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高一数学人教A版必修四教案:3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)

资料简介

3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(2)教案教学分析1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式是在研究了两角差的余弦公式的基础上,进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、余弦、正切公式的.在这些公式的推导中,教科书都把对照、比较有关的三角函数式,认清其区别,寻找其联系和联系的途径作为思维的起点,如比较cos(α-β)与cos(α+β),它们都是角的余弦只是角形式不同,但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系,即α+β=α-(-β)的关系,从而由公式C(α-β)推得公式C(α+β),又如比较sin(α-β)与cos(α-β),它们包含的角相同但函数名称不同,这就要求进行函数名的互化,利用诱导公式(5)(6)即可推得公式S(α-β)、S(α+β)等.2.通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导,揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律,还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容,对培养学生的探索精神和创新能力,发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义.3.本节的几个公式是相互联系的,其推导过程也充分说明了它们之间的内在联系,让学生深刻领会它们的这种联系,从而加深对公式的理解和记忆.本节几个例子主要目的是为了训练学生思维的有序性,逐步培养他们良好的思维习惯,教学中应当有意识地对学生的思维习惯进行引导,例如在面对问题时,要注意先认真分析条件,明确要求,再思考应该联系什么公式,使用公式时要具备什么条件等.另外,还要重视思维过程的表述,不能只看最后结果而不顾过程表述的正确性、简捷性等,这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.二、三维目标1.知识与技能:在学习两角差的余弦公式的基础上,通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们之间的内在联系,并通过强化题目的训练,加深对公式的理解,培养学生的运算能力及逻辑推理能力,从而提高解决问题的能力.2.过程与方法:通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用,会进行简单的求值、化简、恒等证明,使学生深刻体会联系变化的观点,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.3.情感态度与价值观:通过本节学习,使学生掌握寻找数学规律的方法,提高学生的观察分析能力,培养学生的应用意识,提高学生的数学素质.三、重点难点教学重点:两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导.教学难点:灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.四、课时安排2课时五、教学设想(一)导入新课思路1.(复习导入)让学生回忆上节课所学的六个公式,并回忆公式的来龙去脉,然后让一个学生把公式默写在黑板上或打出幻灯.教师引导学生回顾比较各公式的结构特征,说出它们的区别和联系,以及公式的正用、逆用及变形用,以利于对公式的深刻理解.这节课我们将进一步探究两角和与差的正弦、余弦、正切公式的灵活应用.思路2,.(问题导入)教师可打出幻灯,出示一组练习题让学生先根据上节课所学的公式进行解答.1.化简下列各式(1)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ;(2);(3)2.证明下列各式(1)(2)tan(α+β)tan(α-β)(1-tan2tan2β)=tan2α-tan2β;(3)答案:1.(1)cosα;(2)0;(3)1.2.证明略.教师根据学生的解答情况进行一一点拨,并对上节课所学的六个公式进行回顾复习,由此展开新课.(二)推进新课、新知探究、提出问题①请同学们回忆这一段时间我们一起所学的和、差角公式.②请同学们回顾两角和与差公式的区别与联系,可从推导体系中思考.活动:待学生稍做回顾后,教师打出幻灯,出示和与差角公式,让学生进一步在直观上发现它们内在的区别与联系,理解公式的推导充分发挥了向量的工具作用,更要体会由特殊到一般的数学思想方法.教师引导学生观察,当α、β中有一个角为90°时,公式就变成诱导公式,所以前面所学的诱导公式其实是两角和与差公式的特例.