返回

山东省青岛市2022届高三数学3月统一质量检测试题 理(含解析)

首页 > 试卷 > 高中 > 数学 > 山东省青岛市2022届高三数学3月统一质量检测试题 理(含解析)

点击预览全文

点击下载高清阅读全文,WORD格式文档可编辑

收藏
立即下载

资料简介

2022年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2022•青岛一模)设i为虚数单位,复数等于(  ) A.﹣1+iB.﹣1﹣iC.1﹣iD.1+i【考点】:复数代数形式的乘除运算.【专题】:数系的扩充和复数.【分析】:直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值.【解析】:解:=.故选:D.【点评】:本题考查了复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题. 2.(5分)(2022•青岛一模)设全集I=R,集合A={y|y=log2x,x>2},B={x|y=},则(  ) A.A⊆BB.A∪B=AC.A∩B=∅D.A∩(∁IB)≠∅【考点】:集合的包含关系判断及应用.【专题】:计算题;集合.【分析】:化简集合A,B,即可得出结论.【解析】:解:由题意,A={y|y=log2x,x>2}=(1,+∞),B={x|y=}==1.6.故选B.【点评】:本题考查茎叶图、平均数和方差,对于一组数据通常要求的是这组数据的众数,中位数,平均数,方差,它们分别表示一组数据的特征,这样的问题可以出现在选择题或填空题. 4.(5分)(2022•青岛一模)“∀n∈N*,2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的(  ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.即不充分也不必要条件【考点】:必要条件、充分条件与充要条件的判断;等差数列的性质.【专题】:等差数列与等比数列.【分析】:由2an+1=an+an+2,可得an+2﹣an+1=an+1﹣an,可得数列{an}为等差数列;若数列{an}为等差数列,易得2an+1=an+an+2,由充要条件的定义可得答案.【解析】:解:由2an+1=an+an+2,可得an+2﹣an+1=an+1﹣an,由n的任意性可知,数列从第二项起每一项与前一项的差是固定的常数,即数列{an}为等差数列,反之,若数列{an}为等差数列,易得2an+1=an+an+2,故“∀n∈N*,2an+1=an+an+2”是“数列{an}为等差数列”的充要条件,-16-\n故选C【点评】:本题考查充要条件的判断,涉及等差数列的判断,属基础题. 5.(5分)(2022•青岛一模)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(  ) A.2B.C.D.3【考点】:简单空间图形的三视图.【专题】:计算题;空间位置关系与距离.【分析】:根据三视图判断几何体为四棱锥,再利用体积公式求高x即可.【解析】:解:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图是:V==3⇒x=3.故选D.【点评】:由三视图正确恢复原几何体是解题的关键. 6.(5分)(2022•青岛一模)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为(  ) A.﹣=1B.﹣=1 C.﹣=1D.﹣=1-16-\n【考点】:双曲线的标准方程.【专题】:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:由已知得,由此能求出双曲线方程.【解析】:解:∵双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:x+2y+5=0,双曲线的一个焦点在直线l上,∴,解得a=2,b=,∴双曲线方程为﹣=1.故选:A.【点评】:本题考查双曲线方程的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意双曲线性质的合理运用. 7.(5分)(2022•青岛一模)设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题中正确的是(  ) A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βB.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥β C.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥βD.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β【考点】:平面与平面之间的位置关系.【专题】:空间位置关系与距离.【分析】:利用线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理即可判断出答案.【解析】:解:选择支C正确,下面给出证明.