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安徽省安庆市2022学年度第一学期期末教学质量调研监测高二文科数学试题(解析版)

资料简介

安庆市2022-2022学年度第一学期期末教学质量调研监测高二文科数学试题(解析版)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.“∀x>0,2x>sinx”的否定是(  )A.∀x>0,2x<sinxB.∀x>0,2x≤sinxC.∃x0≤0,2x0≤sinx0D.∃x0>0,2x0≤sinx0【答案】D【解析】解:因为全称命题的否定是特称命题,所以,“∀x>0,2x>sinx”的否定是∃x0>0,2x0≤sinx0,故选:D.利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可.本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,是基础题.2.已知圆的方程为x2+y2−2x+4y+2=0,则圆的半径为(  )A.3B.9C.3D.±3【答案】C【解析】解:把圆的方程x2+y2−2x+4y+2=0化为标准方程是(x−1)2+(y+2)2=3,∴圆的半径为3.故选:C.把圆的方程化为标准方程,求出圆的半径.本题考查了圆的一般方程应用问题,是基础题.3.抛物线x=4y2的焦点坐标是(  )A.(0,1)B.(0,−1)C.(−116,0)D.(116,0)【答案】D【解析】解:根据题意,抛物线的方程为x=4y2,则其标准方程为y2=14x,分析可得:其焦点在x轴上,且p=14,故其焦点坐标为(116,0);故选:D.根据题意,将抛物线的方程变形可得其标准方程,分析可得其焦点在x轴上,且p=1411/11\n,由焦点坐标公式计算可得答案.本题考查抛物线的几何性质,注意要先将抛物线的方程变形为标准方程.1.将1 000名学生的编号如下:0001,0002,0003,…,1000,若从中抽取50个学生,用系统抽样的方法从第一部分0001,0002,…,0020中抽取的号码为0015时,则抽取的第40个号码为(  )A.0795B.0780C.0810D.0815【答案】A【解析】解:样本间隔为1000÷50=20,若第一组抽到的是0015,则其它号码为15+20(n−1),则第40个号码为15+20×(40−1)=15+20×39=795,故选:A.根据系统抽样的定义进行判断即可.本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出样本间隔是解决本题的关键.2.已知圆C1:x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2:x2+y2+4x−10y+4=0相交于A、B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为(  )A.x+y−3=0B.x+y+3=0C.3x−3y+4=0D.7x+y−9=0【答案】A【解析】解:圆C1:x2+y2−2x−4y−4=0圆心坐标(1,2)与圆C2:x2+y2+4x−10y+4=0圆心坐标(−2,5),圆C1:x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2:x2+y2+4x−10y+4=0相交于A、B两点,线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程,∵直线C1C2的斜率为:k=5−2−2−1=−1,∴线段AB的垂直平分线的方程为:y−2=−(x−1),即x+y−3=0.故选:A.由题意可知所求线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程,求出两个圆的圆心坐标,由此能求解直线方程.本题考查两个圆的位置关系的应用,正确判断所求直线方程与圆的位置关系是解题的关键,是中档题.3.“m=1”是“双曲线x2m−y23=1 的离心率为2”的(  )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解:由双曲线x2m−y23=1的方程得a2=m,(m>0),b2=3,则c2=3+m,∵11/11\n双曲线的离心率e=2,∴e2=c2a2=3+mm=4,即3+m=4m,即3m=3,m=1,则“m=1”是“双曲线x2m−y23=1的离心率为2”的充要条件,故选:C.根据双曲线离心率的定义求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键.1.已知直线l过点P(3,−2)且与椭圆C:x220+y216=1相交于A,B两点,则使得点P为弦AB中点的直线斜率为(  )A.−35B.−65C.65D.35【答案】C【解析】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则则x1220+y1216=1,x2220+y2216=1,两式相减(x1−x2)(x1+x2)20+(y1−y2)(y1+y2)16=0,∵点P(3,−2)为弦AB中点,∴x1+x2=6,y1+y2=−2,∴kAB=y1−y2x1−x2=65.故选:C.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1220+y1216=1,x2220+y2216=1,两式相减,再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式,属于中档题.2.