在应用公式时,还要注意角的相对性,如α=(α+β)-β,等.让学生在整个的数学体系中学会数学知识,学会数学方法,更重要的是学会发现问题的方法,以及善于发现规律及其内在联系的良好习惯,提高数学素养.sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ〔S(α±β)〕;cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ〔C(α±β)〕;tan(α±β)=〔T(α±β)〕.讨论结果:略.(三)应用示例思路1例1利用和差角公式计算下列各式的值.(1)sin72°cos42°-cos72°sin42°;(2)cos20°cos70°-sin20°sin70°;,(3)活动:本例实际上是公式的逆用,主要用来熟悉公式,可由学生自己完成.对部分学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现(1)同公式S(α-β)的右边,(2)同公式C(α+β)右边形式一致,学生自然想到公式的逆用,从而化成特殊角的三角函数,并求得结果.再看(3)式与T(α+β)右边形式相近,但需要进行一定的变形.又因为tan45°=1,原式化为,再逆用公式T(α+β)即可解得.解:(1)由公式S(α-β)得原式=sin(72°-42°)=sin30°=.(2)由公式C(α+β)得原式=cos(20°+70°)=cos90°=0.(3)由公式T(α+β)得原式==tan(45°+15°)=tan60°=.点评:本例体现了对公式的全面理解,要求学生能够从正、反两个角度使用公式.与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更全面深刻的理解.变式训练1.化简求值:(1)cos44°sin14°-sin44°cos14°;(2)sin14°cos16°+sin76°cos74°;(3)sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)sin(36°+x).解:(1)原式=sin(14°-44°)=sin(-30°)=-sin30°=.(2)原式=sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin(14°+16°)=sin30°=.(3)原式=sin[(54°-x)+(36°+x)]=sin90°=1.2.计算解:原式==tan(45°-75°)=tan(-30°)=-tan30°=.例2已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x-θ)的定义域为R,设θ∈[0,2π],若f(x)为偶函数,求θ的值.活动:本例是一道各地常用的、基础性较强的综合性统考题,其难度较小,只需利用偶函数的定义,加上本节学到的两角和与差的三角公式展开即可,但不容易得到满分.教师可先让学生自己探究,独立完成,然后教师进行点评.,解:∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),即sin(-x+θ)+cos(-x-θ)=sin(x+θ)+cos(x-θ),即-sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ-sinxsinθ=sinxcosθ+cosxsinθ+cosxcosθ+sinxsinθ.∴sinxcosθ+sinxsinθ=0.∴sinx(sinθ+cosθ)=0对任意x都成立.∴sin(θ+)=0,即sin(θ+)=0.∴θ+=kπ(k∈Z).∴θ=kπ-(k∈Z).又θ∈[0,2π),∴θ=或θ=.点评:本例学生可能会根据偶函数的定义利用特殊值来求解.教师应提醒学生注意,如果将本例变为选择或填空,可利用特殊值快速解题,作为解答题利用特殊值是不严密的,以此训练学生逻辑思维能力.变式训练已知:<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=,求cos2β的值.解:∵<β<α<,∴0<α-β<,π<α+β<.又∵cos(α-β)=,sin(α+β)=,∴sin(α-β)=,cos(α+β)=.∴cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=×+()×=.例3求证:cosα+sinα=2sin(+α).活动:本题虽小但其意义很大,从形式上就可看出来,左边是两个函数,而右边是一个函数,教师引导学生给予足够的重视.对于此题的证明,学生首先想到的证法就是把等式右边利用公式S(α+β)展开,化简整理即可得到左边此为证法,这是很自然的,教师要给予鼓励.同时教师可以有目的的引导学生把等式左边转化为公式S(α+β)的右边的形式,然后逆用公式化简即可求得等式右边的式子,这种证明方法不仅仅是方法的变化,更重要的是把两个三角函数化为一个三角函数.证明:方法一:右边=2(sincosα+cossinα)=2(cosα+sinα)=cosα+sinα=左边.,方法二:左边=2(cosα+sinα)=2(sincosα+cossinα)=2sin(+α)=右边.