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山东省临沂四中2022届高三数学上学期10月月考试卷理含解析

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2022-2022学年山东省临沂四中高三(上)10月月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=的定义域为M,值域为N,则MU(CRN)=()A.x|x≥1}B.{x|x≤1}C.ΦD.{x|﹣1≤x<x}2.下列函数中,在其定义域内为偶函数且有最小值的是()A.f(x)=2xB.f(x)=2|x|+x2C.f(x)=+x3D.f(x)=ex﹣e﹣x3.下列有关命题的说法正确的是()A.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题B.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0”C.命题“∃x∈R,使得2x2﹣1<0”的否定是“∀x∈R,均有2x2﹣1<0”D.命题“若cosx=cosy,则x=y”的逆否命题为真命题4.函数f(x)=cosx,x∈[0,2π]与直线y=1所围区域的面积为()A.B.C.πD.2π5.设a=(),b=(),c=logπ(),则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则等于()A.﹣16B.﹣8C.8D.167.已知条件p:x2﹣2ax+a2﹣1>0,条件q:x>2,且q是p的充分而不必要条件,则a的取值范围是()A.a≥1B.a≤1C.a≥﹣3D.a≤﹣38.将函数f(x)=2sin(+)的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为()A.g(x)=2sin(+)﹣1B.g(x)=2sin(﹣)+1C.g(x)=2sin(﹣)+1D.g(x)=2sin(﹣)﹣19.有下列命题:-18-\n①在函数的图象中,相邻两个对称中心的距离为π;②函数y=的图象关于点(﹣1,1)对称;③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件;④已知命题p:对任意的x∈R,都有sinx≤1,则¬p是:存在x∈R,使得sinx>1;⑤在△ABC中,若3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则角C等于30°或150°.其中所有真命题的个数是()A.1B.2C.3D.410.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,则关于函数f(x)有如下四个命题:①f(f(x))=1;②函数f(x)是偶函数;③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意的x=R恒成立;④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.将答案填在题中横线上.11.设sin(+θ)=,则sin2θ=__________.12.若f(x)=1+lgx,g(x)=x2,那么使2f[g(x)]=g[f(x)]的x的值是__________.13.函数f(x)=x2﹣4xsin+1(x∈R)的零点的个数为__________.14.已知ex+ax﹣a>0恒成立,则实数a的取值范围为__________.15.二次函数y=kx2(x>0)的图象在点(an,an2)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,n为正整数,a1=,若数列{an}的前n项和为Sn,则S5=__________.三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知函数(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.17.已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=acosC.-18-\n(Ⅰ)求角C;(Ⅱ)若c=,且sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ABC的面积.18.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足an+12=2Sn+n+4,a2﹣1,a3,a7恰为等比数列{bn}的前3项.(I)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)若,求数列{cn}的前n项和Tn.19.请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.20.