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安徽省安庆市2022-2022学年度第一学期期末教学质量调研监测高二理科数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.“∀x>0，2x>sinx”的否定是( )A.∀x>0，2x<sinxB.∀x>0，2x≤sinxC.∃x0≤0，2x0≤sinx0D.∃x0>0，2x0≤sinx0【答案】D【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，“∀x>0，2x>sinx”的否定是∃x0>0，2x0≤sinx0，故选：D．利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2.抛物线x=4y2的焦点坐标是( )A.(0,1)B.(0,−1)C.(−116,0)D.(116,0)【答案】D【解析】解：根据题意，抛物线的方程为x=4y2，则其标准方程为y2=14x，分析可得：其焦点在x轴上，且p=14，故其焦点坐标为(116,0)；故选：D．根据题意，将抛物线的方程变形可得其标准方程，分析可得其焦点在x轴上，且p=14，由焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意要先将抛物线的方程变形为标准方程．3.已知圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2：x2+y2+4x−10y+4=0相交于A、B两点，则线段AB的垂直平分线的方程为( )A.x+y−3=0B.x+y+3=0C.3x−3y+4=0D.7x+y−9=0【答案】A【解析】解：圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0圆心坐标(1,2)与圆C2：x2+y2+4x−10y+4=0圆心坐标(−2,5)，圆C1：x2+y2−2x−4y−4=0与圆C2：x2+y2+4x−10y+4=0相交于A、B两点，线段AB11/11\n的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程，∵直线C1C2的斜率为：k=5−2−2−1=−1，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y−2=−(x−1)，即x+y−3=0．故选：A．由题意可知所求线段AB的中垂线方程就是两个圆的圆心连线方程，求出两个圆的圆心坐标，由此能求解直线方程．本题考查两个圆的位置关系的应用，正确判断所求直线方程与圆的位置关系是解题的关键，是中档题．1.“m=1”是“双曲线x2m−y23=1 的离心率为2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】解：由双曲线x2m−y23=1的方程得a2=m，(m>0)，b2=3，则c2=3+m，∵双曲线的离心率e=2，∴e2=c2a2=3+mm=4，即3+m=4m，即3m=3，m=1，则“m=1”是“双曲线x2m−y23=1的离心率为2”的充要条件，故选：C．根据双曲线离心率的定义求出m的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合双曲线的离心率公式是解决本题的关键．2.将35个数据制成茎叶图如图所示.若将数据由大到小编号为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7个数据，则其中数据值落在区间[139,151]的个数为( )A.4B.5C.6D.7【答案】A【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×2035=4(人)．故选：A．11/11\n根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．本题考查了茎叶图和系统抽样的应用问题，是基础题．1.把38化为二进制数为( )A.100110(2)B.101010(2)C.110010(2)D.110100(2)【答案】A【解析】解：38÷2=19…019÷2=9…19÷2=4…14÷2=2…02÷2=1…01÷2=0…1故38(10)=100110(2)故选：A．利用“除k取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键，属于基础题．2.已知直线l：y=3x+m与圆C：x2+(y−3)2=6相交于A、B两点，若|AB|=22，则实数m的值等于( )A.−7或−1B.1或7C.−1或7D.−7或1【答案】C【解析】解：圆心(0,3)到直线l的距离是：d=|0−3+m|3+1=|m−3|2，故(m−3)24+2=6，解得：m=−1或m=7，故选：C．根据点到直线的距离公式以及勾股定理得到关于m的方程，解出即可．本题考查了直线和圆的位置关系，考查勾股定理，是一道基础题．3.从1，2，3，4中任取两个不同的数，则取出的两数之和为5的概率是( )A.16B.14C.13D.12【答案】C【解析】解：从1，2，3，4中任取2个不同的数，基本事件总数n=C42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有：(1,4)，11/11\n(2,3)，∴取出的2个数之和为5的概率是p=26=13．