山东省济宁一中2022届高三数学上学期12月月考试卷理含解析

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山东省济宁一中2022届高三数学上学期12月月考试卷理含解析

2022-08-25 20:35:23
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2022-2022学年山东省济宁一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）　一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＞0}，则∁U（A∪B）=（　　）A．{x|x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}　2．已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（　　）A．﹣4B．4C．﹣10D．10　3．若α是第三象限角，且tanα=，则cosα=（　　）A．B．C．D．　4．已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（　　）A．m+n=1B．m+n=﹣1C．mn=1D．mn=﹣1　5．在正项等比数列{an}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是（　　）A．10000B．1000C．100D．10　6．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（　　）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件　7．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）A．B．C．D．　8．△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（　　）-20-\nA．B．C．D．2　9．x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）A．或﹣1B．1或﹣C．2或1D．2或﹣1　10．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（　　）A．18B．17C．16D．15　　二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为　　　　　　．　12．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为　　　　　　．13．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=6，c=4，cosB=，则b=　　　　　　．　14．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=　　　　　　．　15．给出下列命题：①函数y=在区间[1，3]上是增函数；②函数f（x）=2x﹣x2的零点有3个；③不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立，则a≤4；④已知a，b∈R+，2a+b=1，则≥8；⑤φ=π是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件．其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）　　　　　　．　　三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且S3=2S2+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；-20-\n（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n项和Tn．　17．已知向量．（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围．　18．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．　19．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2．点E是线段AB上的动点，点M为D1C的中点．（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME∥平面ADD1A1；（2）若二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为．求线段AE的长．　20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．-20-\n　21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．　　-20-\n2022-2022学年山东省济宁一中高三（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析　一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U=R，A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x＞0}，则∁U（A∪B）=（　　）A．{x|x≤2}B．{x|x≥1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，根据全集U=R求出B的补集，找出A与B并集的补集的并集即可．解答：解：由B中不等式解得：x2﹣2x＞0，得到B={x|x＞2或x＜0}，∵全集U=R，∴A∪B={x|x＞1或x＜0}，∴∁U（A∪B）={x|0≤x≤1}故选：C．点评：此题考查了并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．　2．已知=a+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（　　）A．﹣4B．4C．﹣10D．10考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的代数形式的乘除运算及复数相等的性质可求得答案．解答：解：∵===a+i，∴=a，=﹣1，解得：b=﹣7，a=3．∴a+b=﹣7+3=﹣4．故选：A．点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，将复数分母实数化是化简的关键，考查复数相等与运算能力，属于基础题．　3．若α是第三象限角，且tanα=，则cosα=（　　）A．B．C．D．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值．解答：解：∵α是第三象限角，且tanα==，sin2α+cos2α=1，-20-\n∴cosα＜0，且cosα=﹣，故选：C．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．　4．已知向量，若A、B、D三点共线，则实数m、n应该满足的条件是（　　）A．m+n=1B．m+n=﹣1C．mn=1D．mn=﹣1考点：向量的共线定理．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得，再根据两个向量共线的性质可得，由此可得结论．解答：解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，故选C．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．　5．在正项等比数列{an}中，lga3+lga6+lga9=6，则a1a11的值是（　　）A．10000B．1000C．100D．10考点：等比数列的性质；对数的运算性质；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：正项等比数列{an}可得：．由lga3+lga6+lga9=6，利用对数的运算法则可得lg（a3a6a9）=6，即，解得a6即可．解答：解：由正项等比数列{an}可得：．∵lga3+lga6+lga9=6，∴lg（a3a6a9）=6，∴，解得．∴a1a11==104．故选：A．点评：本题考查了等比数列的性质和对数的运算法则，属于基础题．　6．已知向量，=（3，m），m∈R，则“m=﹣6”是“”的（　　）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，即可得出．-20-\n解答：解：=（﹣1，2）+（3，m）=（2，2+m）．由⇔﹣1×（2+m）﹣2×2=0，⇔m=﹣6．因此“m=﹣6”是“”的充要条件．故选：A．点评：本题考查了向量的共线定理、充要条件，属于基础题．　7．已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（　　）A．