证明:如图所示:∵m∥n,∴m、n确定一个平面γ,交平面α于直线l.∵m∥α,∴m∥l,∴l∥n.∵n⊥β,∴l⊥β,∵l⊂α,∴α⊥β.故C正确.故选C.-16-\n【点评】:正确理解和掌握线面平行、垂直的判定定理和性质定理及面面垂直的判定定理是解题的关键. 8.(5分)(2022•青岛一模)函数y=4cosx﹣e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是(  ) A.B.C.D.【考点】:函数的图象.【专题】:函数的性质及应用.【分析】:先验证函数y=4cosx﹣e|x|是否具备奇偶性,排除一些选项,在取特殊值x=0时代入函数验证即可得到答案.【解析】:解:∵函数y=4cosx﹣e|x|,∴f(﹣x)=4cos(﹣x)﹣e|﹣x|=4cosx﹣e|x|=f(x),函数y=4cosx﹣e|x|为偶函数,图象关于y轴对称,排除BD,又f(0)=y=4cos0﹣e|0|=4﹣1=3,只有A适合,故选:A.【点评】:本题主要考查函数的图象,关于函数图象的选择题,通常先验证奇偶性,排除一些选项,再代特殊值验证,属于中档题. 9.(5分)(2022•青岛一模)对于函数y=sin(2x﹣),下列说法正确的是(  ) A.函数图象关于点(,0)对称 B.函数图象关于直线x=对称 C.将它的图象向左平移个单位,得到y=sin2x的图象 D.将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍,得到y=sin(x﹣)的图象【考点】:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的图象.-16-\n【专题】:三角函数的图像与性质.【分析】:A,将x=代入可得y≠0,故不正确;B,将x=代入可得:y=﹣1,由正弦函数的图象和性质可知正确;C,求出平移后的函数解析式即可判断.D,求出平移后的函数解析式即可判断.【解析】:解:A,将x=代入可得:y=sin(2×﹣)=1,故不正确;B,将x=代入可得:y=sin(2×﹣)=﹣1,由正弦函数的图象和性质可知正确;C,将它的图象向左平移个单位,得到y=sin=sin(2x+)的图象,故不正确;D,将它的图象上各点的横坐标缩小为原来的倍,得到函数y=sin(4x﹣)的图象,故不正确.故选:B.【点评】:本题考查正弦函数的对称性、周期性,考查综合分析与应用能力,属于中档题. 10.(5分)(2022•青岛一模)已知点G是△ABC的外心,是三个单位向量,且2++=,如图所示,△ABC的顶点B,C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动,O是坐标原点,则||的最大值为(  ) A.B.C.2D.3【考点】:向量的加法及其几何意义.【专题】:平面向量及应用.【分析】:根据题意,得出:①G是BC的中点,△ABC是直角三角形,且斜边BC=2;②点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧;③OA经过BC的中点G时,||取得最大值为2||.【解析】:解:∵点G是△ABC的外心,且2++=,∴点G是BC的中点,△ABC是直角三角形,∠BAC是直角;又∵是三个单位向量,-16-\n∴BC=2;又∵△ABC的顶点B、C分别在x轴和y轴的非负半轴上移动,∴点G的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆弧;又∵||=1,∴OA经过BC的中点G时,||取得最大值,最大值为2||=2.故选:C.【点评】:本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义与应用问题,是基础题目. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.(5分)(2022•青岛一模)已知函数f(x)=tanx+sinx+2022,若f(m)=2,则f(﹣m)= 4028 .【考点】:函数奇偶性的性质.【专题】:函数的性质及应用.【分析】:根据解析式得出f(﹣x)+f(x)=4030,f(m)+f(﹣m)=4030,即可求解.【解析】:解:∵函数f(x)=tanx+sinx+2022,∴f(﹣x)=﹣tanx﹣sinx+2022,∵f(﹣x)+f(x)=4030,∴f(m)+f(﹣m)=4030,∵f(m)=2,∴f(﹣m)=4028.故答案为:4028.【点评】:本题考查了函数的性质,整体运用的思想,属于容易题,难度不大. 12.(5分)(2022•青岛一模)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是 132 ;【考点】:程序框图.【专题】:图表型;算法和程序框图.【分析】:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的s,i的值,当i=10时,不满足条件i≥11,退出循环,输出s的值为132.【解析】:解:模拟执行程序框图,可得i=12,s=1-16-\n满足条件i≥11,s=12,i=11满足条件i≥11,s=132,i=10不满足条件i≥11,退出循环,输出s的值为132.故答案为:132.