故选：C．基本事件总数n=C42=6，取出的2个数之和为5包含的基本事件有2个，由此能求出取出的2个数之和为5的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．1.由直线y=x+2上的点向圆(x−4)2+(y+2)2=1引切线，则切线长的最小值为( )A.42B.31C.33D.42−1【答案】B【解析】解：要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心(4,−2)到直线的距离m，由点到直线的距离公式得m=|4+2+2|2=42，由勾股定理求得切线长的最小值为32−1=31．故选：B．要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小，此最小值即为圆心(4,−2)到直线的距离m，求出m，由勾股定理可求切线长的最小值．本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式、勾股定理得应用.解题的关键是理解要使切线长最小，必须直线y=x+2上的点到圆心的距离最小．2.若在区间[−3,3]内任取一个实数m，则使直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点的概率为( )A.13B.35C.23D.223【答案】C【解析】解：∵直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点，∴|1+2+m|2≤2，解得−1≤m≤3，∴在区间[−3,3]内任取一个实数m，使直线x−y+m=0与圆(x−1)2+(y+2)2=4有公共点的概率为−3+22−(−3)6=23．故选：C．利用圆心到直线的距离小于等于半径可得到直线与圆有公共点，可求出满足条件的m，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．11/11\n1.已知直线l过点P(3,−2)且与椭圆C：x220+y216=1相交于A，B两点，则使得点P为弦AB中点的直线斜率为( )A.−35B.−65C.65D.35【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则则x1220+y1216=1，x2220+y2216=1，两式相减(x1−x2)(x1+x2)20+(y1−y2)(y1+y2)16=0，∵点P(3,−2)为弦AB中点，∴x1+x2=6，y1+y2=−2，∴kAB=y1−y2x1−x2=65．故选：C．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1220+y1216=1，x2220+y2216=1，两式相减，再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，属于中档题．2.已知双曲线C：x22−y2=1上任意一点为G，则G到双曲线C的两条渐近线距离之积为( )A.13B.23C.1D.43【答案】B【解析】解：设G(x0,y0)，双曲线C：x22−y2=1的两条渐近线方程分别为x−2y=0,x+2y=0，所以G到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1=|x0−2y0|3，d2=|x0+2y0|3，所以d1⋅d2=|x0−2y0|3⋅|x0+2y0|3=|x02−2y02|3又因为点G在双曲线C：x22−y2=1上，所以x022−y02=1，即x02−2y02=2，代入上式，可得d1⋅d2=|x02−2y02|3=23．故选：B．求出渐近线方程，利用点到直线的距离转化求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）3.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为______．11/11\n【答案】甲【解析】解：甲命中的数据主要集中在20～30之间，有6个数据，且成单峰分布；乙命中的数据主要集中在10～20之间，有5个数据，且成单峰分布；所以甲的命中率比乙高．故答案为：甲．根据茎叶图中的数据分布情况，结合题意得出命中率高的是甲．本题利用茎叶图考查了数据的分布特点与应用问题，是基础题．1.如果数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为82，则5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的方差为______．【答案】1600【解析】解：数据x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为s2=82，则5x1+2，5x2+2，…，5xn+2的平均数是5x+2，方差为52×s2=25×64=1600．故答案为：1600．根据一组数据的平均数和方差的定义与性质，可以写出对应数据的平均数与方差．本题考查了一组数据的平均数与方差的应用问题，是基础题．2.