过点(2,−2)且与双曲线x22−y2=1有公共渐近线的双曲线方程是(  )A.y22−x24=1B.x24−y22=1C.y24−x22=1D.x22−y24=1【答案】A【解析】解:设所求双曲线方程为x22−y2=λ,把(2,−2)代入方程x22−y2=λ,解得λ=−2.由此可求得所求双曲线的方程为y22+−x24 =1.故选:A.设所求双曲线方程为x22−y2=λ,把(2,−2)代入方程x22−y2=λ,求出λ,可得到所求的双曲线方程.11/11\n本题考查双曲线的渐近线方程,解题时要注意公式的灵活运用.1.若在区间[−3,3]内任取一个实数m,则使直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点的概率为(  )A.13B.35C.23D.223【答案】C【解析】解:∵直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点,∴|1+2+m|2≤2,解得−1≤m≤3,∴在区间[−3,3]内任取一个实数m,使直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点的概率为−3+22−(−3)6=23.故选:C.利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点,可求出满足条件的m,最后根据几何概型的概率公式可求出所求.本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题.2.从1,2,3,4中任取两个不同的数,则取出的两数之和为5的概率是(  )A.16B.14C.13D.12【答案】C【解析】解:从1,2,3,4中任取2个不同的数,基本事件总数n=C42=6,取出的2个数之和为5包含的基本事件有:(1,4),(2,3),∴取出的2个数之和为5的概率是p=26=13.故选:C.基本事件总数n=C42=6,取出的2个数之和为5包含的基本事件有2个,由此能求出取出的2个数之和为5的概率.本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.3.把38化为二进制数为(  )A.100110(2)B.101010(2)C.110010(2)D.110100(2)【答案】A【解析】解:38÷2=19…019÷2=9…19÷2=4…111/11\n4÷2=2…02÷2=1…01÷2=0…1故38(10)=100110(2)故选:A.利用“除k取余法”是将十进制数除以2,然后将商继续除以2,直到商为0,然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案.本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化,其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键,属于基础题.1.如图,F1F2分别为椭圆x2a2+y2b2=1的左右焦点,点P在椭圆上,△POF2的面积为3的正三角形,则b2的值为(  )A.3B.23C.33D.43【答案】B【解析】解:∵△POF2的面积为3的正三角形,∴34c2=3,解得c=2.∴P(1,3)代入椭圆方程可得:1a2+3b2=1,与a2=b2+4联立解得:b2=23.故选:B.由△POF2的面积为3的正三角形,可得34c2=3,解得c.把P(1,3)代入椭圆方程可得:1a2+3b2=1,与a2=b2+4联立解得即可得出.本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)2.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练,每人练习10组,每组罚球40个,每组命中个数的茎叶图如图所示,则命中率较高的为______.11/11\n【答案】甲【解析】解:甲命中的数据主要集中在20~30之间,有6个数据,且成单峰分布;乙命中的数据主要集中在10~20之间,有5个数据,且成单峰分布;所以甲的命中率比乙高.故答案为:甲.根据茎叶图中的数据分布情况,结合题意得出命中率高的是甲.本题利用茎叶图考查了数据的分布特点与应用问题,是基础题.1.如果数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为82,则5x1+2,5x2+2,…,5xn+2的方差为______.【答案】1600【解析】解:数据x1,x2,…,xn的平均数为x,方差为s2=82,则5x1+2,5x2+2,…,5xn+2的平均数是5x+2,方差为52×s2=25×64=1600.故答案为:1600.根据一组数据的平均数和方差的定义与性质,可以写出对应数据的平均数与方差.本题考查了一组数据的平均数与方差的应用问题,是基础题.2.我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没有壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的x=0,问一开始输入的x=______斗.遇店添一倍,逢友饮一斗,意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍,碰到朋友就把壶里的酒喝一斗,店友经三处,意思是每次都是遇到店后又遇到朋友,一共是3次.