(13分)已知a>0,函数f(x)=ln(2﹣x)+ax.(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)求函数f(x)在[0,1]上的最小值.21.(14分)已知函数f(x)=x2﹣ax(a≠0),g(x)=lnx,f(x)图象与x轴异于原点的交点为M,f(x)在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行.(Ⅰ)求函数T(x)=xf(x)的单调区间;(Ⅱ)已知实数t∈R,求函数y=f[xg(x)+t],x∈[1,e]的最小值;(Ⅲ)令F(x)=g(x)+g′(x),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,对于两个大于1的正数α,β,存在实数m满足:α=mx1+(1+m)x2,β=(1﹣m)x1+mx2,并且使得不等式|F(α)﹣F(β)|<|F(x1)﹣F(x2)|恒成立,求实数m的取值范围.-18-\n2022-2022学年山东省临沂四中高三(上)10月月考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数f(x)=的定义域为M,值域为N,则MU(CRN)=()A.x|x≥1}B.{x|x≤1}C.ΦD.{x|﹣1≤x<x}【考点】交、并、补集的混合运算.【专题】集合.【分析】求出函数的定义域和值域,结合集合的基本运算进行求解即可.【解答】解:由1﹣log2(x+1)≥0得log2(x+1)≤1,即0<x+1≤2,解得﹣1<x≤1,即M=(﹣1,1],∵1﹣log2(x+1)≥0,∴f(x)=≥0,即N=[0,+∞),则CRN=(﹣∞,0),则MU(CRN)=(﹣∞,1],故选:B【点评】本题主要考查集合的基本运算,根据条件求出函数的定义域和值域是解决本题的关键.2.下列函数中,在其定义域内为偶函数且有最小值的是()A.f(x)=2xB.f(x)=2|x|+x2C.f(x)=+x3D.f(x)=ex﹣e﹣x【考点】函数奇偶性的判断;函数的最值及其几何意义.【专题】函数的性质及应用.【分析】根据函数的奇偶性的定义分别判断各个选项即可.【解答】解:对于A:函数f(x)=2x是非奇非偶函数,不合题意,对于B:f(x)=2|x|+x2,有f(﹣x)=f(x),是偶函数,且f(x)≥f(0),符合题意;对于C:f(x)是非奇非偶函数,不合题意;对于D:f(﹣x)=e﹣x﹣ex=﹣(ex﹣e﹣x)是奇函数,不合题意;故选:B.【点评】本题考查了函数的奇偶性问题,考查函数的最值问题,是一道基础题.3.下列有关命题的说法正确的是()A.“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为真命题B.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy=0,则x≠0”C.命题“∃x∈R,使得2x2﹣1<0”的否定是“∀x∈R,均有2x2﹣1<0”D.命题“若cosx=cosy,则x=y”的逆否命题为真命题【考点】四种命题.【专题】应用题;对应思想;分析法;简易逻辑.-18-\n【分析】根据四种命题的定义判断一个命题的逆命题、否命题、逆否命题表达格式的正误.判断一个命题的真假时,若命题简单可直接判断;否则,利用其逆否命题进行真假判断.【解答】解:“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题为“若x,y互为相反数,则x+y=0”显然正确.所以A正确.命题“若xy=0,则x=0”的否命题为“若xy≠0,则x≠0”,所以B错;命题“∃x∈R,使得2x2﹣1<0”的否定是“∀x∈R,均有2x2﹣1≥0”,所以C错;命题“若cosx=cosy,则x=y”为假命题,故其逆否命题也假,故D错;故选:A.【点评】本题考查命题真假的判断,四种命题的关系,基本知识的考查.4.函数f(x)=cosx,x∈[0,2π]与直线y=1所围区域的面积为()A.B.C.πD.2π【考点】定积分.【专题】导数的概念及应用.【分析】根据定积分的几何意义,即可求出面积.【解答】解:根据定积分的几何意义,函数f(x)=cosx,x∈[0,2π]与直线y=1所围区域的面积S=(1﹣cosx)dx=(x﹣sinx)|=2π,故选:D.【点评】本小题主要考查定积分应用、三角函数的图象等基础知识,考查考查数形结合思想,属于基础题.5.设a=(),b=(),c=logπ(),则()A.c<a<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<a<c【考点】指数函数的图像与性质.【专题】函数的性质及应用.【分析】结合函数y=的单调性,函数y=的单调性,函数y=logπx的单调性,可得c<b<a.【解答】解:∵函数y=在(0,+∞)上为增函数,且,故()>(),即a>b,又∵函数y=为减函数,,∴(),又∵函数y=logπx为增函数,∴logπ()=logπe<logππ=,故b>c,-18-\n综上所述,c<b<a,故选:B【点评】本题考查的知识是指数函数的单调性,对数函数的单调性,幂函数的单调性,是函数单调性的综合应用,难度中档.