我国元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没有壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的x=0，问一开始输入的x=______斗.遇店添一倍，逢友饮一斗，意思是碰到酒店就把壶里的酒加1倍，碰到朋友就把壶里的酒喝一斗，店友经三处，意思是每次都是遇到店后又遇到朋友，一共是3次．【答案】78【解析】解：第一次输入x=x，i=1执行循环体，x=2x−1，i=2，执行循环体，x=2(2x−1)−1=4x−3，i=3，执行循环体，x=2(4x−3)−1=8x−7，i=4>3，输出8x−7的值为0，解得：x=78，11/11\n故答案为：78．求出对应的函数关系，由题输出的结果的值为0，由此关系建立方程求出自变量的值即可．解答本题，关键是根据所给的框图，得出函数关系，然后通过解方程求得输入的值.本题是算法框图考试常见的题型，其作题步骤是识图得出函数关系，由此函数关系解题，得出答案．1.双曲线x2b2−y2a2=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】解：由双曲线x2b2−y2a2=1可得渐近线方程为y=±abx．∵两条渐近线互相垂直，∴−ab×ab=−1，解得a=b．该双曲线的离心率e=1+a2b2=2．故答案为：2．由双曲线x2b2−y2a2=1可得渐近线方程为y=±abx.由于两条渐近线互相垂直，可得−ab×ab=−1，解得a=b.即可得到该双曲线的离心率e=1+a2b2．本题考查了双曲线的标准方程及其性质，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）2.求焦点在直线x−y+2=0的抛物线的标准方程．【答案】解：因为是标准方程，所以其焦点应该在坐标轴上，所以其焦点坐标即为直线x−y+2=0与坐标轴的交点所以其焦点坐标为(−2,0)和(0,2)当焦点为(−2,0)时可知其方程中的P=4，所以其方程为y2=−8x，当焦点为(0,2)时可知其方程中的P=4，所以其方程为x2=8y，焦点在直线x−y+2=0的抛物线的标准方程：y2=−8x或x2=8y．【解析】先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，再由直线x−y+2=0与坐标轴的交点可得到焦点坐标，根据抛物线的焦点坐标和抛物线的标准形式可得到标准方程．本题主要考查抛物线的标准方程.抛物线的标准方程的焦点一定在坐标轴上且定点一定在原点．3.某校为了解高一实验班的数学成绩，采用抽样调查的方式，获取了n位学生在第一学期末的数学成绩数据，样本统计结果如表：11/11\n分组频数频率[90,100)20[100,110)0.10[110,120)0.30[120,130)0.20[130,140)30[140,150]0.15合计n1.00(1)求n的值和实验班数学平均分的估计值；(2)如果用分层抽样的方法从数学成绩小于120分的学生中抽取5名学生，再从这5名学生中选2人，求至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率．【答案】解：(1)由题意得：n=20+301−(0.1+0.3+0.2+0.15)=200．x=95×0.1+105×0.1+115×0.3+125×0.2+135×0.15+145×0.15=121.5．(2)设“至少有一个学生的数学成绩在[110,120)”为事件A，分层抽样从[90,100)中抽1人，记为A1，从[100,110)中抽1人，记为A2，从[110,120)中抽3人，记为B1，B2，B3，从这5人中选2人，共有10种不同选法，分别为：(A1,A2)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)，其中，B1，B2，B3中至少有一个抽中的情况有9种，∴至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率P(A)=910．【解析】(1)由频率分布表能求出n的值和实验班数学平均分的估计值．(2)设“至少有一个学生的数学成绩在[110,120)”为事件A，分层抽样从[90,100)中抽1人，记为A1，从[100,110)中抽1人，记为A2，从[110,120)中抽3人，记为B1，B2，B3，从这5人中选2人，利用列举法能求出至少有一个学生的数学成绩是在[110,120)的概率．本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．1.已知圆C的圆心为(1,1)，直线x+y−4=0与圆C相切．(1)求圆C的标准方程；(2)若直线l过点(2,3)，且被圆C所截得弦长为2，求直线l的方程．11/11\n【答案】解：(1)圆心C(1,1)到直线x+y−4=0的距离d=|1+1−4|2=2．∵直线x+y−4=0与圆C相切，∴r=d=2．∴圆的标准方程为：(x−1)2+(y−1)2=2．(3)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y−3=k(x−2)，即：kx−y+3−2k=0，d=|2−k|k2+1，又d2+1=2，∴d=1．解得：k=34．∴直线l的方程为：3x−4y+6=0．