【答案】78【解析】解:第一次输入x=x,i=1执行循环体,x=2x−1,i=2,执行循环体,x=2(2x−1)−1=4x−3,i=3,执行循环体,x=2(4x−3)−1=8x−7,i=4>3,输出8x−7的值为0,解得:x=78,11/11\n故答案为:78.求出对应的函数关系,由题输出的结果的值为0,由此关系建立方程求出自变量的值即可.解答本题,关键是根据所给的框图,得出函数关系,然后通过解方程求得输入的值.本题是算法框图考试常见的题型,其作题步骤是识图得出函数关系,由此函数关系解题,得出答案.1.双曲线x2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为______.【答案】2【解析】解:由双曲线x2b2−y2a2=1可得渐近线方程为y=±abx.∵两条渐近线互相垂直,∴−ab×ab=−1,解得a=b.该双曲线的离心率e=1+a2b2=2.故答案为:2.由双曲线x2b2−y2a2=1可得渐近线方程为y=±abx.由于两条渐近线互相垂直,可得−ab×ab=−1,解得a=b.即可得到该双曲线的离心率e=1+a2b2.本题考查了双曲线的标准方程及其性质,属于基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)2.求焦点在直线x−y+2=0的抛物线的标准方程.【答案】解:因为是标准方程,所以其焦点应该在坐标轴上,所以其焦点坐标即为直线x−y+2=0与坐标轴的交点所以其焦点坐标为(−2,0)和(0,2)当焦点为(−2,0)时可知其方程中的P=4,所以其方程为y2=−8x,当焦点为(0,2)时可知其方程中的P=4,所以其方程为x2=8y,焦点在直线x−y+2=0的抛物线的标准方程:y2=−8x或x2=8y.【解析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置,再由直线x−y+2=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标,根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程.本题主要考查抛物线的标准方程.抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且定点一定在原点.3.某校为了解高一实验班的数学成绩,采用抽样调查的方式,获取了n位学生在第一学期末的数学成绩数据,样本统计结果如表:11/11\n分组频数频率[90,100)20[100,110)0.10[110,120)0.30[120,130)0.20[130,140)30[140,150]0.15合计n1.00(1)求n的值和实验班数学平均分的估计值;(2)如果用分层抽样的方法从数学成绩小于120分的学生中抽取5名学生,再从这5名学生中选2人,求至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率.【答案】解:(1)由题意得:n=20+301−(0.1+0.3+0.2+0.15)=200.x=95×0.1+105×0.1+115×0.3+125×0.2+135×0.15+145×0.15=121.5.(2)设“至少有一个学生的数学成绩在[110,120)”为事件A,分层抽样从[90,100)中抽1人,记为A1,从[100,110)中抽1人,记为A2,从[110,120)中抽3人,记为B1,B2,B3,从这5人中选2人,共有10种不同选法,分别为:(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),其中,B1,B2,B3中至少有一个抽中的情况有9种,∴至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率P(A)=910.【解析】(1)由频率分布表能求出n的值和实验班数学平均分的估计值.(2)设“至少有一个学生的数学成绩在[110,120)”为事件A,分层抽样从[90,100)中抽1人,记为A1,从[100,110)中抽1人,记为A2,从[110,120)中抽3人,记为B1,B2,B3,从这5人中选2人,利用列举法能求出至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率.本题考查频率分布表的应用,考查概率的求法,考查列举法、古典概型等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.1.已知圆C的圆心为(1,1),直线x+y−4=0与圆C相切.(1)求圆C的标准方程;(2)若直线l过点(2,3),且被圆C所截得弦长为2,求直线l的方程.11/11\n【答案】解:(1)圆心C(1,1)到直线x+y−4=0的距离d=|1+1−4|2=2.∵直线x+y−4=0与圆C相切,∴r=d=2.∴圆的标准方程为:(x−1)2+(y−1)2=2.(3)①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程:y−3=k(x−2),即:kx−y+3−2k=0,d=|2−k|k2+1,又d2+1=2,∴d=1.解得:k=34.∴直线l的方程为:3x−4y+6=0.②当l的斜率不存在时,x=2,代入圆的方程可得:(y−1)2=1,解得y=1±1,可得弦长=2,满足条件.