点评:本题给出了两种证法,方法一是正用公式的典例,而方法二则是逆用公式证明的,此法也给了我们一种重要的转化方法,要求学生熟练掌握其精神实质.本例的方法二将左边的系数1与分别变为了与,即辅助角的正、余弦.关于形如asinx+bcosx(a,b不同时为零)的式子,引入辅助角变形为Asin(x+φ)的形式,其基本想法是“从右向左”用和角的正弦公式,把它化成Asin(x+φ)的形式.一般情况下,如果a=osφ,b=Asinφ,那么asinx+bcosx=A(sinxcosφ+cosxsinφ)=Asin(x+φ).由sin2φ+cos2φ=1,可得A2=a2+b2,A=±,不妨取A=,于是得到cosφ=,sinφ=,从而得到tanφ=,因此asinx+bcosx=sin(x+φ),通过引入辅助角φ,可以将asinx+bcosx这种形式的三角函数式化为一个角的一个三角函数的形式.化为这种形式可解决asinx+bcosx的许多问题,比如值域、最值、周期、单调区间等.教师应提醒学生注意,这种引入辅助角的变换思想很重要,即把两个三角函数化为一个三角函数,实质上是消元思想,这样就可以根据三角函数的图象与性质来研究它的性质.因此在历年高考试题中出现的频率非常高,是三角部分中高考的热点,再结合续内容的倍角公式,在解答高考物理试题时也常常被使用,应让学生领悟其实质并熟练的掌握它.变式训练化简下列各式:(1)sinx+cosx;(2)cosx-6sinx.解:(1)原式=2(sinx+cosx)=2(cossinx+sincosx)=2sin(x+).(2)原式=2(cosx-sinx)=2(sincosx-cossinx)=2sin(-x).例4(1)已知α+β=45°,求(1+tanα)(1+tanβ)的值;,(2)已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,求活动:对于(1),教师可与学生一起观察条件,分析题意可知,α+β是特殊角,可以利用两角和的正切公式得tanα,tanβ的关系式,从而发现所求式子的解题思路.在(2)中,我们欲求若利用已知条件直接求tanα,tanβ的值是有一定的困难,但细心观察公式S(α+β)、S(α-β)发现,它们都含有sinαcosβ和cosαsinβ,而化切为弦正是,由此找到解题思路.教学中尽可能的让学生自己探究解决,教师不要及早地给以提示或解答.解:(1)∵α+β=45°,∴tan(α+β)=tan45°=1.又∵tan(α+β)=∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),即tanα+tanβ=1-tanαtanβ.∴原式=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.(2)∵sin(α+β)=,sin(α-β)=,∴sinαcosβ+cosαsinβ=,①sinαcosβ-cosαcosβ=.②①+②得sinαcosβ=,①-②得cosαsinβ=,∴点评:本题都是公式的变形应用,像(1)中当出现α+β为特殊角时,就可以逆用两角和的正切公式变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),对于我们解题很有用处,而(2)中化切为弦的求法更是巧妙,应让学生熟练掌握其解法.变式训练1.求(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)…(1+tan44°)(1+tan45°)的值.解:原式=[(1+tan1°)(1+tan44°)][(1+tan2°)(1+tan43°)]…[(1+tan22°)(1+tan23°)](1+tan45°)=2×2×2×…×2=223.2.计算:tan15°+tan30°+tan15°tan30°.,解:原式=tan45°(1-tan15°tan30°)+tan15°tan30°=1.(四)作业已知一元二次方程ax2+bx+c=0(ac≠0)的两个根为tanα、tanβ,求tan(α+β)的值.解:由韦达定理得:tanα+tanβ=,tanαtanβ=,∴tan(α+β)=.(五)课堂小结1.先让学生回顾本节课的主要内容是什么?我们学习了哪些重要的解题方法?通过本节的学习,我们在运用和角与差角公式时,应注意什么?如何灵活运用公式解答有关的三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题.2.教师画龙点睛:通过本节课的学习,要熟练掌握运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决三角函数式的化简、求值、恒等证明等问题,灵活进行角的变换和公式的正用、逆用、变形用等.推导并理解公式asinx+bcosx=sin(x+φ),运用它来解决三角函数求值域、最值、周期、单调区间等问题. 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