+…+2+1____________________________________________________________________(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)+(n+1)∴1+2+3+…+n=启发2：以上是从图形的直观角度入手，借助倒置的图形与原图形构成平行四边形从而避免分奇偶讨论的情况，同学们思考该方法的数学本质是什么呢？即对于任意的正整数项数n而言，如何能让它转化为偶数，且计算要最简便呢？”分析：任意正整数的偶数倍一定是偶数，且2倍是最简单的。【设计意图】数、形既是数学知识体现的两个方面，又是相辅相成的，正如著名数学家华罗庚所说的“数缺形时少直观，形缺数时难入微”。形具有形象、直观性，是感性认识的良好素材；而数具有严谨性、说服力，最能体现数学本质的东西。又因为数学是科学的、严谨的，所以数形结合才能给学生留下深刻的印象。,（三）、类比联想,解决问题问题3：在公差为d的等差数列{}中，定义前n项和，如何求？由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：也可写成 ∴ (公式1)（四）、挖掘公式,深化认识为了更全面系统的掌握、理解公式，教师继续提出以下问题并组织学生小组讨论：问题1、为什么有成立？（等差数列的性质）分析：实质是等差数列的重要性质——等距性（即∈N,）的应用，【设计意图】一方面巩固等差数列的性质，另一方面是理解公式的内涵问题2、在公式1中若将代入又可得到怎样的式子?即：（公式2）教师还可以引导学生将式子变形成：【设计意图】培养学生思维的发散性，为用函数观点解决数列问题做铺垫问题3、两个公式有何异同点？学生小组讨论后得出结论：两个公式都含有四个量，只是基本量不同而已：公式1含、、、四个量，公式2含、、、四个量。【设计意图】培养学生观察、比较、分析、归纳等能力问题4、从方程的角度来看，可以解决什么问题？生：知三求一的问题,【设计意图】培养学生用方程（组）思想分析问题、解决问题的能力。问题5、如何更好的记忆公式？跟以前学过的什么公式类似呢？引导学生回忆梯形的面积公式，并作出以下的分析【设计意图】培养学生类比、反思等思维能力[知识链接]【设计意图】这些问题串的设计，是为了达到：数学公式课的教学，不仅要知道公式的来龙去脉，还要知道公式是什么，记住公式且挖掘公式的内涵与外延。更重要的是公式有何用，怎样用？让学生对公式课的学习有个系统、全面的认识，形成一套科学而有效的探究公式的方法。力求体现“授之于鱼，不如授之于鱼渔”的教学价值。（五）剖析例题，理解巩固例题1、（1）众所周知，中国的著名运动员姚明在篮球领域中取得了巨大的成就，他是整个中国的骄傲，甚至是整个亚洲的骄傲。但是同学们了解姚明刚去NBA时的辛酸吗？初到NBA，姚明为了更快的适应NBA的高强度对抗，给自己指定了为期10天的投篮训练计划，从第一天到第十天的投篮个数依次如下表：60065070075080085090095010001050请问：姚明这十天一共投了几个篮？【设计意图】1、从数学知识角度出发：学生要达到会选用公式从而熟悉公式的目的。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算．达到熟悉公式的要素与结构的目的，为后续公式的应用奠定基础。2、从数学能力角度出发：培养学生数据处理能力、读取信息的能力及数学的应用意识。3、从教育价值角度出发：对学生渗透人文教育，情感教育，爱国主义教育等，学习姚明不畏艰辛，敢于挑战的精神品质。（2）求等差数列2、4、6、8、…、142的和。▲变式训练，深化理解变式训练1、求等差数列2、4、6、8、…、2n的和。【设计意图】从确定项的求和到一般项数n的求和，再次熟悉求和公式及其常见类型。变式训练2、求等差数列1、3、5、7、…、2n-3的和。叫两个学生演板，其他学生则自主完成，之后教师把计算正确与错误的代表进行对比，借机进行点评,[学情预设]由于惯性思维，大部分学生会把项数当成n直接带入公式求和导致错误，与等差数列1、3、5、7、…、2n-1；1、3、5、7、…、2n+1的和混为一谈，认为求和的项数就一定是n项，这也是共性的错误。【设计意图】巩固两个求和公式，既可选用公式1，也可选用公式2，但是共同点都是项数容n易错，教师应通过错因辨析，利用错误强化正确，再次强化学生利用通项公式an=a1+（n－1）d求项数n的训练，以达到理解公式，为更好地应用公式奠定基础。