故l的方程为:3x−4y+6=0或x=2.【解析】(1)利用点到直线的距离可得:圆心C(1,1)到直线x+y−4=0的距离d.根据直线x+y−4=0与圆C相切,可得r=d.即可得出圆的标准方程.(3)①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程:y−3=k(x−2),即:kx−y+3−2k=0,可得圆心到直线l的距离d,又d2+1=2,可得:k.即可得出直线l的方程.②当l的斜率不存在时,x=2,代入圆的方程可得:(y−1)2=1,解得y可得弦长,即可验证是否满足条件.本题考查了直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.1.某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系,对近五个月的广告投入x(万元)与销售收入y(万元)进行了统计,得到相应数据如表:广告投入x(万元)91081112销售收入y(万元)2123212025(1)求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y=bx+a.(2)若想要销售收入达到36万元,则广告投入应至少为多少.参考公式:b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2,a=y−b⋅x【答案】解:(1)x=9+10+8+11+125=10,y=21+23+21+20+255=22,b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2=710,a=y−bx=22−710×10=15,∴销售收入y关于广告投入x的线性回归方程为y=710x+15;(2)在y=710x+15中,取y=36,可得36=710x+15,即x=30.∴11/11\n若想要销售收入达到36万元,则广告投入应至少为30万元.【解析】(1)由已知求得b,a的值,则线性回归方程可求;(2)在线性回归方程中,取y=36求得x值,则答案可求.本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是基础题.1.阅读如图所示的程序框图,解答下列问题:(Ⅰ)求输入的x的值分别为−1,2时,输出的f(x)的值.(Ⅱ)根据程序框图,写出函数f(x)(x∈R)的解析式,并求当关于x的方程f(x)−k=0有三个互不相等的实数解时,实数k的取值范围.【答案】解:(Ⅰ)当输入的x的值分别为−1时,输出的f(x)=2−1=12;…2分当输入的x的值分别为2时,输出的f(x)=22−2×2+1=1;…4分(Ⅱ)根据程序框图,可得f(x)=22xx=0x<0x2−2x+1x>0,…6分当x<0时,f(x)=2x,此时,f(x)单调递增,且0<f(x)<1;…8分当x=0时,f(x)=2,当x>0时,f(x)=x2−2x+1=(x−1)2在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(x)≥0…10分结合图象,可知关于x的方程f(x)−k=0由三个不同的实数解时,实数k的取值范围为(0,1)…12分【解析】(Ⅰ)代入输入的x的值分别求解即可.(Ⅱ)根据程序框图,可得f(x)=22xx=0x<0x2−2x+1x>0,分类讨论即可得解.本题主要考查了程序框图的应用,考查了分类讨论思想的应用,属于中档题.2.如图,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点A(0,−1),且离心率为22.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)经过点(1,1),且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P,Q(均异于点A),证明:直线AP与AQ斜率之和为2.11/11\n【答案】解:(Ⅰ)由题设知,ca=22,b=1,结合a2=b2+c2,解得a=2,所以x22+y2=1;(Ⅱ)证明:由题意设直线PQ的方程为y=k(x−1)+1(k≠0),代入椭圆方程x22+y2=1,可得(1+2k2)x2−4k(k−1)x+2k(k−2)=0,由已知得(1,1)在椭圆外,设P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0,则x1+x2=4k(k−1)1+2k2,x1x2=2k(k−2)1+2k2,且△=16k2(k−1)2−8k(k−2)(1+2k2)>0,解得k>0或k<−2.则有直线AP,AQ的斜率之和为kAP+kAQ=y1+1x1+y2+1x2=kx1+2−kx1+kx2+2−kx2=2k+(2−k)(1x1+1x2)=2k+(2−k)⋅x1+x2x1x2=2k+(2−k)⋅4k(k−1)2k(k−2)=2k−2(k−1)=2.即有直线AP与AQ斜率之和为2.【解析】(Ⅰ)运用离心率公式和a,b,c的关系,解方程可得a,进而得到椭圆方程;(Ⅱ)由题意设直线PQ的方程为y=k(x−1)+1(k≠0),代入椭圆方程x22+y2=1,运用韦达定理和直线的斜率公式,化简计算即可得到结论.本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理,考查直线的斜率公式,属于中档题.11/11 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