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则等于()A.﹣16B.﹣8C.8D.16【考点】平面向量数量积的运算;向量的加法及其几何意义.【专题】计算题.【分析】本题是一个求向量的数量积的问题,解题的主要依据是直角三角形中的垂直关系和一条边的长度,解题过程中有一个技巧性很强的地方,就是把变化为两个向量的和,再进行数量积的运算.【解答】解:∵∠C=90°,∴=0,∴=()==42=16故选D.【点评】启发学生在理解数量积的运算特点的基础上,逐步把握数量积的运算律,引导学生注意数量积性质的相关问题的特点,以熟练地应用数量积的性质.7.已知条件p:x2﹣2ax+a2﹣1>0,条件q:x>2,且q是p的充分而不必要条件,则a的取值范围是()A.a≥1B.a≤1C.a≥﹣3D.a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.【专题】简易逻辑.【分析】把充分性问题转化为结合关系,再利用不等式求解.【解答】解:∵条件p:x2﹣2ax+a2﹣1>0,条件q:x>2,且q是p的充分而不必要条件,∴q⊊p,即a≤2且4﹣4a+a2﹣1≥0解不等式组可得:a≤1故选:B【点评】本题考察了函数、不等式、简易逻辑等问题,综合性较大.8.将函数f(x)=2sin(+)的图象向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为()A.g(x)=2sin(+)﹣1B.g(x)=2sin(﹣)+1C.g(x)=2sin(﹣)+1D.g(x)=2sin(﹣)﹣1【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】三角函数的图像与性质.-18-\n【分析】根据平移变换的法则﹣﹣“左加右减,上加下减”,我们先求出将函数y=2sin(+)的图象先向左平移个单位的图象对应的函数的解析式,再求出再向下平移1个单位后得到图象的解析式即可得到答案.【解答】解:函数y=2sin(+)的图象先向左平移个单位,可以得到函数y=2sin[(x+)+]=2sin(+)的图象再向下平移1个单位后可以得到y=2sin(+)﹣1的图象故选:A.【点评】本题考查的知识点是函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换,其中熟练掌握函数图象的平移变换的法则﹣﹣“左加右减,上加下减”,是解答此类问题的关键.9.有下列命题:①在函数的图象中,相邻两个对称中心的距离为π;②函数y=的图象关于点(﹣1,1)对称;③“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的必要不充分条件;④已知命题p:对任意的x∈R,都有sinx≤1,则¬p是:存在x∈R,使得sinx>1;⑤在△ABC中,若3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则角C等于30°或150°.其中所有真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【考点】命题的真假判断与应用.【专题】简易逻辑.【分析】①,利用两角和与差的余弦公式及二倍角公式可将化为y=cos2x,再利用余弦函数的性质可判断①;②,由函数y==1+的图象关于点(1,1)对称,可判断②;③,利用“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件,可判断“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分又不必要条件,可判断③;④,利用全称命题与特称命题之间的关系可判断④;⑤,在△ABC中,由3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1可得到角C等于30°或150°,分类讨论后可判断⑤.【解答】解:对于①,在函数=(cosx+sinx)(cosx﹣sinx)=cos2x的图象中,其周期T=π,相邻两个对称中心的距离为=,故①错误;-18-\n对于②,函数y==1+的图象关于点(1,1)对称,故②错误;对于③,因为“a+b=0”是“a=5或b=5”既不充分又不必要条件,所以,其逆否命题“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既不充分也不必要条件,故③错误;对于④,已知命题p:对任意的x∈R,都有sinx≤1,则¬p是:存在x∈R,使得sinx>1,故④正确;对于⑤,在△ABC中,若3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则(3sinA+4cosB)2+(4sinB+3cosA)2=62+12=37,整理可得sin(A+B)=,所以C=30°或150°.