变式训练3、求1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-（2n）=？[学情预设]大部分学生会利用分组构成等差数列求和，即：1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-（2n）=（1+3+5+…+2n-1）-（2+4+6+…+2n）=…=-n,教师可定学生的想法后可追问：“难道没有其它的方法了吗？引导学生用整体思维看待问题。从而得到另一种解法：1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-（2n）=（1-2）+（3-4）+（5-6）+…+(2n-1-2n)=-n.【设计意图】培养学生思维的灵活性，用辩证的思想看待问题的习惯，化归与转化的思想例题2、在等差数列{an}中，已知，，，求与分析：本例是使用等差数列的求和公式与通项公式求未知元，可以使用公式2先求出a1，再带入公式1求出an。也可以采用公式1和通项公式联立方程组求解。【设计意图】从方程的角度认识求和公式中“知三求二”的方法，同时渗透一题多解的理念，培养学生思维的灵活性。课堂练习、已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.【设计意图】进一步巩固“知三求二”的问题及函数与方程的思想。▲拓展探究，巩固提升知识拓展:在等差数列{an}中，已知a2+a5+a12+a15=36，求；分析：根据等差数列的性质，有a1+a16=a2+a15=a5+a12=18，所以=8×18=144。[学情预设]学生受思维定势的影响，会采用方程的思想来处理，但由于方程个数不够导致结果无法求解，与“知三求二”的思想产生强烈冲突，迫切需要得到老师的帮助。【设计意图】公式的应用除了直接代入的常规解法及简单的变用之外，还要注意整体思想在数学解题中的应用，培养学生灵活运用公式的能力,课后探究：已知等差数列｛an｝的前3项和为18，倒数3项的和为222，若其前n项和为600，求该数列的项数n的值。例3、已知等差数列24，20，16，…求(1)数列｛an｝的通项公式；(2)数列｛an｝的前几项和为864？（选用）(3)的最大值为多少？并求出此时相应的n的值。[学情预设]第一问较简单，学生基本上没问题；第二问有些学生会忽视这一限制条件而取两解导致错误；第三问学生会因知识的迁移能力不足而难以入手，教师应及时引导学生是否能从通项公式出发寻找解决的方案？（即在等差数列中，当时，最大，当时，最小。）或者是从函数角度出发来研究最值问题。（把Sn看成n的二次函数，即）【设计意图】训练学生综合运用知识分析问题、解决问题的能力；了解数列是特殊的函数，第（3）小题是让学生初步应用用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合应用打下基础．课后探究：若等差数列｛an｝的前n项和为，试探究以下问题：（1）、该数列的通项公式是什么？（2）、该数列是等差数列吗？为什么？（3）、如果是等差数列，它的首项与公差分别是什么？（六）回顾反思，深化理解师：请同学们谈谈本节课有哪些收获呢？组织学生按小组回顾本节课的基本知识及数学思想方法，小组之间互相交流、讨论，教师对学生的发言进行肯定，并作出相应的评价，最后补充，完善。（用幻灯片投影、展示给学生）【设计意图】引导学生对知识系统化、网络化，同时锻炼学生的评价能力、抽象概括能力。（七）分层作业、启迪升华1、必做题：课本P52习题2．3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第4,5题2、选做题：已知函数f（x）=，则f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为3、探究题：（1）、已知等差数列｛an｝的前3项和为18，倒数3项的和为222，若其前n项和为600，求该数列的项数n的值。,（2）、若等差数列｛an｝的前n项和为，试探究以下问题：（1）、该数列的通项公式是什么？（2）、该数列是等差数列吗？为什么？（3）、如果是等差数列，它的首项与公差是什么？[设计意图]作业是课堂教学的延续，是学生巩固知识、形成能力的重要素材。分层布置三个层次的作业，满足不同层次的学习需要，使不同程度的学生得到不同的程度的发展，体现新课程“以生为本”的理念。