B．C．D．考点：双曲线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．解答：解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴双曲线的方程为．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．　8．△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=1，设点P，Q满足=λ，=（1﹣λ），λ∈R．若•=﹣2，则λ=（　　）A．B．C．D．2考点：平面向量数量积的运算．-20-\n专题：平面向量及应用．分析：据平面向量的线性运算，得到=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理即可解得λ值．解答：解：由题意可得=0，因为=λ，=（1﹣λ），所以=（1﹣λ）﹣，=﹣，代入•=﹣2，并化简整理得：﹣（1﹣λ）+[λ（1﹣λ）+1]﹣λ=﹣2，即﹣（1﹣λ）﹣4λ=﹣2，解得λ=，故选：A．点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算．　9．x，y满足约束条件，若z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（　　）A．或﹣1B．1或﹣C．2或1D．2或﹣1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=y﹣2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a＞0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时2a=2，即a=1．若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时2a=﹣1，解得a=﹣综上a=1或a=﹣，故选：B-20-\n点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．注意要对a进行分类讨论．　10．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=16}中的元素个数是（　　）A．18B．17C．16D．15考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：根据已知条件，当a，b都为正偶数或正奇数时：需满足a+b=16，a从1到16这16个数字取一个有16种取法，a一旦确定，b也唯一确定，即b有一种取法，所以（a，b）有16种取法，即构成集合M16个元素；当a=1，b=16，或1=16，b=1时则满足ab=16，即构成集合M2个元素，所以集合M有18个元素．解答：解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是7+8+2=17．故选B．点评：考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力．　二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）11．曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1围成的封闭图形的面积为　　．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．-20-\n分析：作出的图象，求出它们的交点分别为A（，1）和B（，1），由此可得所求面积为函数2sinx﹣1在区间[，]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：令2sinx=1（0≤x≤π），即sinx=，可得x=或．∴曲线y=2sinx（0≤x≤π）与直线y=1交于点A（，1）和B（，1），因此，围成的封闭图形的面积为S=（2sinx﹣1）dx=（﹣2cosx﹣x）=（﹣2cos﹣）﹣（﹣2cos﹣）=2﹣．故答案为：2﹣．点评：本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于中档题．　12．过点（3，1）作圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=4的弦，其中最短的弦长为　2　．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由圆的方程找出圆心与半径，判断得到（3，1）在圆内，过此点最短的弦即为与过此点直径垂直的弦，利用垂径定理及勾股定理即可求出．解答：解：根据题意得：圆心（2，2），半径r=2，∵=＜2，∴（3，1）在圆内，∵圆心到此点的距离d=，r=2，∴最短的弦长为2=2．故答案为：2点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点与圆的位置关系，垂径定理，以及勾股定理，找出最短弦是解本题的关键．　-20-\n13．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，已知a=6，c=4，cosB=，则b=　6　．考点：余弦定理的应用．专题：计算题；解三角形．分析：依题意，利用余弦定理即可求得b．解答：解：∵△ABC中，a=6，c=4，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=36+16﹣2×6×4×=36．∴b=6．故答案为：6．点评：本题考查余弦定理的应用，属于基础题．　14．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|=3，则|BF|=　　．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，利用抛物线的定义直接求出m即|BF|的值．解答：解：设∠AFx=θ，θ∈（0，π）及|BF|=m，则点A到准线l：x=﹣1的距离为3．得3=2+3cosθ⇔cosθ=，又m=2+mcos（π﹣θ）⇔=．故答案为：．点评：本题考查抛物线的定义的应用，考查计算能力．　15．给出下列命题：①函数y=在区间[1，3]上是增函数；②函数f（x）=2x﹣x2的零点有3个；③不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立，则a≤4；-20-\n④已知a，b∈R+，2a+b=1，则≥8；⑤φ=π是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件．其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）　②③④⑤　．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用；简易逻辑．分析：①化简函数y==，从而判断函数的单调性；②作y2x与y=x2的图象，图象交点个数即为函数f（x）=2x﹣x2的零点个数；③|x+1|+|x﹣3|几何意义是点x到点﹣1与点3的距离之和，从而得解；④由基本不等式可判断出≥9，≥8当然也成立；⑤当φ=π时，函数y=sin（2x+φ）=﹣cos2x是偶函数，当φ=π时，函数y=sin（2x+φ）也是偶函数；故是充分不必要条件．解答：解：①函数y==在区间[1，2]上是增函数，[2，3]上是减函数，故错误；②作y2x与y=x2的图象如右图，则函数f（x）=2x﹣x2有3个零点，故正确；③∵|x+1|+|x﹣3|几何意义是点x到点﹣1与点3的距离之和，且点﹣1与点3的距离为4；故若不等式|x+1|+|x﹣3|≥a恒成立，则a≤4，故正确；④已知a，b∈R+，2a+b=1，则=+=5+2（+）≥9（当且仅当a=b=时，等号成立），故正确；⑤当φ=π时，函数y=sin（2x+φ）=﹣cos2x是偶函数，当φ=π时，函数y=sin（2x+φ）也是偶函数；故φ=π是函数y=sin（2x+φ）为偶函数的一个充分不必要条件，故正确．故答案为：②③④⑤．-20-\n点评：本题借命题真假性的判断同时考查了三角函数，基本不等式，不等式，绝对值不等式，函数的单调性及函数的图象的应用等，综合性很强，属于难题．　三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且S3=2S2+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足bn=2n﹣1+an（n∈N*），求{bn}的前n项和Tn．考点：数列的求和；数列递推式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）先求出公比，再求出求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）利用分组求和，即可求{bn}的前n项和Tn．