【点评】:本题主要考查了程序框图和算法,依次正确写出每次循环得到的s,i的值是解题的关键,属于基本知识的考查. 13.(5分)(2022•青岛一模)设a=∫12(3x2﹣2x)dx,则二项式(ax2﹣)6展开式中的第6项的系数为 ﹣24 .【考点】:定积分;二项式系数的性质.【专题】:导数的概念及应用;二项式定理.【分析】:先根据定积分的计算法则求出a的值,再根据二项式展开式的通项公式求出第6项的系数.【解析】:解:a=∫12(3x2﹣2x)dx=(x3﹣x2)|=4,∴(ax2﹣)6=(4x2﹣)6,∵Tk+1=,∴T6=T5+1=﹣•4x﹣3,=﹣24x﹣3,∴展开式中的第6项的系数为﹣24,故答案为:﹣24.【点评】:本题考查了定积分的计算法则和根据二项式展开式的通项公式,属于与基础题. 14.(5分)(2022•青岛一模)若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点(1,1)处取得最小值,则实数k的取值范围是 (﹣4,2) .【考点】:简单线性规划.【专题】:不等式的解法及应用.【分析】:作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,确定目标取最优解的条件,即可求出k的取值范围.【解析】:解:作出不等式对应的平面区域,由z=kx+2y得y=﹣x+,要使目标函数z=kx+2y仅在点B(1,1)处取得最小值,则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方,∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率-16-\n即﹣1<﹣<2,解得﹣4<k<2,即实数k的取值范围为(﹣4,2),故答案为:(﹣4,2).【点评】:本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.根据条件目标函数仅在点(1,1)处取得最小值,确定直线的位置是解决本题的关键. 15.(5分)(2022•青岛一模)若X是一个集合,τ是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X属于τ,∅属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑.已知集合X={a,b,c},对于下面给出的四个集合τ:①τ={∅,{a},{c},{a,b,c}};②τ={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}};③τ={∅,{a},{a,b},{a,c}};④τ={∅,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是 ②④ .【考点】:集合的包含关系判断及应用.【专题】:压轴题;新定义.【分析】:根据集合X上的拓扑的集合τ的定义,逐个验证即可:①{a}∪{c}={a,c}∉τ,③{a,b}∪{a,c}={a,b,c}∉τ,因此①③都不是;②④满足:①X属于τ,∅属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ,因此②④是,从而得到答案.【解析】:解:①τ={∅,{a},{c},{a,b,c}};而{a}∪{c}={a,c}∉τ,故①不是集合X上的拓扑的集合τ;②τ={∅,{b},{c},{b,c},{a,b,c}},满足:①X属于τ,∅属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ;③τ={∅,{a},{a,b},{a,c}};而{a,b}∪{a,c}={a,b,c}∉τ,故③不是集合X上的拓扑的集合τ;④τ={∅,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}.-16-\n满足:①X属于τ,∅属于τ;②τ中任意多个元素的并集属于τ;③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ;故答案为②④.【点评】:此题是基础题.这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题,重在理解题意.本题是开放型的问题,要认真分析条件,探求结论,对分析问题解决问题的能力要求较高. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(12分)(2022•青岛一模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,b=3.(Ⅰ)求角B;(Ⅱ)若sinA=,求△ABC的面积.【考点】:余弦定理;正弦定理.【专题】:解三角形.【分析】:(I)利用正弦定理与余弦定理即可得出;(II)利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式即可得出.【解析】:解:(Ⅰ)∵,∴,∴a2﹣b2=ac﹣c2,∴,∵B∈(0,π),∴.(Ⅱ)由b=3,,,得a=2,由a<b得A<B,从而,故,∴△ABC的面积为.