（八）板书设计2.3．1等差数列的前n项和 1、公式及推导过程 公式特点公式作用体现的数学思想2、例题 变式：拓展： 练习展示作业布置： [设计意图]对本节课的学习起画龙点睛的作用，是本节课教学内容的再现，方便学生巩固知识，提高教学效果。六、教学实践心得《等差数列前n项和》教学价值的挖掘与思考建构主义学习理论认为：学习是学生积极、主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的生活背景相联系。所以在本课时的求和公式探究中，教师不急于直接介绍“倒序相加法”，这样无疑就象波利亚所说的“帽子里跳出了个兔子”。而是采用从身边熟悉的问题情境入手抛出问题，引发学生思考，激起求知欲，然后教师以问题为驱动，层层铺垫，从特殊到一般、从具体到抽象、从简单到深入启发、引导学生获得公式的推导方法。学生则在具体的情境中自主参与、经历知识的形成与发展，通过观察、联想、分析、归纳、反思等活动参与学习，在教师的的引导下认识和理解数学知识，逐步形成一种探究公式的科学而有效的方法，在探究学习中发展数学能力；在公式分析环节，通过问题串的形式让学生逐步形成对公式结构、公式内涵的初步认识；公式的应用环节，通过“选择公式”，“变用公式”，“拓展探究”三个递进层次的训练，让学生由易到难、由浅入深的理解公式，掌握公式。整个教学过程渗透了以下几个方面的教育价值：1、过程性价值“教师要用教材，而不是教教材”是对过程性价值的最好体现，本节课的设计源于课本又高于课本。通过创设生活化的问题情境（V型粉笔架的粉笔数的计算），从特殊（1+2+3+4+…+25）到一般（1+2+3+4+…+n）,从具体（1+2+3+4+…+n）到抽象（a1+a2+…+an），层层铺垫，借助转化与化归，数形结合等思想加以启发、引导，让公式的推导水到渠成，从过程中自然的流淌出来。而在公式的应用，巩固阶段，通过“例题——练习——变式——拓展”这种由易到难、由浅入深、层层递进的训练模式，让学生的理解从感性到理性，从初步认识到深刻理解，知识从课堂延续到课外，体现了数学课堂教学的创造性。2、人文价值,（1）本节课通过介绍德国伟大数学家高斯求和的故事，高斯取得的伟大成就，尤其是高斯埋头苦干、精益求精、探索钻研的品质，为真理而无私奉献的精神，从很大程度上感染了每一个学生，对他们的人生观、价值观、世界观以强烈的熏陶。（2）通过姚明为了篮球事业的发展而不畏艰辛、努力拼搏的例子，给学生以榜样教育的价值，培养他们的民族自豪感，勇于挑战，敢于拼搏的精神。3、应用价值传统的数学教学存在着掐头去尾烦中段的弊端。学生既不知道自己学的东西从何而来，也不知道将用到何处去。而本节课在公式的推导阶段，让数学的新问题从“数V型粉笔架的粉笔数”这个生活实际出发，贴近学生的实际情况，体现了知识“从生活中来”；在公式应用阶段，解决了投篮次数（次数较大的数）的求和问题，体现了知识“到生活中去”；整个过程让学生感觉到学习数学知识是有用的，有现实价值的——这也正是新课程所倡导的理念。4、思想方法价值公式的探究过程及例题一中公式的应用都体现了特殊到一般的数学思想；在如何计算奇数项的求和问题时渗透了转化与化归的思想；在计算1+2+3+4+…+n时渗透了分类讨论及数形结合的思想；在公式应用中的“知三求一”，“知三求二”、求例3中的的最值等则体现了函数与方程的思想；而倒序相加法实质：把不同数的求和问题转化成相同数的求和问题，也体现了转化的思想。这些数学思想方法的渗透，有利于提升学生的数学素养。5、美学价值针对1+2+3+4+…+n=？的问题，在引导学生如何避免分类讨论时，通过启发1与启发2引入倒序相加法，这充分体现了数学思想方法的简洁美与公式的对称美；在例题2的知识拓展：已知a2+a5+a12+a15=36，求S16的解题分析中体现了数学思维的奇异美，方法的简洁美，思路的整体美；而生生互动，师生互动的画面又呈现了数学课堂的和谐美。6、类比价值本节公式探究课的模式：是围绕“以境激情，提出问题——启发引导，探索发现——类比联想，解决问题——挖掘公式，深化认识——剖析例题，理解巩固——变式拓展，深化理解——回顾反思，升华认识”进行的，这种有效教学模式解决了公式课中要解决的：公式是怎么来的？公式是什么？（挖掘内涵、外延）公式有何用？这三个核心层次的要求。这种模式可以类比应用到其它公式课的教学，具有很好的类比价值。
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