当C=150°时,A+B=30°,3sinA+4cosB<×3+4<6,与已知矛盾,故C≠150°,故⑤错误.综上所述,正确命题为④.故选:A.【点评】本题考查命题的真假判断与应用,综合考查两角和与差的余弦公式及余弦函数的性质,考查充分必要条件、全称命题与特称命题的应用与解三角形,考查转化思想.10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数f(x)=被称为狄利克雷函数,其中R为实数集,Q为有理数集,则关于函数f(x)有如下四个命题:①f(f(x))=1;②函数f(x)是偶函数;③任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对任意的x=R恒成立;④存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.其中真命题的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个【考点】分段函数的应用.【专题】函数的性质及应用;推理和证明.【分析】①根据函数的对应法则,可得不管x是有理数还是无理数,均有f(f(x))=1;②根据函数奇偶性的定义,可得f(x)是偶函数;③根据函数的表达式,结合有理数和无理数的性质;④取x1=﹣,x2=0,x3=,可得A(,0),B(0,1),C(﹣,0),三点恰好构成等边三角形.【解答】解:①∵当x为有理数时,f(x)=1;当x为无理数时,f(x)=0∴当x为有理数时,f(f(x))=f(1)=1;当x为无理数时,f(f(x))=f(0)=1即不管x是有理数还是无理数,均有f(f(x))=1,故①正确;②∵有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,∴对任意x∈R,都有f(﹣x)=﹣f(x),故②正确;③若x是有理数,则x+T也是有理数;若x是无理数,则x+T也是无理数∴根据函数的表达式,任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立,故③正确;④取x1=﹣,x2=0,x3=,可得f(x1)=0,f(x2)=1,f(x3)=0-18-\n∴A(,0),B(0,1),C(﹣,0),恰好△ABC为等边三角形,故④正确.故选:D.【点评】本题给出特殊函数表达式,求函数的值并讨论它的奇偶性,着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识,属于中档题.二、填空题:本大题共5个小题,每小题5分,共25分.将答案填在题中横线上.11.设sin(+θ)=,则sin2θ=﹣.【考点】二倍角的正弦;两角和与差的正弦函数.【专题】计算题.【分析】利用两角和的正弦公式可得+=,平方可得+sin2θ=,由此解得sin2θ的值.【解答】解:∵sin(+θ)=,即+=,平方可得+sin2θ=,解得sin2θ=﹣,故答案为﹣.【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的正弦的应用,属于基础题.12.若f(x)=1+lgx,g(x)=x2,那么使2f[g(x)]=g[f(x)]的x的值是.【考点】函数的零点;函数的值.【专题】计算题;函数思想;方程思想;函数的性质及应用.【分析】利用函数的解析式,列出方程,求解即可.【解答】解:∵2f[g(x)]=g[f(x)],∴2(1+lgx2)=(1+lgx)2,∴(lgx)2﹣2lgx﹣1=0,∴lgx=1±,x=.故答案为:.【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系,对数运算法则的应用,考查计算能力.13.函数f(x)=x2﹣4xsin+1(x∈R)的零点的个数为4.【考点】函数零点的判定定理.【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用.【分析】显然0不是函数f(x)=x2﹣4xsin+1的零点,故化为函数y=4sin与y=x+的图象的交点的个数;作函数图象求解即可.【解答】解:显然0不是函数f(x)=x2﹣4xsin+1的零点,-18-\n故f(x)=x2﹣4xsin+1=0可化为4sin==x+;故可化为函数y=4sin与y=x+的图象的交点的个数;作函数y=4sin与y=x+的图象如下,由图象可知,有4个交点;故答案为:4.【点评】本题考查了函数的零点与方程的根及函数的图象的交点的关系应用,同时考查了学生作图与用图的能力,属于基础题.14.已知ex+ax﹣a>0恒成立,则实数a的取值范围为(﹣e2,0].【考点】函数恒成立问题.【专题】函数的性质及应用;不等式的解法及应用.【分析】由题意可得ex>﹣a(x﹣1),当x=1,x>1,x<1时,运用参数分离和导数,求得单调性,解不等式即可得到所求范围.