解答：解：（Ⅰ）设公比为q，由题意：q＞1，a1=1，则a2=q，a3=q2，∵S3=2S2+1，∴a1+a2+a3=2（a1+a2）+1，…（2分）则1+q+q2=2（1+q）+1解得：q=2或q=﹣1（舍去），…（4分）∴an=2n﹣1…（5分）（Ⅱ）bn=2n﹣1+an=2n﹣1+2n﹣1…（7分）则=+=n2+2n﹣1…（10分）点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．-20-\n　17．已知向量．（1）当时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=，求的取值范围．考点：余弦定理；数量积的坐标表达式；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：（1）由两向量的坐标，以及两向量平行列出关系式，整理求出tanx的值，所求式子变形后利用同角三角函数间的基本关系变形，将tanx的值代入计算即可求出值；（2）利用平面向量的数量积运算法则确定出f（x），由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，确定出A的度数，代入所求式子，根据x的范围求出这个角的范围，进而求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围．解答：解：（1）∵=（sinx，），=（cosx，﹣1），∥，∴﹣sinx=cosx，即tanx=﹣，则cos2x﹣sin2x=cos2x﹣2sinxcosx====；（2）f（x）=2（+）•=2（sinxcosx+cos2x+）=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，∵a=，b=2，sinB=，∴由正弦定理=得：sinA===，∵a＜b，∴A＜B，∴A=，∴原式=sin（2x+）﹣，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴1≤sin（2x+）≤，则≤sin（2x+）﹣≤﹣．即所求式子的范围为[，﹣]．-20-\n点评：此题考查了余弦定理，数量积的坐标表达式，正弦函数的定义域与值域，以及三角函数的恒等变换，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．　18．北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．考点：根据实际问题选择函数类型．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：（1）设每件定价为x元，可得提高价格后的销售量，根据销售的总收人不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（2）依题意，x＞25时，不等式ax≥25×8+50+（x2﹣600）+x有解，等价于x＞25时，a≥+x+有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．解答：解：（1）设每件定价为t元，依题意得（8﹣）x≥25×8，整理得t2﹣65t+1000≤0，解得25≤t≤40．所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（2）依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8+50+（x2﹣600）+x有解，等价于x＞25时，a≥+x+有解．由于+x≥2=10，当且仅当=，即x=30时等号成立，所以a≥10.2．当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．点评：解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．　19．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=1，AA1=AB=2．点E是线段AB上的动点，点M为D1C的中点．（1）当E点是AB中点时，求证：直线ME∥平面ADD1A1；（2）若二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为．求线段AE的长．-20-\n考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）取DD1的中点N，连结MN，AN，ME，由已知条件推导出四边形MNAE为平行四边形，由此能证明直线ME∥平面ADD1A1．（2）设AE=m，以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，结合题设条件利用向量法能求出线段AE的长．解答：（1）证明：取DD1的中点N，连结MN，AN，ME，∵点M为D1C的中点，E点是AB中点，∴MN，AE，∴四边形MNAE为平行四边形，∴ME∥AN，∵AN⊂平面ADD1A1，ME不包含于平面ADD1A1，∴直线ME∥平面ADD1A1．（2）解：设AE=m，如图以DA为x轴，以DC为y轴，以DD1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意知A（1，0，0），E（1，m，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），∴=（﹣1，0，2），=（0，m，0），=（0，2，﹣2），，设平面AD1E的法向量为，则，，∴，∴，设平面D1EC的法向量为=（x，y，z），则，，∴，∴=（2﹣m，1，1），-20-\n设二面角A﹣D1E﹣C的平面角为θ，∵二面角A﹣D1E﹣C的余弦值为，∴cosθ==，整理，得20m2﹣116m+129=0，解得m=或m=（舍），∴线段AE的长为．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查线段落长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．　20．已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．解答：解：（1）设椭圆C的方程为．-20-\n根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了数量积的坐标运算，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，训练了根与系数关系，属有一定难度题目．　21．已知函数f（x）=lnx+（a+1）x2+1．（Ⅰ）当时，求f（x）在区间上的最小值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）当﹣1＜a＜0时，有f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立，求a的取值范围．-20-\n考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，可得．分别由f′（x）≥0；由f′（x）≤0解出，即可得出函数的单调性极值与最值．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．对a分类讨论：当a+1≤0，即a≤﹣1时；当a≥0时；当﹣1＜a＜0时，利用导数与函数单调性的关系即可得出．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，fmin（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，解出即可．解答：解：（Ⅰ）当时，f（x）=﹣+1，∴．∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f′（x）≥0得；由f′（x）≤0得．∴f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴f′（x）min==．（Ⅱ），x∈（0，+∞）．①当a+1≤0，即a≤﹣1时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；②当a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；③当﹣1＜a＜0时，由f′（x）＞0，得，解得．∴f（x）在单调递增，在上单调递减；综上可得：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；-20-\n当﹣1＜a＜0时，f（x）在单调递增，在上单调递减；当a≤﹣1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当﹣1＜a＜0时，fmin（x）=，f（x）＞1+ln（﹣a）恒成立等价于，化为ln（4a+4）＞﹣1，∴，又∵﹣1＜a＜0，∴a的取值范围为．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了分类讨论的思想方法与恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　-20- 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