②当l的斜率不存在时，x=2，代入圆的方程可得：(y−1)2=1，解得y=1±1，可得弦长=2，满足条件．故l的方程为：3x−4y+6=0或x=2．【解析】(1)利用点到直线的距离可得：圆心C(1,1)到直线x+y−4=0的距离d.根据直线x+y−4=0与圆C相切，可得r=d.即可得出圆的标准方程．(3)①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程：y−3=k(x−2)，即：kx−y+3−2k=0，可得圆心到直线l的距离d，又d2+1=2，可得：k.即可得出直线l的方程．②当l的斜率不存在时，x=2，代入圆的方程可得：(y−1)2=1，解得y可得弦长，即可验证是否满足条件．本题考查了直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．1.某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系，对近五个月的广告投入x(万元)与销售收入y(万元)进行了统计，得到相应数据如表：广告投入x(万元)91081112销售收入y(万元)2123212025(1)求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y=bx+a．(2)若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为多少．参考公式：b=i=1n(xi−x)(yi−y)i=1n(xi−x)2,a=y−b⋅x【答案】解：(1)x=9+10+8+11+125=10，y=21+23+21+20+255=22，b=i=15(xi−x)(yi−y)i=15(xi−x)2=710，a=y−bx=22−710×10=15，∴销售收入y关于广告投入x的线性回归方程为y=710x+15；(2)在y=710x+15中，取y=36，可得36=710x+15，即x=30．∴11/11\n若想要销售收入达到36万元，则广告投入应至少为30万元．【解析】(1)由已知求得b,a的值，则线性回归方程可求；(2)在线性回归方程中，取y=36求得x值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．1.阅读如图所示的程序框图，解答下列问题：(Ⅰ)求输入的x的值分别为−1，2时，输出的f(x)的值．(Ⅱ)根据程序框图，写出函数f(x)(x∈R)的解析式，并求当关于x的方程f(x)−k=0有三个互不相等的实数解时，实数k的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当输入的x的值分别为−1时，输出的f(x)=2−1=12；…2分当输入的x的值分别为2时，输出的f(x)=22−2×2+1=1；…4分(Ⅱ)根据程序框图，可得f(x)=22xx=0x<0x2−2x+1x>0，…6分当x<0时，f(x)=2x，此时，f(x)单调递增，且0<f(x)<1；…8分当x=0时，f(x)=2，当x>0时，f(x)=x2−2x+1=(x−1)2在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且f(x)≥0…10分结合图象，可知关于x的方程f(x)−k=0由三个不同的实数解时，实数k的取值范围为(0,1)…12分【解析】(Ⅰ)代入输入的x的值分别求解即可．(Ⅱ)根据程序框图，可得f(x)=22xx=0x<0x2−2x+1x>0，分类讨论即可得解．本题主要考查了程序框图的应用，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题．2.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且椭圆经过点(1,32)．(1)求椭圆C的方程；(2)设P是圆x2+y2=7上任一点，由P引椭圆两条切线PA，PB当切线斜率存在时，求证两条切线斜率的积为定值．11/11\n【答案】解：(1)椭圆离心率为12，且经过点(1,32)，可得ca=121a2+94b2=1，解得a=2，b=3，即椭圆C的方程为：x24+y23=1证明.(2)设P(x0,y0)，过点P的切线方程为y−y0=k(x−x0)，代入椭圆方程，可得(3+4k2)x2+8k(y0−kx0)x+4(kx0−y0)2−12=0，∵直线与椭圆相切，∴△=[8k(y0−kx0)]2−4(3+4k2)[4(kx0−y0)2−12]=0，∴(4−x02)k2+6x0y0k+3−y02=0∴k1k2=3−y024−x02，∵点P在圆O上，∴x02+y02=7，即y02=7−x02，∴k1×k2=3−(7−x02)4−x02=−1．∴两条切线斜率的积为定值−1．【解析】(1)利用椭圆离心率为12，且经过点(1,32)，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；(2)设P(x0,y0)，过点P的切线方程为y−y0=k(x−x0)，代入椭圆方程，直线与椭圆相切，利用△=0，结合韦达定理，即可得出结论．本题考查椭圆方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．11/11
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