【点评】:本题考查了正弦定理与余弦定理、正弦定理、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 17.(12分)(2022•青岛一模)某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会,拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加,各学院邀请的学生数如下表所示:-16-\n学院机械工程学院海洋学院医学院经济学院人数4646(Ⅰ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,求这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率;(Ⅱ)从这20名学生中随机选出3名学生发言,设来自医学院的学生数为ξ,求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【考点】:离散型随机变量及其分布列;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量的期望与方差.【专题】:概率与统计.【分析】:(Ⅰ)从20名学生随机选出3名的方法数为,选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为,由此利用等可能事件概率计算公式能求出这3名学生中任意两个均不属于同一学院的概率.(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【解析】:(本小题满分12分)解:(Ⅰ)从20名学生随机选出3名的方法数为,选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为:…(4分)所以…(6分)(Ⅱ)ξ可能的取值为0,1,2,3,,…(10分)所以ξ的分布列为0123P所以…(12分)【点评】:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题,解题时要注意排列组合知识的合理运用. -16-\n18.(12分)(2022•青岛一模)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱AA1⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,AD=AA1=3,BC=1,E1为A1B1中点.(Ⅰ)证明:B1D∥平面AD1E1;(Ⅱ)若AC⊥BD,求平面ACD1和平面CDD1C1所成角(锐角)的余弦值.【考点】:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定.【专题】:空间位置关系与距离;空间角.【分析】:(Ⅰ)连结A1D交AD1于G,四边形ADD1A1为平行四边形,从而B1D∥E1G,由此能证明B1D∥平面AD1E1.(Ⅱ)以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,求出平面ACD1的一个法向量和平面CDD1C1的一个法向量,由此利用向量法能求出平面ACD1和平面CDD1C1所成角(锐角)的余弦值.【解析】:(本小题满分12分)(Ⅰ)证明:连结A1D交AD1于G,因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱,所以四边形ADD1A1为平行四边形,所以G为A1D的中点,又E1为A1B1中点,所以E1G为△A1B1D的中位线,从而B1D∥E1G…(4分)又因为B1D⊄平面AD1E1,E1G⊂平面AD1E1,所以B1D∥平面AD1E1.…(5分)(Ⅱ)解:因为AA1⊥底面ABCD,AB⊂面ABCD,AD⊂面ABCD,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD,又∠BAD=90°,所以AB,AD,AA1两两垂直.…(6分)如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.设AB=t,则A(0,0,0),B(t,0,0),C(t,1,0),D(0,3,0),C1(t,1,3),D1(0,3,3).从而,.因为AC⊥BD,所以,解得.…(8分)所以,.设是平面ACD1的一个法向量,-16-\n则即令x1=1,则.…(9分)又,.设是平面CDD1C1的一个法向量,则即令x2=1,则.…(10分)∴,∴平面ACD1和平面CDD1C1所成角(锐角)的余弦值.…(12分)【点评】:本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想. 19.(12分)(2022•青岛一模)已知数列{an}是等差数列,Sn为{an}的前n项和,且a10=19,S10=100;数列{bn}对任意n∈N*,总有b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2成立.(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;(Ⅱ)记cn=(﹣1)n,求数列{cn}的前n项和Tn.