【解答】解:ex+ax﹣a>0恒成立,即为ex>﹣a(x﹣1),当x=1时,e>0成立;当x>1时,﹣a<的最小值,由f(x)=的导数为f′(x)=,-18-\n当x=2时,f(x)取得最小值e2,即有﹣a<e2,解得a>﹣e2;当x<1时,﹣a>,由f(x)=的导数为f′(x)=<0,f(x)递减,即有f(x)<0,即有﹣a≥0,解得a≤0.则a的范围是(﹣e2,0].【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用参数分离和换元法,运用导数判断单调性求得最值,考查运算能力,属于中档题.15.二次函数y=kx2(x>0)的图象在点(an,an2)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,n为正整数,a1=,若数列{an}的前n项和为Sn,则S5=.【考点】数列的求和;二次函数的性质.【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列.【分析】由已知求出k=1,函数y=x2(x>0)的导数为y′=2x,由此利用导数的几何意义求出y=kx2在点(an,an2)处的切线方程,从而得到数列{an}是等比数列,公比q为,由此能求出S5.【解答】解:∵二次函数y=kx2(x>0)的图象在点(an,an2)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,n为正整数,∴,解得k=1,∴函数y=x2(x>0)的导数为y′=2x,则在点(an,an2)处的切线方程为:y﹣an2=2an(x﹣an),当y=0时,解得x=,∴an+1=an,即数列{an}是等比数列,公比q为,∵a1=,∴S5==.故答案为:.【点评】本题考查数列的前5项和的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意导数的几何意义和等比数列性质的合理运用.三、解答题(本大题共6小题,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知函数-18-\n(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间;(Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.【专题】三角函数的图像与性质.【分析】(Ⅰ)由三角函数化简可得f(x)=2sin(2x+)+3,由周期公式可得,解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间;(Ⅱ)由x∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin(2x+)+3∈[2,5],可得最值.【解答】解:(Ⅰ)化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin(2x+)+3,∴函数f(x)的最小正周期T==π,由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+,kπ+](k∈Z);(Ⅱ)∵x∈,∴2x+∈[,],∴sin(2x+)∈[,1],∴2sin(2x+)∈[﹣1,2],∴2sin(2x+)+3∈[2,5],∴函数的最大值和最小值分别为5,2.【点评】本题考查三角函数恒等变换,涉及三角函数的周期性和单调性及最值,属中档题.17.已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=acosC.(Ⅰ)求角C;(Ⅱ)若c=,且sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,求△ABC的面积.【考点】余弦定理;正弦定理.【专题】解三角形.【分析】(I)由,利用正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC,于是,即可得出;(II)由sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),可得sinB=5sinA,由正弦定理可知b=5a,由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,联立解出,再利用三角形面积计算公式即可得出.-18-\n【解答】解:(I)∵,由正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC,sinA≠0,∴,得,∵C∈(0,π),∴.(II)∵sinC+sin(B﹣A)=5sin2A,sinC=sin(A+B),∴sin(A+B)+sin(B﹣A)=5sin2A,∴2sinBcosA=2×5sinAcosA,∵△ABC为斜三角形,∴cosA≠0,∴sinB=5sinA,由正弦定理可知b=5a(1)由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC,∴,(2)由(1)(2)解得a=5,b=1,∴.