【考点】:数列的求和;等差数列的前n项和.【专题】:等差数列与等比数列.-16-\n【分析】:(1)由题意和等差数列的前n项和公式求出公差,代入等差数列的通项公式化简求出an,再化简b1•b2•b3…bn﹣1•bn=an+2,可得当n≥2时b1•b2•b3…bn﹣1=2n﹣1,将两个式子相除求出bn;(2)由(1)化简cn=(﹣1)n,再对n分奇数和偶数讨论,分别利用裂项相消法求出Tn,最后要用分段函数的形式表示出来.【解析】:解:(Ⅰ)设{an}的公差为d,则a10=a1+9d=19,,解得a1=1,d=2,所以an=2n﹣1…(3分)所以b1•b2•b3…bn﹣1•bn=2n+1…①当n=1时,b1=3,当n≥2时,b1•b2•b3…bn﹣1=2n﹣1…②①②两式相除得因为当n=1时,b1=3适合上式,所以…(6分)(Ⅱ)由已知,得则Tn=c1+c2+c3+…+cn=…(7分)当n为偶数时,==…(9分)当n为奇数时,==…(11分)综上:…(12分)-16-\n【点评】:本题考查数列的递推公式,等差数列的通项公式、前n项和公式,裂项相消法求数列的和,以及分类讨论思想,考查化简、计算能力,属于中档题. 20.(13分)(2022•青岛一模)已知椭圆C:+y2=1与直线l:y=kx+m相交于E、F两不同点,且直线l与圆O:x2+y2=相切于点W(O为坐标原点).(Ⅰ)证明:OE⊥OF;(Ⅱ)设λ=,求实数λ的取值范围.【考点】:椭圆的简单性质.【专题】:方程思想;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】:(Ⅰ)由直线l与圆O相切,得圆心到直线l的距离d=r,再由直线l与椭圆C相交,得出E、F点的坐标关系,从而证明OE⊥OF;(Ⅱ)根据直线l与圆O相切于点W,以及OE⊥OF,得出λ=的坐标表示,求出λ的取值范围.【解析】:解:(Ⅰ)因为直线l与圆O相切,所以圆x2+y2=的圆心到直线l的距离d==,∴;…(2分)由,得:(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0;设E(x1,y1),F(x2,y2),则,;…(4分)所以所以OE⊥OF;…(6分)(Ⅱ)∵直线l与圆O相切于W,,-16-\n∴;…(8分)由(Ⅰ)知x1x2+y1y2=0,∴x1x2=﹣y1y2,即;从而,即,∴;…(12分)因为﹣≤x1≤,所以λ∈.…(13分)【点评】:本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题,也考查了直线与圆相切的应用问题,考查了方程思想的应用问题,是综合性题目. 21.(14分)(2022•青岛一模)已知函数f(x)=x2+kx+1,g(x)=(x+1)ln(x+1),h(x)=f(x)+g'(x).(Ⅰ)若函数g(x)的图象在原点处的切线l与函数f(x)的图象相切,求实数k的值;(Ⅱ)若h(x)在上单调递减,求实数k的取值范围;(Ⅲ)若对于∀t∈,总存在x1,x2∈(﹣1,4),且x1≠x2满f(xi)=g(t)(i=1,2),其中e为自然对数的底数,求实数k的取值范围.【考点】:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.【专题】:函数的性质及应用;导数的概念及应用;导数的综合应用;不等式的解法及应用.【分析】:(Ⅰ)求出g(x)的定义域和导数,求得切线的斜率和切点,写出切线方程,联立f(x),消去y,运用判别式为0,即可得到k;(Ⅱ)求出h(x)的导数,h(x)在上单调递减,则h'(x)≤0对x∈恒成立,运用导数求出h'(x)在的最大值,解不等式即可得到k的范围;(Ⅲ)分别求出g(t)在t∈的值域A和f(x)在x∈(﹣1,4)的值域B,由题意可得A包含于B,得到不等式组,解出即可得到k的范围.【解析】:解:(Ⅰ)函数g(x)的定义域为(﹣1,+∞),g'(x)=ln(x+1)+1,则g(0)=0,g'(0)=1,∴切线l:y=x,-16-\n由,∵l与函数f(x)的图象相切,∴;(Ⅱ),导数,令,对x∈恒成立,则在递增,即h'(x)在上为增函数,∴,∵h(x)在上单调递减,∴h'(x)≤0对x∈恒成立,即,∴;(Ⅲ)当时,g'(x)=ln(x+1)+1>0,∴g(x)=(x+1)ln(x+1)在区间上为增函数,∴时,,∵的对称轴为x=﹣k,∴为满足题意,必须﹣1<﹣k<4,此时,f(x)的值恒小于f(﹣1)和f(4)中最大的一个,∵对于,总存在x1,x2∈(﹣1,4),且x1≠x2满足f(xi)=g(t)(i=1,2),∴,∴,∴.【点评】:本题考查导数的运用:求切线方程和单调区间及极值、最值,同时考查任意存在问题注意转化为函数的值域的包含关系,考查运算能力,属于中档题和易错题.-16- 查看更多

Copyright 2004-2022 uxueke.com All Rights Reserved 闽ICP备15016911号-6

优学科声明:本站点发布的文章作品均来自用户投稿或网络整理,部分作品未联系到知识产权人或未发现有相关的知识产权登记

如有知识产权人不愿本站分享使用所属产权作品,请立即联系:uxuekecom,我们会立即处理。

全屏阅读
关闭