【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.18.已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,满足an+12=2Sn+n+4,a2﹣1,a3,a7恰为等比数列{bn}的前3项.(I)求数列{an},{bn}的通项公式;(Ⅱ)若,求数列{cn}的前n项和Tn.【考点】数列的求和;数列递推式.【专题】等差数列与等比数列.【分析】(I)由an+12=2Sn+n+4,当n≥2时,=2Sn﹣1+n+3,两式相减可得:=2an+1,由于数列{an}是各项均为正数的数列,可得an+1﹣an=1,a2﹣a1=1.又+5,联立解得a1.利用等差数列的通项公式可得an.再利用等比数列的通项公式即可得出.(II)=(﹣1)n•n﹣.利用“裂项求和”可得数列的前n项和.对n分类讨论即可得出.-18-\n【解答】解:(I)∵an+12=2Sn+n+4,∴当n≥2时,=2Sn﹣1+n+3,两式相减可得:=2an+1,∴=,∵数列{an}是各项均为正数的数列,∴an+1=an+1,即an+1﹣an=1,∴a2﹣a1=1.又+5,联立解得a1=2.∴数列{an}是等差数列,首项为2,公差为1.∴an=2+(n﹣1)=n+1.∴a2﹣1=2,a3=4,a7=8,∴等比数列{bn}的公比q==2,首项为2.∴bn=2n.(II)=(﹣1)n•n﹣.数列的前n项和=+…+=.当n=2k(k∈N*)时,Tn=T2k=(﹣1+2)+(﹣3+4)+…+[﹣(2k﹣1)+2k]﹣=k﹣+=+.当n=2k﹣1(k∈N*)时,Tn=Tn+1﹣=+﹣=+﹣(n+1).∴Tn=.【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.19.请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上,是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x(cm).(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?-18-\n(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.【考点】函数模型的选择与应用.【专题】函数的性质及应用.【分析】(1)可设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),写出a,h与x的关系式,并注明x的取值范围.再利用侧面积公式表示出包装盒侧面积S关于x的函数解析式,最后求出何时它取得最大值即可;(2)利用体积公式表示出包装盒容积V关于x的函数解析式,最后利用导数知识求出何时它取得的最大值即可.【解答】解:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30﹣x),0<x<30.(1)S=4ah=8x(30﹣x)=﹣8(x﹣15)2+1800,∴当x=15时,S取最大值.(2)V=a2h=2(﹣x3+30x2),V′=6x,由V′=0得x=20,当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈时,V′<0;∴当x=20时,包装盒容积V(cm3)最大,此时,.即此时包装盒的高与底面边长的比值是.【点评】考查函数模型的选择与应用,考查函数、导数等基础知识,考查运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力.属于基础题.20.(13分)已知a>0,函数f(x)=ln(2﹣x)+ax.(Ⅰ)设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,求a的值;(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;(Ⅲ)求函数f(x)在[0,1]上的最小值.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.【专题】方程思想;分类法;导数的概念及应用;导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得a=1;(Ⅱ)求出函数的导数,由a>0,由导数大于0求得增区间,导数小于0,可得减区间;(Ⅲ)对a讨论,当2﹣≤0,当0<2﹣<1,判断函数的单调性,即可得到最小值.【解答】解:(Ⅰ)依题意有x<2,f(x)的导数为f′(x)=a+,-18-\n在点(1,f(1))处的切线斜率为a﹣1,由已知可得,a﹣1=0,即a=1;(Ⅱ)f′(x)=a+=a[x﹣(2﹣)]•,当a>0时,2﹣<2,令f′(x)>0,解得x<2﹣,令f′(x)<0,解得2﹣<x<2,所以f(x)的增区间为(﹣∞,2﹣),减区间是(2﹣,2);(Ⅲ)当2﹣≤0,即0<a≤时,f(x)在[0,1]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(1)=a;当0<2﹣<1即<a<1时,f(x)在(0,2﹣)上是增函数,在(2﹣,1)是减函数,所以需要比较f(0)=ln2和f(1)=a两个值的大小,因为<<2<e,所以<ln<ln2<lne=1,∴当<a<ln2时最小值为a,当ln2≤a<1时,最小值为ln2,当2﹣≥1,即a≥1时,f(x)在[0,1]上是增函数,所以最小值为ln2.综上,当0<a<ln2时,f(x)为最小值为a;当a≥ln2时,f(x)的最小值为ln2.【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间,考查函数的最值的求法,注意运用函数的单调性和分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档题.21.(14分)已知函数f(x)=x2﹣ax(a≠0),g(x)=lnx,f(x)图象与x轴异于原点的交点为M,f(x)在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行.(Ⅰ)求函数T(x)=xf(x)的单调区间;(Ⅱ)已知实数t∈R,求函数y=f[xg(x)+t],x∈[1,e]的最小值;(Ⅲ)令F(x)=g(x)+g′(x),给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,对于两个大于1的正数α,β,存在实数m满足:α=mx1+(1+m)x2,β=(1﹣m)x1+mx2,并且使得不等式|F(α)﹣F(β)|<|F(x1)﹣F(x2)|恒成立,求实数m的取值范围.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性.【专题】分类讨论;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】(1)利用导数的几何意义,求函数f(x)在与x轴的交点处的切线斜率,由两直线平行的条件即可得a值,求出T(x)的导数,令导数大于0,可得增区间,令导数小于0,可得减区间;(2)令u=xlnx,再研究二次函数u2+(2t﹣1)u+t2﹣t图象是对称轴u=,开口向上的抛物线,结合其性质求出最值;-18-\n(3)先由题意得到F(x)=g(x)+g′(x)=lnx+,再利用导数工具研究所以F(x)在区间(1,+∞)上单调递增,得到当x≥1时,F(x)≥F(1)>0,下面对m进行分类讨论:①当m∈(0,1)时,②当m≤0时,③当m≥1时,结合不等式的性质即可求出m的取值范围.【解答】解:(1)y=f(x)图象与x轴异于原点的交点M(a,0),f′(x)=2x﹣a,f(x)在M处的切线斜率为k=2a﹣a=a,由f(x)在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行,则a=1,∴f(x)=x2﹣x,T(x)=xf(x)=x3﹣x2,T′(x)=3x2﹣2x,T′(x)>0,可得x>或x<0,T′(x)<0,可得0<x<,则有T(x)的增区间为(﹣∞,0),(,+∞),减区间为(0,);(2)y=f[xg(x)+t]=[xlnx+t]2﹣(xlnx+t)=(xlnx)2+(2t﹣1)(xlnx)+t2﹣t,令u=xlnx,在x∈[1,e]时,u′=lnx+1>0,∴u=xlnx在[1,e]单调递增,0≤u≤eu2+(2t﹣1)u+t2﹣t图象的对称轴u=,抛物线开口向上,①当u=≤0即t≥时,y最小,且为t2﹣t;②当u=≥e即t≤时,y最小,且为e2+(2t﹣1)e+t2﹣t;③当0<<e即<t<时,y最小且为y|=﹣.(3)F(x)=g(x)+g′(x)=lnx+,F′(x)=,所以F(x)在区间(1,+∞)上单调递增,∴当x≥1时,F(x)≥F(1)>0,①当m∈(0,1)时,有α=mx1+(1﹣m)x2>mx1+(1﹣m)x1=x1,α=mx1+(1﹣m)x2<mx2+(1﹣m)x2=x2,得α∈(x1,x2),同理β∈(x1,x2),∴由f(x)的单调性知0<F(x1)<F(α)、f(β)<f(x2)从而有|F(α)﹣F(β)|<|F(x1)﹣F(x2)|,符合题设.②当m≤0时,α=mx1+(1﹣m)x2≥mx2+(1﹣m)x2=x2,β=mx2+(1﹣m)x1≤mx1+(1﹣m)x1=x1,由f(x)的单调性知,F(β)≤F(x1)<f(x2)≤F(α),-18-\n∴|F(α)﹣F(β)|≥|F(x1)﹣F(x2)|,与题设不符;③当m≥1时,同理可得α≤x1,β≥x2,得|F(α)﹣F(β)|≥|F(x1)﹣F(x2)|,与题设不符.∴综合①、②、③得m∈(0,1).【点评】本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力、化归与转化思想.属于中档题.-18- 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